作为一种新型交流电机，无刷双馈电机(BDFM)取消了电刷和滑环，具有运行可靠、变频器容量小、转速和功率因数可调、系统成本低等优点，在电动机变频调速运行以及发电机变速恒频运行方面具有良好的应用前景^[1-2]。

近年来，BDFM由于其独特的运行特性而受到广泛关注。文献[3-4]介绍了BDFM的基本结构和工作原理，文献[5-6]分别通过小信号分析对BDFM的开环和闭环稳定运行范围进行了理论计算，并通过相关实验进行了验证，文献[7-8]对BDFM的动态特性进行了分析，其中文献[7]主要研究了不同转子结构对动态特性的影响，文献[8]则侧重于BDFM启动特性的研究。控制策略也是BDFM研究的一个热点：其中文献[9-11]分别对BDFM的直接转矩控制、矢量控制和模糊控制进行了详细介绍，文献[12-14]通过分析得出BDFM稳态运行时具有类似同步电机的功角特性，同时指出改变控制绕组电压的大小可以调节BDFM的稳定运行范围和功率因数；文献[15]通过频率折算，建立了BDFM的等效电路，给出了稳态运行时有功功率和转矩的表达式。现有文献对BDFM稳态特性的研究主要侧重于功角特性、功率因数特性等方面，且分析方法十分复杂，对其他诸如有功、无功调节特性和V形曲线等方面并没有进行分析。

为了寻求一种简捷且对各种稳态特性都能进行分析的普遍方法，在前人研究的基础上，从笼型转子BDFM的耦合电路和基本方程式出发，分析并得到了BDFM电流、有功功率、无功功率、电磁转矩和功率因数的数学模型，通过仿真研究了控制绕组电压、频率和功角对BDFM矩角特性、矩频特性、功角特性、无功特性、功率因数特性和V形曲线等稳态特性的影响；同时还提出了一个简化的有功功率表达式，进而分析了BDFM的能量转换关系。

1 BDFM的耦合电路及电压方程式

设功率绕组和控制绕组磁场转速分别为n_p和n_c，则有

$ \left. \begin{array}{l} {n_{\rm{p}}} = 60{f_{\rm{p}}}/{p_{\rm{p}}}\\ {n_{\rm{c}}} = 60{f_{\rm{c}}}/{p_{\rm{c}}} \end{array} \right\}, $

(1)

式中f_p、p_p和f_c、p_c分别为功率绕组和控制绕组的频率与极对数。

当BDFM稳定运行时，转子转速为^{[3-4, 7-8, 15]}

$ {n_{\rm{r}}} = 60\left( {{f_{\rm{p}}} - {f_{\rm{c}}}} \right)/\left( {{p_{\rm{p}}} - {p_{\rm{c}}}} \right)。$

(2)

当f_c>0、f_c＜0和f_c=0时，BDFM分别运行于亚同步速、超同步速和自然同步速。式(2)表明，通过调节控制绕组频率的大小和正负，可以灵活调节BDFM的转速和运行状态。

转子相对于功率绕组磁场的转差率为

$ {s_{{\rm{rp}}}} = {f_{\rm{r}}}/{p_{\rm{p}}} = \left( {{n_{\rm{p}}} - {n_{\rm{r}}}} \right)/{n_{\rm{p}}}, $

(3)

式中f_r为转子电流的频率。

同理，控制绕组磁场相对于转子的转差率、控制绕组磁场相对于功率绕组磁场的转差率分别为

$ {s_{{\rm{cr}}}} = {f_{\rm{c}}}/{f_{\rm{r}}}, $

(4)

$ s = {f_{\rm{c}}}/{p_{\rm{p}}} = {s_{{\rm{rp}}}}{s_{{\rm{cr}}}}。$

(5)

联立求解式(1)~式(3)，可得

$ {s_{{\rm{rp}}}} = \frac{{{f_{\rm{p}}}{p_{\rm{c}}} + {f_{\rm{c}}}{p_{\rm{p}}}}}{{{f_{\rm{p}}}\left( {{p_{\rm{p}}} + {p_{\rm{c}}}} \right)}}。$

(6)

BDFM定子上有2套彼此独立的三相绕组，其中极对数为p_p的功率绕组直接与电压为U_p、频率为f_p的工频电源连接，极对数为p_c的控制绕组由变频电源供电，其电压U_c和频率f_c可调。定子功率绕组和控制绕组在理论上没有直接的电磁耦合，而是通过转子的磁场调制作用来实现机电能量的转换^{[4, 7]}。经频率折算后，笼型转子BDFM的稳态耦合电路如图 1所示^[15]。

设功率绕组和控制绕组的电压、电流均按照电动机惯例进行定义。根据耦合电路中参考方向的规定，可得到BDFM的稳态电压平衡方程式

$ \left. \begin{array}{l} {{\dot U}_{\rm{p}}} = \left( {{r_{\rm{p}}} + j{\omega _{\rm{p}}}{L_{\rm{p}}}} \right){{\dot I}_{\rm{p}}} + j{\omega _{\rm{p}}}{M_{{\rm{pr}}}}{{\dot I}_{\rm{r}}}\\ \frac{{{{\dot U}_{\rm{c}}}}}{s} = \left( {\frac{{{r_{\rm{c}}}}}{s} + j{\omega _{\rm{p}}}{L_{\rm{c}}}} \right){{\dot I}_{\rm{c}}} + j{\omega _{\rm{p}}}{M_{{\rm{cr}}}}{{\dot I}_{\rm{r}}}\\ 0 = j{\omega _{\rm{p}}}{M_{{\rm{pr}}}}{{\dot I}_{\rm{p}}} + j{\omega _{\rm{p}}}{M_{{\rm{cr}}}}{{\dot I}_{\rm{c}}} + \left( {\frac{{{r_{\rm{r}}}}}{{{s_{{\rm{rp}}}}}} + j{\omega _{\rm{p}}}{L_{\rm{r}}}} \right){{\dot I}_{\rm{r}}} \end{array} \right\}, $

(7)

式中： ${{\dot I}_{\rm{p}}}$ 、 ${{\dot I}_{\rm{c}}}$ 、 ${{\dot I}_{\rm{r}}}$ 分别为功率绕组、控制绕组和转子电流；r_p、r_c、r_r和L_p、L_c、L_r分别为功率绕组、控制绕组、转子的电阻和自感；M_pr和M_cr分别为功率绕组和控制绕组与转子之间的互感；ω_p为功率绕组的角频率。

2 BDFM稳态特性的数学模型 2.1 电流计算模型

以 ${{\dot U}_{\rm{p}}}$ 作为参考向量，令其初相角为0。设 ${{\dot U}_{\rm{c}}}$ 滞后 ${{\dot U}_{\rm{p}}}$ 的角度为α，并定义为BDFM的功角。这时，将式(7)分解为实部和虚部，可得^[15]

$ \left. \begin{array}{l} {r_{\rm{p}}}{I_{{\rm{pr}}}} - {\omega _{\rm{p}}}{L_{\rm{p}}}{I_{{\rm{pi}}}} - {\omega _{\rm{p}}}{M_{{\rm{pr}}}}{I_{{\rm{ri}}}} - {U_{\rm{p}}} = 0\\ {r_{\rm{p}}}{I_{{\rm{pi}}}} + {\omega _{\rm{p}}}{L_{\rm{p}}}{I_{{\rm{pr}}}} + {\omega _{\rm{p}}}{M_{{\rm{pr}}}}{I_{{\rm{rr}}}} = 0\\ \frac{{{r_{\rm{c}}}}}{s}{I_{{\rm{cr}}}} - {\omega _{\rm{p}}}{L_{\rm{c}}}{I_{{\rm{ci}}}} - {\omega _{\rm{p}}}{M_{{\rm{cr}}}}{I_{{\rm{ri}}}} - \frac{{{U_{\rm{c}}}}}{s}\cos \alpha = 0\\ \frac{{{r_{\rm{c}}}}}{s}{I_{{\rm{ci}}}} - {\omega _{\rm{p}}}{L_{\rm{c}}}{I_{{\rm{cr}}}} - {\omega _{\rm{p}}}{M_{{\rm{cr}}}}{I_{{\rm{rr}}}} - \frac{{{U_{\rm{c}}}}}{s}\sin \alpha = 0\\ {\omega _{\rm{p}}}{M_{{\rm{pr}}}}{I_{{\rm{pi}}}} + {\omega _{\rm{p}}}{M_{{\rm{cr}}}}{I_{{\rm{ci}}}} - \frac{{{r_{\rm{r}}}}}{{{s_{{\rm{rp}}}}}}{I_{{\rm{rr}}}} + {\omega _{\rm{p}}}{L_{\rm{r}}}{L_{{\rm{ri}}}} = 0\\ {\omega _{\rm{p}}}{M_{{\rm{pr}}}}{I_{{\rm{pr}}}} + {\omega _{\rm{p}}}{M_{{\rm{cr}}}}{I_{{\rm{cr}}}} - \frac{{{r_{\rm{r}}}}}{{{s_{{\rm{rp}}}}}}{I_{{\rm{ri}}}} + {\omega _{\rm{p}}}{L_{\rm{r}}}{L_{{\rm{rr}}}} = 0 \end{array} \right\}, $

(8)

式中：I_pr、I_pi、I_cr、I_ci、I_rr、I_ri分别为I_p、I_c、I_r的实部和虚部。

以I_pr、I_pi、I_cr、I_ci、I_rr、I_ri作为未知量，联立求解式(5)、(6)和(8)，可得

$ \left\{ \mathit{\boldsymbol{I}} \right\} = \mathit{\boldsymbol{f}}\left( {{U_{\rm{c}}},{f_{\rm{c}}},\alpha } \right), $

(9)

式中：{I}表示由各电流分量组成的集合，f表示由相应的函数所组成的集合，二者均为广义变量。

式(9)描述了BDFM各电流分量随U_c、f_c和α变化的数学模型，是一组非线性方程。在BDFM电阻、电感参数和功率绕组电压、频率已知的情况下，只要给定了控制绕组电压的大小、频率、相位、相序，就可求出所有的电流分量，进而求出功率、转矩、功率因数等。

2.2 功率计算模型

由图 1可知，三相功率绕组的有功功率为

$ {P_{\rm{p}}} = 3{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {{{\dot U}_{\rm{p}}}I_{\rm{p}}^ * } \right] = 3{r_{\rm{p}}}I_{\rm{p}}^2 + 3{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {j{\omega _{\rm{p}}}{M_{{\rm{pr}}}}{{\dot I}_{\rm{r}}}\dot I_{\rm{p}}^ * } \right], $

(10)

式中：第1项为功率绕组的铜耗，第2项为功率绕组传递给转子的有功功率，记为P_pr。

结合式(9)，可得

$ {P_{{\rm{pr}}}} = 3{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {j{\omega _{\rm{p}}}{M_{{\rm{pr}}}}{{\dot I}_{\rm{r}}}\dot I_{\rm{p}}^ * } \right] = f\left( {{U_{\rm{c}}},{f_{\rm{c}}},\alpha } \right)。$

(11)

同理，功率绕组的无功功率和传递给转子的无功功率，控制绕组传递给转子的有功功率和无功功率分别为

$ {Q_{\rm{p}}} = 3{\rm{lm}}\left[ {{{\dot U}_{\rm{p}}}I_{\rm{p}}^ * } \right] = f\left( {{U_{\rm{c}}},{f_{\rm{c}}},\alpha } \right), $

(12)

$ {Q_{{\rm{pr}}}} = 3{\rm{lm}}\left[ {j{\omega _{\rm{p}}}{M_{{\rm{pr}}}}{{\dot I}_{\rm{r}}}\dot I_{\rm{p}}^ * } \right] = f\left( {{U_{\rm{c}}},{f_{\rm{c}}},\alpha } \right), $

(13)

$ {P_{{\rm{cr}}}} = 3s{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {j{\omega _{\rm{p}}}{M_{{\rm{pr}}}}{{\dot I}_{\rm{r}}}\dot I_{\rm{c}}^ * } \right] = f\left( {{U_{\rm{c}}},{f_{\rm{c}}},\alpha } \right), $

(14)

$ {Q_{{\rm{cr}}}} = 3s{\rm{lm}}\left[ {j{\omega _{\rm{p}}}{M_{{\rm{pr}}}}{{\dot I}_{\rm{r}}}\dot I_{\rm{c}}^ * } \right] = f\left( {{U_{\rm{c}}},{f_{\rm{c}}},\alpha } \right)。$

(15)

电磁功率P_em为

$ {P_{{\rm{em}}}} = {P_{{\rm{pr}}}} + {P_{{\rm{cr}}}} = f\left( {{U_{\rm{c}}},{f_{\rm{c}}},\alpha } \right), $

(16)

再结合式(8)和式(11)~(15)，可得

$ 3{r_{\rm{r}}}I_{\rm{r}}^2 = {s_{{\rm{rp}}}}\left( {{P_{{\rm{pr}}}} + {P_{{\rm{cr}}}}/s} \right)。$

(17)

由式(17)可见，功率绕组和控制绕组传递给转子的有功功率中，有部分转变为转子铜耗，其余则转换成机械功率。若忽略转子电阻，则式(17)可简化为

$ {P_{{\rm{pr}}}} = - {P_{{\rm{cr}}}}/s。$

(18)

由式(18)可见，控制绕组传递给转子的有功功率，为功率绕组传递给转子的有功功率的s倍。也就是说，控制绕组作为BDFM的副绕组，只需承担转差功率。

2.3 电磁转矩计算模型

设功率绕组和控制绕组产生的电磁转矩分别为T_p和T_c，由式(9)、式(11)和式(14)，可得BDFM的总电磁转矩为

$ \begin{array}{l} {T_{{\rm{em}}}} = {T_{\rm{p}}} + {T_{\rm{c}}} = \frac{{{P_{{\rm{pr}}}}}}{{{\omega _{\rm{p}}}/{p_{\rm{p}}}}} + \frac{{{P_{{\rm{cr}}}}}}{{\left| {{\omega _{\rm{c}}}} \right|/{p_{\rm{c}}}}} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;3{p_{\rm{p}}}{M_{{\rm{pr}}}}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {j{{\dot I}_{\rm{r}}}\dot I_{\rm{p}}^ * } \right] \pm 3{p_{\rm{c}}}{M_{{\rm{cr}}}}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {j{{\dot I}_{\rm{r}}}\dot I_{\rm{c}}^ * } \right] = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;f\left( {{U_{\rm{c}}},{f_{\rm{c}}},\alpha } \right)。\end{array} $

(19)

式中，当BDFM运行于亚同步状态时，取“+”；超同步状态时，取“-”。

由式(19)可见，I_r、I_p相互作用产生电磁转矩T_p，I_r、I_c相互作用产生电磁转矩T_c，T_p、T_c共同构成BDFM的电磁转矩T_em。

设电机负载转矩为T_L，若忽略摩擦转矩，由稳态转矩平衡方程为

$ {T_{{\rm{em}}}} = {T_{\rm{L}}} = 0。$

(20)

2.4 功率绕组电流和功率因数计算模型

根据式(9)，可计算得到功率绕组的电流为

$ {I_{\rm{p}}} = \pm \sqrt {I_{{\rm{pi}}}^2 + I_{{\rm{pr}}}^2} = f\left( {{U_{\rm{c}}},{f_{\rm{c}}},\alpha } \right), $

(21)

式中，电动状态时取“+”，发电状态时取“-”。

功率绕组的功率因数为

$ \cos \varphi = \cos \left[ {t{g^{ - 1}}\left( {{I_{{\rm{pi}}}}/{I_{{\rm{pr}}}}} \right)} \right] = f\left( {{U_{\rm{c}}},{f_{\rm{c}}},\alpha } \right)。$

(22)

3 仿真实例及其分析

为了验证提出的数学模型，在Matlab平台上利用符号计算功能，编制计算程序对一台4.5 kW的笼型转子BDFM稳态特性进行仿真。仿真中所用样机的参数为：U_p=220 V，f_p=50 Hz，p_p=3，p_c=1，r_p=4.03 Ω，L_p=0.322 5 H，r_c=2.06 Ω，L_c=0.481 8 H，r_r=0.315 mΩ，L_r=0.031 5 mH，M_pr=1.358 9 mH，M_cr=4.670 4 mH。

3.1 转矩特性分析

由式(19)可知，T_em是一个关于U_c、f_c、α的函数。当f_c一定时，T_em随U_c、α变化的矩角特性曲线如图 2所示。

可见，BDFM与同步电机具有类似的矩角特性。同步电机的稳定运行条件为dT_em/dα>0，因此BDFM的稳定性判据依然为dT_em/dα>0。在f_c一定的情况下，适当提高BDFM控制绕组电压的大小，可提高BDFM的稳定性，这与文献[12-14]得到的结论一致。

保持U_c=50 V不变，T_em随f_c、α变化的矩角特性曲线如图 3所示。

可见，当f_c越接近0时，BDFM稳定运行的转矩范围越大，说明BDFM在自然同步速附近运行时具有较好的稳定性。

保持U_c=50 V、α=π/6不变，T_em随f_c变化的矩频特性曲线如图 4所示。

可见，当f_c=-f_pp_c/p_p=-50/3 Hz时，矩频特性曲线出现了一个尖点，BDFM不能稳定运行。这是因为，由式(1)和式(2)可知，此时功率绕组和控制绕组磁场转向相同，且有n_p=|n_c|=n_r，即定子功率绕组、控制绕组产生的磁场与转子保持相对静止，转子中不感应电动势，无电流，不能产生电磁转矩，故不能稳定运行，BDFM应尽量避免运行于该点。此外，在U_c、α一定的情况下，|T_em|随|f_c|的减小而增大，当f_c=0时，由式(5)可知s=0，而由图 1可知耦合电路不适用于s=0的情况，故此时不能直接计算T_em，因而对于自然同步速情况需另外进行考虑。

3.2 有功功率分析

由式(11)、式(14)和式(16)可知，P_pr、P_cr、P_em都是关于U_c、f_c、α的函数。保持U_c=50 V不变，当f_c一定时，P_pr、P_cr、P_em随α变化的功角特性曲线如图 5所示。

可见，当BDFM运行于亚同步速时，功率绕组和控制绕组传递给转子的有功功率流向相反；而当BDFM运行于超同步速时，则两者的功率流向相同。

3.3 功率流向分析

为了进一步对功率流向进行分析，根据式(11)，忽略定、转子电阻，经推导可得出功率绕组传递给转子的有功功率简化表达式为

$ {P_{{\rm{pr}}}} = - \frac{{{M_{{\rm{cr}}}}{M_{{\rm{pr}}}}{U_{\rm{c}}}{U_{\rm{p}}}\sin \alpha }}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}{f_{\rm{c}}}\left( {{L_{\rm{c}}}{L_{\rm{p}}}{L_{\rm{r}}} - {L_{\rm{c}}}M_{{\rm{pr}}}^2 - {L_{\rm{p}}}M_{{\rm{cr}}}^2} \right)}}, $

(23)

式中：L_cL_pL_r-L_cM_pr²-L_pM_cr²决定于BDFM的电感参数，有L_cL_pL_r-L_cM_pr²-L_pM_cr²＜0；控制绕组电压的幅值U_c恒大于0，故有M_crM_prU_cU_p>0。

利用式(5)、(16)、(18)、(23)对各种运行状态下的功率流向进行具体分析。

由式(23)可知，当f_c>0，0＜α＜π时，P_pr>0，BDFM运行于亚同步电动状态。另外，通常情况下有|s|＜1，由式(5)和式(18)可知，P_cr＜0且P_pr>|P_cr|，故由式(16)可知P_em>0。基于以上分析，可画出BDFM亚同步电动状态下的功率流向，如图 6(a)所示。该状态对应于图 4的右上方区域以及图 5(a)的右边区域。

同理分析可知，当f_c＜0，0＜α＜π时，P_pr＜0，P_cr＜0和P_em＜0，BDFM运行于超同步发电状态，其功率流向如图 6(b)所示。该状态对应于图 4的左下方区域以及图 5(b)的右边区域。

当f_c>0，-π＜α＜0时，P_pr＜0，P_cr>0和P_em＜0，BDFM运行于亚同步发电状态，其功率流向如图 6(c)所示。该状态对应于图 5(a)的左边区域。

当f_c＜0，-π＜α＜0时，P_pr>0，P_cr>0和P_em>0，BDFM运行于超同步电动状态，其功率流向如图 6(d)所示。该状态对应于图 5(b)的左边区域。

综合图 5和图 6可见，忽略定转子电阻后所获得的简化功率解析表达式(23)可方便地分析BDFM的功率流向，其结果与文献[17]一致。

3.4 无功功率分析

由式(12)可知，Q_p是一个关于U_c、f_c、α的函数。当f_c一定时，Q_p随U_c、α变化的无功功率特性曲线如图 7所示。

可见，通过调节控制绕组电压的大小、频率、相位和相序，可以灵活地调节功率绕组无功功率的大小及流向，进而调节功率绕组的功率因数。

3.5 功率因数分析

为了进一步分析功率因数的变化规律，以恒转矩负载运行工况为例，结合式(19)、式(20)和式(22)可知，功率因数是一个关于U_c、f_c、T_L的函数。在亚同步运行时，通过仿真得到的功率因数特性曲线如图 8所示。

可见，适当增加U_c，可以增加功率绕组的功率因数，但当U_c过大时，功率因数将减小，其结果与文献[16-17]的实验数据变化规律一致。此外，由图 8(a)可见，保持T_L=10 N·m不变，随着f_c的增加，使功率因数达到1的U_c会相应增大；由图 8(b)可见，保持f_c=10 Hz不变，随着T_L的增加，使功率因数达到1的U_c也会相应增大。

3.6 V形曲线分析

在恒转矩负载运行工况下，结合式(19)~(21)可知，此时功率绕组电流也是一个关于U_c、f_c、T_L的函数。在亚同步运行时，通过仿真得到的曲线如图 9所示。

可见，当f_c和T_L一定时，随着U_c的增加，I_p先减小后增大，呈“V”形变化，称之为BDFM的V形曲线，其仿真结果与文献[16]的实验数据变化规律一致。参照同步电机V形曲线分析方法，结合图 8和图 9可看出，在功率因数达到1之前，BDFM处于“欠励”状态，从电网吸收滞后的无功功率；而当U_c继续增大，BDFM便处于“过励”状态，此时从电网吸收超前的无功功率。同时，由图 9(a)可见，保持T_L=10 N·m不变，随着f_c的增加，V形曲线向右移动；由图 9(b)可见，保持f_c=10 Hz不变，随着T_L的增加，V形曲线向右上方移动。

4 结论

1) 通过理论分析和公式推导，得出笼型转子BDFM的各种稳态特性均可表示为控制绕组电压U_c、频率f_c和功角α 3个变量的函数，所提出的数学模型简化了BDFM稳态特性的分析方法。

2) 通过仿真研究，较为系统而全面地给出了笼型转子BDFM的矩角特性、矩频特性、功角特性、无功特性、功率因数特性和V形曲线等稳态特性曲线，通过与相关文献数据的比较，验证了文中模型与计算的正确性，为进一步研究BDFM的稳定性和控制策略奠定了基础。

3) 提出了功率绕组传递给转子的有功功率简化表达式，利用该公式可以简化BDFM功率流向的分析方法。