摘要
PHI2方法是进行结构时变可靠度分析的常用方法,而跨越率的求解是该方法的关键,为达到足够精度往往需要计算大量时刻处的跨越率,然而,对于具有复杂极限状态面的实际问题,计算每个时刻的跨越率可能非常耗时。为进一步提高PHI2方法的效率,引入3种策略改进跨越率的计算效率:首先,采用无Cholesky分解策略以减少随机变量数目,并给出与之对应的相关系数计算方法;其次,引入基于主动学习Kriging模型的改进一次可靠度(AK-FORM)方法,以高效计算各时刻的可靠指标;最后,利用降维方法将二维积分转化为一维积分,以改善计算性能。将上述3种改进策略与PHI2方法相结合,形成基于AK-FORM方法和降维方法的高效时变可靠度分析方法,即K-PHI2方法。与此同时,仅将无Cholesky分解策略与PHI2方法结合,形成PHI2-方法。数值算例和工程算例计算结果表明:提出的PHI2-、K-PHI2方法与PHI2方法一样具有高准确性,在精度上均优于PHI2+方法(一种基于PHI2的改进方法);相较于PHI2、PHI2+方法,PHI2-方法在效率上有一定提升,而K-PHI2方法在此基础上进一步提高了时变可靠度分析效率。
结构可靠度分析旨在通过考虑结构或荷载的随机性确定结构在规定时间内的失效概率。传统的结构可靠度分
基于极值的方法基本思路是根据极限状态函数极值的概率特征获得失效概率,从而将时变问题转化为时不变问
基于跨越率的方法基本思路是基于泊松过程、马尔可夫过程等假设,利用数值积分方法将任意离散时刻极限状态函数的跨越率映射为失效概率。跨越率最早由Ric
笔者从3个方面改进PHI2方法,形成一种高效的时变可靠度分析方法。首先,采用无Cholesky分解的策略来减少可靠指标求解过程中的随机变量数目,然后采用基于主动学习Kriging模型的改进一次可靠度(AK-FORM)方法来计算各时刻的可靠指标,再利用降维方法将二维积分转化为一维积分,从而完成跨越率的计算。最后通过数值算例和工程算例验证建议方法的精度和效率。
假设结构时变可靠度问题的极限状态方程为 | (1) |
式中:X={X1,X2…Xn-1
基于跨越事件的方法是计算时变可靠性问题最常用的方法之一,将时间周期[0,t]内跨越事件的数量定义为
(2) |
由
(3) |
式中:Pf,i(0)表示初始时刻结构的失效概率;
(4) |
式中:Δτ为时间增量。
若Y(t)在τ与τ+Δτ时刻的截口随机变量分别用Y
(5) |
若Y(t)为平稳非高斯随机过程,则Y
(6) |
于是,在标准正态空间中,τ时刻的极限状态面可由超平面近似为
(7) |
式中:
(8) |
式中:
(9) |
式中:α~(τ)=(αl,1,0,αl,3…αl,n+1)。此时,跨越率的计算可转换为
(10) |
式中:β(τ)、β(τ+Δτ)、ρG(τ,τ+Δτ)均可由FORM方法求解;Φ2(·)为二维标准正态分布函数,即
(11) |
式中:φ2(·)为二维标准正态概率密度函数。
利用PHI2方法进行时变可靠度分析的关键在于跨越率
由
不难发现,若能不增加τ+Δτ时刻随机变量的数目,将有助于提高该时刻可靠指标的计算效率。
为达到足够的失效概率预测精度,PHI2方法通常将时间周期以较小的时间增量进行离散化,因此,需要计算大量时刻处的跨越率。由
由
若能避免直接采用二维数值积分求解Φ2[β(τ),-β(τ+Δτ),ρG(τ,τ+Δτ)],将有助于改善时变可靠度分析的性能。
为提高PHI2方法的计算效率,引入3个策略对其进行改进:
1)不引入Cholesky分解将随机变量Y
2)引入基于主动学习Kriging模型的改进一次可靠度方
3)利用降维方法将
若不引入Cholesky分解将随机变量Y
综合
(12) |
式中:
(13) |
(14) |
VL与VH间的相关系数为
(15) |
当i≠j时,有E[ui·uj]=0。因此,
(16) |
由于
(17) |
由
(18) |
值得指出的是,若将无Cholesky分解的策略直接与PHI2方法相结合,在计算β(τ+Δτ)时仅涉及n个随机变量,可进一步提高PHI2方法的分析效率,进而形成一个改进的PHI2方法,将此方法记为PHI
各时刻可靠指标的求解效率对时变可靠度分析的效率十分重要。因此,采用高效的基于主动学习Kriging模型的改进一次可靠度方法(AK-FORM
该方法在迭代过程中有两个阶段:全局搜索阶段和局部搜索阶段。若第q次迭代点
(19) |
式中:(
(20) |
式中:f(U)为多项式基函数;
为避免直接采用二维数值积分求解Φ2[β(τ),-β(τ+Δτ),ρG(τ,τ+Δτ)],引入降维方
(21) |
式中:Φ(·)表示一维标准正态分布函数。将
将上述3个策略与PHI2方法相结合,即形成了建议的基于AK-FORM方法和降维方法的高效时变可靠度分析方法,简记为K-PHI2方法。该方法流程图见

图1 K-PHI2方法流程图
Fig. 1 K-PHI2 method flowchart
1)将时间段[0,t]以dt为间隔进行离散,并确定时间增量Δτ,使得ρYk(τ,τ+Δτ)的取值位于[0.990,0.995]之间。
2)利用AK-FORM方法计算τ和τ+Δτ时刻的可靠指标β(τ)、β(τ+Δτ)和灵敏度系数α(τ)、α(τ+Δτ)。
3)参考无Cholesky分解策略,由
4)将步骤2)和3)中得到的β(τ)、β(τ+Δτ)和ρG(τ,τ+Δτ)代入
5)将Φ2[β(τ),-β(τ+Δτ),ρG(τ,τ+Δτ)]代入
6)不断重复步骤2)~5)计算新时间τ+dt的跨越率,直至得到所有时刻的跨越率。
7)由
首先通过一个设计的简单数值算例说明K-PHI2方法的计算流程,然后用一个经典的具有显式表达式的工程算例对比各方法的计算性能,最后将验证后的方法应用到了涉及有限元分析的工程算例中,进而表明K-PHI2对于各种时变可靠度问题的适用性。各方法的效率以功能函数调用次数N来评估,精度由可靠指标的相对误差εrβ来评估,即
(22) |
式中:βmcs为MCS方法的可靠指标计算结果;β为其余方法(即PHI2方
(23) |
式中:A=||α(τ+Δτ)-α(τ)||;Ψ(x)=φ(x)-xΦ(x);φ(·)为一维标准正态概率密度函数。
考察由文献[
(24) |
式中:退化系数r=0.009;随机变量向量X={R,G},R和G分别为构件的初始抗力和永久荷载效应,各随机变量相互独立,其概率信息见
(25) |
式中:λ为相关长度,取λ=1/12 a,时间间隔Δτ=0.1λ,此时ρYk(τ,τ+Δτ)=0.99。各随机变量和随机过程的统计信息见
参数 | 分布 | 均值 | 标准差 |
---|---|---|---|
R | 正态 | 5.3 | 0.371 |
G | 对数正态 | 30.92 | 5.26 |
Q(t) | 高斯过程 | 7 | 2.03 |
该算例对构件5 a内的时变可靠度进行评估,时间段[0,5]被均匀分成125个区间。由于引入了无Cholesky分解策略,K-PHI2方法每个时刻的跨越率计算仅涉及3个随机变量。以τ=1时的跨越率
方法 | N | Pf/1 | β | εrβ/% |
---|---|---|---|---|
MCS |
126×1 | 3.300 | 2.715 9 | |
PHI2 | 12 375 | 2.500 | 2.806 3 | 3.270 |
PHI2- | 11 000 | 2.500 | 2.806 3 | 3.270 |
PHI2+ | 12 375 | 312.1 | 0.489 9 | >50 |
K-PHI2 | 4 590 | 2.500 | 2.806 3 | 3.270 |
注: Pf和β分别为各方法的失效概率和可靠指标计算结果。

图2 算例1的时变可靠指标
Fig. 2 Time-varying reliability index for example 1

图3 算例1的时变失效概率
Fig. 3 Time-varying failure probability for example 1
考察如
(26) |
(27) |
式中:X={σy,a0,b0},σy、a0、b0分别为材料屈服应力、初始梁宽和梁,各随机变量相互独立,其概率信息见

图4 简支腐蚀钢梁
Fig. 4 A simply supported corroded steel beam
参数 | 分布 | 均值 | 标准差 |
---|---|---|---|
σy/MPa | 对数正态 | 240 | 24 |
a0/m | 对数正态 | 0.2 | 0.01 |
b0/m | 对数正态 | 0.04 | 0.004 |
F(t)/N | 高斯过程 | 3 500 | 700 |
方法 | N | Pf/1 | β | εrβ/% |
---|---|---|---|---|
MCS |
126×1 | 3.487 | 2.698 | |
PHI2 | 68 150 | 2.317 | 2.831 5 | 4.944 |
PHI2- | 61 955 | 2.317 | 2.831 5 | 4.944 |
PHI2+ | 68 150 | 290.1 | 0.553 3 | 20.502 |
K-PHI2 | 23 391 | 2.317 | 2.831 5 | 4.944 |

图5 算例2的时变可靠指标
Fig. 5 Time-varying reliability index for example 2

图6 算例2的时变失效概率
Fig. 6 Time-varying failure probability for example 2
(28) |
式中:X={A,E0},A、E0分别为杆的横截面积和弹性模量初始值,各随机变量相互独立,其概率信息见

图7 桁架结构
Fig. 7 The truss structure
变量 | 分布 | 均值 | 标准差 |
---|---|---|---|
P(t)/N | 高斯过程 |
5×1 |
7.5×1 |
A/ | 对数正态 |
2×1 |
2×1 |
E0/Pa | 对数正态 |
2.1×1 |
2.1×1 |
方法 | N | Pf/1 | β |
---|---|---|---|
PHI2 | 9 315 | 1.910 | 2.079 2 |
PHI2- | 7 064 | 1.880 | 2.071 7 |
K-PHI2 | 5 016 | 1.910 | 2.079 2 |

图8 算例3的时变可靠指标
Fig. 8 Time-varying reliability index for example 3

图9 算例3的时变失效概率
Fig. 9 Time-varying failure probability for example 3
从3个方面改善各时刻跨越率的计算效率,从而形成一种高效的时变可靠度分析方法(K-PHI2方法),得到如下结论:
1)PHI2-方法能在一定程度上提高PHI2方法的效率,即不引入Cholesky分解将随机变量Y
2)引入AK-FORM方法计算τ和τ+Δτ时刻的可靠指标β(τ)、β(τ+Δτ)和灵敏度系数α(τ)、α(τ+Δτ),明显减少了这一过程中功能函数的调用次数;此外,引入降维方法将Φ2[β(τ),-β(τ+Δτ),ρG(τ,τ+Δτ)]的求解简化为一维积分问题,进一步提高了时变可靠度分析效率。
3)算例结果表明,提出的K-PHI2方法同时适用于数值算例和工程算例,在保证精确度的情况下,其效率明显高于PHI2方法、PHI2-方法和PHI2+方法。
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