随着无线网络中低功率节点(pico femtocell)的密集化部署, 运营商能够为小区边缘用户提供无缝覆盖的同时, 实现更大程度的空间复用和百倍级的系统容量提升^[1]。然而, 密集化部署低功率节点意味着网络将要部署比以往更为密集的回传链路, 且部署和运维开销对运营商来说是难以承受的, 网络也因此会更加复杂。因此, 无线回传技术^[2-5]的优势显现出来, 并得到学者们的广泛关注和深入研究。无线回传技术不仅避免了安装新的电线或光纤, 也给用户终端提供了根本上的灵活性。用户可以将接入节点部署在任何有通信需求或是通信需求未被满足的地方^[6]。在有线回传可用的情况下, 其还可被作为备份或是提高网络可靠性的多样化解决方案。

另一方面, 无线回传技术需要和前传(fronthaul)链路共享可用的无线资源, 从而限制了网络容量的进一步提升, 因此, 无线回传网络中高效的资源分配策略显得尤为重要。文献[7-8]探究了半双工(HD, half-duplex)自回传小蜂窝密集异构网络中下行接入和回传链路的资源分配、调度和流控制问题, 以实现长期内用户吞吐量对数和的最大化。文献[9-11]通过联合考虑功率和子载波分配, 研究了具有无线回传的大规模MIMO异构网络中高能效的资源分配问题, 其中宏基站(MBS, macro base station)采用毫米波通信, 小基站(SBS, small base station)采用蜂窝通信的频段和正交频分多址技术(OFDMA, orthogonal frequency division multiple access)。此外, 随着自干扰消除技术的快速发展^[12-13], 全双工(FD, full-duplex)通信使小基站能够同时同频的接收和发送数据, 弥补了传统半双工自回传策略中带宽受限的约束, 实现几乎成倍的频谱效率提升。文献[14]提出了一种大规模MIMO和FD技术相结合的小蜂窝网络自回传策略, 使用户的接入链路和小基站的回传链路实现同时同频传输, 以实现系统频谱效率的最大化。

当无线回传网络中小基站的接入和回传链路使用相同频率发送数据时, 网络中存在包括跨层干扰、同层干扰和自干扰的多种干扰源, 使得无线网络的运维管理非常复杂(控制变量高度耦合), 无线资源的优化配置会产生极高的计算复杂度, 且对基站和终端设备中天线、编解码器等元器件的设计带来严峻的挑战。因此, 现有的关于无线回传网络的研究工作大多假设系统中用户的接入链路和小基站的回传链路间无线资源的正交分配, 限制了网络容量的进一步提升。此外, 现有的文献大多以实现网络高谱效和高能效为目标, 忽略了用户间在时延、速率等方面各异的QoS需求, 也没有考虑数据业务到达的随机性和有限性以及网络稳定性的问题。针对大规模MIMO系统下带内全双工无线回传网络中的无线资源管理问题, 提出了一种基于队列感知的联合功率分配算法, 其通过综合考虑信道和队列状态信息, 在每一时隙内动态地为各用户的接入和小基站的回传链路分配功率, 以实现在保证网络稳定性和满足各用户QoS需求的同时, 最大化网络平均和频谱效率。

1 系统模型 1.1 系统场景

考虑一个无线异构回传网络的下行传输场景, 如图 1所示。网络由一个配备了M根天线的MBS和其覆盖范围内N个单天线的无线回传SBS组成。为了充分利用频谱资源, 每个SBS均配有全双工硬件, 因而具备全双工通信能力, 进而假设MBS和SBSs复用全部可用的频谱资源, 也即SBSs为带内自回传小基站。当SBSs工作在半双工模式下, SBSs只能接收来自MBS的下行回传链路数据并将其暂存在缓存队列中, 或者只能给其用户(SUE, small-cell UE)传输下行接入链路数据。当SBSs工作在全双工模式下, SBSs可以在接收MBS下行回传链路数据的同时, 利用相同的频谱资源给其SUEs提供下行接入链路数据传输服务。在这种机制下, SBSs能够有效地进行自回传, 消除了对额外的回传设备和独立的回传频谱资源的需求。

MBS服务K个单天线用户(MUE, macro user equipment), 令K={1, 2, …, K}表示MUE集合, 每个SBS服务一个单天线用户SUE, SBS/SUE集合用N={1, 2, …, N}表示。考虑大规模MIMO系统(K+N≪M), MBS利用波束赋形技术使用相同的频率资源同时给多个用户传送数据。为了获得大规模MIMO天线的性能增益, 信道状态信息(CSI, channel state information)须在MBS发射端是已知的, 因此假设所考虑的无线异构自回传网络采用时分双工(TDD, time division duplex)协议。根据信道互易性原理, MBS可以利用其用户发送的上行导频信号来估计其下行链路。

在所考虑的无线回传网络场景中, SBSs可被看作是特殊的MUEs, MBS同时给MUEs和SBSs分别传输下行接入和回传链路数据, 同时SBSs使用相同的频率资源为其用户传输下行接入链路数据。换句话说, 通过在大规模MIMO系统下采用全双工技术, 不仅可以实现MUEs和SUEs的同时同频传输, 还能实现SBSs接入与回传链路的同时同频传输。这种机制可以显著提高频谱效率, 降低回传基础设施的费用开销。

1.2 信道模型和用户速率

传输节点至接收节点的信道矩阵表示为$\mathit{\boldsymbol{G}} = {\mathit{\boldsymbol{D}}^{\frac{1}{2}}}\mathit{\boldsymbol{H}}, \mathit{\boldsymbol{D}} = {\mathop{\rm diag}\nolimits} \left\{ {1/{\beta _1}, 1/{\beta _2}, \cdots , 1/{\beta _I}} \right\}$, 其中, I表示接收节点的数目, 元素β_i=pl_i·ζ是由路径损耗和阴影衰落构成的慢衰落, 其中, pl_i表示传输节点和接收节点间的路径损耗, ζ表示阴影衰落, 其满足标准正态分布ζ~N(0, 1)。快衰矩阵$\mathit{\boldsymbol{H}} = {\left[ {{\mathit{\boldsymbol{h}}_1}, {\mathit{\boldsymbol{h}}_2}, \cdots , {\mathit{\boldsymbol{h}}_I}} \right]^{\rm{T}}} \in {C^{I \times J}}$, 其中, J表示传输节点的天线数, h_i~CN(0, 1)为平坦衰落。MBS采用迫零(ZF, zero-forcing)波束赋形近乎完美地消除用户间的同层干扰, 设MBS下行预编码矩阵为$\mathit{\boldsymbol{W}} = \left( {w_k^m, \forall k \in K, \mathit{\boldsymbol{w}}_n^b, \forall n \in N} \right) \in {C^{M \times (K + N)}}$。综上所述, 考虑的无线回传网络下行传输场景一共存在3类干扰：跨层干扰、同层干扰和自干扰, 具体如图 2所示。

对于MUE k, 其接收来自MBS的下行接入链路数据, 同时受到来自SBSs的跨层干扰。因此, MUE k接收到的信号可表示为

$ y_k^m\left( t \right) = \sqrt {p_k^m\left( t \right)/\beta _k^m\left( t \right)} h_k^m\left( t \right)w_k^m\left( t \right)s_k^m\left( t \right) +\\ \sum\limits_{n = 1}^N {\sqrt {p_n^s\left( t \right)/\beta _{n,k}^s\left( t \right)} } h_{n,k}^s\left( t \right)s_n^s\left( t \right) + r_k^m\left( t \right), $

(1)

其中：(·)^m和(·)^s分别表示与MBS和SBS下行接入链路有关的变量; s为传输符号; r表示噪声。因此, MUE k的信干噪比(SINR, signal to interference plus noise ratio)和频谱效率(SE, spectral efficiency)可分别计算如下

$ \varepsilon _k^m\left( t \right) = \frac{{p_k^m\left( t \right)/\beta _k^m\left( t \right){{\left\| {h_k^m\left( t \right)w_k^m\left( t \right)} \right\|}^2}}}{{\sum\limits_{n \in N} {p_n^s\left( t \right)/\beta _{n,k}^s\left( t \right){{\left| {h_{n,k}^s\left( t \right)} \right|}^2} + {\sigma ^2}} }}, $

(2)

$ R_k^m\left( t \right) = \log \left( {1 + \varepsilon _k^m\left( t \right)} \right), $

(3)

对于SBS n, 它从MBS接收下行回传链路数据, 并同时同频地发送下行接入链路数据给其用户。因此, 它会受到来自其它SBSs的跨层干扰和因工作在全双工模式下而产生的自干扰。SBS n接收到的信号可以表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {y_n^b\left( t \right) = \sqrt {p_n^b\left( t \right)/\beta _n^b\left( t \right)} h_n^b\left( t \right)w_n^b\left( t \right)s_n^b\left( t \right) + \sum\limits_{n' \in N,n' \ne n} {\sqrt {p_{n'}^s\left( t \right)/\beta _{n',n}^b\left( t \right)} h_{n',n}^b\left( t \right)s_{n'}^s\left( t \right)} + }\\ {\sqrt {\gamma p_n^s\left( t \right)} s_n^s\left( t \right) + r_n^b\left( t \right),} \end{array} $

(4)

其中:(·)^b表示与MBS下行回传链路有关的变量; $\sqrt {\gamma p_n^s(t)} s_n^s(t)$表示自干扰信号; γ为自干扰消除系数, 其值由自干扰消除技术决定。同式(2)、(3)类似, 令SBS n的SINR和频谱效率分别表示为ε_n^b(t), R_n^b(t)。

对于SUE n, 其接收来自服务SBS的有用信号, 同时受到来自MBS的跨层干扰和其它SBSs的同层干扰。因此, SUE n接收到的信号可表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {y_n^s\left( t \right) = \sqrt {p_n^s\left( t \right)/\beta _n^s\left( t \right)} h_n^s\left( t \right)w_n^s\left( t \right)s_n^s\left( t \right) +\\ \sum\limits_{n' \in N,n' \ne n} {\sqrt {p_{n'}^s\left( t \right)/\beta _{n',n}^s\left( t \right)} h_{n',n}^s\left( t \right)s_{n'}^s\left( t \right)} + r_n^s\left( t \right) + }\\ {\sum\limits_{k \in K} {\sqrt {p_k^m\left( t \right)/\beta _n^m\left( t \right)} } h_n^m\left( t \right)w_k^m\left( t \right)s_k^m\left( t \right) + \sum\limits_{n' \in N} {\sqrt {p_{n'}^b\left( t \right)/\beta _n^m\left( t \right)} } h_n^m\left( t \right)w_{n'}^b\left( t \right)s_{n'}^b\left( t \right),} \end{array} $

(5)

令SUE n的SINR和SE分别表示为ε_n^s(t), R_n^s(t)。

1.3 队列模型

考虑一个离散时间排队网络, MBS和SBSs均带有一个缓存空间用于暂时存放还未来得及发送给用户的数据。考虑的网络场景中一共存在2类队列。首先, MUEs和SUEs请求的业务数据在宏基站处排队, 令α_k^m(t)和α_n(t)分别表示MUE k和SUE n在时隙t内的随机数据包到达率, 假设其在时隙间是满足均值E[α_k^m(t)]=λ_k^m和E[α_n(t)]=λ_n的独立同分布的泊松随机变量。进一步, 设每个数据包大小为1 bit, 且平均业务到达率向量$\mathit{\boldsymbol{\lambda }} = \left\{ {\lambda _k^m, \forall k \in K, {\lambda _n}, \forall n \in N} \right\}$在系统容量域内。令Q(t)=(Q_k^m(t), ∀k∈K, Q_n(t), ∀n∈N)表示MBS在时隙t的队列状态向量, 其中, Q_k^m(t)和Q_n(t)分别按下式更新

$ Q_k^m\left( {t + 1} \right) = {\left[ {Q_k^m\left( t \right) + \alpha _k^m\left( t \right) - R_k^m\left( t \right)\tau } \right]^ + }, $

(6)

$ {Q_n}\left( {t + 1} \right) = {\left[ {{Q_n}\left( t \right) + {\alpha _n}\left( t \right) - R_n^b\left( t \right)\tau } \right]^ + }, $

(7)

其中, τ为一个时隙的长度。

其次, MBS发送的下行回传数据会在SBS处暂存, 定义D(t)=(D_n(t), ∀n∈N)为SBS在时隙t的队列状态向量, 其中, D_n(t)如下式更新

$ {D_n}\left( {t + 1} \right) = {\left[ {{D_n}\left( t \right) + R_n^b\left( t \right)\tau - R_n^s\left( t \right)\tau } \right]^ + }, $

(8)

下面给出网络稳定性的定义。

定义1：单个离散队列Q(t)是稳定的当前满足

$ \bar Q = \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } \frac{1}{T}\sum\limits_{t = 0}^{T - 1} {E\left[ {\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right)} \right]} < \infty , $

(9)

定义2：一个离散时间排队网络是稳定的当且仅当网络中所有队列均是稳定的。

1.4 问题描述

时隙t内网络下行和频谱效率表示为

$ R\left( t \right) = \sum\limits_{k \in K} {R_k^m\left( t \right)} + \sum\limits_{n \in N} {R_n^s\left( t \right)} , $

(10)

令P(t)=[p_k^m(t), ∀k∈K, p_n^b(t), p_n^s(t), n∈N]表示时隙t内网络传输功率向量。在所考虑的带内全双工无线回传网络中, 功率分配是一个关键的问题, 其不仅决定了网络中的干扰和能耗水平, 又因MBS需分配额外的功率以支持SUE的回传链路传输, 因此, 其还影响了网络的频谱效率。主要探究无线回传网络中最优的功率分配策略, 以实现在满足各用户QoS需求和系统稳定性的前提下, 最大化网络平均和谱效, 问题具体描述如下

$ \begin{array}{l} \mathop {\max }\limits_P \bar R\\ {\rm{s}}.{\rm{t}}.\\ C1.\bar Q_k^m < \infty \forall k \in K\\ \;\;{{\bar D}_n} < \infty ,{{\bar Q}_n} < \infty \forall n \in N;\\ C2.\sum\limits_{k \in K} {p_k^m\left( t \right)} + \sum\limits_{n \in N} {p_n^b\left( t \right)} \le p_{\max }^m;\\ C3.p_n^s\left( t \right) \le p_{\max }^s\left( t \right)\forall n \in N;\\ C4.p_k^m\left( t \right) \ge 0\forall k \in K\\ p_n^b\left( t \right) \ge 0,p_n^s\left( t \right) \ge 0\forall n \in N;\\ C5.R_k^m\left( t \right) \ge R_k^{mthr}\forall k \in K;\\ C6.R_k^s\left( t \right) \ge R_n^{sthr}\forall n \in N。\end{array} $

(11)

其中:C1为网络稳定性约束; C2和C3分别为MBS和SBS的发射功率有限性约束; p_max^m和p_max^s分别表示MBS和SBS n的最大发射功率; C4为发射功率非负性约束; C5和C6分别为MUE和SUE关于频谱效率的QoS约束。

2 问题转化与算法提出

优化问题(11)是非凸的, 且其约束条件中存在与时间平均有关约束, 直接求解该问题是非常棘手的。因此, 接下来先利用Lyapunov^[15]优化框架将其转化为每一时隙内的非凸问题, 并进而通过连续凸逼近(SCAM, successive convex approximation method)法和等效的变量替换将各时隙内的优化问题转化成一个凸优化问题^[16-17], 最后结合拉格朗日对偶和凸优化理论提出了一种基于队列感知的带内全双工系统无线接入与回传联合功率分配算法。

2.1 问题转化

首先利用Lyapunov优化框架将原优化问题(11)转化为每一时隙内的优化问题, 通过最小化Lyapunov偏移与加权代价函数之和的上界来选择最优的功率分配策略。为了刻画出队列拥塞程度的标量度量, 定义Lyapunov函数为

$ L\left( t \right) = \frac{1}{2}\left( {\sum\limits_{k \in K} {{{\left( {Q_k^m\left( t \right)} \right)}^2}} + \sum\limits_{n \in N} {{{\left( {{Q_n}\left( t \right)} \right)}^2}} + \sum\limits_{n \in N} {{{\left( {{D_n}\left( t \right)} \right)}^2}} } \right), $

(12)

其中, 较小的L(t)意味着网络当前业务排队队列中积压的数据量相对较少, 系统有较好的稳定性。进一步, 定义Lyapunov偏移为

$ \Delta \left( t \right) = E\left[ {L\left( {t + 1} \right) - L\left( t \right)\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right),\mathit{\boldsymbol{D}}\left( t \right)} \right], $

(13)

Lyapunov偏移与加权代价函数之和可表示为Δ(t)－VE[R(t)|Q(t), D(t)], 其中, V是一个非负实数, 用于调节网络稳定性和网络平均和谱效间的相对重要程度。

定理1：对于任意的功率分配策略、V≥0和队列状态向量Q(t), D(t), Lyapunov偏移与加权代价函数之和具有如下上界^[18]

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\Delta \left( t \right) - VE\left[ {R\left( t \right)|\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right),\mathit{\boldsymbol{D}}\left( t \right)} \right] \le B +\\ E\left[ {\sum\limits_{k \in K} {Q_k^m} \left( t \right)\left( {\lambda _k^m - R_k^m\left( t \right)\tau } \right) + \sum\limits_{n \in N} {{Q_n}} \left( t \right)\left( {{\lambda _n} - R_n^b\left( t \right)\tau } \right)} \right.}\\ {\left. { + \sum\limits_{n \in N} {{D_n}} \left( t \right)\left( {R_n^b\left( t \right)\tau - R_n^s\left( t \right)\tau } \right)} \right] - VE\left[ {R\left( t \right)|\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right),\mathit{\boldsymbol{D}}\left( t \right)} \right],} \end{array} $

(14)

其中, B是一个正常数。

由Lyapunov优化理论可知, 问题(11)的最优解可通过最小化式(14)的上界获得, 因此, 原始非凸优化问题(11)的最优功率分配策略可转化为在每一时隙内求解如下优化问题得到

$ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{P\left( t \right)} f\left( t \right) = - \sum\limits_{k \in K} {\left( {Q_k^m\left( t \right)\tau + V} \right)R_k^m\left( t \right)} - \sum\limits_{n \in N} {\left( {{Q_n}\left( t \right) - {D_n}\left( t \right)} \right)\tau R_n^b\left( t \right)} - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{n \in N} {\left( {{D_n}\left( t \right)\tau + V} \right)R_n^s\left( t \right)} ,\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C2 \cdot \sum\limits_{k \in K} {p_k^m} \left( t \right) + \sum\limits_{n \in N} {p_n^b} \left( t \right) \le p_{\max }^m;\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C3 \cdot p_n^s\left( t \right) \le p_{\max }^s\forall n \in N;\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C4 \cdot p_k^m\left( t \right) \ge 0\forall k \in K\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;p_n^b\left( t \right) \ge 0,p_n^s\left( t \right) \ge 0\forall n \in N;\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C5 \cdot R_k^m\left( t \right) \ge R_k^{mthr}\forall k \in K;\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C6.R_n^s\left( t \right) \ge R_n^{sthr}\forall n \in N。\end{array} $

(15)

2.2 基于队列感知的无线接入与回传联合功率分配算法

针对优化问题(15), 利用凸优化和拉格朗日对偶分解理论设计了一种基于队列感知的无线接入与回传联合功率分配算法。为了表达方便, 在接下来叙述中省略时隙索引t。首先, 对于任一满足Q_n≤D_n的SBS n, 令p_n^b=0, 即当前时隙MBS不给SBS n分配回传功率, 此时SBS n要么工作在半双工模式(只发送下行接入链路数据), 要么处于静默状态(p_n^s=0)。

其次, 利用SCAM和有效的变量变换将问题(15)转为成一个凸优化问题。首先, 充分利用式(16)的下界

$ c\log z + \mu \le \log \left( {1 + z} \right), $

(16)

其中, 当给定一个值z₀且近似常数c, μ分别按照下式取值时, 式(16)的等号成立

$ c = \frac{{{z_0}}}{{1 + {z_0}}}, $

(17)

$ \mu = \log \left( {1 + {z_0}} \right) - \frac{{{z_0}}}{{1 + {z_0}}}\log {z_0}, $

(18)

将式(16)和变量变换$\tilde p = \ln p$分别代入到R_k^m, R_n^b和R_n^s中, 得到各用户频谱效率的近似表达$\overset{\gg }{\mathop{\text{ }R}}\,_{k}^{m},\overset{\gg }{\mathop{\text{ }R}}\,_{n}^{b}$和$\overset{\gg }{\mathop{\text{ }R}}\,_{n}^{s}$。以$\overset{\gg }{\mathop{\text{ }R}}\,_{k}^{m}$为例, 有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {R_k^m}\limits^ \gg = c_k^m\log \left( {\varepsilon _k^m} \right) + \mu _k^m = }\\ {c_k^m\left\{ {a\tilde p_k^m + \log \left( {1/\beta _k^m{{\left\| {h_k^mw_k^m} \right\|}^2}} \right) - \log \left( {\sum\limits_{n \in N} {{e^{\tilde p_n^s}}} \left( {1/\beta _{n,k}^s} \right){{\left| {h_{n,k}^s} \right|}^2} + {\sigma ^2}} \right)} \right\} + \mu _k^m,} \end{array} $

(19)

其中, a=1/ln2。接着, 令$\overset{\gg }{\mathop{\text{ }R}}\,=\sum\limits_{k\in K}{\overset{\gg }{\mathop{\text{ }R}}\,_{k}^{m}}+\sum\limits_{n\in N}{\overset{\gg }{\mathop{\text{ }R}}\,_{n}^{s}} $, 则问题(15)可被松弛为如下凸优化问题

$ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{\tilde P} \mathop f\limits^ \gg = - \sum\limits_{k \in K} {\left( {Q_k^m\tau + V} \right)} \mathop {R_k^m}\limits^ \gg - \sum\limits_{n \in N} {\left( {{Q_n} - {D_n}} \right)} \tau \mathop {R_n^b}\limits^ \gg - \sum\limits_{n \in N} {\left( {{D_n}\tau + V} \right)} \mathop {R_n^s}\limits^ \gg ,\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C2 \cdot \sum\limits_{k \in K} {{e^{\tilde p_k^n}}} + \sum\limits_{n \in N} {{e^{\tilde p_h^b}}} \le p_{\max }^m,\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C3.{e^{\tilde p_n^s}} \le p_{\max }^s\forall n \in N,\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C5 \cdot \mathop {R_k^m}\limits^ \gg \ge R_k^{mthr}\forall k \in K,\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C6 \cdot \mathop {R_n^s}\limits^ \gg \ge R_k^{sthr}\forall n \in N, \end{array} $

(20)

显然, $\mathop f\limits^ \gg (t) \ge f(t)$, 这意味着优化问题(20)实际上是在最小化问题(15)的目标函数的一个上界, 因此, 可以通过迭代更新c, μ的值从而不断收紧问题(15)的上界。c, μ按下式迭代更新

$ {\left[ {{z_0}} \right]^i} = {\left[ \varepsilon \right]^i}\forall \varepsilon _k^m,\varepsilon _n^b,\varepsilon _n^s, $

(21)

其中, i为迭代索引, 在每次迭代中, 只需求解优化问题(20)即可。优化问题(15)的具体求解步骤如表 1所示。

针对凸优化问题(20), 利用拉格朗日对偶法和KKT条件对其求解。定义问题(20)的部分拉格朗日函数为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {L\left( {\tilde P,\alpha ,\beta ,\eta ,v} \right)}\limits_{{\alpha _n} \ge 0,\beta \ge 0,{\eta _k} \ge 0,{v_n} \ge 0} = \mathop f\limits^ \gg + \sum\limits_{n \in N} {{\alpha _n}\left( {{e^{\tilde p_n^s}} - p_{\max }^s} \right)} + \beta \left( {\sum\limits_{k \in K} {{e^{\tilde p_k^m}}} + \sum\limits_{n \in N} {{e^{\tilde p_h^b}}} - p_{\max }^m} \right) + }\\ {\sum\limits_{k \in K} {{\eta _k}} \left( {R_k^{{\rm{mthr}}} - \mathop {R_k^m}\limits^ \gg } \right) + \sum\limits_{n \in N} {{v_n}} \left( {R_n^{{\rm{sthr}}} - \mathop {R_n^s}\limits^ \gg } \right),} \end{array} $

(22)

其中, α_n, β, η_k和υ_n为拉格朗日乘子。与优化问题(20)相对应的原始问题可表示为

$ \mathop {\min }\limits_{\mathit{\boldsymbol{\tilde P}}} \mathop {\max }\limits_{\alpha ,\beta ,\eta ,v} L\left( {\mathit{\boldsymbol{\tilde P}},\alpha ,\beta ,\eta ,v} \right), $

(23)

下面, 令L($\mathit{\boldsymbol{\tilde P}}$, α, β, η, υ)分别对$\mathit{\boldsymbol{\tilde P}}$_k^m, $\mathit{\boldsymbol{\tilde P}}$_n^b和$\mathit{\boldsymbol{\tilde P}}$_n^s求偏导可得

$ \frac{{\partial L\left( {\mathit{\boldsymbol{\tilde P}},\alpha ,\beta ,\eta ,v} \right)}}{{\partial \mathit{\boldsymbol{\tilde P}}_k^m}} = - \left( {Q_k^m\tau + V + {\eta _k}} \right) \cdot c_k^ma - \sum\limits_{n \in N} {\left( {{D_n}\tau + V + {v_n}} \right)} \frac{{\partial \mathop {R_n^s}\limits^ \gg }}{{\partial \mathit{\boldsymbol{\tilde P}}_k^m}} + \beta {e^{\mathit{\boldsymbol{\tilde P}}_k^m}}, $

(24)

$ \frac{{\partial L\left( {\mathit{\boldsymbol{\tilde P}},\alpha ,\beta ,\eta ,v} \right)}}{{\partial \mathit{\boldsymbol{\tilde P}}_{n'}^b}} = - \left( {{Q_{n'}} - {D_{n'}}} \right)\tau c_{n'}^ba - \sum\limits_{n \in N} {\left( {{D_n}\tau + V + {v_n}} \right)} \frac{{\partial \mathop {R_n^s}\limits^ \gg }}{{\partial \mathit{\boldsymbol{\tilde P}}_{n'}^b}} + \beta {e^{\mathit{\boldsymbol{\tilde P}}_{n'}^b}}, $

(25)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial L\left( {\mathit{\boldsymbol{\tilde P}},\alpha ,\beta ,\eta ,v} \right)}}{{\partial \mathit{\boldsymbol{\tilde P}}_{n'}^s}} = - \left( {{D_{n'}}\tau + V + {v_n}} \right)c_{n'}^sa - \sum\limits_{k \in K} {\left( {Q_k^m\tau + V + {\eta _k}} \right)} \frac{{\partial \mathop {R_k^m}\limits^ \gg }}{{\partial \mathit{\boldsymbol{\tilde P}}_{n'}^s}} - }\\ { - \sum\limits_{n \in N} {\left( {{Q_n} - {D_n}} \right)\tau \frac{{\partial \mathop {R_n^b}\limits^ \gg }}{{\partial \mathit{\boldsymbol{\tilde P}}_{n'}^s}} + {\alpha _{n'}}{e^{\mathit{\boldsymbol{\tilde P}}_{n'}^s}}} 。} \end{array} $

(26)

一般地, 令偏导为0即可反解出最优解, 但观察可以发现, 式(24)、(25)和(26)不仅是隐函数, 且每个偏导式中还包含了除自变量以外的其它待优化参量。因此, 仍可通过迭代的方式获得近似最优的功率分配策略。进一步, 利用次梯度法迭代更新拉格朗日乘子, 在第i次迭代中, 拉格朗日乘子按下式更新

$ {l^{{i_{2 + 1}}}} = {\left[ {{l^{{i_2}}} + \delta \frac{{\partial L\left( {\mathit{\boldsymbol{\tilde P}},\alpha ,\beta ,\eta ,v} \right)}}{{\partial {l^{{i_2}}}}}} \right]^ + },l = \left\{ {{\alpha _n},\beta ,{\eta _k},{v_n}} \right\}, $

(27)

其中, δ为步长。优化问题(20)的具体求解流程如表 2所示。

算法2第5步中令偏导为0后的等式是一个超越方程, 而超越方程的解析解至今仍无有效且范式化的方法求解, 因而无法通过简单的数学变换求得其极值点。但是, 通过分别对偏导数(24)、(25)和(26)再次求导可以发现, 偏导数的导数恒为正, 这说明偏导数(24)、(25)和(26)均是单调递增的, 因此, 可以利用二分搜索以较低的复杂度获得式(24)、(25)和(26)的一个精度较高的数值解, 也即近似最优功率分配。具体地, 以式(26)为例, 首先任意选择2个初始可行点q_l和q_r, 使偏导数$\frac{{\partial {\rm{L}}(\mathit{\boldsymbol{\widetilde P}}, \alpha , \beta , \eta , v)}}{{\partial \mathit{\boldsymbol{\widetilde P}}_{{n^\prime }}^s}}$分别小于0和大于0, 则近似最优功率在q_l至q_r范围内。其次, 通过判断q_l和q_r的平均值下的偏导数取值正负情况, 不断更新q_l和q_r的取值, 缩小近似最优功率分配($\mathit{\boldsymbol{\tilde P}}$_n′^s)i₃+1_i3所在的范围。最终, 上述过程会在允许误差内逼近最优功率分配, 从而获得一个较好的近似最优功率分配策略。

综上, 根据算法2, 求出凸优化问题(20)的近似最优解, 再结合算法一, 迭代地计算出单时隙优化问题(15)的近似最优解, 即每一时隙内的近似最优功率分配策略。通过在每一时隙内求解优化问题(15), 最终获得优化问题(11)的近似最优解。问题(11)的整体求解流程如表 3所示。

需要说明的是, 提出的基于队列感知的无线接入与回传联合功率分配算法是一种在线算法, 这是因为由算法3的流程和上述将原始优化问题(11)通过Lyapunov随机优化理论转化为式(20)的讨论分析过程可以看出, 将具有时间平均优化目标的非凸优化问题转化为每一时隙内的凸优化问题, 进而在每一时隙内根据各用户当前的排队队列长度和网络随机信道环境, 实时动态地为其分配合适的功率, 以实现在维持网络稳定的同时优化系统平均性能。因此, 提出的算法(算法3)是一种在线动态算法。

3 性能分析

利用Lyapunov随机优化理论对所提出的算法的性能进行理论分析。

定理2：设0≤E[L(0)]＜∞, 且平均业务到达率向量λ在系统容量域Λ内, 则对任意V>0, 提出的基于队列感知的无线接入与回传联合功率分配算法具有如下性能界^[8]

a) 网络平均队列长度

$ \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } \frac{1}{T}\sum\limits_{t = 0}^{T - 1} {\left[ {\sum\limits_{k \in K} {Q_k^m} \left( t \right) + \sum\limits_{n \in N} {{Q_n}} \left( t \right) + \sum\limits_{n \in N} {{D_n}} \left( t \right)} \right]} \le \frac{{B + V{R^{\max }}}}{\varepsilon }, $

(28)

其中, ε是常数, R^max为最大网络和谱效。

b) 网络平均和谱效

$ \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } \frac{1}{T}\sum\limits_{t = 0}^{T - 1} {R\left( t \right)} \ge {{\bar R}^{opt}} - \frac{B}{V}, $

(29)

其中, R^opt为理论上最优的平均网络和谱效。

证明：

定义独立同分布算法为一种在各时隙内按照某一分布在预先定义的策略空间中独立且随机地选择功率分配策略的随机稳态算法。为了便于理解, 首先回顾一个Lyapunov优化理论中的基本结论。其证明可参考文献[19]。

引理1：假定平均业务到达率向量λ在容量域Λ内, 且存在一个正数ε也满足λ+ε∈Λ。进一步, 优化问题(11)是可行的, 则对于任意δ>0, 存在一个独立同分布随机稳态算法P^*(t)满足

$ E\left[ {{R^ * }\left( t \right)} \right] \ge {{\bar R}^{opt}} - \varphi , $

(30)

$ E\left[ {R_n^{s * }\left( t \right)\tau } \right] \ge E\left[ {R_n^{b * }\left( t \right)\tau } \right] \ge \left( {{\lambda _n} + \varepsilon } \right), $

(31)

$ E\left[ {R_k^{m * }\left( t \right)\tau } \right] \ge \left( {\lambda _k^m + \varepsilon } \right), $

(32)

其中, R^*(t)、R_n^s*(t)、R_n^b*(t)和R_k^m*(t)均为独立同分布功率分配策略P^*(t)下产生的结果。

由于提出的基于队列感知的无线接入与回传联合功率分配算法是通过最小化式(14)的右边项(即上界)得到的, 因而有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\Delta \left( t \right) - VE\left[ {R\left( t \right)|Q\left( t \right),\mathit{\boldsymbol{D}}\left( t \right)} \right] \le B +\\ E\left[ {\sum\limits_{k \in K} {Q_k^m} \left( t \right)\left( {\lambda _k^m - R_k^{m * }\left( t \right)\tau } \right) + \sum\limits_{n \in N} {{Q_n}} \left( t \right)\left( {{\lambda _n} - R_n^{b * }\left( t \right)\tau } \right)} \right.}\\ {\left. { + \sum\limits_{n \in N} {{D_n}} \left( t \right)\left( {R_n^{b * }\left( t \right)\tau - R_n^{s * }\left( t \right)\tau } \right)} \right] - VE\left[ {{R^ * }\left( t \right)|\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right),\mathit{\boldsymbol{D}}\left( t \right)} \right],} \end{array} $

(33)

其中, R_k^m*(t)、R_n^b*(t)、R_n^s*(t)和R^*(t)是在任意可行的功率分配策略(包括独立同分布随机稳态算法)下获得的结果。将式(30)~(32)代入式(33)并令δ→0可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\Delta \left( t \right) - VE\left[ {R\left( t \right)|\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right),\mathit{\boldsymbol{D}}\left( t \right)} \right] \le B - \varepsilon \sum\limits_{k \in K} {Q_k^m\left( t \right)} - \varepsilon \sum\limits_{n \in N} {{Q_n}\left( t \right)} - }\\ {c\sum\limits_{n \in N} {{D_n}\left( t \right)} - VE\left[ {{R^ * }\left( t \right)|\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right),\mathit{\boldsymbol{D}}\left( t \right)} \right],} \end{array} $

(34)

其中, $c = E\left[ {R_n^{s\;*}(t)\tau } \right] - E\left[ {R_n^{b\;*}(t)\tau } \right]$是一个常数。

对式(34)进一步拆分讨论, 首先, 由上式可得

$ \Delta \left( t \right) \le B - \varepsilon \sum\limits_{k \in K} {Q_k^m} \left( t \right) - \varepsilon \sum\limits_{n \in N} {{Q_n}} \left( t \right) + V{R^{\max }}, $

(35)

将式(35)对每个时隙t∈{0, 1, …, T－1}累加, 将结果除以T并令T→∞则有

$ \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } \frac{1}{T}\sum\limits_{t = 0}^{T - 1} {\left( {\sum\limits_{k \in K} {Q_k^m\left( t \right)} + \sum\limits_{n \in N} {{Q_n}\left( t \right)} } \right)} \le \frac{{B + V{R^{\max }}}}{\varepsilon }, $

(36)

类似地, 针对D_n(t), n∈N, 根据式(34)可以得到

$ \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } \frac{1}{T}\sum\limits_{t = 0}^{T - 1} {\sum\limits_{n \in N} {{D_n}\left( t \right)} } \le \frac{{B + V{R^{\max }}}}{c}, $

(37)

综合式(36)和式(37), 定理2中a)得证。

对于定理2中b), 由式(34)可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\Delta \left( t \right) \le B + VE\left[ {R\left( t \right)\left| {\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right),\mathit{\boldsymbol{D}}\left( t \right)} \right.} \right] - VE\left[ {{R^ * }\left( t \right)\left| {\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right),\mathit{\boldsymbol{D}}\left( t \right)} \right.} \right]}\\ { \le B + VE\left[ {R\left( t \right)\left| {\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right),\mathit{\boldsymbol{D}}\left( t \right)} \right.} \right] - V{{\bar R}^{opt}},} \end{array} $

(38)

将上式对每个时隙t∈{0, 1, …, T－1}累加, 将结果除以T并令T→∞则有

$ \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } \frac{1}{T}\sum\limits_{t = 0}^{T - 1} {R\left( t \right)} \ge {{\bar R}^{opt}} - \frac{B}{V}, $

(39)

定理2中b)得证。综上所述, 定理2得证。

定理2说明可以通过设置足够大的V而任意接近最优的平均网络和谱效。此外, 网络的平均时延(平均队列长度)和网络平均和谱效间存在[O(V), O(1/V)]的权衡关系, 这意味着, 可以通过灵活调整V的取值从而实现时延与频谱效率间的动态平衡。

4 仿真结果与分析

基于表 4给出的主要仿真参数, 通过仿真验证所提出的基于队列感知的无线接入与回传联合功率分配算法的有效性。在仿真场景中, 考虑一个500 m*500 m的矩形区域, MBS位于中心, SBS随机部署在场景范围内。进一步, 还将所提出的算法与文献[7]中的半双工自回传策略(HD Self-backhaul)和文献[20]中的反向时分复用(RTDD, reverse time division duplex)策略进行性能比较。

图 3描述了平均队列长度随时间的变化。可以看出, 网络中各队列的平均数据包积压量均随着时间趋于稳定, 因此, 网络维持了稳定性。

图 4显示了用户平均谱效随时间的变化。可以看出, MUE的平均谱效随时间逐渐降低, SUE的平均谱效随时间逐渐增大, 最终, MUE和SUE的平均谱效均趋于平稳。这是因为在网络开始的时隙内, MBS和SBS上各排队队列中的数据包积压量均较少, 因而网络此时主要以提高网络下行和谱效为目标, 又由于MBS发射功率较大, 且MBS和SBS是同时同频传输, 因此, 网络会优先考虑MBS的功率分配问题, 并同时降低SBS的发射功率以减小同频干扰。但随着时间的推移, SUE在MBS和SBS处堆积的数据包越来越多, 为了维持网络的稳定性, 系统此时会以牺牲部分谱效为代价优先考虑SUE的回传和接入数据传输, 并同时降低MBS下行接入链路发射功率以减少干扰。

图 5描绘了平均队列长度随控制参量V的不同取值的变化情况。可以看出, 平均队列长度随着V取值的增大呈线性增长。此外, 平均业务达到率越大, 用户平均队列长度也越大。这是因为每一时隙内随机到达的数据包越多, 各排队队列积压的数据包量也会增大(资源有限)。类似地, 图 6描绘了平均网络和谱效随控制参量V的变化情况。平均网络和谱效随着V的增大以速度O(1/V)增加并逐渐收敛至最优值, 且平均业务到达率越大, 平均网络和谱效也增大。图 5和图 6联合验证了定理2中的性能分析结果, 平均队列长度(时延)与网络平均和谱效间存在[O(V), O(1/V)]的权衡关系, 通过调整V的取值灵活地实现二者间的动态平衡。

图 7比较了不同平均业务到达率下不同算法在时延方面的性能, 其中, 所提出的算法用“FD Self-backhaul”表示。可以看出, 3种算法下的时延均随着平均业务到达率的增大而降低, 且提出的基于队列感知的无线接入与回传联合功率分配算法具有最优的时延性能。这是因为所提出的算法在每一时隙内通过观察和利用网络信道状态和队列状态信息, 及时的将队列中积压过多的数据包发送出去, 且MBS和SBS同时同频传输数据, 极大地提升了网络的频谱效率和吞吐量。

图 8比较了不同算法在不同平均业务到达率下的平均网络和谱效。由图可知, 3种算法下的平均网络和谱效均随着平均业务到达率的增大而提高, 且提出的算法具有最好的平均和谱效性能。这是因为考虑MBS和SBS的同时同频传输, 并结合大规模MIMO技术降低网络中的干扰水平, 极大地提高了资源利用率, 提升了系统容量。

5 结语

针对带内全双工无线回传网络中动态资源分配问题, 通过综合考虑CSI和QSI, 基于Lyapunov随机优化理论, 提出了一种基于队列感知的无线接入与回传联合功率分配算法, 该算法通过在每一时隙内观察系统当前时刻的随机网络环境(信道状态信息)和各用户当前的业务队列(队列状态信息), 动态地为服务服务分配适当的功率, 以实现在维持网络稳定性和满足各用户QoS需求的同时, 最大化网络平均和谱效。此外, 该算法还可简单地通过调整控制参量的取值实现时延与频谱效率间的动态平衡。