网刊加载中。。。

使用Chrome浏览器效果最佳,继续浏览,你可能不会看到最佳的展示效果,

确定继续浏览么?

复制成功,请在其他浏览器进行阅读

基于AK-FORM方法和降维方法的高效时变可靠度分析方法  PDF

  • 张亮 1
  • 唐亚可 1
  • 牛凯 1
  • 李昊宇 2
  • 余书君 2
1. 国网河南省电力公司经济技术研究院,郑州 450052; 2. 重庆大学 土木工程学院,重庆 400045

中图分类号: TB114.3TU318

最近更新:2025-05-13

DOI:10.11835/j.issn.2096-6717.2023.125

  • 全文
  • 图表
  • 参考文献
  • 作者
  • 出版信息
EN
目录contents

摘要

PHI2方法是进行结构时变可靠度分析的常用方法,而跨越率的求解是该方法的关键,为达到足够精度往往需要计算大量时刻处的跨越率,然而,对于具有复杂极限状态面的实际问题,计算每个时刻的跨越率可能非常耗时。为进一步提高PHI2方法的效率,引入3种策略改进跨越率的计算效率:首先,采用无Cholesky分解策略以减少随机变量数目,并给出与之对应的相关系数计算方法;其次,引入基于主动学习Kriging模型的改进一次可靠度(AK-FORM)方法,以高效计算各时刻的可靠指标;最后,利用降维方法将二维积分转化为一维积分,以改善计算性能。将上述3种改进策略与PHI2方法相结合,形成基于AK-FORM方法和降维方法的高效时变可靠度分析方法,即K-PHI2方法。与此同时,仅将无Cholesky分解策略与PHI2方法结合,形成PHI2-方法。数值算例和工程算例计算结果表明:提出的PHI2-、K-PHI2方法与PHI2方法一样具有高准确性,在精度上均优于PHI2+方法(一种基于PHI2的改进方法);相较于PHI2、PHI2+方法,PHI2-方法在效率上有一定提升,而K-PHI2方法在此基础上进一步提高了时变可靠度分析效率。

结构可靠度分析旨在通过考虑结构或荷载的随机性确定结构在规定时间内的失效概率。传统的结构可靠度分[

1-2]一般认为结构的模型特性与服役环境不随时间而变化。实际上,结构在服役期间的几何形状、材料性能等特性会随时间而退化,所受荷载亦随时间而变[3-6],对结构进行时变可靠度分析才能评估其真实状态。目前,基于首次超越破坏准则的时变可靠度分析方法主要分为两[7-9]:一种是基于极值的方法,另一种是基于跨越率的方法。

基于极值的方法基本思路是根据极限状态函数极值的概率特征获得失效概率,从而将时变问题转化为时不变问[

10]。蒙特卡洛模拟(MCS)方法是一种典型的基于极值的时变可靠度方法,该方法简单且精确,但在实际应用中需消耗大量计算资[11]。为提高对可靠度问题的分析效率,研究者们提出了两种改进思路:一种是对采样方法进行改进,如引入重要性采样方[12]和子集模拟方[13]等,但这种方法在处理小失效概率事件时仍不可避免地需要大量样本以达到较高精度;另一种是近似处理极限状态函数极值的概率分布,如引入概率密度演化方[14]和代理模型方[2,15-16]等。其中,Kriging代理模型因具有同时提供预测点期望和标准差的特性而被广泛应用。考虑到基于一次性抽样的普通Kriging方法无法保证训练样本的有效性,将Kriging模型和高效的主动学习策略相结合的AK类方[15-17]近年成为研究热点。将AK方法与一次可靠度方法(FORM)相结合的AK-FORM方[17]在保证精度的同时有效提高了FORM方法的效率,是一种具有发展前景的可靠度分析方法。

基于跨越率的方法基本思路是基于泊松过程、马尔可夫过程等假设,利用数值积分方法将任意离散时刻极限状态函数的跨越率映射为失效概率。跨越率最早由Rice[

18]提出,但其概念难以应用于实际。随后,研究者们通过引入首次超越公式求解方法和基于跨越事件发生服从泊松过程假设的解析方法等,拓宽了跨越率模型的应用范围。近年来,PHI2方[19]成为了一种被广泛应用的时变可靠度分析方法,该方法将跨越率的计算转换为并联的静态问题,从而实现了跨越率的高效求解。为达到足够的计算精度,PHI2方法会将时间周期以较小的时间增量进行离散化,即需要计算大量时刻处的跨越率。显然,跨越率的求解效率是影响PHI2方法效率的关键因素,而跨越率的求解主要涉及到相关系数计算、相邻时刻处的可靠指标计算以及二维积分计算。在处理极限状态面很复杂的实际工程问题时,单次跨越率的求解效率有待提高。为提升PHI2方法的效率,研究者们提出了PHI2+[20]、EPHI2[11]等方法,但这些方法大多仅从某一方面改进了跨越率的计算效率,并且有可能获得不准确的可靠度评估结果。

笔者从3个方面改进PHI2方法,形成一种高效的时变可靠度分析方法。首先,采用无Cholesky分解的策略来减少可靠指标求解过程中的随机变量数目,然后采用基于主动学习Kriging模型的改进一次可靠度(AK-FORM)方法来计算各时刻的可靠指标,再利用降维方法将二维积分转化为一维积分,从而完成跨越率的计算。最后通过数值算例和工程算例验证建议方法的精度和效率。

1 时变可靠度分析的PHI2方法

1.1 PHI2方法的原理

假设结构时变可靠度问题的极限状态方程为 Zt=GX,Y(t),t (1)

式中:X={X1,X2Xn-1}Tn-1维随机变量向量;Yt)为一维随机过程。

基于跨越事件的方法是计算时变可靠性问题最常用的方法之一,将时间周期[0,t]内跨越事件的数量定义为N+(0,t),结构在时间周期[0,t]内的累计失效概率可表示[

19-20]

Pf,c(0,t)=Prτ0,tZ00N+(0,t)>0 (2)

式(2)可知,Pf,c(0,t)的上界[

21]

Pf,c(0,t)Pf,i(0)+0tv+(τ)dτ (3)

式中:Pf,i(0)表示初始时刻结构的失效概率;v+τ)为τ时刻的跨越率,可由式(4)计算。

v+(τ)=limΔτ0+PrZτ0Zτ+Δτ0/Δτ (4)

式中:Δτ为时间增量。

Yt)在τττ时刻的截口随机变量分别用Yk(1)Yk(2)表示,两者间的相关系数为

ρYk(1),Yk(2)=ρYkτ,τ+Δτ (5)

Yt)为平稳非高斯随机过程,则Yk(1)Yk(2)均为非高斯变量,可引入Nataf变换将其转换为独立的标准正态变量。为简便,仅考虑Yt)为平稳高斯随机过程的情形,可先通过线性变换将其转化为均值为0、标准差为1的高斯过程Yt)。相应地,Yk(1)Yk(2)可表示为相应的标准正态变量Yk(1)Yk(2)的线性函数,且Yk(1)Yk(2)的相关系数仍为ρYkτ,ττ);然后可引入Cholesky分解,将Yk(1)Yk(2)用独立的标准正态变量u1u2表示,即

Y̲k(1)=u1Y̲k(2)=ρYkτ,τ+Δτu1+1+ρ2Ykτ,τ+Δτu2 (6)

于是,在标准正态空间中,τ时刻的极限状态面可由超平面近似为

α(τ)u(1)+β(τ)=0 (7)

式中:u(1)=(u1,u3un+1);ατ)=(αl,1,αl,3αl,n+1),u3un+1分别为随机向量X转换至标准正态空间后对应的标准正态变量;βτ)为τ时刻的可靠指标。同理,ττ时刻的极限状态面可近似为

α(τ+Δτ)u(2)+β(τ+Δτ)=0 (8)

式中:u(2)=(u1,u2,u3un+1),αττ)=(αh,1,αh,2,αh,3αh,n+1);βττ)为ττ时刻的可靠指标。在PHI2方法[

19]τττ时刻的线性化功能函数的相关系数为

ρGτ,τ+Δτ=-α˜(τ)α(τ+Δτ) (9)

式中:α~(τ)=(αl,1,0,αl,3αl,n+1)。此时,跨越率的计算可转换为式(10)所示并联静态问题的求解。

v+(τ)=Φ2β(τ),-β(τ+Δτ),ρGτ,τ+Δτ/Δτ (10)

式中:βτ)、βττ)、ρGτ,ττ)均可由FORM方法求解;Φ2(·)为二维标准正态分布函数,即

Φ2β(τ),-β(τ+Δτ),ρGτ,τ+Δτ=-β(τ)--β(τ+Δτ)φ2x1,x2,ρGτ,τ+Δτdx1dx2 (11)

式中:φ2(·)为二维标准正态概率密度函数。

1.2 PHI2方法的计算性能

利用PHI2方法进行时变可靠度分析的关键在于跨越率v+τ)的求解,主要包括3个步骤:首先,通过Cholesky分解将随机变量Yk(1)Yk(2)独立化,并推导相关系数ρGτ,ττ);然后,利用FORM方法计算各时刻的可靠指标;最后,利用二维数值积分方法求解Φ2[βτ),-βττ),ρGτ,ττ)]。显然,上述3个步骤的计算效率对方法的总效率有着至关重要的影响。

1.2.1 Cholesky分解对计算效率的影响

式(6)可知,通过引入Cholesky分解,ττ时刻的随机变量Yk(2)表示为2个随机变量的线性组合,因此,计算ττ时刻的可靠指标时,所需考虑的随机变量数目由n增加至n+1。若采用FORM方法计算可靠指标,则每一迭代过程所需计算的梯度值亦增加1个;若采用单边差分法计算梯度值,相应功能函数的调用次数亦增加1次。因此,采用Cholesky分解将随机变量Yk(1)Yk(2)独立化会导致ττ时刻可靠指标计算的每次迭代都多调用1次功能函数,从而降低可靠指标的求解效率。

不难发现,若能不增加ττ时刻随机变量的数目,将有助于提高该时刻可靠指标的计算效率。

1.2.2 各时刻可靠指标计算效率的影响

为达到足够的失效概率预测精度,PHI2方法通常将时间周期以较小的时间增量进行离散化,因此,需要计算大量时刻处的跨越率。由式(10)可知,求解任意时刻的跨越率均涉及到βτ)和βττ)的计算。因此,若采用FORM方法计算各时刻的可靠指标,PHI2方法将涉及大量FORM方法的运行,显然,FORM方法的分析效率会在很大程度上影响PHI2方法的分析效率。然而,FORM方法的每一迭代过程均需通过调用功能函数确定迭代点的功能函数值与梯度值,若能在迭代过程中减少功能函数的调用次数,时变可靠度分析效率将得到极大提高。

1.2.3 二维积分的求解

式(11)可知,Φ2[βτ),-βττ),ρGτ,ττ)]本质上是二维积分,尽管可采用数值积分求解,但并不特别方便。尤其需要指出的是,PHI2方法中,ρGτ,ττ)的值较为接近-1[

19],此时采用二维数值积分时φ2(·)中的大部分积分节点为无效节[22],导致二维数值积分方法效率较低。

若能避免直接采用二维数值积分求解Φ2[βτ),-βττ),ρGτ,ττ)],将有助于改善时变可靠度分析的性能。

2 高效的时变可靠度分析方法

为提高PHI2方法的计算效率,引入3个策略对其进行改进:

1)不引入Cholesky分解将随机变量Yk(1)Yk(2)独立化,以避免各个时刻可靠指标计算时随机变量数目的增加。

2)引入基于主动学习Kriging模型的改进一次可靠度方[

17]计算各时刻的可靠指标,以提高FORM方法的计算效率。

3)利用降维方法将式(11)中的二维积分转化为一维积分,以简化计算。

2.1 无Cholesky分解时相关系数的计算

若不引入Cholesky分解将随机变量Yk(1)Yk(2)独立化,即τ时刻与ττ时刻的Yk(1)Yk(2)均为基本随机变量,那么τ时刻与ττ时刻的功能函数均只涉及n个随机变量,这有助于改善βττ)的计算效率,但ρGτ,ττ)的表达式(9)将不再适用。

综合式(6)式(7)不难发现,τ时刻的近似极限状态面仍可由式(7)表示,但ττ时刻的近似极限状态面需修改为

α_(τ+Δτ)u_(2)+β(τ+Δτ)=0 (12)

式中:u(2)=(Yk(2),u3un+1),αττ)=(αh,1,αh,3αh,n+1)。很明显,u(2)中仅包含n个随机变量。定义标准正态变量

VL=al,1Y̲k(1)+i=3n+1al,iui (13)
VH=a̲h,1Y̲k(2)+i=3n+1a̲h,iui (14)

VLVH间的相关系数为

ρVLVH=EVLVH=Eal,1Y̲k(1)+i=3n+1al,iuia̲h,1Y̲k(2)+i=3n+1a̲h,iui (15)

ij时,有E[ui·uj]=0。因此,式(15)可改写为

ρVLVH=Eal,1Y̲k(1)a̲h,1Y̲k(2)+i=3n+1al,iuia̲h,iui=Eal,1Y̲k(1)a̲h,1Y̲k(2)+Ei=3n+1al,iuia̲h,iui=al,1a̲h,1EY̲k(1)Y̲k(2)+i=3n+1al,ia̲h,i (16)

由于式(16)EYk(1),Yk(2))=ρYkτ,ττ),式(16)可被进一步化简成

ρVLVH=al,1a̲h,1ρYkτ,τ+Δτ+i=3n+1al,ia̲h,i (17)

式(7)式(12)可知,ρGτ,ττ)为ρVLVH的相反数,即

ρG(τ,τ+Δτ)=-al,1a̲h,1ρYkτ,τ+Δτ+i=3n+1al,ia̲h,i (18)

值得指出的是,若将无Cholesky分解的策略直接与PHI2方法相结合,在计算βττ)时仅涉及n个随机变量,可进一步提高PHI2方法的分析效率,进而形成一个改进的PHI2方法,将此方法记为PHI2-方法。

2.2 基于主动学习Kriging模型的改进一次可靠度方法

各时刻可靠指标的求解效率对时变可靠度分析的效率十分重要。因此,采用高效的基于主动学习Kriging模型的改进一次可靠度方法(AK-FORM[

17]求解βτ)和βττ),以改善各时刻可靠指标的计算效率。

该方法在迭代过程中有两个阶段:全局搜索阶段和局部搜索阶段。若第q次迭代点uq与第q-1次迭代点uq-1)的距离||uq-uq-1)||大于等于某一较小的阈值c(可取c=0.1),则属于全局搜索阶段,否则属于局部搜索阶段。在全局搜索阶段沿用已有FORM方法迭代至||uq-uq-1)||<0.1。在局部搜索阶段,首先以全局搜索阶段的迭代点和计算梯度值所用差分点为初始训练点{u(1),u(2)uM}(M为初始样本点数)建立初始Kriging模型,然后根据Kriging模型在后续迭代点处的预测精确性自适应地更新模型。假设第l次更新的Kriging模型为h˜lU),由h˜lU)确定的迭代点记作uM+l。该迭代点的预测精度可由SuM+l)衡量。

S(uM+l)=h˜uM+l/s˜uM+l (19)

式中:h˜uM+l)和s˜uM+l)分别为uM+l对应的预测值和标准差。由Kriging模型的高斯特性可知,SuM+l)≥50时,uM+l对应的预测响应zM+l的误差小于6%的概率大于99.7%,说明zM+l具有较高预测精度,不需要更新h˜lU)。反之,需要将uM+l加入训练点集{u(1),u(2)uM+l-1)},并结合该点真实的响应zk+l更新h˜lU),即

h˜(l+1)U=h˜(l)U,   S(uM+l)50h˜(l+1)U=fT(U)P(l+1)+m(U)(l+1),S(uM+l)<50 (20)

式中:fU)为多项式基函数;Pl+1)mUl+1)分别为利用训练点{u(1),u(2)uM+l}及其真实的响应建立的回归系数向量和方差为σ2的零均值高斯过程。在局部搜索阶段的每一迭代过程中,均采用更新的Kriging模型式(20)代替功能函数进行计算。正是由于在局部搜索阶段引入了自适应的更新Kriging模型,AK-FORM方法通常较常规的FORM方法具有更高的计算效率。AK-FORM方法的流程图见文献[

17]。

2.3 二维标准正态分布函数的降维积分计算方法

为避免直接采用二维数值积分求解Φ2[βτ),-βττ),ρGτ,ττ)],引入降维方[

23]将二维积分简化为一维积分,即

Φ2β(τ),-β(τ+Δτ),ρGτ,τ+Δτ=Φ2(β(τ),-β(τ+Δτ),0)+0ρGτ,τ+ΔτΦ2(β(τ),-β(τ+Δτ),λ)λλ=ydy=Φ(β(τ))Φ(-β(τ+Δτ))+0ρGτ,τ+Δτφ2(β(τ),-β(τ+Δτ),y)dy (21)

式中:Φ(·)表示一维标准正态分布函数。将式(21)代入式(10),此时仅用一维数值积分方法即可求解τ时刻的跨越率,相较于二维积分的求解更加简单高效,并且解决了ρGτ,ττ)取值接近-1所导致的积分节点利用率低的问题,从而进一步提升了PHI2方法的时变可靠度分析效率。需要指出的是,体系可靠度分析研究中,针对Φ2[βτ),-βττ),ρGτ,ττ)]给出了一些简化的近似计算方[

24-26],尽管由于不涉及积分而计算简单,但其适用范围与精度往往受到一定影响。

2.4 时变可靠度分析及步骤

将上述3个策略与PHI2方法相结合,即形成了建议的基于AK-FORM方法和降维方法的高效时变可靠度分析方法,简记为K-PHI2方法。该方法流程图见图1,其主要步骤包括

图1  K-PHI2方法流程图

Fig. 1  K-PHI2 method flowchart

1)将时间段[0,t]以dt为间隔进行离散,并确定时间增量Δτ,使得ρYkτ,ττ)的取值位于[0.990,0.995]之间。

2)利用AK-FORM方法计算τττ时刻的可靠指标βτ)、βττ)和灵敏度系数ατ)、αττ)。

3)参考无Cholesky分解策略,由式(18)计算τττ时刻间的极限状态面相关系数ρGτ,ττ)。

4)将步骤2)和3)中得到的βτ)、βττ)和ρGτ,ττ)代入式(21),然后利用一维数值积分方法求解Φ2[βτ),-βττ),ρGτ,ττ)]。

5)将Φ2[βτ),-βττ),ρGτ,ττ)]代入式(10),确定τ时刻的跨越率v+τ)。

6)不断重复步骤2)~5)计算新时间τ+dt的跨越率,直至得到所有时刻的跨越率。

7)由式(3)计算失效概率Pf,c(0,t)。

3 算例分析

首先通过一个设计的简单数值算例说明K-PHI2方法的计算流程,然后用一个经典的具有显式表达式的工程算例对比各方法的计算性能,最后将验证后的方法应用到了涉及有限元分析的工程算例中,进而表明K-PHI2对于各种时变可靠度问题的适用性。各方法的效率以功能函数调用次数N来评估,精度由可靠指标的相对误差εrβ来评估,即

εrβ=βmcs-β̲/βmcs×100% (22)

式中:βmcs为MCS方法的可靠指标计算结果;β为其余方法(即PHI2方[

19]、PHI2-方法、PHI2+方[20]以及K-PHI2方法)的可靠指标计算结果。其中,PHI2+方法基于有限差分法对PHI2方法进行了改进,其跨越率表达式为

vP+τ=Ψβ(τ+Δτ)-β(τ)/AφβτA/Δτ (23)

式中:A=||αττ)-ατ)||;Ψx)=φx)-x);φ(·)为一维标准正态概率密度函数。

3.1 算例1:数值算例

考察由文献[

17]修改而来的功能函数

GX,Y(t),t=(1-rt)R-G-Q(t) (24)

式中:退化系数r=0.009;随机变量向量X={R,G},RG分别为构件的初始抗力和永久荷载效应,各随机变量相互独立,其概率信息见表1Yt)为高斯过程,在此为时变的可变荷载效应Qt),其间隔时间为Δτ的两截口随机变量间的相关系数为

ρYkτ,τ+Δτ=exp-Δτ/λ2 (25)

式中:λ为相关长度,取λ=1/12 a,时间间隔Δτ=0.1λ,此时ρYkτ,ττ)=0.99。各随机变量和随机过程的统计信息见表1

表1  算例1中随机变量和随机过程统计信息
Table 1  Statistical information of random variables and processes for Example 1
参数分布均值标准差
R 正态 5.3 0.371
G 对数正态 30.92 5.26
Qt 高斯过程 7 2.03

该算例对构件5 a内的时变可靠度进行评估,时间段[0,5]被均匀分成125个区间。由于引入了无Cholesky分解策略,K-PHI2方法每个时刻的跨越率计算仅涉及3个随机变量。以τ=1时的跨越率v+(1)的求解为例,简要说明K-PHI2方法的计算流程:首先,利用AK-FORM方法计算可靠指标β(1)=4.137 1、β(1+Δτ)=4.136 7和灵敏度系数α(1)=(-0.815 841 5,0.103 962 8,0.568 853 5)、α(1+Δτ)=(-0.815 836 0,0.103 964 3,0.568 861 1),这一过程仅需调用36次功能函数。相比较而言,PHI2-方法计算可靠指标和灵敏度系数也仅涉及3个随机变量,但由于采用了传统FORM方法,其功能函数调用次数为88。由于需要Cholesky分解,PHI2方法计算可靠指标和灵敏度系数会涉及4个随机变量。此外,PHI2方法还采用传统FORM方法,其功能函数调用次数为99。然后,K-PHI2方法直接由式(18)得到τττ时刻的极限状态面相关系数ρG(1,1+Δτ)=-0.996 780 1。接下来,将β(1)、β(1+Δτ)与ρG(1,1+Δτ)带入由降维策略得到的式(21),即可直接利用一维数值积分方法求解Φ2[β(1),-β(1+Δτ),ρG(1,1+Δτ)]=2.457 7×10-6。最后,将求解结果代入式(10)即得到τ时刻的跨越率v+(1)=1.228 0×10-5。显然,K-PHI2在3个方面对PHI2方法进行了改进,各方法的计算结果见表2图2图3

表2  算例1的可靠指标计算结果
Table 2  Computed reliability index results for example 1
方法NPf/10-3βεrβ/%
MCS 126×106 3.300 2.715 9
PHI2 12 375 2.500 2.806 3 3.270
PHI2- 11 000 2.500 2.806 3 3.270
PHI2+ 12 375 312.1 0.489 9 >50
K-PHI2 4 590 2.500 2.806 3 3.270

注:  Pfβ分别为各方法的失效概率和可靠指标计算结果。

图2  算例1的时变可靠指标

Fig. 2  Time-varying reliability index for example 1

图3  算例1的时变失效概率

Fig. 3  Time-varying failure probability for example 1

表2记录了各方法计算出的第5年时结构的失效概率以及总的功能函数调用次数。图2图3分别展示了各方法计算出的5 a内结构的时变可靠指标和失效概率。由图可知,PHI2+方法精度较差,而提出的PHI2-、K-PHI2方法与PHI2方法精度相当,这与表1中的结果相吻合,表明PHI2-、K-PHI2方法与PHI2方法一样具有良好精度。此外,相较于PHI2方法,由于不引入Cholesky分解,PHI2-方法减少了ττ时刻的基本随机变量数目,功能函数的调用次数就由12 375次减少为11 000次,说明建议的不引入Cholesky分解策略有助于提升可靠度分析效率。而在PHI2-方法的基础上,K-PHI2方法采用更高效的AK-FORM方法代替FORM方法计算βτ)和βττ),从而使功能函数调用次数由11 000次降低至4 590次,说明K-PHI2方法能进一步提升可靠度分析效率。需要指出的是,上述各方法的效率均高于MCS方法。综上所述,PHI2-方法在一定程度上提高了PHI2方法的效率,K-PHI2方法在其基础上做出进一步改善,在保证精度的同时极大地提高了时变可靠度分析效率。

3.2 算例2:工程算例1—显式表达式算例

考察如图4所示的矩形截面简支腐蚀梁的可靠度问[

11,19-20],功能函数为

GX,Y(t),t=a(t)b2(t)σy/4-F(t)L/4+ca0b0L2/8 (26)
a(t)=a0-2rt;b(t)=b0-2rt (27)

式中:X={σy,a0,b0},σya0b0分别为材料屈服应力、初始梁宽和梁,各随机变量相互独立,其概率信息见表3Yt)为高斯过程,在此为时变的竖向集中荷载Ft),其相关长度和时间间隔同算例1。L=5 m为梁的跨长;c=78.5 kN/m3为钢密度;r=0.03 mm/a为腐蚀速率。

图4  简支腐蚀钢梁

Fig. 4  A simply supported corroded steel beam

表3  算例2中随机变量和随机过程统计信息
Table 3  Statistical information of random variables and processes for Example 2
参数分布均值标准差
σy/MPa 对数正态 240 24
a0/m 对数正态 0.2 0.01
b0/m 对数正态 0.04 0.004
Ft)/N 高斯过程 3 500 700

表4统计了各方法对该算例的计算结果,图5图6为各方法所得可靠指标和失效概率。结果表明,PHI2+方法精度欠佳;其余方法与MCS方法之间的可靠指标相对误差均在5%以内。其中,PHI2方法总共需要调用68 150次功能函数,而PHI2-方法和K-PHI2方法分别仅需调用61 955次和23 391次功能函数。说明在保证精度的前提下,PHI2-方法的效率稍高于PHI2方法和PHI2+方法,而K-PHI2方法的效率远高于其他各方法。实际工程中存在许多与此算例类似的问题,而建议方法适用于分析此类问题,且相较于PHI2方法和PHI2+方法性能更优,能高效准确地对结构可靠度进行分析。

表4  算例2的可靠指标计算结果
Table 4  Computed reliability index results for example 2
方法NPf/10-3βεrβ/%
MCS 126×106 3.487 2.698
PHI2 68 150 2.317 2.831 5 4.944
PHI2- 61 955 2.317 2.831 5 4.944
PHI2+ 68 150 290.1 0.553 3 20.502
K-PHI2 23 391 2.317 2.831 5 4.944

图5  算例2的时变可靠指标

Fig. 5  Time-varying reliability index for example 2

图6  算例2的时变失效概率

Fig. 6  Time-varying failure probability for example 2

3.3 算例3:工程算例2—有限元算例

图7所示桁架结[

27]的时变可靠度对应的功能函数为

GX,Yt,t=s0-sP(t),A,E(t) (28)

式中:X={A,E0},AE0分别为杆的横截面积和弹性模量初始值,各随机变量相互独立,其概率信息见表5Yt)为高斯过程,在此为时变的竖向集中荷载Pt),其相关长度和时间间隔同算例1。sP,A,Et))为节点O处的挠度V,由有限元分析计算得出,其中,Et)=(1-rtE0r=0.005为退化系数;s0sP,A,Et))的阈值,取0.105 m。

图7  桁架结构

Fig. 7  The truss structure

表5  桁架结构的分布信息
Table 5  Distribution information of the truss structure
变量分布均值标准差
Pt)/N 高斯过程 5×104 7.5×103
A/m2 对数正态 2×10-3 2×10-4
E0/Pa 对数正态 2.1×1011 2.1×1010

表6图8图9中给出了各方法的计算结果。由于PHI2+会出现相对误差>100%的情况,图表中仅列出了PHI2、PHI2-和K-PHI2方法的计算结果。结果表明,K-PHI2方法仅需调用5 016次功能函数就能达到与PHI2相当的精度,相较于其他各方法效率更高。尽管此算例的功能函数为隐式函数且其响应涉及有限元求解,但计算结果表明,K-PHI2方法仍然具有较好的计算性能,反映了其处理实际工程问题的适用性。

表6  算例3的可靠指标计算结果
Table 6  Computed reliability index results for example 3
方法NPf/10-2β
PHI2 9 315 1.910 2.079 2
PHI2- 7 064 1.880 2.071 7
K-PHI2 5 016 1.910 2.079 2

图8  算例3的时变可靠指标

Fig. 8  Time-varying reliability index for example 3

图9  算例3的时变失效概率

Fig. 9  Time-varying failure probability for example 3

4 结论

从3个方面改善各时刻跨越率的计算效率,从而形成一种高效的时变可靠度分析方法(K-PHI2方法),得到如下结论:

1)PHI2-方法能在一定程度上提高PHI2方法的效率,即不引入Cholesky分解将随机变量Yk(1)Yk(2)独立化,能避免ττ时刻随机变量数目的增多,从而在一定程度上提高时变可靠度分析效率。

2)引入AK-FORM方法计算τττ时刻的可靠指标βτ)、βττ)和灵敏度系数ατ)、αττ),明显减少了这一过程中功能函数的调用次数;此外,引入降维方法将Φ2[βτ),ττ),ρGτ,ττ)]的求解简化为一维积分问题,进一步提高了时变可靠度分析效率。

3)算例结果表明,提出的K-PHI2方法同时适用于数值算例和工程算例,在保证精确度的情况下,其效率明显高于PHI2方法、PHI2-方法和PHI2+方法。

参考文献

1

YANG M D, ZHANG D Q, HAN X. New efficient and robust method for structural reliability analysis and its application in reliability-based design optimization [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2020, 366: 113018. [百度学术] 

2

范文亮, 刘丞, 李正良. 基于HLRF法与修正对称秩1方法的改进可靠度方法[J]. 工程力学, 2022, 39(9): 1-9. [百度学术] 

FAN W L, LIU C, LI Z L. Improved reliability method based on HLRF and modified symmetric rank 1 method [J]. Engineering Mechanics, 2022, 39(9): 1-9. (in Chinese) [百度学术] 

3

JIANG C, WEI X P, WU B, et al. An improved TRPD method for time-variant reliability analysis [J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2018, 58(5): 1935-1946. [百度学术] 

4

ZAFAR T, WANG Z L. An efficient method for time-dependent reliability prediction using domain adaptation [J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2020, 62(5): 2323-2340. [百度学术] 

5

JIANG C, HU Z, LIU Y X, et al. A sequential calibration and validation framework for model uncertainty quantification and reduction [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2020, 368: 113172. [百度学术] 

6

WU J H, ZHANG D Q, JIANG C, et al. On reliability analysis method through rotational sparse grid nodes [J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2021, 147: 107106. [百度学术] 

7

HAWCHAR L, EL SOUEIDY C P, SCHOEFS F. Principal component analysis and polynomial chaos expansion for time-variant reliability problems [J]. Reliability Engineering & System Safety, 2017, 167: 406-416. [百度学术] 

8

YU S, ZHANG Y W, LI Y, et al. Time-variant reliability analysis via approximation of the first-crossing PDF [J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2020, 62(5): 2653-2667. [百度学术] 

9

唐和生, 郭雪媛, 薛松涛. 基于广义子集模拟和自适应Kriging模型的非线性随机动力系统的时变可靠性分析[J]. 振动与冲击, 2021, 40(21): 47-54. [百度学术] 

TANG H S, GUO X Y, XUE S T. Time-varying reliability analysis of nonlinear stochastic dynamic systems based on generalized subset simulation and adaptive Kriging model [J]. Journal of Vibration and Shock, 2021, 40(21): 47-54. (in Chinese) [百度学术] 

10

HU Z, DU X P. A sampling approach to extreme value distribution for time-dependent reliability analysis [J]. Journal of Mechanical Design, 2013, 135(7): 071003. [百度学术] 

11

LI X W, ZHAO Y G, ZHANG X Y, et al. Explicit model of outcrossing rate for time-variant reliability [J]. ASCE-ASME Journal of Risk and Uncertainty in Engineering Systems, Part A: Civil Engineering, 2022, 8(1): 04021087. [百度学术] 

12

罗立胜, 陈志华. 锈蚀钢构件时变可靠度的重要抽样法研究[J]. 工业建筑, 2019, 49(8): 1-5, 107. [百度学术] 

LUO L S, CHEN Z H. Time-dependent reliability analysis of corroded steel members based on the important sampling method [J]. Industrial Construction, 2019, 49(8): 1-5, 107. (in Chinese) [百度学术] 

13

WANG D P, QIU H B, GAO L, et al. A single-loop Kriging coupled with subset simulation for time-dependent reliability analysis [J]. Reliability Engineering & System Safety, 2021, 216: 107931. [百度学术] 

14

王思文, 王宪杰, 胡彪, . 基于概率密度演化理论的LRB隔震支座时变可靠度研究[J]. 计算力学学报, 2020, 37(6): 776-782. [百度学术] 

WANG S W, WANG X J, HU B, et al. Study on time-varying reliability of LRB isolated bearings based on probability density evolution method [J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2020, 37(6): 776-782. (in Chinese) [百度学术] 

15

WANG Y J, PAN H, SHI Y N, et al. A new active-learning estimation method for the failure probability of structural reliability based on Kriging model and simple penalty function [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2023, 410: 116035. [百度学术] 

16

HONG L X, SHANG B, LI S Z, et al. Portfolio allocation strategy for active learning Kriging-based structural reliability analysis [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2023, 412: 116066. [百度学术] 

17

刘丞, 范文亮, 余书君, . 基于主动学习Kriging模型的改进一次可靠度方法[J]. 工程力学, 2024, 41(2): 35-42. [百度学术] 

LIU C, FAN W L, YU S J, et al. Improved first order reliability method based on adaptive kriging model online first [J]. Engineering Mechanics, 2024, 41(2): 35-42. (in Chinese) [百度学术] 

18

RICE S O. Mathematical analysis of random noise [J]. The Bell System Technical Journal, 1944, 23(3): 282-332. [百度学术] 

19

ANDRIEU-RENAUD C, SUDRET B, LEMAIRE M. The PHI2 method: A way to compute time-variant reliability [J]. Reliability Engineering & System Safety, 2004, 84(1): 75-86. [百度学术] 

20

SUDRET B. Analytical derivation of the outcrossing rate in time-variant reliability problems [J]. Structure and Infrastructure Engineering, 2008, 4(5): 353-362. [百度学术] 

21

SHINOZUKA M. Probability of structural failure under random loading [J]. Journal of the Engineering Mechanics Division, 1964, 90(5): 147-170. [百度学术] 

22

范文亮, 杨朋超, 李正良. 基于Mehler公式的等效相关系数求解技术[J]. 同济大学学报(自然科学版), 2016, 44(6): 838-844. [百度学术] 

FAN W L, YANG P C, LI Z L. A technique for solution of equivalent correlation coefficients based on the Mehler’s formula [J]. Journal of Tongji University (Natural Science), 2016, 44(6): 838-844. (in Chinese) [百度学术] 

23

贡金鑫, 赵国藩. 二维正态分布函数值的一个近似算法[J]. 计算结构力学及其应用, 1996, 13(4): 494-499. [百度学术] 

GONG J X, ZHAO G F. An approximate algorithm for bivariate normal integral [J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 1996, 13(4): 494-499. (in Chinese) [百度学术] 

24

FENG Y S. A method for computing structural system reliability with high accuracy [J]. Computers & Structures, 1989, 33(1): 1-5. [百度学术] 

25

董聪, 郦正能. 结构系统可靠性精确计算理论[J]. 强度与环境, 1995, 22(3): 46-51. [百度学术] 

DONG C, LI Z N. An exact evaluation theory of structural system reliability [J]. Structure & Environment Engineering, 1995, 22(3): 46-51. (in Chinese) [百度学术] 

26

姚继涛, 赵国藩, 浦聿修. 二维标准正态联合概率的计算[J]. 建筑结构学报, 1996, 17(4): 10-19. [百度学术] 

YAO J T, ZHAO G F, PU Y X. Calculation of joint probability of two-dimensional standard normal [J]. Journal of Building Structures, 1996, 17(4): 10-19. (in Chinese) [百度学术] 

27

SUN Z L, WANG J, LI R, et al. LIF: A new Kriging based learning function and its application to structural reliability analysis [J]. Reliability Engineering & System Safety, 2017, 157: 152-165. [百度学术]