基于<bold>IA</bold>-<bold>BP</bold>智能算法的初始地应力场反演研究

孙港，王军祥，郭连军，寇海军，徐景龙; SUN Gang; WANG Junxiang; GUO Lianjun; KOU Haijun; XU Jinglong

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基于IA-BP智能算法的初始地应力场反演研究 PDF

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徐景龙 ¹

1. 沈阳工业大学建筑与土木工程学院，沈阳 110870； 2. 中铁十九局集团第五工程有限公司，辽宁大连 116100

中图分类号： TU431

最近更新：2023-03-07

DOI：10.11835/j.issn.2096-6717.2021.116

摘要

初始地应力场是地下工程设计与施工的重要依据，在实际工程中难以精准测得，为了能较准确地获得初始地应力场的分布规律，提出将免疫算法与BP神经网络相结合（IA-BP）的算法对初始地应力场进行反演研究。免疫算法优化BP神经网络就是将BP神经网络的连接权值和阈值作为免疫算法中的抗体进行编码。该混合算法既可以利用免疫算法全局寻优的特点快速搜索到全局最优解或次优解附近，又可以采用BP算法避免在最优解和次优解附近发生震荡，对其进行局部优化，从而达到快速收敛全局最优解的目的。通过COMSOL分别构建平面边坡模型及三维立体模型，对其进行正分析计算，将计算的结果作为“实测值”，对地应力进行反演分析，并将IA-BP算法反演的结果与PSO-BP算法及多元线性回归算法的反演结果进行对比。结果表明：二维边坡模型下，IA-BP算法反演结果误差更小。三维模型下，IA-BP算法所得实测值与反演值之间的相对误差的绝对值为0%~10.64%（平均为3.39%），PSO-BP算法所得实测值与反演值之间相对误差的绝对值为0%~48.39%（平均为6.93%），多元线性回归算法所得实测值与反演值之间相对误差的绝对值为0.55%~121.95%（平均为21.87%），通过对比可知，IA-BP算法整体反演结果精度最高。无论是平面模型还是三维模型，利用IA-BP算法反演出的结果与其他两种算法反演的结果相比，误差更小。将IA-BP智能算法运用到地应力场的反演研究中，可以为地下工程的建设提供依据。

关键词

地应力场; 免疫智能算法; 粒子群智能算法; 多元线性回归

初始地应力场是影响地下工程围岩应力、位移分布及破坏形式的重要因素之一，是地下工程设计的基本指标，尤其在长大公路隧道中，利用的初始地应力场是否可靠将直接影响到工程设计与施工的可靠性与安全性。利用水压致裂法和微震声学法等直接测定地应力的方法是获得较准确现场实测地应力最直接的方法，但地应力场成因复杂，加之在实际测量过程中存在地质复杂、经费高等问题，使得测得的地应力具有离散性、精度低、只能反映局部应力场等缺点。因此，如何较准确的获得初始地应力场的分布规律，对地下工程的建设及深部地质灾害的防治都有着重要的意义。

为了更准确获得初始地应力场的分布规律，众多学者从不同角度对初始地应力场进行了研究。位移反分析法依据现场实测位移对初始地应力场进行反演，因其具有方便量测洞室位移、能反映洞室开挖扰动后效应的优点，在有位移监测的工程中对地应力进行反演时得到应用^[

1-2]。但在实际工程中该方法有很大的局限性，一般情况下，对初始地应力场的研究往往是在洞室开挖之前，这就使得洞室开挖位移不能成为先验信息。此外，位移反分析法的结果受测点数量及位置设定的影响；应力反分析法依据现场实测地应力对初始地应力场进行反演。常用的应力反分析法有多元线性回归方法、边界荷载调整法、智能算法^{[参考文献 3-5}3-5]等。其中，多元线性回归方法因其简单、拟合效果较好、反演精度较高，在实际工程中，对地应力进行反演时得到应用^{[参考文献 6-8}6-8]，但该方法因其线性假设忽略了影响初始地应力各因素之间的相互作用，且实际情况的初始地应力与影响初始地应力的各因素之间的关系难以用线性函数表达；而智能算法中的人工神经网络因其具有全局搜索能力、泛化能力、非线性映射能力等特点被应用在初始地应力场的反演研究中，如张乐文等^{[参考文献 9

百度学术}9]依据现场实测地应力数据，基于径向基函数（RBF）神经网络原理，对江边电站引水隧洞区进行了地应力反演，并得到了隧洞区的初始地应力场；张社荣等^{[参考文献 10

百度学术}10]基于逐步回归原理耦合人工神经网络（SLR-ANN）的非线性智能方法，对黄登水电站厂址区域的地应力场进行了反演；涂图等^{[参考文献 11

百度学术}11]基于多元线性回归方法，确定了BP神经网络样本范围，采用改进粒子群算法与BP神经网络相结合的方法，对初始地应力场进行了反演。

笔者利用免疫算法全局寻优的能力及BP神经网络局部优化的特点，提出一种将免疫算法（IA）与BP神经网络相结合的算法（IA-BP算法），将其应用于初始地应力场的反演研究中，并与多元线性回归方法及粒子群与神经网络相结合的方法（PSO-BP）反演得到的结果进行对比。结果表明，将IA-BP算法应用到初始地应力场的反演研究中能提高反演精度，对地下工程的建设具有一定的指导作用。

1 初始地应力场反演分析方法

1.1 IA-BP算法

BP神经网络是一种信号向前传播、误差向后传播的多层前向型神经网络。BP神经网络模型的拓扑结构一般由3层组成，即输入层、隐含层和输出层，其结构如图1所示。

图1 BP神经网络模型

Fig.1 BP neural network model

BP神经网络通过使用优化后的梯度下降法对样本进行预测，通过计算输出值与期望值的误差，使用逆向传播不断调整权值与阈值，使输出值与期望值误差更小。

用P、T分别表示BP神经网络训练样本输入层数据矩阵和输出层数据矩阵。则P、T的表达式为

P = [\begin{matrix} p_{11} & \dots & p_{1 q} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ p_{m 1} & \dots & p_{m q} \end{matrix}]

（1）

T = [\begin{matrix} t_{11} & \dots & t_{1 q} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ t_{n 1} & \dots & t_{n q} \end{matrix}]

（2）

式中： $p_{m q}$ 为第q个训练样本的第m个输入变量； $t_{n q}$ 为第q个训练样本的第n个输出变量；m为输入变量的维数；n为输出变量的维数；q为训练样本集。

用 $W^{1}$ 、 $W^{2}$ 分别表示输入层和隐含层的权值及隐含层和输出层的权值，则 $W^{1}$ 、 $W^{2}$ 的表达式为

W^{1} = [\begin{matrix} ω_{11}^{1} & \dots & ω_{1 m}^{1} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ ω_{l 1}^{1} & \dots & ω_{l m}^{1} \end{matrix}]

（3）

W^{2} = [\begin{matrix} ω_{11}^{2} & \dots & ω_{1 l}^{2} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ ω_{n 1}^{2} & \dots & ω_{n l}^{2} \end{matrix}]

（4）

用 $θ^{1}$ 、 $θ^{2}$ 分别表示隐含层神经元的阈值与输出层神经元的阈值，则 $θ^{1}$ 、 $θ^{2}$ 的表达式为

θ^{1} = [θ_{1}^{1}, θ_{2}^{1}, . . ., θ_{l}^{1}]'

（5）

θ^{2} = [θ_{1}^{2}, θ_{2}^{2}, . . ., θ_{n}^{2}]'

（6）

用 $O_{j}$ 、 $z_{k}$ 分别表示隐含层神经元的输出与输出层神经元的输出，则 $O_{j}$ 、 $z_{k}$ 的表达式为

O_{j} = f (\sum_{i = 1}^{m} ω_{k j}^{1} x_{i} - θ_{j}^{1}) = f (n e t_{j})

（7）

z_{k} = g (\sum_{j = 1}^{l} ω_{k j}^{2} O_{j} - θ_{k}^{2}) = g (n e t_{k})

（8）

则BP神经网络的输出和期望输出之间的误差可表示为

E = \frac{{\sum_{k = 1}^{n} (y_{k} - z_{k})}^{2}}{2} = \frac{{\sum_{k = 1}^{n} [y_{k} - g (\sum_{j = 1}^{l} ω_{k j}^{2} O_{j} - θ_{k}^{2})]}^{2}}{2}

（9）

从而可将误差对隐含层和输出层权值 $ω_{k j}^{2}$ 偏导数与误差对输入层和隐含层权值 $ω_{k j}^{1}$ 偏导数表示为

\frac{\partial E}{\partial ω_{k j}^{2}} = \frac{\partial E}{\partial z_{k}} \frac{\partial z_{k}}{\partial ω_{k j}^{2}} = - (y_{k} - z_{k}) g' (n e t_{k}) O_{j}

（10）

\begin{array}{l} \frac{\partial E}{\partial ω_{k j}^{1}} = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{l} \frac{\partial E}{\partial z_{k}} \frac{\partial z_{k}}{\partial O_{j}} \frac{\partial O_{j}}{\partial ω_{k j}^{1}} = \\ - \sum_{k = 1}^{n} (y_{k} - z_{k}) g' (n e t_{k}) ω_{k j}^{2} f' (n e t_{j}) x_{i} \end{array}

（11）

将误差对输出层阈值 $θ_{k}^{2}$ 偏导数与误差对隐含层阈值 $θ_{j}^{1}$ 偏导数表示为

\frac{\partial E}{\partial θ_{k}^{2}} = \frac{\partial E}{\partial z_{k}} \frac{\partial z_{k}}{\partial θ_{k}^{2}} = (y_{k} - z_{k}) g' (n e t_{k})

（12）

\begin{array}{l} \frac{\partial E}{\partial θ_{j}^{1}} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{\partial E}{\partial z_{k}} \frac{\partial z_{k}}{\partial O_{j}} \frac{\partial O_{j}}{\partial θ_{j}^{1}} = \\ \sum_{k = 1}^{n} (y_{k} - z_{k}) g' (n e t_{k}) ω_{k j}^{2} f' (n e t_{j}) \end{array}

（13）

免疫算法（IA）是参考生物体免疫过程而开发的一种较为先进的搜索式算法^[

12]。作为一种新的算法，它是通过对机体免疫过程中的各个环节进行模拟，用于进行实际问题最优解搜寻的一种自适应智能系统，它保留了生物免疫系统所具有的若干特点^{[参考文献 13

百度学术}13]:

1）广泛全面的最优解搜索能力。

2）多样性保持机制。

3）鲁棒性强。

4）并行的求解搜索过程。

免疫算法通过免疫算子，利用免疫系统的多样性产生和维持极值来保持种群体的多样性，克服了一般寻优过程尤其是多峰函数寻优过程中难处理的“早熟”问题，最终求得全局最优解^[

14]。免疫算法中有许多的算子，主要的几种算子有：亲和度评价算子、抗体浓度评价算子、抗体激励度的计算算子、免疫选择算子、克隆算子、变异算子、克隆抑制算子、种群刷新算子，具体论述参考文献[14]。

初始化免疫算法的相关参数，如免疫个体维数、免疫个体数目、最大免疫代数、激励度系数等，经过识别抗原、生成初始化抗体、计算亲和度、记忆细胞分化、抗体促进抑制、产生新抗体、更新种群这一循环过程，最终得到最优解。具体过程为：

1）识别抗原：把目标函数和约束作为抗原。

2）生成初始化的抗体：随机生成独特型串维数为M的N个抗体。

3）计算亲和度。

①抗体v和抗原w的亲和度为

a x_{v, w} = \frac{1}{1 + o p t_{v, w}}

（14）

式中：抗体v和抗原w的结合强度用 $o p t_{v, w}$ 表示，对于最优解， $a x_{v, w} = 1 (o p t_{v, w} = 0)$ ，此时抗原和抗体的匹配度最高。

②抗体v和抗体m的亲和度为

a y_{v, m} = \frac{1}{1 + E (2)}

（15）

式中：E(2)表示v和w的平均信息熵。

E (N) = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{M} (\sum_{i = 1}^{N} - p_{i j} l o g_{K} p_{i j})

（16）

式中：N为抗体数；M为基因个数，若为二进制数，K就是2； $p_{i j}$ 为选择第i个抗体的第j位等位基因的概率。

4）记忆细胞分化：在抗原与抗体之间亲和度最高的抗体加入记忆细胞，由于记忆细胞容纳的数量有限，新生成的抗体将会代替记忆细胞中原有的亲和度最高的抗体。

5）抗体产生的促进和抑制：计算抗体v的期望值，选择期望值高的抗体。抗体v的期望值 $e_{v}$ 的计算公式为

e_{v} = \frac{a x_{v}}{c_{v}}

（17）

式中： $c_{v}$ 为抗体v的密度。

c_{v} = - \frac{q_{k}}{N}

（18）

式中： $q_{k}$ 为与抗体k有较大亲和力的抗体。

6）新抗体产生：根据不同抗体和抗原亲和力的高低，使用轮盘赌方法，选择两个抗体。然后对这两个抗体进行变异、交叉，产生新抗体，使抗体周围出现多样解。重复该步骤直到产生所有N个新抗体。

7）结束条件：若求出的最优解满足一定结束条件则结束。

免疫算法优化BP神经网络就是将BP神经网络的连接权值和阈值作为免疫算法中的抗体进行编码，通过抗原与抗体的亲和度计算及抗体和抗体之间亲和度的计算，找到抗原亲和度高的抗体加入记忆细胞。接着利用新抗体替代与之亲和度高的抗体来更新记忆细胞，通过抗体产生的促进与抑制来保证抗体的多样性。进一步，通过交叉变异产生下一代抗体，直至满足迭代次数，停止更新记忆细胞。最后从记忆细胞中选取亲和度高的抗体，将其作为BP神经网络的权值和阈值，对BP神经网络优化。

1.2 不同算法对比

为了验证IA-BP算法在初始地应力场反演中的应用，建立一个二维边坡模型，模型尺寸如图2所示。假设二维边坡模型的弹性模量E=28 GPa，泊松比 $ν$ =0.23，容重 $γ$ =2 700 kg/m³。在模型底部施加固定约束，左端施加大小为10 MPa、方向沿着x轴正方向的均布荷载，右端约束其法向位移。计算时采用弹性本构模型。任取6个样本点作为初始地应力场的初始值，计算出的6个样本点的地应力值如表1所示。

图2 二维边坡模型（单位：cm）

Fig.2 Two dimensional slope model

表1 样本点的地应力值

Table 1 The geostress in sample points

样本点	坐标	$σ_{x}$ /MPa	$σ_{x y}$ /MPa	$σ_{y}$ /MPa
1	（100，200）	-9.15	0.84	-2.11
2	（200，120）	-5.99	2.26	-5.52
3	（500，320）	-3.26	-0.40	-1.81
4	（450，230）	-4.45	0.00	-3.75
5	（320，230）	-6.24	0.30	-3.70
6	（550，360）	-2.97	-0.13	-1.00

分别采用IA-BP算法、PSO-BP算法以及多元线性回归算法对初始地应力场进行反演，得到不同算法的样本点地应力反演值如表2所示。由表2可知，多元线性回归算法反演值与样本点实测值之间的相对误差的绝对值为0.81%~176.92%（平均相对误差的绝对值为17.57%），PSO-BP算法反演值与样本点实测值之间的相对误差绝对值为0%~6.67%（平均相对误差的绝对值为1.27%），IA-BP算法反演值与样本点实测值之间的相对误差的绝对值为0%~1%（平均相对误差的绝对值为0.11%）。通过对比可知，IA-BP算法反演出的地应力与样本点地应力更接近。

表2 不同算法反演的样本点地应力值

Table 2 In-situ stress values of sample points inversed by different algorithms

实测点	方法	水平应力		竖直应力		剪切应力
实测点	方法	$σ_{x}$ /MPa	相对误差/%	$σ_{x y}$ /MPa	相对误差/%	$σ_{y}$ /MPa	相对误差/%
1	实测值	-9.15	0.00	0.84	0.00	-2.11	0.00
	多元线性回归	-9.45	3.28	0.77	8.33	-2.08	1.42
	PSO-BP	-9.27	1.31	0.85	1.19	-2.08	1.42
	IA-BP	-9.15	0.00	0.84	0.00	-2.10	0.47
2	实测值	-5.99	0.00	2.26	0.00	-5.52	0.00
	多元线性回归	-6.05	1.00	2.49	10.18	-5.31	3.80
	PSO-BP	-6.05	1.00	2.30	1.77	-5.50	0.36
	IA-BP	-5.99	0.00	2.26	0.00	-5.51	0.18
3	实测值	-3.26	0.00	-0.40	0.00	-1.81	0.00
	多元线性回归	-3.06	6.13	0.59	47.5	-1.98	9.39
	PSO-BP	-3.29	0.92	-0.41	2.50	-1.80	0.55
	IA-BP	-3.26	0.00	-0.40	0.00	-1.81	0.00
4	实测值	-4.45	0.00	0.00	0.00	-3.75	0.00
	多元线性回归	-4.06	8.76	-0.11		-3.88	3.47
	PSO-BP	-4.50	1.12	0.00	0.00	-3.72	0.80
	IA-BP	-4.45	0.00	0.00	0.00	-3.74	0.27
5	实测值	-6.24	0.00	0.30	0.00	-3.70	0.00
	多元线性回归	-6.06	2.88	0.32	6.67	-3.67	0.81
	PSO-BP	-6.32	1.28	0.32	6.67	-3.70	0.00
	IA-BP	-6.24	0.00	0.30	0.00	-3.70	0.00
6	实测值	-2.97	0.00	-0.13	0.00	-1.00	0.00
	多元线性回归	-2.80	5.72	-0.36	176.92	-1.20	20.00
	PSO-BP	-3.00	1.01	-0.13	0.00	-0.99	1.00
	IA-BP	-2.97	0.00	-0.13	0.00	-0.99	1.00

2 岩体初始地应力场反演分析

2.1 模型建立

为了进一步验证IA-BP算法的优越性，建立一个复杂的三维模型。假设某山体中开挖一条隧道，隧址区内最高海拔2 874 m，最低海拔880 m，相对高差约2 072 m。隧道总长度约12 226 m。三维初始地应力场计算模型的起始边界选在隧道进口处，z轴方向的计算范围为沿z轴从隧道轴线设计高程以下1 000 m一直到自然地形表面，沿x轴方向的计算范围为12 300 m，沿y轴的计算范围为3 100 m。其中，x轴的方向是沿着隧道轴线方向，y轴的方向在水平面内垂直于x轴，z轴的方向竖直向上。假设沿隧道轴线方向隧址区围岩分为Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ级，各岩体力学参数见表3。

表3 岩体力学参数

Table 3 Rock mechanical parameters

围岩等级	重度/（kN·m^-3）	弹性模量/GPa	泊松比
Ⅲ	24	8.0	0.27
Ⅳ	22	3.0	0.33
Ⅴ	19	1.2	0.40

大量工程实践表明，岩体初始地应力场的形成与岩体自重及地质作用有关，基于此，考虑自重作用和水平构造作用对岩体初始地应力场的影响，施加以下初始边界条件：考虑自重修正系数 $V_{1}$ （岩体初始地应力通常受自重及构造应力的影响，为考虑竖向构造应力对地应力的影响，利用自重修正系数来表示竖向构造应力对岩体初始地应力的影响。自重系数一般取值范围为0.8~1.3）；考虑x方向的构造运动，在垂直于x轴方向的两个面施加方向相反、大小为 $V_{2}$ 的均布荷载；考虑y方向的构造运动，在垂直于y轴方向的两个面上施加方向相反，大小均为 $V_{3}$ 的单位均布荷载；考虑x-y平面内的切向构造运动，在垂直于y轴的两个面上施加沿z轴负向逆时针旋转、大小为 $V_{4}$ 的切向均布荷载；考虑x-z平面内的剪切构造运动，在垂直于x轴的两个面上施加沿着y轴正向顺时针旋转、大小为 $V_{5}$ 的切向均布荷载；考虑y-z平面内的剪切构造运动，在垂直于y轴的两个面上施加沿着x轴正向顺时针旋转、大小为 $V_{6}$ 的切向均布荷载。假设 $V_{1} = 1$ MPa、 $V_{2} = 18$ MPa、 $V_{3} = 12$ MPa、 $V_{4} = 3$ MPa、 $V_{5} = 2$ MPa、 $V_{6} = 2.4$ MPa，共模拟了34条断层，忽略岩石节理的影响。计算模型共剖分了268 722个单元、59 020个节点。计算时采用弹性本构模型。隧道三维初始地应力场计算模型及剖分后的网格如图3所示。在初始边界条件构造的应力场中任取4个点作为实测点，计算出对应的6个应力分量（表中负号表示应力的方向与坐标轴正方向相反）作为实测值，实测点的坐标及计算出的6个应力分量值如表4所示。由于是先假定模型的边界条件，进而求得地应力的“实测值”，所以没有考虑测点的应力状态和测点方位，但在实际工程中现场实测的地应力需要考虑测点的应力状态和测点方位。

图3 计算模型网格

Fig. 3 Grid of computational model

表4 实测点坐标及应力分量值

Table 4 Coordinates and stress components of actual measurement points

样本点	坐标	$σ_{x}$ /MPa	$σ_{y}$ /MPa	$σ_{z}$ /MPa	$σ_{x y}$ /MPa	$σ_{y z}$ /MPa	$σ_{x z}$ /MPa
1	（2 500，2 100，1 300）	-7.96	-12.73	-21.11	-0.97	-2.86	-4.31
2	（5 600，1 300，1 800）	-5.79	-14.02	-20.00	-1.30	1.83	0.62
3	（8 200，2 500，1 500）	-4.65	-8.52	-5.14	-1.72	0.47	-0.41
4	（12 000，1 200，800）	-14.54	-11.70	-10.18	-2.08	1.38	0.95

2.2 地应力反演模型构建

1）地应力反演的BP神经网络模型构建

在BP神经网络模型中，BP神经网络隐含层节点数作为神经网络拓扑结构的核心部分，不同隐含层节点数的选取可能会导致训练误差增大，经过不断地试错，确定隐含层节点数为11，选取的BP神经网络结构为24-11-6，如图4所示。其中，输入层和隐含层之间及隐含层与输出层之间分别采用S型正切函数tansig和线性函数purelin，训练函数选用动量梯度下降函数traingdm，训练目标最小误差为0.001，学习速率为0.01。

图4 BP神经网络训练

Fig.4 BP neural network training

2）地应力反演的PSO-BP模型构建

BP神经网络中输入层节点数为24个，输出层节点数为6个，隐含层节点数为11个，则对应的粒子维数为24×11+11+11×6+6=347，对应的粒子群种群数量为100，学习因子c₁=1.8，c₂=1.7，最大迭代次数为1 000次。利用PSO-BP对目标函数的适应度值进行跟踪分析，得出粒子群算法优化目标函数的迭代曲线，如图5所示。

图5 PSO-BP算法迭代曲线

Fig. 5 PSO-BP algorithm iterative curve

3）地应力反演的IA-BP模型构建

免疫算法是一种随机的全局搜索方法，虽然算法本质上具有全局收敛的能力，但对于不同的具体问题，操作算子中相关参数的选取对算法整体性能起着重要的作用^[

15]。BP神经网络输入层、输出层及隐含层的节点个数均已确定，免疫算法中基因个数为347，种群数为60，进化代数为100，交叉概率P_c=0.8，变异概率P_m=0.2，抗体浓度阈值为0.8。

利用IA-BP对目标函数的适应度值进行跟踪分析，得出免疫算法优化目标函数的迭代曲线，如图6所示。

（a）适应度函数迭代曲线

（b）目标函数迭代曲线

图6 IA-BP算法迭代曲线

Fig. 6 IA-BP algorithm iterative curve

2.3 地应力反演过程与结果分析

分别利用多元线性回归算法、PSO-BP算法、IA-BP算法反演和构造应力场。其中，利用IA-BP、PSO-BP算法对隧址区地应力场进行反演时的过程如下：

1）参数取值范围。

假设 $V_{1}$ $\in$ [0.9,1.3]、 $V_{2}$ $\in$ [14.00,18.0]、 $V_{3}$ $\in$ [8.0,12.0]、 $V_{4}$ $\in$ [2.0,4.0]、 $V_{5}$ $\in$ [2.0,4.0]、 $V_{6}$ $\in$ [1.6,2.4]，为了使样本输出值在问题空间中均匀分布，在取值范围内挑选出具有代表性的点，训练样本输出值的数值调整采用正交设计^[

11]。按照

L_{25}

（5^6）进行正交设计，设计样本见表5。

表5 正交设计表

Table 5 Orthogonal test table

样本	L1	L2	L3	L4	L5	L6
1	0.9	14	8	2	2	1.6
2	0.9	15	9	2.5	2.5	1.8
3	0.9	16	10	3	3	2
4	0.9	17	11	3.5	3.5	2.2
5	0.9	18	12	4	4	2.4
6	1	14	9	3	3.5	2.4
7	1	15	10	3.5	4	1.6
8	1	16	11	4	2	1.8
9	1	17	12	2	2.5	2
10	1	18	8	2.5	3	2.2
11	1.1	14	10	4	2.5	2.2
12	1.1	15	11	2	3	2.4
13	1.1	16	12	2.5	3.5	1.6
14	1.1	17	8	3	4	1.8
15	1.1	18	9	3.5	2	2
16	1.2	14	11	2.5	4	2
17	1.2	15	12	3	2	2.2
18	1.2	16	8	3.5	2.5	2.4
19	1.2	17	9	4	3	1.6
20	1.2	18	10	2	3.5	2
21	1.3	14	12	3.5	3	1.8
22	1.3	15	8	4	3.5	2
23	1.3	16	9	2	4	2.2
24	1.3	17	10	2.5	2	2.4
25	1.3	18	11	3	2.5	1.6

2）正分析计算。

将表5中的每一组系数作为边界条件代入comsol有限元计算软件，计算得到测点1、2、3、4的6个应力分量，共24个应力值。

3）BP神经网络训练。将步骤2中计算出的24个应力值及其对应的系数作为训练样本进行训练。其中系数作为输出，24个地应力值作为输入。

4）实测地应力值反演

将现场实测的地应力值作为输入，代入步骤3训练好的神经网络，得到反演参数（见表6）。将反演出来的参数作为边界条件，利用comsol进行计算，得出4个测点的初始地应力值。

表6 IA-BP和PSO-BP的工况系数

Table 6 Result of IA-BP algorithm and PSO-BP algorithm

系数	IA-BP	PSO-BP
L₁	0.94	1.01
L₂	17.02	18.68
L₃	11.96	12.26
L₄	3.00	3.32
L₅	2.00	2.26
L₆	2.40	2.32

将各种算法反演值与实测值相对误差的绝对值作为误差精度的评判标准。经多元线性回归算法、PSO-BP算法、IA-BP算法反演结果及误差如表7所示。

表7 多元回归、IA-BP、PSO-BP与实测数据结果对比

Table 7 Comparison of the results among multiple linear regression,IA-BP,PSO-BP and measured data

实测点	方法	$σ_{x}$ /MPa	相对误差/%	$σ_{y}$ /MPa	相对误差/%	$σ_{z}$ /MPa	相对误差/%	$σ_{x y}$ /MPa	相对误差/%	$σ_{x z}$ /MPa	相对误差/%	$σ_{y z}$ /MPa	相对误差/%
1	实测值	-7.96	0.00	-12.73	0.00	-21.11	0.00	-0.97	0.00	-2.86	0.00	-4.31	0.00
	多元线性回归	-8.34	4.77	-13.77	8.17	-20.91	0.95	-1.69	74.22	-2.90	1.40	-3.74	13.23
	PSO-BP	-8.20	3.02	-13.01	2.20	-21.37	1.23	-1.19	22.68	-2.95	3.15	-4.48	3.94
	IA-BP	-7.68	3.52	-12.75	0.16	-19.78	6.30	-0.97	0.00	-2.75	3.85	-4.24	1.62
2	实测值	-5.79	0.00	-14.02	0.00	-20.00	0.00	-1.30	0.00	1.83	0.00	0.62	0.00
	多元线性回归	-5.28	8.81	-13.69	2.35	-20.11	0.55	-1.55	19.23	1.70	7.10	0.04	93.55
	PSO-BP	-5.93	2.42	-14.40	2.71	-20.17	0.85	-1.46	12.31	1.87	2.19	0.92	48.39
	IA-BP	-5.62	2.94	-14.20	1.28	-18.80	6.00	-1.30	0.00	1.76	3.83	0.58	6.45
3	实测值	-4.65	0.00	-8.52	0.00	-5.14	0.00	-1.72	0.00	0.47	0.00	-0.41	0.00
	多元线性回归	-4.38	5.81	-6.55	23.12	-5.29	2.92	-2.09	21.51	0.48	2.13	0.09	121.95
	PSO-BP	-4.73	1.72	-8.68	1.88	-5.21	1.36	-1.95	13.37	0.43	8.51	-0.41	0.00
	IA-BP	-4.51	3.01	-8.48	0.47	-4.85	5.64	-1.71	0.58	0.42	10.64	-0.38	7.32
4	实测值	-14.54	0.00	-11.70	0.00	-10.18	0.00	-2.08	0.00	1.38	0.00	0.95	0.00
	多元线性回归	-14.22	2.20	-12.49	6.75	-10.02	1.57	-2.11	1.44	1.83	32.61	0.30	68.42
	PSO-BP	-15.06	3.58	-11.99	2.48	-10.31	1.28	-2.30	10.58	1.39	0.72	1.10	15.79
	IA-BP	-13.74	5.50	-11.72	0.17	-9.66	5.11	-2.07	0.48	1.29	6.52	0.95	0.00

由表7、表8可知：

表8 应力分量平均相对误差对比

Table 8 Comparison of mean relative errors ofstress components

方法	$σ_{x}$ /MPa	$σ_{y}$ /MPa	$σ_{z}$ /MPa	$σ_{x y}$ /MPa	$σ_{x z}$ /MPa	$σ_{y z}$ /MPa
多元线性回归	5.40	10.10	1.50	29.1	10.81	118.86
PSO-BP	2.69	2.32	1.18	14.74	3.64	17.03
IA-BP	3.74	0.52	5.76	0.27	6.21	3.85

1）多元线性回归反演结果与实测值之间相对误差的绝对值为0.55%~121.95%，平均相对误差为21.87%，PSO-BP算法反演结果与实测值之间相对误差的绝对值为0%~48.39%，平均相对误差为6.93%，IA-BP算法反演结果与实测值之间相对误差的绝对值为0%~10.64%，平均相对误差为3.39%，IA-BP误差较小。

2）对于 $σ_{x}$ ，多元线性回归算法反演值与实测值之间的相对误差的绝对值为2.20%~8.81%，平均相对误差为5.40%，PSO-BP算法反演值与实测值之间的相对误差的绝对值为1.72%~3.58%，平均相对误差为2.69%，IA-BP算法反演值与实测值之间的相对误差的绝对值为2.94%~5.50%，平均相对误差为3.74%，PSO-BP误差相对较小。

3）对于 $σ_{y}$ ，多元线性回归算法反演值与实测值之间的相对误差的绝对值为2.35%~23.12%，平均相对误差为10.10%，PSO-BP算法反演值与实测值之间的相对误差的绝对值为1.88%~2.71%，平均相对误差为2.32%，IA-BP算法反演值与实测值之间的相对误差的绝对值为0.16%~1.28%，平均相对误差为0.52%，IA-BP误差相对较小。

4）对于 $σ_{z}$ ，多元线性回归算法反演值与实测值之间的相对误差的绝对值为0.55%~2.92%，平均相对误差为1.50%，PSO-BP算法反演值与实测值之间的相对误差的绝对值为0.85%~1.36%，平均相对误差为1.18%，IA-BP算法反演值与实测值之间的相对误差的绝对值为5.11%~6.30%，平均相对误差为5.76%，PSO-BP误差相对较小。

5）对于 $σ_{x y}$ ，多元线性回归算法反演值与实测值之间的相对误差的绝对值为1.44%~74.22%，平均相对误差为29.1%，PSO-BP算法反演值与实测值之间的相对误差的绝对值为10.58%~22.68%，平均相对误差为14.74%，IA-BP算法反演值与实测值之间的相对误差的绝对值为0%~0.58%，平均相对误差为0.27%，IA-BP误差相对较小。

6）对于 $σ_{x z}$ ，多元线性回归算法反演值与实测值之间的相对误差的绝对值为1.40%~32.61%，平均相对误差为10.81%，PSO-BP算法反演值与实测值之间的相对误差的绝对值为0.72%~8.51%，平均相对误差为3.64%，IA-BP算法反演值与实测值之间的相对误差的绝对值为3.83%~10.64%，平均相对误差为6.21%，PSO-BP误差相对较小。

7）对于 $σ_{y z}$ ，多元线性回归算法反演值与实测值之间的相对误差的绝对值为13.23%~121.95%，平均相对误差为118.86%，PSO-BP算法反演值与实测值相对误差之间的绝对值为0%~48.39%，平均相对误差为17.03%，IA-BP算法反演值与实测值之间的相对误差的绝对值为0%~7.32%，平均相对误差为3.85%，IA-BP误差相对较小。对比可知，对于正应力，PSO-BP算法误差较小；对于切应力，IA-BP算法误差较小。对各个应力分量的整体误差，IA-BP误差小于PSO-BP算法。

选取x轴5 500 m处的截面来对比不同算法的应力云图分布情况。图7~图9为不同反演算法的应力云图分布。从图7可以看出，对于 $σ_{x}$ ，PSO-BP算法应力分布云图和IA-BP应力分布云图与实际应力云图分布最为相似，计算值与实测值也较为接近，但PSO-BP算法计算值更接近实测值；从图8可以看出，对于 $σ_{y}$ ，PSO-BP算法应力分布云图和IA-BP应力分布云图与实际应力云图分布相似，PSO-BP算法应力分布云图与实际最为接近，PSO-BP算法计算最大应力值与实际值最为接近，而IA-BP算法计算最小应力值最为接近；从图9可以看出，对于 $σ_{z}$ ，PSO-BP算法应力分布云图和IA-BP应力分布云图与实际应力云图分布最为相似，PSO-BP算法计算值与实际值最为接近。对于不同算法反演误差的精度与表7分析结果一样。从整体来看，PSO-BP算法的精度在正应力值的反演结果上要高于IA-BP算法，IA-BP算法的精度在切应力值的反演结果上要高于PSO-BP算法。

（a）初始应力

（b）多元线性回归

（c） PSO-BP算法

（d） IA-BP算法

图7 不同算法x方向应力分布云图

Fig. 7 Stress contours in x axis from different inverse calculation methods

（a）初始应力

（b）多元线性回归

（c） PSO-BP算法

（d） IA-BP算法

图8 不同算法y方向应力分布云图

Fig. 8 Stress contours in y axis from different inverse calculation methods

（a）初始应力

（b）多元线性回归

（c） PSO-BP算法

（d） IA-BP算法

图9 不同算法z方向应力分布云图

Fig. 9 Stress contours in z axis from different inverse calculation methods

3 结论

利用免疫算法全局寻优的能力及BP神经网络局部优化的特点，将IA-BP混合算法引入到岩土工程反分析之中，建立基于IA-BP智能算法的初始地应力场的反演方法。对初始地应力分别利用多元线性回归算法、PSO-BP神经网络算法、IA-BP神经网络算法进行反演，对于6个应力分量，IA-BP算法反演结果与实测值最为接近。对于正应力，PSO-BP算法精度比IA-BP高，对于切应力，IA-BP算法误差比PSO-BP算法小。可用于实际工程中对非线性岩体的初始地应力场反演研究，对地下工程的建设及地质灾害的防治具有一定参考价值。

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样本	L1	L2	L3	L4	L5	L6
1	0.9	14	8	2	2	1.6
2	0.9	15	9	2.5	2.5	1.8
3	0.9	16	10	3	3	2
4	0.9	17	11	3.5	3.5	2.2
5	0.9	18	12	4	4	2.4
6	1	14	9	3	3.5	2.4
7	1	15	10	3.5	4	1.6
8	1	16	11	4	2	1.8
9	1	17	12	2	2.5	2
10	1	18	8	2.5	3	2.2
11	1.1	14	10	4	2.5	2.2
12	1.1	15	11	2	3	2.4
13	1.1	16	12	2.5	3.5	1.6
14	1.1	17	8	3	4	1.8
15	1.1	18	9	3.5	2	2
16	1.2	14	11	2.5	4	2
17	1.2	15	12	3	2	2.2
18	1.2	16	8	3.5	2.5	2.4
19	1.2	17	9	4	3	1.6
20	1.2	18	10	2	3.5	2
21	1.3	14	12	3.5	3	1.8
22	1.3	15	8	4	3.5	2
23	1.3	16	9	2	4	2.2
24	1.3	17	10	2.5	2	2.4
25	1.3	18	11	3	2.5	1.6

样本	L1	L2	L3	L4	L5	L6
1	0.9	14	8	2	2	1.6
2	0.9	15	9	2.5	2.5	1.8
3	0.9	16	10	3	3	2
4	0.9	17	11	3.5	3.5	2.2
5	0.9	18	12	4	4	2.4
6	1	14	9	3	3.5	2.4
7	1	15	10	3.5	4	1.6
8	1	16	11	4	2	1.8
9	1	17	12	2	2.5	2
10	1	18	8	2.5	3	2.2
11	1.1	14	10	4	2.5	2.2
12	1.1	15	11	2	3	2.4
13	1.1	16	12	2.5	3.5	1.6
14	1.1	17	8	3	4	1.8
15	1.1	18	9	3.5	2	2
16	1.2	14	11	2.5	4	2
17	1.2	15	12	3	2	2.2
18	1.2	16	8	3.5	2.5	2.4
19	1.2	17	9	4	3	1.6
20	1.2	18	10	2	3.5	2
21	1.3	14	12	3.5	3	1.8
22	1.3	15	8	4	3.5	2
23	1.3	16	9	2	4	2.2
24	1.3	17	10	2.5	2	2.4
25	1.3	18	11	3	2.5	1.6

样本	L1	L2	L3	L4	L5	L6
1	0.9	14	8	2	2	1.6
2	0.9	15	9	2.5	2.5	1.8
3	0.9	16	10	3	3	2
4	0.9	17	11	3.5	3.5	2.2
5	0.9	18	12	4	4	2.4
6	1	14	9	3	3.5	2.4
7	1	15	10	3.5	4	1.6
8	1	16	11	4	2	1.8
9	1	17	12	2	2.5	2
10	1	18	8	2.5	3	2.2
11	1.1	14	10	4	2.5	2.2
12	1.1	15	11	2	3	2.4
13	1.1	16	12	2.5	3.5	1.6
14	1.1	17	8	3	4	1.8
15	1.1	18	9	3.5	2	2
16	1.2	14	11	2.5	4	2
17	1.2	15	12	3	2	2.2
18	1.2	16	8	3.5	2.5	2.4
19	1.2	17	9	4	3	1.6
20	1.2	18	10	2	3.5	2
21	1.3	14	12	3.5	3	1.8
22	1.3	15	8	4	3.5	2
23	1.3	16	9	2	4	2.2
24	1.3	17	10	2.5	2	2.4
25	1.3	18	11	3	2.5	1.6