面齿轮传动是圆柱齿轮与面齿轮相啮合的齿轮传动，具有重合度大，无需防错位设计，与面齿轮啮合的直齿圆柱齿轮无轴向力，传递动力性能优越等优点^[1-3]。据波音公司报道，采用面齿轮作为主减速器第一级齿轮传动的阿帕奇Block-Ⅲ型直升机已于2009年11月23日首飞成功^[4]。在面齿轮传动中，由啮合刚度引起的内部激励是其传动的主要动态激励之一，且其啮合刚度是由啮合过程中的圆柱齿轮和面齿轮的轮齿刚度决定，因此需要对面齿轮轮齿刚度的计算方法开展研究。

圆柱和圆锥齿轮啮合刚度的计算方法从20世纪就开始研究^[5-6]，特别是圆柱齿轮的啮合刚度，其理论计算方法已趋于成熟；Yesilyurt等^[7]对圆柱齿轮的单齿啮合刚度的理论计算方法进行了研究；林腾蛟等^[8]采用ANSYS软件对弧齿锥齿轮的啮合刚度进行了分析，但尚未形成其解析计算方法。对于面齿轮传动啮合刚度而言，虽然其圆柱齿轮轮齿刚度的计算可参考现有成熟理论，但面齿轮轮齿刚度的计算方法并不多见。杨振等^[9]在分析面齿轮传动系统参数激励振动特性时，对于面齿轮啮合刚度的处理只是停留在圆柱齿轮轮齿刚度计算方法的基础上；林腾蛟等^[10]在研究正交面齿轮传动非线性振动特性时，仅仅分析了面齿轮副综合啮合刚度的函数形式，并未明确面齿轮轮齿刚度的具体求解方法。目前, 面齿轮轮齿刚度的求解仍多采用有限元法计算，分析效率低。因此，笔者对面齿轮轮齿刚度的解析计算方法进行研究，寻求一种高效的面齿轮轮齿刚度计算方法。

1 面齿轮齿形分析

基于Buckingham的观点^[11]：面齿轮齿形可以看作是沿齿长方向一系列变压力角的齿条组成，如图 1(a)所示；其沿齿长方向上某一截面的齿形分析，如图 1(b)所示。

根据图 1(b)中的几何关系，可求出面齿轮啮合半径r₂处的齿厚^[11]为

$ t = 2{r_1}\left[{\left( {T/2{R_1}} \right) + inv{\phi _1}-inv\phi } \right], $

(1)

式中:r₁为渐开线直齿轮啮合半径；T为渐开线直齿轮在分度圆处的齿槽宽，其值为

T=πm/2,

其中:m为模数；R₁为渐开线直齿轮分度圆半径；φ为渐开线直齿轮压力角；φ₁为节点压力角，其值为

φ₁=arccos(R_b/r₁)

其中R_b为渐开线直齿轮基圆半径。

齿条的齿顶高为

$ {h_{\rm{a}}} = {r_1} - {R_{\rm{r}}} - c, $

(2)

式中：R_r为渐开线直齿轮齿根圆半径；c为齿顶间隙。

齿条的齿根高h_f为

$ {h_f} = {R_{oc}} - {r_1}, $

(3)

式中R_oc为渐开线直齿轮齿顶圆半径。

根据上述面齿轮齿形分析方法，以表 1所列面齿轮参数在matlab中绘制无过渡圆弧的面齿轮单齿模型，如图 2所示。

2 面齿轮轮齿刚度计算方法及可行性分析

基于面齿轮的复杂齿形，在求解面齿轮轮齿刚度时需要对面齿轮齿形进行合理简化。根据仿真图 2，可将面齿轮齿形简化成由一系列沿齿高方向变化的梯形截面组成，如图 3所示。

根据图 3中面齿轮齿形的简化形式，其轮齿刚度的解析法求解思想仍然基于圆柱齿轮轮齿刚度的当量齿轮解析分析方法，即面齿轮的轮齿综合弹性变形包括轮齿的弯曲变形、剪切变形、接触变形以及由齿根基础弹性倾斜引起的附加变形^[12-14]。分析中，先通过求解轮齿各单一变形后，再将其相加，得出面齿轮轮齿在单位载荷作用下接触点处的总变形量为

$ {\delta _\rm{f}} = {\delta _1} + {\delta _2} + {\delta _3} + {\delta _4}, $

(4)

式中:δ₁为弯曲变形；δ₂为剪切变形；δ₃为轮齿接触变形；δ₄为齿根基础弹性倾斜引起的附加变形。

根据刚度和变形量-柔度的关系可知，面齿轮在接触点处的轮齿刚度

$ {k_\rm{f}} = 1/{\delta _{\rm{f}}}。$

(5)

2.1 面齿轮轮齿的弯曲变形和剪切变形

面齿轮轮齿的弯曲变形和剪切变形分析中，将在接触范围内的轮齿分成若干小段i，并把小段i看成一个悬臂梁，如图 4(a)所示；每个小段i沿齿长方向的截面可看作是随面齿轮齿高方向变化的梯形截面，如图 4(b)所示。

根据截面上切应力的分布规律作以下2个假设^[15]：

1) 横截面上各点切应力的方向都平行于剪应力的方向；

2) 切应力沿截面宽度均匀分布。

根据上述假设，面齿轮轮齿在接触点处的弯曲变形和剪切变形可通过对各小段的变形量求和获得。

面齿轮轮齿在接触点处弯曲变形包括单位长度载荷作用在小段i上产生的弯矩变形和横向变形。

根据图 4(a)所示，取小段i的厚度为t_i，截面面积为A_i，截面模量为I_i；小段i至载荷作用点沿x方向的距离为h，载荷作用点处的半齿厚为y_i，齿根处的半齿厚为y_m；泊松比为v，弹性模量为E；面齿轮齿宽为b；载荷与y轴间的夹角为β_j；则单位长度载荷F_j作用在小段i上的弯矩变形为

$ {\delta _{11}} = \frac{{{F_j}\left( {{h_i}\cos {\beta _j} - {y_j}\sin {\beta _j}} \right)}}{{2E{{\bar I}_i}}}\left( {{t_i}^2 + 2{t_i}{h_i}} \right), $

(6)

式中I_i=2I_iI_i+1/(I_i+I_i+1)。

由F_j对小段i产生的横向变形为

$ {\delta _{12}} = \frac{{{F_j}\cos {\beta _j}}}{{6E{{\bar I}_i}}}\left( {2{t_i}^3 + 3{t_i}^2{h_i}} \right), $

(7)

因此，单位载荷作用下小段i的弯曲变形为

$ {\delta _{{\rm{b}}i}} = {\delta _{11}} + {\delta _{12}}。$

(8)

由F_j对小段i产生的剪切变形为

$ {\delta _{{\rm{s}}i}} = \frac{{2.4{F_j}{t_i}\left( {1 - v} \right)\cos {\beta _j}}}{{E{{\bar A}_i}}}, $

(9)

式中A_i=2A_iA_i+1/(A_i+A_i+1)。

根据图 4(b)可知，由于各小段的截面均是随面齿轮齿高位置变化的梯形截面，因此其截面模量I_i为

$ {I_i} = \frac{{b\left( {{S_{\rm{n}}}^4 + {S_{\rm{w}}}^4} \right)}}{{48\left| {{S_{\rm{n}}} - {S_{\rm{w}}}} \right|}}, $

(10)

截面面积为

$ {A_i} = b\left( {{S_{\rm{n}}} + {S_{\rm{w}}}} \right)/2, $

(11)

式中沿齿高方向任意高度h处的S_n、S_w可采用图 5所示模型计算。

根据图 5可知，利用梯形ABCD可求得

$ {S_n} = {d_1} + 2\left( {h - {a_1}} \right)\tan {\phi _{\rm{min}}}, $

(12)

式中:φ_min为面齿轮内半径节线处的压力角；d₁为面齿轮内半径节线处的齿厚；a₁为面齿轮内半径节线位置到齿顶的距离。d₁和a₁的计算式分别为

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{d_1} = 2{r_{11}}\left( {T/2{R_1} - inv{\phi _{\min }} + inv\phi } \right),}\\ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{a_1} = {r_{11}} - {R_{\rm{r}}} - c,} \end{array} $

式中r₁₁为面齿轮内半径。

利用梯形EFGH可求得

$ {S_\rm{w}} = {d_2} + 2\left( {h - {a_2}} \right)\tan {\phi _{\max }}, $

(13)

式中:φ_max为面齿轮外半径节线处的压力角；d₂为面齿轮外半径节线处的齿厚；a₂为面齿轮外半径节线位置到齿顶的距离。d₂和a₂的计算式分别为：

$ \begin{array}{l} {d_2} = 2{r_{12}}\left( {T/2{R_1} - in\;v\;{\phi _{\max }} + inv\;\phi } \right),\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{a_2} = {r_{12}} - {R_{\rm{r}}} - c, \end{array} $

式中r₁₂为面齿轮外半径。

利用式(8)~(13)，可分别求出面齿轮轮齿在载荷作用点处沿载荷方向的弯曲变形和剪切变形，其中弯曲变形为

$ {\delta _1} = \sum\limits_{i = 1}^n {{\delta _{{\rm{b}}i}}\cos {\beta _j},} $

(14)

剪切变形为

$ {\delta _2} = \sum\limits_{i = 1}^n {{\delta _{{\rm{s}}i}}\cos {\beta _j}, } $

(15)

式中n为小段i的个数。

2.2 面齿轮轮齿接触变形和齿根基础弹性倾斜引起的附加变形

面齿轮接触变形分析是以布希涅斯克问题的解为基础，根据物体表面上有相同距离的点在公切面上形成类椭圆区域的结论，得出面齿轮轮齿的接触变形^[16]为

$ {\delta _3} = \frac{{3J{F_j}\left( {{\theta _{\rm{g}}} + {\theta _{\rm{f}}}} \right)}}{{8{\rm{ π }}\rho x}}, $

(16)

式中:J为椭圆积分系数，可通过查椭圆积分系数表获得；ρ_x为接触区域椭圆长半径; θ_g和θ_f可由式(17)确定, 即

$ {\theta _k} = \frac{{4\left( {{S_k}^2 - 1} \right)}}{{E{S_k}^2}}, $

(17)

式中:k分别为g和f；S_k为材料纵向延伸和横向压缩比的系数；E为材料的弹性模量。

面齿轮齿根基础弹性倾斜引起的附加变形^[17-18]为

$ \begin{array}{l} {\delta _4} = \frac{{{F_j}{{\cos }^2}{\beta _j}}}{{Eb}}\\ \left| \begin{array}{l} 5.306{\left( {\frac{{{L_{\rm{f}}}}}{{{H_{\rm{f}}}}}} \right)^2} + 2\left( {1 - v} \right)\left| {\frac{{{L_{\rm{f}}}}}{{{H_{\rm{f}}}}}} \right|\\ + 1.534\left| {1 + \frac{{0.4167{{\tan }^2}{\beta _j}}}{{1 + v}}} \right| \end{array} \right|, \end{array} $

(18)

式中:L_f=x_j－x_m－y_jtan β_j; H_f=2y_m。

2.3 轮齿刚度解析法的可行性验证

为验证上述面齿轮轮齿刚度计算方法的可行性，将解析法计算结果与有限元法计算结果进行对比分析。根据表 1中所列面齿轮参数，建立面齿轮有限元分析模型，如图 6所示。

利用图 6中模型，将计算得到的变形量转换为轮齿刚度并与上述面齿轮轮齿刚度解析计算方法进行比较，如表 2所示。

为分析面齿轮刚度解析法的可行性，定义解析法与有限元法的相对平均偏差为

$ {\eta = \\ \frac{1}{N}\sum\limits_1^n {\frac{{\left| {{\rm{解析法计算值}} - 有限元法分析值} \right|}}{{\rm{有限元法分析值}}}} \\ \times 100\% ,} $

(19)

式中N为接触点个数。

根据表 2可知，解析法与有限元法的相对平均偏差为10.32 %。因此，上述刚度的解析计算方法是可行的。

3 面齿轮主要设计参数对轮齿刚度的影响分析

模数、压力角以及齿宽作为面齿轮的主要设计参数，对面齿轮轮齿刚度有影响。

为研究面齿轮主要设计参数对其轮齿刚度的影响，分析中取圆柱齿轮齿数为25，面齿轮齿数为50，并以面齿轮模数、压力角和齿宽分别作为单一参数变化进行分析。分析中面齿轮主要设计参数及其变化，如表 3所示。结果分析图中，横坐标的“0”位均为轮齿的齿根位置。

根据表 3中第1组参数，分析得出面齿轮模数对其轮齿刚度的影响，如图 7所示。

根据图 7可知，面齿轮模数越大，其轮齿刚度变化曲线的斜率越小。因此，当面齿轮模数越大时，其轮齿刚度沿齿根到齿顶的变化率越小。

根据表 3中第2组参数，分析得出面齿轮压力角对其轮齿刚度的影响，如图 8所示。

根据图 8可知，当面齿轮压力角越大，其轮齿刚度越大，但沿齿根到齿顶的刚度变化率基本不变。

根据表 3中第3组参数，分析得出面齿轮齿宽对其轮齿刚度的影响，如图 9所示。

根据图 9可知，当面齿轮齿宽越大，其轮齿刚度越大，且沿齿根到齿顶的刚度变化较之压力角的影响大。

4 结论

由于面齿轮齿形较为复杂，因此采用面齿轮当量齿形的简化模型，推导了其轮齿刚度的计算方法，并通过与有限元法的对比分析，验证了面齿轮轮齿刚度解析计算方法的可行性；同时还分析了主要设计参数对面齿轮轮齿刚度的影响，得出了相应规律；为进一步研究面齿轮啮合刚度的计算方法和面齿轮传动的动力学特性等奠定必要的理论基础。