基于小波变换的<bold>GASVM</bold>-<bold>ARMA</bold>模型在深基坑变形预测中的应用

牛帅星，李庶林，刘胤池，安树正，黄玉仁; NIU Shuaixing; LI Shulin; LIU Yinchi; AN Shuzheng; HUANG Yuren

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基于小波变换的GASVM-ARMA模型在深基坑变形预测中的应用 PDF

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李庶林 ¹
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黄玉仁 ^1,2

1. 厦门大学建筑与土木工程学院，福建厦门 361005； 2. 中铁二十四局集团福建公司，福州 350013

中图分类号： TU433

最近更新：2023-04-17

DOI：10.11835/j.issn.2096-6717.2021.092

摘要

为了提高深基坑施工过程中变形预测的准确度，提出一种基于小波变换分解与重构、采用遗传算法优化参数的支持向量机（GASVM）和自回归滑动平均（ARMA）模型相结合的组合模型预测方法。使用GASVM模型对小波分解后的趋势项进行一步预测和多步滚动预测，使用ARMA模型相应地对随机项进行预测，将预测值求和得到最终预测结果。以某地铁车站深基坑为案例，对3个监测点的支护桩深层水平位移进行预测分析，得到其一步预测的短期预测值和多步滚动预测的中长期预测值，并与单一采用GASVM模型得到的预测值进行对比。结果表明：组合模型有效减小了预测误差，在短期和中长期预测中均取得令人满意的结果。

关键词

时间序列预测; 深基坑变形; 小波变换; 支持向量机; 遗传算法; 自回归滑动平均模型

地铁工程施工一般位于城市的中心地带，其周边高层建筑物、地下管线、地面交通道路等环境纷繁复杂，给地铁工程基坑开挖提出了极高的要求。对基坑开挖过程中产生的监测信息进行有效的分析和预测，能够及时调整基坑支护参数，优化施工方案和合理安排工程进度，从而有效保障施工安全。因此，建立反映基坑开挖过程中周围土体及围护桩深层水平位移、地面沉降及坑底隆起、相邻建（构）筑物及地下管线的侧移、沉降或倾斜等的确定性基坑变形预测模型显得尤为重要。

常用的基坑变形预测模型有灰色模型、小波分析、BP神经网络算法、支持向量机（SVM）、自回归滑动平均（ARMA）模型等，这些单一模型^[

1-5]或者组合模型^{[参考文献 6-9}6-9]通常都有各自的适用性和局限性，例如，胡冬等^{[参考文献 1

百度学术}1]利用灰色系统理论对基坑变形数据建立GM（1，1）预测模型，对基坑的短期变形做出了较好的预测，但对于长期预测的效果不佳。郭健等^{[参考文献 2

百度学术}2]将小波变换与Elman神经网络耦合方法相结合，建立了WEPM预测模型，对基坑变形数据的预测取得了较好的结果，但其模型仅适用于对现有数据的超前一步预测。王晶晶等^{[参考文献 3

百度学术}3]将趋势函数回归模型和ARMA模型分别应用于沉降监测序列的趋势项和随机项中，克服了ARIMA模型在长期预测中精度较差的缺点，但其方法仅对于增长较为平稳的建筑沉降序列预测效果较好，存在一定的局限性。石祥锋等^{[参考文献 6

百度学术}6]利用遗传算法对SVM的参数进行寻优，建立了GA-SVM模型并对基坑地面沉降进行了预测，提高了单一SVM模型的预测精度和收敛速度，但其方法同样仅应用于一步预测中，在多步滚动预测中的适用性有待验证。李思慧等^{[参考文献 7

百度学术}7]通过LMD分解出基坑变形波动性、随机性和变形趋势特征的分量，建立了LMD-PSO-LSSVM组合模型来改善PSO-LSSVM模型的预测误差和拟合泛化能力，其缺点在于模型复杂度较高，导致运行速度变慢。

笔者从基坑变形原始数据的小波分解和重构出发，结合支持向量机（SVM）方法和自回归滑动平均（ARMA）模型建立组合预测方法和模型，将基坑变形原始数据的趋势项和随机项加以区分，分别做出分析预测，结合一步预测和多步滚动预测方法，获得基坑变形的短期预测值和中长期预测值，并将组合模型应用于基坑支护桩深层水平位移的预测中，探讨其在基坑施工变形预测中的应用。

1 基于小波变换的GASVM-ARMA模型

1.1 基本理论

1.1.1 小波变换

小波的定义为：设 $ψ (t)$ 为一平方可积函数，即 $ψ (t) \in L^{2} (R)$ ，若它的傅里叶变换 $_{φ}^{A} (t)$ 满足容许前提

C_{w} = {\int_{- \infty}^{+ \infty} |_{φ}^{A} (w)|}^{2} 2 w^{- 1} d w < \infty

（1）

则把 $ψ (t)$ 称作小波母函数。此时，再对小波 $ψ (t)$ 做伸缩和平移就能得到一个小波基函数集合 $\{ψ_{a, b} (t)\}$ 。

ψ_{a, b} (t) = | a |^{- \frac{1}{2}} ψ (\frac{t - b}{a}) a, b \in R, a \neq 0

（2）

式中： $a$ 为尺度因子； $b$ 为平移因子。小波变换的本质是把原信号 $f (t)$ 在 $t = b$ 按 $ψ_{a, b}$ 进行加权平均来表现 $f (t)$ 在 $t = b$ 周围随分析而表现的变化，即

w_{f} (b, a) = \int f (x) ψ_{a, b} (t) d t

（3）

通过小波变换可将基坑变形原始监测数据分解成若干层高频和低频信息，以高频信息为误差信息，低频信息为有用信息。将基坑变形噪声模型表示为

s (n) = f (n) + σ \cdot e (n)

（4）

式中： $s (n)$ 为原始监测数据； $f (n)$ 为趋势项； $σ$ 为噪声水平； $e (n)$ 为误差信息； $n$ 为等间隔的时间。

对不同小波基函数分解重构结果进行对比后，最终选用db4正交小波对监测数据进行3层分解^[

10]。

1.1.2 支持向量机（SVM）

支持向量机（SVM）方法^[

11-12]是通过选用映射核函数将输入的非线性原空间变换到一个高维特征空间，构造出最优超平面。对于训练样本集（x_i，y_i）=1，2，3…l，

x_{i} \in R^{n}, y_{i} \in R

，引入非线性变换

ϕ (x)

，将数据集映射到高维特征空间中进行线性回归，其回归方程可表示为

f (x) = w ϕ (x) + b

（5）

上述函数回归问题可以转换为求解式（6）的最小值问题。

R (f) = \frac{1}{2} ‖ w ‖^{2} + C \frac{1}{l} \sum_{i = 1}^{l} L_{ε} (y_{i}, f (x_{i}))

（6）

式中： $C$ 称为惩罚因子； $ε$ 为损失函数。综合考虑拟合误差，引入松弛变量 $ξ_{i}$ 和 $ξ_{i}^{•}$ ，使优化目标为

m i n [\frac{1}{2} ‖ w ‖^{2} + C \sum_{i = 1}^{l} (ξ_{i} + ξ_{i}^{\cdot})]

s . t . \{\begin{array}{l} y_{i} - w ϕ (x_{i}) - b \leq ε + ξ_{i} \\ w ϕ (x_{i}) + b - y_{i} \leq ε + ξ_{i}^{\cdot} \\ ξ_{i}, ξ_{i}^{\cdot} \geq 0 (i = 1,2 \dots l) \end{array}

（7）

为了求解式（7）的最优解，引入拉格朗日函数，求Lagrange因子 $a_{i}$ 、 $a_{i}^{*}$ 的最大目标函数

\begin{array}{l} W (a, a^{*}) = - \frac{1}{2} \sum_{i, j}^{k} (a_{i}^{*} - a_{i}) (a_{j}^{*} - a_{j}) (x_{i} \cdot x_{j}) + \\ \sum_{i = 1}^{k} y_{i} (a_{i}^{*} - a_{i}) - ε \sum_{i = 1}^{k} (a_{i}^{*} + a_{i}) \end{array}

s . t . \sum_{i = 1}^{n} (a_{i} - a_{i}^{*}) = 0 (0 \leq a_{i}, a_{i}^{*} \leq C, i = 1,2 \dots n)

（8）

最终得到的回归函数为

f (x) = \sum_{i = 1}^{l} (a_{i} - a_{i}^{*}) k (x_{i}, x) + b

（9）

式中： $k (x_{i}, x) = φ (x_{i}) φ (x_{j})$ ，是SVM的核函数。

支持向量机SVM常用的核函数有多种。高斯径向基核函数（RBF）具有能够较好地实现非线性映射、参数数量少、数值计算难度较小等优点^[

13]。因此，选用RBF核函数。

SVM的预测结果对惩罚参数 $C$ 、核函数参数g有高度敏感性，传统的参数选择多数依靠经验，这种方法耗时长且不一定最优。采用遗传算法^[

14]（Genetic Algorithm，GA）对SVM的

C

和g进行优化，寻找最优参数。其主要步骤为：1）对每个个体进行初始编码；2）由指定的适应度函数对个体适应环境的能力进行评价，根据个体的适应度值和选择原则选择进入下一代个体；3）令当前一代种群产生交叉、变异，产生下一代群体；4）若满足停止条件，停止运算，解码得到最优解，若不满足条件，转到2）重新迭代。最终到达或接近最优解。

1.1.3 自回归滑动平均（ARMA）模型

自回归滑动平均（ARMA）模型^[

15-17]的基本思路为：将某一具有特定变化规律的时间序列通过如下数学模型的形式近似表示，即可根据时间序列的过去值预测其未来的变化趋势，即对于时间序列

{x_{t}} (t = 1,2 \dots n)

，其自回归滑动平均模型ARMA(p, q)可以表示为

\begin{array}{l} X_{t} = φ_{1} X_{t - 1} + φ_{2} X_{t - 2} + \dots + φ_{p} X_{t - p} + \\ a_{t} - θ_{1} a_{t - 1} + θ_{2} a_{t - 2} + \dots + θ_{q} a_{t - q} \end{array}

（10）

式中： $φ_{1}$ ， $φ_{2}$ … $φ_{p}$ 为自回归系数； $θ_{1}$ ， $θ_{2}$ … $θ_{q}$ 为滑动平均系数；p、q为系数的阶数； $a_{t}$ ， $a_{t - 1}$ … $a_{t - q}$ 为互相独立的白噪声序列。如果原序列非平稳，经过d阶逐期差分后平稳，则原序列可表示为ARIMA(p, d, q)模型。

1.2 基于小波变换的GASVM-ARMA模型的建立

1.2.1 数据预处理

在基坑施工监测过程中，监测频率往往随施工进度的变化而改变，导致基坑监测数据并非等时距。应当对基坑监测数据进行等时距处理，以提高变形预测的准确性。对原始监测数据进行分段线性插值，插值后连续两次监测数据的时间间隔为2 d。

采用db4正交小波将插值变形数据进行3层分解，重构形成一个较为平滑的趋势时间序列和3个随机时间序列。其中，趋势时间序列反映了基坑施工过程中的力学演变特征，随机时间序列即为过滤出的无序杂波。

1.2.2 趋势时间序列的GASVM预测

针对趋势时间序列，采用GA对SVM参数 $C$ 和g进行寻优，建立GASVM时间序列预测模型，对插值变形数据的时间序列进行训练，寻找时间序列的变化规律F，通过F求出时间序列下一个时间点的变形数据^[

18]。在预测过程中采用两种预测方法分别得到一步预测和多步滚动预测的预测结果。假设对时间序列

{x_{t}}

进行预测，目前，已获得前n个变形监测数据，p为最优学习样本数，采用

{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n - 1}, x_{n}}

作为训练集样本，其对应的特征向量为

{X_{1}, X_{2} \dots X_{n - 1}, X_{n}}

，其中

X_{i} = {x_{i - p - 1}, x_{i - p} \dots x_{i - 2}, x_{i - 1}}^{T}

(i = 1,2, 3 \dots n)

（当

i - p - 1 < 1

时，取

x_{1}

的值）。通过SVM回归预测得到下一个时间点

x_{i + 1}

的预测值。其中，一步预测方法旨在充分利用最新变形监测数据，在得到最新时刻的变形监测数据后，将其用于下一时间点预测训练样本中，从而实现对基坑变形数据的短期预测；多步滚动预测方法旨在根据前期训练数据，预测未来一段时间内的基坑变形特征，将前一步的预测值作为下一步的监测数据进行滚动预测，并以此类推。通过一步预测或多步滚动预测即可得到对于趋势时间序列的预测值。

1.2.3 随机时间序列的ARMA模型预测

为了提高预测的准确性，减少基坑变形原始数据中有用信息的丢失，针对随机时间序列，利用ARMA模型的一步预测方法和多步滚动预测方法得到其预测值。模型建立具体步骤为：通过小波变换后的随机时间序列均为平稳序列，不需要进行差分处理，可直接采用ARMA模型；通过随机时间序列的自相关和偏相关性图来初步判断模型的阶数p和q的可能取值，初选模型ARMA(p, q)；估计模型的参数并检验（包括参数的显著性检验和残差的随机性检验），然后判断所建模型是否可取；利用所取参数所建立的模型，对样本时间序列进行预测。其一步预测和多步滚动预测的实现方式同趋势时间序列相似。

最后，将趋势时间序列预测值和随机时间序列预测值求和，作为该处变形数据的预测结果。基于小波变换的GASVM-ARMA模型具体流程如图1所示。

图1 基于小波变换的GASVM-ARMA 模型流程图

Fig. 1 The flow chart of GASVM-ARMA model based on wavelet transform

2 工程实例分析

对厦门地铁3号线某地铁车站施工基坑的深层水平位移进行预测分析。该车站为地下两层岛式车站，全长196 m，标准基坑宽度19.7 m，车站埋深3.6 m，开挖深度20 m，属深基坑工程，围护结构采用围护桩+内支撑体系^[

19]。由于项目工程场地周边存在民房且地下管网繁杂，为确保基坑施工的顺利进行和周边建筑物的安全，在基坑施工过程中对基坑周围的地面沉降和位移进行了实时监测。

深基坑在开挖过程中的深层水平位移信息能够很好地反映出基坑开挖和支护设置对于基坑及其周边建筑物的影响，在深层水平位移超过预警值时及时调整施工方案是基坑安全施工中必不可少的环节。项目共设置12个围护桩深层水平位移监测点。在各监测点中，基坑南北两侧长边正中心测点ZQT-9与测点ZQT-3、东西两侧测点ZQT-6与测点ZQT-12变形较大。其中，测点ZQT-9与测点ZQT-3检测数据变化趋势较为相似，以南侧测点ZQT-9为例进行预测分析。基坑西侧测点ZQT-12在部分深度的水平位移累计变化值超过了预警值30 mm，故作为典型监测点进行分析，与其对应的东侧测点ZQT-6同样作为对照分析。各监测点的布局如图2所示。

图2 监测点平面布置图

Fig. 2 Layout plan of monitoring points

以测点ZQT-9对应11 m测试深度的实测数据为例说明其预测方法。选取2017-12-24至2018-09-21基坑开挖和主体结构施工阶段的监测数据进行分析。首先，对该阶段数据进行分段线性插值处理，在满足等时距要求的同时，充分保证原数据序列的变形规律。插值后连续两次监测数据的时间间隔为2 d，最终得到90组监测数据。将前80组数据作为训练集，后10组数据作为测试集。首先，利用db4正交小波对前80组数据进行3层分解，得到趋势时间序列 $a_{3}$ 和随机时间序列 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ 、 $d_{3}$ 。对于趋势时间序列 $a_{3}$ ，取紧邻每组数据的前面10组作为该组数据的训练集标签，建立GASVM训练模型，利用所建立起的训练模型对第81~90组数据进行一步预测和多步滚动预测，得到趋势时间序列的预测值。对于随机时间序列 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ 、 $d_{3}$ ，相应地利用ARMA模型进行一步预测和多步滚动预测。最后将预测得到的趋势时间序列和3个随机时间序列相叠加，作为最终的预测结果，并与测试集基坑变形真实数据进行对比。测点ZQT-9插值后的时间序列以及db正交小波分解后的趋势时间序列和随机时间序列如图3所示。

图3 插值时间序列曲线和db4正交小波分解后的时间序列曲线

Fig. 3 Interpolation time series curve and time series curve decomposed by db4 orthogonal wavelet

采用GASVM训练模型对趋势时间序列 $a_{3}$ 进行训练，遗传算法优化的初始参数设置为：种群规模为30， $C$ 和g的取值范围分别为[0,100]和[0,1 000]，算法停止条件为适应度函数值 $< 10^{- 4}$ ，最大进化代数取200。经GASVM模型优化后，得到最佳惩罚因子 $C = 9.970 4$ ，RBF核函数参数g的最佳值 $g = 3.143 3$ 。利用最佳参数 $C$ 和g对SVM进行训练，然后分别对训练集和测试集数据进行回归预测。图4为80个训练集数据和其回归预测数据的对比图，其中，决定系数 $R^{2} = 0.999 65$ ，最小均方差 $M S E = 0.009 840 8$ 。图5为预测结果的相对误差分布（由于取紧邻每组数据的前面10组作为该组数据的训练集标签，故前10组数据预测值无意义），相对误差主要分布在 $- 2 % ~ 2 %$ 之间。可以看出，GASVM模型对训练集数据具有较好的拟合性。

图4 训练集预测结果对比

Fig. 4 Comparison of training set prediction results

图5 误差可视图

Fig. 5 The view of error

利用所建立的GASVM训练模型对趋势时间序列 $a_{3}$ 的第81~90组数据进行一步预测和多步滚动预测，预测结果列于表1中。对于随机时间序列 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ 、 $d_{3}$ ，利用ARMA模型进行动态预测，得到相应的预测值。其中，确定 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ 、 $d_{3}$ 的预测模型分别为ARMA(5,1)、ARMA(4,1)、ARMA(2,1)。

表1 趋势时间序列

a_{3}

测试集真实值与预测值比较

Table 1 Comparison of the true value and the predicted value of the test set of the trend time series

a_{3}

时间序列	真实值/mm	一步预测/mm	一步预测相对误差/%	多步预测/mm	多步预测相对误差/%
81	14.354	14.418	0.45	14.180	-1.21
82	14.389	14.439	0.35	14.149	-1.67
83	14.429	14.463	0.24	14.124	-2.11
84	14.474	14.491	0.12	14.129	-2.38
85	14.524	14.518	-0.04	14.121	-2.78
86	14.581	14.547	-0.23	14.074	-3.47
87	14.621	14.579	-0.29	14.052	-3.89
88	14.642	14.605	-0.26	14.049	-4.05
89	14.658	14.624	-0.23	14.092	-3.86
90	14.662	14.639	-0.16	14.037	-4.26

最后，将趋势时间序列和3个随机时间序列的预测结果求和，作为测点ZQT-9最终的预测结果，见表2（一步预测水平位移1、相对误差1、多步预测水平位移1、相对误差2）。为验证基于小波变换的GASVM-ARMA模型的预测效果，采用GASVM模型直接对原始值的插值时间序列进行回归预测，并将其预测结果列于表2（一步预测水平位移2、相对误差3、多步预测水平位移2、相对误差4）。

表2 监测点ZQT-9深层水平位移实测值与预测值比较

Table 2 Comparison of measured and predicted values of deep horizontal displacement of monitoring point ZQT-9

时间序列	实测水平位移/mm	一步预测水平位移1/mm	相对误差1/%	多步预测水平位移1/mm	相对误差2/%	一步预测水平位移2/mm	相对误差3/%	多步预测水平位移2/mm	相对误差4/%
81	14.550	14.616	0.45	14.378	-1.18	14.298	-1.73	14.354	-1.35
82	14.760	14.641	-0.81	14.351	-2.77	14.418	-2.32	14.308	-3.06
83	14.320	14.417	0.67	14.078	-1.69	14.312	-0.06	14.453	0.93
84	14.320	14.297	-0.16	13.935	-2.69	14.522	1.41	14.251	-0.48
85	14.330	14.147	-1.28	13.749	-4.06	14.428	0.68	14.482	1.06
86	14.010	14.127	0.83	13.654	-2.54	14.379	2.63	14.400	2.78
87	15.040	14.864	-1.17	14.337	-4.67	14.398	-4.27	14.330	-4.72
88	14.560	14.571	0.08	14.015	-3.74	14.364	-1.35	14.420	-0.96
89	15.070	15.109	0.26	14.577	-3.27	14.656	-2.75	14.453	-4.10
90	14.560	14.501	-0.41	13.899	-4.54	14.242	-2.19	14.453	-0.73

由表2可知，采用组合模型一步预测结果的决定系数 $R^{2} = 0.888 16$ ，平均相对误差为 $- 0.15 %$ ，取得了令人满意的预测效果；多步滚动预测的结果稍差于一步预测的结果，其平均相对误差为 $- 3.02 %$ ，同样具有很高的参考价值。从图6可以看出，采用组合模型的深层水平位移一步预测和多步滚动预测结果的变化率与实测值走势相同；与之相比，采用GASVM模型的深层水平位移预测值虽然与实测值的误差能够保持在容许范围内，但其走势与实测值相差甚远。可见，相较于GASVM模型，采用基于小波变换的GASVM-ARMA组合模型对基坑深层水平位移的预测取得了较好的结果。

图6 监测点ZQT-9深层水平位移实测值与不同预测模型和方法的预测值比较

Fig. 6 Comparison of the measured value of the deep horizontal displacement of the monitoring point ZQT-9 with the predicted value of different prediction models and methods

将该方法应用于监测点ZQT-6和监测点ZQT-12，其预测结果见图7。从以上两个监测点的预测结果可以看出，采用组合模型的一步预测能够有效预测下一个时间节点处基坑深层水平位移的变形值，其相对误差平均值分别为 $0.24 %$ 和 $- 1.70 %$ ，决定系数 $R^{2}$ 分别为0.671 40和0.700 35。相对于实测值，采用该组合模型的多步滚动预测结果偏差略大，且随着时间序列的推移，误差逐步扩大，出现这一现象的原因主要在于多步滚动预测将前一步的预测值作为下一步的监测数据，导致其误差也被滚动放大，其相对误差平均值分别为 $7.14 %$ 和 $- 9.54 %$ 。且由于该组合模型采用小波变换将深层水平位移数据的趋势项和随机项分别进行预测，使得多步滚动预测结果的变化率也与实测值具有相似的走势，即能够有效预测未来中长期时间内深层水平位移的走势，这对于基坑变形的监测预警具有十分重要的参考意义。

（a）监测点ZQT-6

（b）监测点ZQT-12

图7 不同监测点的深层水平位移实测值与不同预测模型和方法的预测值比较

Fig. 7 Comparison of the measured values of deep horizontal displacement at different monitoring points with the predicted values of different prediction models and methods

3 结论

提出一种基坑深层水平位移时间序列的预测方法，采用小波变换将原始时间序列分解，采用遗传算法优化参数的SVM模型预测其趋势项、ARMA模型预测其随机项，最后叠加产生最终的预测结果。得到以下主要结论：

1）将基坑变形数据的趋势项和随机项分别进行预测，相对平滑的趋势项序列能够有效提高SVM模型的学习和预测效率，将一步预测误差控制在 $\pm 2 %$ 左右。同时，利用ARMA模型对平稳序列预测的优势，对随机项进行预测，减少基坑变形原始数据中有用信息的丢失，从而达到更好的预测效果。

2）将组合模型应用于厦门地铁某车站基坑3个监测点的深层水平位移预测，分别采用一步预测和多步滚动预测方法，得到其短期预测值和中长期预测值，其中一步预测的相对误差平均值分别为 $- 0.15 %$ 、 $0.24 %$ 、 $- 1.70 %$ ，多步滚动预测的相对误差平均值分别为 $- 3.02 %$ 、 $7.14 %$ 、 $- 9.54 %$ ，模型取得了良好的预测效果。

3）将组合模型的预测结果与采用单一GASVM模型的预测结果相对比，该方法显著提高了GASVM模型预测的准确性，尤其是在基坑深层水平位移的中长期预测中，该组合模型能够更好地模拟其未来发展趋势，且相对误差平均值控制在10%以内，给深基坑的监测和预警提供了可靠的依据，具有良好的工程应用价值。

参考文献

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