设计制作了16根圆形截面钢筋混凝土试件，试件截面直径为235 mm，混凝土保护层厚度为20 mm，剪跨比为6和7，如图 1所示。混凝土强度等级为C40，实测混凝土立方体抗压强度51.39 MPa，弹性模量3.66×10⁴N/mm²。纵筋采用HRB335级钢筋，采用8ϕ16和6ϕ12 mm两种配筋方式，对应的配筋率为3.7%和1.56%，沿试件周边均匀布置。箍筋采用直径6.5 mm的HPB235级钢筋，间距分别为50、100 mm，对应的配箍率分别为0.28%和0.56%，主要试验参数如表 1所示。

图1

图 1 试件截面尺寸和配筋(单位：mm) Fig. 1 Dimensions and reinforcements of column specimens (Unit:mm)

表 1

表 1 试件试验参数 Table 1 Parameters of specimens 试件 剪跨比λ 纵向配筋率ρ/% 轴压比n 配箍率ρs/% C7-6L12-50-0.2 7.00 1.56 0.20 2.81 C7-6L12-100-0.2 7.00 1.56 0.20 5.62 C7-6L12-50-0.5 7.00 1.56 0.50 2.81 C7-6L12-100-0.5 7.00 1.56 0.50 5.62 C7-8L16-50-0.2 7.00 3.7 0.20 2.81 C7-8L16-100-0.2 7.00 3.7 0.20 5.62 C7-8L16-50-0.5 7.00 3.7 0.50 2.81 C7-8L16-1006-0.5 7.00 3.7 0.50 5.62 C6-6L12-50-0.2 6.00 1.56 0.20 2.81 C6-6L12-100-0.2 6.00 1.56 0.2 5.62 C6-6L12-50-0.5 6.00 1.56 0.5 2.81 C6-6L12-100-0.5 6.00 1.56 0.5 5.62 C6-8L16-50-0.2 6.00 3.7 0.2 2.81 C6-8L16-100-0.2 6.00 3.7 0.2 5.62 C6-8L16-50-0.5 6.00 3.7 0.5 2.81 C6-8L-16-100-0.5 6.00 3.7 0.5 5.62 46 7.78 1.83 0.05 0.63 47 7.78 1.83 0.09 0.63 50 9.38 5.57 0.24 1.45 51 4.69 5.57 0.24 1.45 52 4.69 5.57 0.35 1.45 53 7.52 1.99 0.07 0.63 57 7.50 1.98 0.10 0.68 60 7.50 1.98 0.11 0.68 93 5.62 2.04 0.09 0.94 106 7.52 2.66 0.15 0.89 113 10.00 3.62 0.30 0.92 114 10.00 3.62 0.27 0.60 115 10.00 3.62 0.28 0.92 116 5.00 1.49 0.07 0.70 117 10 1.49 0.07 0.70 118 12.5 1.49 0.07 0.70 119 5.00 0.75 0.07 0.70 120 5.00 2.98 0.07 0.70 121 3.75 2.73 0.09 0.89 122 10.00 2.73 0.09 0.89 123 12.50 2.76 0.09 0.89 125 3.75 1.92 0.04 0.54 126 3.75 1.92 0.04 0.81 127 8.23 3.28 0.31 1.54 128 8.23 3.28 0.31 3.49 129 8.23 3.28 0.42 1.54 130 8.23 3.28 0.42 1.75 131 8.23 3.28 0.42 1.74 132 8.23 3.28 0.21 1.54 133 8.23 3.28 0.42 1.54 134 8.23 3.28 0.42 3.43 141 5.00 1.49 0.12 0.70 142 5.00 1.49 0.06 0.35 157 5.70 1.17 0 0.53 注：C表示圆柱，第1个数字表示剪跨比，计算为柱的剪跨与截面有效高度的比值，截面有效高度为截面直径的0.8倍；第2个数字表示纵向配筋；第3个数字表示轴压比；第4个数字表示箍筋间距。例如，C7-6L12-50-0.2表示试件的剪跨比为7，纵向配置6根12 mm的钢筋，箍筋间距为50 mm，轴压比为0.2。

表 1 试件试验参数 Table 1 Parameters of specimens

试验在大连理工大学结构工程实验室进行，采用悬臂梁式拟静力加载方法加载，如图 2所示。首先利用液压千斤顶在试件顶部施加恒定的竖向荷载，千斤顶通过滚子滑板与反力架横梁相连，以确保千斤顶与试件一起平动。试件顶部水平荷载通过固定于两侧反力架上的液压千斤顶施加。试验采用位移控制，开始加载时变形为2 mm，3个循环后按照4 mm的倍数递增，每级循环3次，直到试件发生严重破坏而无法承受轴力。试验加载制度如图 3所示。试验测量的主要参数包括：柱顶水平加载点处的水平荷载和位移；沿柱试件高度一定范围内的弯曲、剪切变形及塑性铰区段的转角；纵向钢筋和箍筋应变等。仪表和应变测点布置如图 4所示。所有荷载、位移和应变均采用32通道的德国imc数据采集系统采集。

图2

图 2 试验加载装置 Fig. 2 Details of test setup

图3

图 3 水平荷载加载制度 Fig. 3 Horizontal displacement history

图4

图 4 位移计和应变仪布置图 Fig. 4 Layout of instruments and strain gauges

所选PEER数据库中34根弯曲破坏圆形截面钢筋混凝土柱的主要试验参数同样列于表 1中，表中所有试件均为低周反复加载。

试验表明^[22-23]，对于箍筋约束良好、以弯曲破坏为特征的圆形截面偏心受压试件，滞回环比较饱满，呈外凸型，没有捏缩现象，可以表示为图 5(a)所示的形式。曲线关于原点对称，A、B、B′、C、C′和D为滞回环上的6个特征点，其中，点A(Δ₁, P₁)和点D(-Δ₁, -P₁)为滞回环在正、反加载方向上位移最大的点，位于滞回曲线的骨架曲线上，点B′(-Δ₂, 0)和点C′(0, P₃)为曲线上半环与Δ轴(变形)和P轴(荷载)的交点，点B(Δ₂, 0)和点C(0, -P₃)为曲线下半环与Δ轴(变形)和P轴(荷载)的交点。为了能够将所有试件表示在同一个坐标系下，采用图 5(b)所示的无量刚形式确定滞回环上的特征点，该图中，x=Δ/Δ_y；y=P/P_y，屈服点Y(Δ_y, P_y)采用图 6所示的能量法计算得到。对文献[23]的16根试件和PEER数据库^[22]中34根试件的滞回环数据进行分析，得到x₂与x₁的关系如图 7所示。对50根试件的滞回环数据进行拟合，得到关系式

图5

图 5 滞回环 Fig. 5 Hysteretic loop for one cycle

图6

图 6 屈服位移的确定 Fig. 6 Definition of yield displacement of specimens

图7

图 7 滞回环上x2与x1的关系 Fig. 7 Relationship between x2 and x1 in one hysteretic loop

图 8所示为所选50根试件的滞回环上y₃/x₂与y₁/x₁关系图，拟合得到其关系式

图8

图 8 滞回环上y3/x2与y1/x1的关系 Fig. 8 Relationship between y3/x2 and y1/x1 in one hysteretic loop

y₃/x₂和y₁/x₁分别为图 5(b)中直线OA和BC的斜率，式(2)中2个拟合参数分别为0.928和0.975，说明直线OA与BC近似平行^[24]。

1.2 滞回环模型

根据弯曲破坏圆形截面偏心受压构件滞回环的特点，采用式(3)描述图 5(b)所示滞回环的下半环。

$ y = \frac{{a + bx}}{{1 + cx}}\left( { - {x_1} \le x \le {x_1}} \right) $

(3)

式中：a、b和c为待定系数。

利用如下3个条件：1) x=x₁，y=y₁；2) x=x₂，y=0；3) x=-x₁，y=-y₁得到

$ a = \frac{{ - {x_2}{y_1}}}{{{x_1}}},b = \frac{{{y_1}}}{{{x_1}}},c = \frac{{ - {x_2}}}{{x_1^2}} $

(4)

将式(4)代入式(3)，得到过A、B和D三点的滞回环下半环的表达式

$ \frac{P}{{{P_1}}} = \frac{y}{{{y_1}}} = \frac{{{x_1}\left( {{x_2} - x} \right)}}{{{x_2}x - x_1^2}}\left( { - {x_1} \le x \le {x_1}} \right) $

(5)

在式(5)中，取x=0，得到图 5(b)中滞回环下半环与y轴的交点C的纵坐标值，即y₃=-x₂y₁/x₁。通过计算可以得出点B(x₂, 0)与点C(0, -x₂y₁/x₁)连线的斜率为y₁/x₁，该值恰好等于点O(0, 0)与点A(x₁, y₁)连线的斜率，说明采用式(5)表示滞回环的下半环时，直线OA与BC是近似平行的，这与图 8圆形截面试件滞回曲线上特征点的分析结果是一致的。因此，式(5)表示的数学表达式合理描述了试件滞回曲线的下半环。

考虑滞回环的反对称性，一个完整的滞回环曲线可用式(6)描述。

$ \frac{P}{{{P_1}}} = \frac{y}{{{y_1}}} = \frac{{{x_1}\left( {{x_2} - \left| x \right|} \right)}}{{{x_2}\left| x \right| - x_1^2}}\left( { - {x_1} \le x \le {x_1}} \right) $

(6)

图 9所示为式(6)的计算结果与试验所得荷载-位移(P-Δ)滞回曲线的比较, 图中，计算滞回环的(x₁, y₁)是根据试验结果的骨架曲线确定的。并可以看出，根据式(6)计算得到的滞回曲线与试验滞回曲线非常接近。点(Δ₁, P₁)在滞回曲线的骨架曲线，分析实际的结构构件时，骨架曲线可以采用纤维法比较准确地确定，Δ₂可根据式(1)确定。因此，只要根据构件的材料性能、截面尺寸和配筋计算得到构件滞回曲线的骨架曲线，即可由式(6)得到构件不同位移下的滞回曲线。

图9

图 9 模型计算的滞回环与试验滞回环的比较 Fig. 9 Comparison of hysteretic loops between the predicted and the experiment

2 等效阻尼比

等效阻尼比ζ_eff为结构的粘滞阻尼比ζ_vis与等效滞回阻尼比ζ_hys之和。对于钢筋混凝土结构，ζ_vis取为0.05，ζ_hys按照结构的一个完整非线性滞回环消耗的能量与等效线性结构的一个循环粘滞阻尼消耗的能量相等确定(图 5(b))。

$ {\zeta _{{\rm{hys}}}} = \frac{{{E_{{\rm{hys}}}}}}{{4{\rm{ \mathsf{ π} }}{E_{{\rm{el}}}}}} $

(7)

式中:E_hys为一个完整加载循环的耗能，即图 5(b)中的阴影部分面积S_{(B′AB+BDB′)}；E_el为等效线性结构(构件)在一个加载循环中对应于最大位移的弹性变形能，即图 5(b)中三角形OAF的面积S_(OAF)或者三角形ODG的面积S_(ODG)。

根据式(6)求得：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{E_{{\rm{hys}}}} = {S_{\left( {B'AB + BDB'} \right)}} = }\\ {\frac{{4x_1^2{y_1}}}{{{x_2}}} - \frac{{\left( {x_1^2 - x_2^2} \right)}}{{x_2^2}}\ln \left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1} - {x_2}}}} \right)} \end{array} $

(8)

根据图 5(b)，E_el=S_(OAF)=S_(ODG)=x₁y₁/2。由式(7)得到

$ {\zeta _{{\rm{hys}}}} = \frac{1}{{\rm{\pi }}}\left[{\frac{{2{x_1}}}{{{x_2}}}-\frac{{\left( {x_1^2-x_2^2} \right)}}{{x_2^2}}\ln \left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}} \right)} \right] $

(9)

定义γ=x₂，根据式(1)可以得出γ=0.765(μ-1)^1.074，则式(9)可以表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\zeta _{{\rm{eff}}}} = 0.05 + {\zeta _{{\rm{hys}}}}}\\ {0.05 + \frac{1}{{\rm{\pi }}}\left[{\frac{{2\mu }}{\gamma }-\left( {\frac{{{\mu ^2}}}{{{\gamma ^2}}}-1} \right)\ln \left( {\frac{{\mu + \gamma }}{{\mu-\gamma }}} \right)} \right]} \end{array} $

(10)

图 10为按式(10)、Rosenblueth等^[9]和Kowalsky^[10]所提模型计算的等效阻尼比随延性系数μ的变化，α为双线性荷载-位移曲线中屈服后刚度与初始刚度的比值。由图 10可以看出，按Rosenblueth等^[9]所提模型计算的等效阻尼比明显低于试验得到的等效阻尼比，按Kowalsky^[10]所提模型计算的等效阻尼比明显高于试验得到的等效阻尼比，按本文模型计算得到的等效阻尼比与试验结果则比较接近。

图10

图 10 计算与试验ξeff-μ关系曲线的比较 Fig. 10 Comparison of ξeff-μ relationship between the predicted and the experiment

图 11为按不同公式计算的等效阻尼比ζ_{eff, c}与试验50根试件阻尼比ζ_{eff, t}的对比结果。从图中可以看出，根据Rosenblueth等^[9]所提模型算得的等效阻尼比基本上都位于45度线之上，表明该模型高估了实际的等效阻尼比；相反，按照Kowalsky^[10]所提模型算得的结果位于45度线之下，表明该模型低估了实际阻尼比；而采用本文所提模型算得的结果位于45度线附近，表明本文所提出的公式更为合理。

图11

图 11 计算阻尼比与试验阻尼比的比较 Fig. 11 Comparison of equivalent damping ratios between the predicted and that obtained based on experimental results

3 双墩柱桥梁的整体结构等效阻尼比

以图 12(a)所示双柱墩钢筋混凝土简支梁桥为例，说明建立结构整体等效阻尼比与构件塑性铰阻尼比关系的方法。

图12

图 12 双柱墩钢筋混凝土简支梁桥 Fig. 12 Two column piers supported bridge

用于分析的桥梁单元及分析单元上塑性铰区域如图 12(b)所示。盖梁上作用有竖向力N和水平力P。假定墩柱的底部及顶部分别固定在底座和盖梁上，且底座及盖梁的强度、刚度均大于墩柱，则作用在盖梁上的侧向力P会均分到两个墩柱上，单个墩柱上侧向力为P/2。随着侧向力的增加，墩柱上会出现双曲率弯曲，反弯点距离顶部、底部的距离分别为l₁和l₂，如图 13(a)所示。

图13

图 13 墩柱变形图及墩柱的滞回环 Fig. 13 Relationships of displacement capacity and energy dissipation between the bridge and the potential plastic hinges of its columns

通过截面分析可以确定墩柱顶部(i=1)及底部(i=2)的曲率φ_i，进而求得墩柱底部及顶部相对于反弯点的侧移^[25]

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\Delta }_{{\rm{c}}i}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\Delta }_i}}\\ {{\mathit{\Delta }_{{\rm{y}}i}} + {\mathit{\Delta }_{{\rm{p}}i}}} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {{\varphi _i} \le {\varphi _{{\rm{y}}i}}}\\ {{\varphi _i} > {\varphi _{{\rm{y}}i}}} \end{array}} \end{array}} \right. = }\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varphi _i}\frac{{l_i^2}}{3}}&{{\varphi _i} \le {\varphi _{{\rm{y}}i}}}\\ {{\varphi _{{\rm{y}}i}}\frac{{l_i^2}}{3} + \frac{{{l_{{\rm{p}}i}}}}{2}\left( {{\varphi _i} - {\varphi _{{\rm{y}}i}}} \right)\left( {{l_i} - {l_{{\rm{p}}i}}} \right)}&{{\varphi _i} > {\varphi _{{\rm{y}}i}}} \end{array}} \right.} \end{array} $

(11)

式中

$ {l_{{\rm{p}}i}} = 0.08{l_i} + 0.022{f_{{\rm{y}}i}}{d_i} $

(12)

式中：φ_yi为墩柱顶部(i=1)和底部(i=2)塑性铰的屈服曲率；Δ_yi和Δ_pi为墩柱顶部(i=1)和底部(i=2)的屈服位移及屈服后位移；l_pi为塑性铰区长度；f_yi和d_i分别钢筋的屈服强度及直径。

根据式(11)求得墩柱顶部及底部的侧向荷载-位移曲线如图 13(b)~(d)所示。假定图 12(b)所示的双柱墩中两墩柱底部纵向的配筋率大于顶部，塑性铰首先在顶部形成，随着荷载的增加，墩柱底部的塑性铰形成，该双柱墩的总侧向位移为

$ {\mathit{\Delta }_{\rm{c}}} = {\mathit{\Delta }_{{\rm{c1}}}} + {\mathit{\Delta }_{{\rm{c2}}}} $

(13)

根据式(13)可以求得荷载从0增大至P/2，或从0反向加载至-P/2时，双柱墩的单调荷载位移曲线荷载，如图 13(d)中的OA_t和OD_t。

当盖梁上的加载路径为P→0→P′→0→P时，可以得到图 13(d)所示双柱墩的循环荷载位移曲线A_tB_tC_tD_tE_tF_tA_t。同时，可以得到墩柱顶部及底部塑性铰上，加载路径为P/2→0→P'/2→0→P/2时的循环荷载位移曲线A₁B₁C₁D₁E₁F₁A₁和A₂B₂C₂D₂E₂F₂A₂，如图 13(b)及图 13(c)所示。由于圆形截面钢筋混凝土构件中纵筋沿截面边缘均匀布置，所以，P和P′值相差不多，故可以假定曲线A₁B₁C₁D₁E₁F₁A₁、A₂B₂C₂D₂E₂F₂A₂以及A_tB_tC_tD_tE_tF_tA_t为关于坐标系原点对称的封闭滞回环，与试验中各钢筋混凝土试件加载情况相符。

双柱墩的耗能能力等于两个墩柱的耗能能力之和，因此，图 13(d)中环A_tB_tC_tD_tE_tF_tA_t所消耗的能量为图 13(b)中环A₁B₁C₁D₁E₁F₁A₁与图 13(c)中环A₂B₂C₂D₂E₂F₂A₂所消耗能量的两倍(共有4个塑性铰)。根据式(7)，墩柱上一个塑性铰耗散的能量为

$ \begin{array}{l} {E_{{\rm{hys, }}i}} = 4{\rm{\pi }}{\zeta _{{\rm{hys, }}i}}{E_{{\rm{el, }}i}} = \\ = 4{\rm{\pi }}{\zeta _{{\rm{hys, }}i}} \times \frac{1}{2}{\mathit{\Delta }_{{\rm{c}}i}}\left( {\frac{P}{2}} \right) = {\rm{\pi }}{\zeta _{{\rm{hys, }}i}}{\mathit{\Delta }_{{\rm{c}}i}}P \end{array} $

(14)

式中:ζ_{hys, i}为墩顶(i=1)或墩底(i=2)的等效阻尼比，可根据式(10)计算。

$ {\zeta _{{\rm{hys, }}i}} = \frac{1}{{\rm{\pi }}}\left[{\frac{{2{\mu _i}}}{{{\gamma _i}}}-\left( {\frac{{{\mu _i}^2}}{{{\gamma _i}^2}}-1} \right)\ln \left( {\frac{{{\mu _i} + {\gamma _i}}}{{{\mu _i}-{\gamma _i}}}} \right)} \right] $

(15)

因此，由式(14)和式(15)求得用墩柱上各塑性铰等效阻尼比表示的双柱墩耗能为

$ \begin{array}{l} {E_{{\rm{hys}}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 0&{{\mathit{\Delta }_{{\rm{c1}}}} \le {\mathit{\Delta }_{{\rm{y1}}}}}\\ {2{E_{{\rm{hys, 1}}}}}&{{\mathit{\Delta }_{{\rm{c1}}}} > {\mathit{\Delta }_{{\rm{y1}}}}, {\mathit{\Delta }_{{\rm{c2}}}} \le {\mathit{\Delta }_{{\rm{y2}}}}}\\ {2{E_{{\rm{hys, 1}}}} + 2{E_{{\rm{hys, 2}}}}}&{{\mathit{\Delta }_{{\rm{c2}}}} > {\mathit{\Delta }_{{\rm{y2}}}}} \end{array}} \right. = \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 0&{{\mathit{\Delta }_{{\rm{c1}}}} \le {\mathit{\Delta }_{{\rm{y1}}}}}\\ {2{\rm{\pi }}{\zeta _{{\rm{hys, 1}}}}{\mathit{\Delta }_{{\rm{c1}}}}P}&{{\mathit{\Delta }_{{\rm{c1}}}} > {\mathit{\Delta }_{{\rm{y1}}}}, {\mathit{\Delta }_{{\rm{c2}}}} \le {\mathit{\Delta }_{{\rm{y2}}}}}\\ {2{\rm{\pi }}{\zeta _{{\rm{hys, 1}}}}{\mathit{\Delta }_{{\rm{c1}}}}P + 2{\rm{\pi }}{\zeta _{{\rm{hys, 2}}}}{\mathit{\Delta }_{{\rm{c2}}}}P}&{{\mathit{\Delta }_{{\rm{c2}}}} > {\mathit{\Delta }_{{\rm{y2}}}}} \end{array}} \right. \end{array} $

(16)

根据式(7)，双柱墩的等效阻尼比为：

$ {\zeta _{{\rm{hys}}}} = \frac{{{E_{{\rm{hys}}}}}}{{4{\rm{\pi }}{E_{{\rm{el}}}}}} = \frac{{{E_{{\rm{hys}}}}}}{{4{\rm{\pi }} \times \frac{1}{2}P{\mathit{\Delta }_{\rm{c}}}}} = \frac{{{E_{{\rm{hys}}}}}}{{{\rm{2\pi }}{\mathit{\Delta }_{\rm{c}}}P}} $

(17)

将式(16)代入式(17)并考虑弹性粘滞阻尼比，可以得到图 12(b)所示双柱墩的等效阻尼比：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\zeta _{{\rm{eff}}}} = 0.05 + {\zeta _{{\rm{hys}}}} = }\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0.05}&{{\mathit{\Delta }_{{\rm{c1}}}} \le {\mathit{\Delta }_{{\rm{y1}}}}}\\ {0.05 + {\zeta _{{\rm{hys, 1}}}}\frac{{{\mathit{\Delta }_{{\rm{c1}}}}}}{{{\mathit{\Delta }_{\rm{c}}}}}}&{{\mathit{\Delta }_{{\rm{c1}}}} > {\mathit{\Delta }_{{\rm{y1}}}}, {\mathit{\Delta }_{{\rm{c2}}}} \le {\mathit{\Delta }_{{\rm{y2}}}}}\\ {0.05 + {\zeta _{{\rm{hys, 1}}}}}&{\frac{{{\mathit{\Delta }_{{\rm{c1}}}}}}{{{\mathit{\Delta }_{\rm{c}}}}} + {\zeta _{{\rm{hys, 2}}}}\frac{{{\mathit{\Delta }_{{\rm{c2}}}}}}{{{\mathit{\Delta }_{\rm{c}}}}}{\mathit{\Delta }_{{\rm{c2}}}} > {\mathit{\Delta }_{{\rm{y2}}}}} \end{array}} \right.} \end{array} $

(18)

4 算例

对图 12所示双柱墩进行Pushover分析。桥墩高10 m，上部集中质量为4.0×10⁵ kg，墩柱直径为1 000 mm，墩柱顶部和底部配筋如图 14所示，纵筋屈服强度和极限强度分别为410.4 MPa和615.6 MPa，箍筋屈服强度为410.4 MPa，间距为100 mm，混凝土强度为34.5 MPa，保护层厚度为30 mm。

图14

图 14 墩柱顶部及底部横截面的配筋 Fig. 14 Cross section and reinforcement details of bridge columns

钢筋应力-应变关系采用Esmaeily等^[26]的三线段强化模型，保护层混凝土和核心混凝土分别采用Mander等^[27]的应力-应变模型。通过截面分析求得单根墩柱上部、下部悬臂段的水平荷载-位移(相对于反弯点)曲线及整个柱墩的水平荷载-位移(墩顶相对于墩底)曲线，如图 15所示。采用图 6所示的方法得到曲线的等效屈服位移和屈服荷载也示于图 15。

图15

图 15 荷载-位移曲线 Fig. 15 Lateral load-displacement curves

采用《公路桥梁抗震设计细则》^[28]的反应谱进行Pushover分析。反应谱的形式为

$ {S_{\rm{a}}}\left( T \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_{\max }}\left( {5.5T + 0.45} \right)}&{T < 0.1{\rm{s}}} \end{array}}\\ {{S_{\max }}\;0.1{\rm{s}} \le T \le {T_{\rm{g}}}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_{\max }}\left( {T/{T_{\rm{g}}}} \right)}&{T > {T_{\rm{g}}}} \end{array}} \end{array}} \right. $

(19)

式中:T为结构的周期；T_g为特征周期，本例取为0.45s；S_max为水平加速度反应谱最大值，按式(20)计算。

$ {S_{\max }} = 2.25{C_{\rm{i}}}{C_{\rm{s}}}{C_{\rm{d}}}A $

(20)

式中：C_i为抗震重要性系数，抗震设防类别为C类时，取为1.0；C_s为场地系数，场地类别为Ⅱ类、峰值地面加速为0.4 g时，取为1.0；A为水平向设计基本地震加速度，取为0.4 g；C_d为阻尼调整系数，按式(21)计算。

$ {C_{\rm{d}}} = 1 + \frac{{0.05 - \zeta }}{{0.06 + 1.7\zeta }} \ge 0.55 $

(21)

采用本文所的等效阻尼比模型，根据式(18)求出该双柱墩的性能点D及等效阻尼比如图 16所示。为方便对比，也直接采用了Rosenblueth等^[9]所提模型及Kowalsky^[10]所提模型进行了计算。

图16

图 16 基于不同等效阻尼比模型的目标位移及性能点 Fig. 16 Performance points and target displacement in ADRS domain

由图 16可以看出，采用本文模型算得的等效阻尼比为21.5%，目标位移为0.120 m；按照Rosenblueth^[9]等所提模型以及Kowalsky^[10]所提模型算得的等效阻尼比分别为25.52%和13.48%，目标位移分别为0.110 m和0.158 m。按本文模型算得的结果介于采用Rosenblueth等^[9]所提模型和Kowalsky^[10]所提模型算得的结果之间。

5 结论

根据弯曲破坏型钢筋混凝土圆柱的试验结果，建立了完整滞回环的数学模型，基于所建立的滞回环模型，根据Jacobsen理论推导得出圆柱的等效阻尼比模型。以双墩钢筋混凝土连续梁桥为例，建立了桥梁结构体系等效阻尼比与墩柱端部塑性铰等效阻尼比的转换关系式。本研究主要结论如下：

1) 所提出弯曲破坏型钢筋混凝土圆柱的滞回环表达式较好地反映了弯曲破坏型试件的滞回特性；基于该模型建立的等效阻尼比模型概念明确，与试验结果吻合良好，可用于地震作用下弯曲破坏钢筋混凝土圆形截面偏心受压构件的抗震分析。

2) 从原理上讲，用反映桥梁墩柱不同位置塑性铰及考虑塑性铰不同出现次序和转动情况的桥梁整体等效阻尼比分析地震作用下桥梁的位移，比目前Pushover分析中常用的采用一个构件的等效阻尼比计算桥梁的位移更能反映桥梁整体的耗能和等效粘滞阻尼特性。

3) 以建立的单个塑性铰的等效阻尼比为基础、采用本文提出的桥梁整体等效阻尼比公式进行poshover分析，计算的桥梁目标位移与基于Rosenblueth模型以及Kowalsky模型的计算结果存在较大的差距。

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