普朗德尔对饱和土地基利用极限平衡理论求解地基极限承载力时，采用3个假定进行简化计算：地基为无重介质、基础底面是完全光滑面、基础埋深小于基础宽度的浅基础；将基底平面当成地基表面；滑动面只延伸到该假定地基表面。根据特征线法求解偏微分方程组，获得了相应的地基极限承载力。当荷载达到极限荷载p_u时，地基内出现连续滑动面，滑动土体可分为Ⅰ区朗肯主动区、Ⅱ区过渡区和Ⅲ区朗肯被动区。滑动面的边界线由Ⅰ区与水平面成$\pm \left( {45^\circ + \frac{\varphi }{2}} \right)$滑动线，Ⅲ区与水平面成$\pm \left( {45^\circ + \frac{\varphi }{2}} \right)$滑动线和连接Ⅰ区、Ⅲ区的对数螺旋线组成，如图 1所示。

图 1

图 1 无重介质滑动面 Fig. 1 Slip surface of weightlessness medium

文献[14]基于普朗德尔假定及普朗德尔所确定的滑动面形式，利用刚体平衡方法获得了与普朗德尔地基极限承载力相同的解答。具体做法是，将地基中滑动土体沿Ⅰ区和Ⅲ区中线切开，如图 2所示，取土体OCEGO作为隔离体，利用静力平衡，即对极点A的合力矩为零进行求解。其中，OA边为待求极限承载力p_u，AG边为侧荷载q，OC边为朗肯主动土压力p_a，GE边为朗肯被动土压力p_p，对于饱和土土压力沿深度方向均匀分布(图 2中虚线所示)，CE边为粘聚力c及正压力与摩擦力的合力为R。稳态流下非饱和土主动土压力分布具有明显的非线性分布特点^[15], 如图 2中实线所示。

图 2

图 2 力矩平衡法求极限承载力 Fig. 2 Balance force method for ultimate bearing capacity of soil foundation

为了便于将普朗德尔地基极限承载力公式拓展到稳态流下非饱和土地基承载力计算情形，作如下补充假定和修正假定：

1) 地基土滑动面符合普朗德尔所确定的滑动面形式，可用刚体平衡方法求解。

2) 对于非饱和土地基，AC边与水平面成$\pm \left( {45^\circ + \frac{{\varphi '}}{2}} \right)$，AE边与水平面成$\pm \left( {45^\circ-\frac{{\varphi '}}{2}} \right)$，CE边为对数螺旋线

式中：r为对数螺旋线任意点到极点A的距离；r₀为对数螺旋线初始半径；ψ为射线r与r₀夹角；$φ$′为有效内摩擦角。

3) 仅考虑竖向稳定渗流的影响，则OC边为朗肯主动土压力(p_a－u_a)、GE边为朗肯被动土压力(p_p－u_a)分别为^[15]

式中：u_a为孔隙气压力；K_a为朗肯主动土压力系数，${K_{\rm{a}}} = {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\left( {\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{4}-\frac{{\varphi '}}{2}} \right)$；c′为有效黏聚力；K_p为朗肯被动土压力系数，${K_{\rm{p}}} = {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\left( {\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{4}-\frac{{\varphi '}}{2}} \right)$;χ(u_a－u_w)为吸应力。

稳态渗流条件下吸应力χ(u_a－u_w)的解析分布函数^[15]为

式中：α和n是Van Genuchten模型拟合参数；q为比流量即降雨量或蒸发率；k_s为饱和渗透系数；γ_w为水的重度；z为到地下水位处的距离。

4) 滑动面CE边为有效粘聚力c′及正压力与摩擦力的合力R′, R′指向A点。

由于隔离体处于静力平衡状态，各边界面上的作用力对极点A取矩，应满足

其中，几何关系为

OC边长度

对数螺旋线初始半径

对数螺旋线终止半径

GE边长度

AG边长度

弧面CE边上有效黏聚力对极点A产生的力矩M_c′可由式(12)求得。

式中：${\rm{d}}\mathit{s = }\frac{{r{\rm{d}}\psi }}{{{\rm{cos}}\;\varphi '}}$，代入式(12)，可得

AG边上侧向荷载q对极点A产生的力矩M_q为

式中：侧向荷载q可近似取q=γd，γ为基础埋深范围内土层的平均重度。

OA边上地基极限承载力p_u对极点A产生的力矩M_pu为

OC边上朗肯主动土压力(p_a－u_a)对极点A产生的力矩M_pa为

式中：l为任意点处的力臂长度。为了便于求解稳态渗流条件下吸应力χ(u_a－u_w)的解析分布函数，将式(16)转化为对深度z积分，则有

式中：d为基础埋深；H为地下水位埋深。

同理可得，GE边上朗肯被动土压力(p_p－u_a)对极点A产生的力矩M_pp为

式中：GE为GE边长度。

将式(13)、(14)、(15)、(17)、(18)代入式(5)可得

整理并化简，则有

对比稳态渗流条件下非饱和土地基极限承载力式(20)与饱和土普朗德尔地基极限承载力公式可以发现，由于饱和土吸应力χ(u_a－u_w)为0，式(20)能退化到与饱和土普朗德尔地基极限承载力公式完全相同的形式，表明建议的稳态渗流条件下非饱和土地基极限承载力具有合理性。

2 计算与分析

稳态流下非饱和土的吸应力垂直分布规律主要受比流量q、地下水位埋深H、渗透系数k_s、Van Genuchten模型拟合参数α_v和n等因素控制。算例中取基础宽度b为2 m，基础埋深d为1.5 m，土的干重度γ_d为14.7 kN/m³，有效内摩擦角$φ$′为20°，有效黏聚力c′为10 kPa，残余含水量θ_r为0.03，饱和含水量θ_s为0.2，饱和渗透系数k_s为5×10^-8 m/s，Van Genuchten模型拟合参数α_v为0.04 kPa^-1和n为3，用于计算分析不同比流量q和地下水位埋深H对地基极限承载力的影响。

首先计算分析不同地下水位埋深H对地基极限承载力的影响。取比流量q为-5×10^-9 m/s，负号表示入渗，地下水位埋深分别为3.6、4.6、5.6、7.6、8.6、9.6、10.0 m，则相应的地基极限承载力与地下水埋深关系如图 3所示。

图 3

图 3 地基极限承载力与地下水埋深关系 Fig. 3 Relationship between ultimate bearing capacity of soil foundation and groundwater depth

图 3所示的地基极限承载力与地下水埋深关系表明, 稳态流下非饱和土地基极限承载力随地下水位埋深的减小呈先递减再增大的变化趋势。这主要是因为，在比流量q相同的稳态流情况下，地下水位的变化实质上使得滑动土体处于不同的吸应力剖面区段, 而稳态流下吸应力剖面具有明显的非线性特征。当地下水位埋深为10 m时，对于无粘性土、粉土以及粉质黏土, 吸应力随深度增加呈现出先增大至某个峰值然后减小的特点^[15]，可依次分为吸应力增大区段、吸应力峰值附近区段和吸应力减小区段。算例中地下水位埋深为10 m时吸应力剖面如图 4所示，图中10 m处为地表。地下水位埋深减小，会使得滑动土体依次处于吸应力增大区段、吸应力峰值附近区段和吸应力减小区段，从而导致地基极限承载力随地下水位埋深的减小呈先递减再增大的变化趋势。

图 4

图 4 吸应力剖面 Fig. 4 suction stress profile

在计算分析不同比流量q对地基极限承载力的影响时，取地下水位埋深为5.6 m，比流量q分别为-5×10^-12、-5×10^-11、-5×10^-10、-1×10^-9、-5×10^-9、-1×10^-8、-2×10^-8 m/s，则相应的地基极限承载力与比流量关系如图 5所示。

图 5

图 5 地基极限承载力与比流量关系曲线 Fig. 5 Relationship between ultimate bearing capacity of soil foundation and specific discharge

图 5所示的地基极限承载力与比流量关系表明, 稳态流下非饱和土地基极限承载力随比流量的增大呈先减小再增大的变化趋势。这主要是由于比流量增大引起滑动土体所在范围的吸应力呈现出非线性变化规律造成的。在算例中，不同比流量q条件下的吸应力剖面如图 6所示，地表位于5.6 m处，滑动土体的Ⅰ区在2.7~4.1 m区间，Ⅲ区在2.3~4.1 m区间。由图 6可见，在这两个区间内吸应力均随比流量的增大呈现出先增大后减小的趋势，从而导致地基极限承载力随比流量的增大呈先减小再增大的变化趋势。

图 6

图 6 不同比流量下吸应力剖面 Fig. 6 Suction stress profile under different specific discharges

3 结论

基于普朗德尔确定的滑动面形式，通过对普朗德尔假定进行补充，利用刚体平衡方法推导了稳态流下非饱和土地基的极限承载力，并讨论了地下水埋深和比流量变化对地基极限承载力的影响。

1) 在仅考虑竖向稳定渗流条件下，引入非饱和土朗肯土压力公式，利用静力平衡条件，推导非饱和土地基的极限承载力公式；与普朗德尔公式相比, 该公式考虑了滑动土体内吸应力对地基极限承载力的影响。

2) 稳态流下吸应力剖面的非线性特征是导致非饱和土地基极限承载力随地下水位埋深表现出非线性变化规律的重要因素；当土吸应力随深度增加呈现出先增大后减小的特点时，相应的地基极限承载力表现出随地下水位埋深的减小呈先递减再增大的变化趋势。

3) 比流量增大引起滑动土体所在范围的吸应力非线性变化的特点导致非饱和土地基极限承载力随比流量变化亦表现出非线性变化趋势；当滑动土体内吸应力随比流量的增大呈现出先增大后减小的趋势时，地基极限承载力随比流量的增大呈先减小再增大的变化趋势。

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