一、问题的提出

公共租赁房制度是2006年以后中国逐步发展起来的一种政府保障性住房政策。公共租赁房(以下简称“公租房”)是指由政府或公共机构所有，用低于市场价或者承租者承受得起的价格，面向城市中等偏下收入住房困难家庭出租的住房^[1]。它主要针对廉租房和经济适用房制度之间的边缘人群(即所谓的住房保障“夹心层”)。

公租房制度在全国推行以来取得了很好的社会效果。众多学者从公租房的建设模式^[2]、融资模式^[3-5]、运作机制^[6-7]、经济可行性^[8]等方面进行了广泛的研究。但是由于公租房具有保障性质，导致公租房建设的投资收益率低，并对当地房地产市场形成压力。所以，在土地资源有限的情况下，作为理性人的地方政府并不愿意大规模、持续地进行公租房建设。因此，如何制定一个合理的公租房建设比例，激励地方政府进行公租房建设，是中央政府迫切需要解决的问题。

本文从国家宏观调控的角度，探讨根据中国各地区经济发展水平，合理制定公共租赁房建设比例的问题，从而保障公共租赁房制度能够在全国有序推广和实施。

二、基本假设及模型

假设中央政府要求地方政府进行公租房建设，以解决低收入家庭的住房困难问题。在确定公租房建设规模时，首先由中央政府向地方政府提出建设比例；地方政府根据该建设比例提出自己的用地指标，并报中央政府审批。地方政府i (i =1, 2) 每年的用地指标是S_i，计划按比例将其中的k_i用于公租房建设，将余下的(1－k_i)用于商业住宅建设。

由逆向推导法，地方政府的征地成本为C_i(S_i)=a_iS_i²，其中a_i表示不同发展水平地区的单位征地成本。地方政府i用于公租房建设地块的单位收益为r_fi，投资于商业地块的单位收益为r_bi，且r_fi < r_bi，r_fi、r_bi>a_i，即建设公租房的收益小于投资商业住宅的收益。因此，地方政府i的收益函数为：

$ {\pi _i} = {r_{fi}} \cdot {k_i}{S_i} + {r_{bi}} \cdot (1 - {k_i}){S_i} - {a_i}S_i^2 $

(1)

由π_i对S_i的一阶最优条件可得: $\frac{{\partial {\pi _i}}}{{\partial {S_i}}} = {r_{fi}}{k_i} + {r_{bi}}(1 - {k_i}) - 2{a_i}{S_i} = 0$

$ 从而可以解得:{S_i} = \frac{{{r_{bi}} - ({r_{bi}} - {r_{fi}}){k_i}}}{{2{a_i}}} $

(2)

显然，当k_i一定时，由于r_fi < r_bi，故地方政府没有积极性修建公租房，并且当r_fi与r_bi之间的差距越大，地方政府规划的用地指标S_i会降低，这样会造成商业住宅用地和公租房用地同时减少。

就中央政府而言，有两种不同的方案确定地方政府的公租房建设比例：一是按照各个地区的实际情况实行差别化建设比例，二是全国执行一个统一的建设比例。

模式1：差别化建设比例。

根据地方政府申报的用地指标S_i1(i=1, 2)，中央政府确定地方政府的公租房建设比例k_i(i=1, 2)。中央政府的目标在于增加公租房的供给比例，此时中央政府的效用函数为：

$ {\pi _{c1}} = {{k}_1}{S_{11}} + {{k}_2}{S_{21}} $

(3)

将(2) 带入(3) 可得：

$ \begin{array}{l} {\pi _{c1}} = \frac{{{k_1}({{r}_{b1}} - ({{r}_{b1}} - {{r}_{f1}}){{k}_1})}}{{2{a_1}}} + \\ \frac{{{k_2}({{r}_{b2}} - ({{r}_{b2}} - {{r}_{f2}}){{k}_2})}}{{2{a_2}}} \end{array} $

(4)

由π_c对k₁的一阶最优条件可得：$\frac{{\partial {\pi _{c1}}}}{{\partial {k_1}}} = \frac{{({{r}_{b1}} - 2({{r}_{b1}} - {{r}_{f1}}){{k}_1}}}{{2{a_1}}} = 0$

从而可以解得：${k_1} = \frac{{{{r}_{b1}}}}{{2({{r}_{b1}} - {{r}_{f1}})}} = \frac{1}{{2(1 - {{r}_{f1}}/{{r}_{b1}})}}$

同理可得：${k_2} = \frac{{{{r}_{b2}}}}{{2({{r}_{b2}} - {{r}_{f2}})}} = \frac{1}{{2(1 - {{r}_{f2}}/{{r}_{b2}})}}$

将k_i(i=1, 2) 带入(2) 可以解得：${S_{i1}} = \frac{{{r_{bi}}}}{{4{a_i}}}$, (i=1, 2)，故${\pi _{i1}} = \frac{{r_{bi}^2}}{{16{a_i}}}$, (i=1, 2)。

此时，中央政府的效用为：${\pi _{c1}} = \frac{{r_{b1}^2}}{{8{a_1}({{r}_{b1}} - {{r}_{f1}})}} + \frac{{r_{b2}^2}}{{8{a_2}({{r}_{b2}} - {{r}_{f2}})}}$

模式2：执行统一的建设比例。

根据地方政府申报的用地指标S_i2，中央政府确定一个在全国范围内执行的公租房建设比例k_c。中央政府的目标在于增加公租房的供给比例，此时中央政府的效用函数为：

$ {\pi _{c2}} = {k_c}({{S}_{12}}{ + }{{S}_{22}}) $

(5)

令k₁=k₂=k_c，将(2) 带入(5) 可以得到：

$ {\pi _{c2}} = {k_c}(\frac{{{{r}_{b1}} - ({{r}_{b1}} - {{r}_{f1}}){k_c}2}}{{2{a_1}}} + \frac{{{{r}_{b2}} - ({{r}_{b2}} - {{r}_{f2}}){k_c}}}{{2{a_2}}}) $

由π_c对k_c的一阶最优条件可得：

$ {k_c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\frac{{{{r}_{b1}}}}{{{a_1}}} + \frac{{{{r}_{b2}}}}{{{a_2}}}}}{{\left[{\frac{{({{r}_{b1}}-{{r}_{f1}})}}{{{a_1}}}} \right] + \left[{\frac{{({{r}_{b2}}-{{r}_{f2}})}}{{{a_2}}}} \right]}} $

(6)

将(6) 带入(2) 就得到地区1和地区2的用地规模及其收益为：

$ {S_{12}} = \frac{1}{{2{a_1}}}\left[{{{r}_{b1}}- \frac{1}{2} \cdot \frac{{({{r}_{b1}}- {{r}_{f1}})(\frac{{{{r}_{b1}}}}{{{a_1}}} + \frac{{{{r}_{b2}}}}{{{a_2}}})}}{{\left[{\frac{{({{r}_{b1}}-{{r}_{f1}})}}{{{a_1}}}} \right] + \left[{\frac{{({{r}_{b2}}-{{r}_{f2}})}}{{{a_2}}}} \right]}}} \right] $

$ {\pi _{12}} = \frac{1}{{16{a_1}}}{\left( {{2}{{r}_{b1}} - \frac{{({{r}_{b1}} - {{r}_{f1}})(\frac{{{{r}_{b1}}}}{{{a_1}}} + \frac{{{{r}_{b2}}}}{{{a_2}}})}}{{\left[{\frac{{({{r}_{b1}}-{{r}_{f1}})}}{{{a_1}}}} \right] + \left[{\frac{{({{r}_{b2}}-{{r}_{f2}})}}{{{a_2}}}} \right]}}} \right)^2} $

$ {S_{22}} = \frac{1}{{2{a_2}}}\left[{{{r}_{b2}}- \frac{1}{2} \cdot \frac{{({{r}_{b2}}- {{r}_{f2}})(\frac{{{{r}_{b1}}}}{{{a_1}}} + \frac{{{{r}_{b2}}}}{{{a_2}}})}}{{\left[{\frac{{({{r}_{b1}}-{{r}_{f1}})}}{{{a_1}}}} \right] + \left[{\frac{{({{r}_{b2}}-{{r}_{f2}})}}{{{a_2}}}} \right]}}} \right] $

$ {\pi _{22}} = \frac{1}{{16{a_2}}}{\left( {{2}{{r}_{b2}} - \frac{{({{r}_{b2}} - {{r}_{f2}})(\frac{{{{r}_{b1}}}}{{{a_1}}} + \frac{{{{r}_{b2}}}}{{{a_2}}})}}{{\left[{\frac{{({{r}_{b1}}-{{r}_{f1}})}}{{{a_1}}}} \right] + \left[{\frac{{({{r}_{b2}}-{{r}_{f2}})}}{{{a_2}}}} \right]}}} \right)^2} $

相应地，可以得到中央政府的效用函数π_c2。

三、模型讨论

结论1：在模式1中，k_i(i=1, 2) 是r_fi/r_bi的增函数；S_i1和π_i1取决于r_bi和a_i的相对水平。

由k_i、S_i1和π_i1的函数表达式可知，上述结论显然成立。该结论说明，就中央政府而言，中央政府对地方政府i制定的公租房建设比例取决于地区i的商业住宅收益和公租房收益，r_fi/r_bi的大小影响着中央政府进行公租房建设调控的空间，因此中央政府一方面要限制商业住宅价格及其增长速度，另一方面可以允许在公租房小区周边修建商业配套设施，提高公租房项目的收益。就地方政府而言，地方政府上报的用地规模和获得的利润取决于当地商业住宅用地收益r_bi和当地的征地成本a_i，当r_bi/a_i相对较高，说明地方政府以低价购入地块，再按商业住宅用地价格高价卖出，则地方政府就会获得更高的土地出让收入，也更有意愿大规模征地，从而造成房地产泡沫和地方政府对土地财政的依赖。

结论2：在情况2中，k_c随r_bi的增加而减少，随r_fi的增加而增加；但是a_i对k_c的影响取决于两个地区r_fi和r_bi的相对水平，若r_f1/r_b1 < r_f2/r_b2，则k_c是a₁的增函数，a₂的减函数；反之，则k_c是a₁的减函数，a₂的增函数。

证明：显然，由(6) 可知，当r_fi增加时，分母会减小，则k_c会随之增加。

为了方便讨论，令t_i=1/a_i则${k_c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{r_{b1}}{t_1} + {r_{b2}}{t_2}}}{{({r_{b1}} - {r_{f1}}){t_1} + ({r_{b2}} - {r_{f2}}){t_2}}}$。

$ \frac{{\partial {k_c}}}{{\partial {{r}_{b1}}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{t_1}[({{r}_{b1}}-{{r}_{f1}}){t_1} + ({{r}_{b2}}-{{r}_{f2}}){t_2}] + ({{r}_{b1}}{t_1} + {{r}_{b2}}{t_2}){t_1}}}{{{{[({{r}_{b1}}-{{r}_{f1}}){t_1} + ({{r}_{b2}}-{{r}_{f2}}){t_2}]}^2}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{ - t_1^2{r_{f1}} - {t_1}{t_2}{r_{f2}}}}{{{{[({{r}_{b1}}-{{r}_{f1}}){t_1} + ({{r}_{b2}}-{{r}_{f2}}){t_2}]}^2}}} < 0 $

因此，k_c是r_bi的减函数。

$ \frac{{\partial {k_c}}}{{\partial {t_1}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{{r}_{b1}}[({{r}_{b1}}-{{r}_{f1}}){t_1} + ({{r}_{b2}}-{{r}_{f2}}){t_2}] + ({{r}_{b1}}{t_1} + {{r}_{b2}}{t_2})({{r}_{b1}} - {{r}_{f1}})}}{{{{[({{r}_{b1}}-{{r}_{f1}}){t_1} + ({{r}_{b2}}-{{r}_{f2}}){t_2}]}^2}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{({{r}_{b2}}{{r}_{f1}} - {{r}_{b1}}{{r}_{f2}}){t_2}}}{{{{[({{r}_{b1}}-{{r}_{f1}}){t_1} + ({{r}_{b2}}-{{r}_{f2}}){t_2}]}^2}}} $

因此，$\frac{{\partial {k_c}}}{{\partial {t_1}}}$的正负由r_b2r_f1与r_b1r_f2，即r_f1/r_b1与r_f2/r_b2的大小关系决定。

若r_f1/r_b1 < r_f2/r_b2，则k_c是a₁的增函数；若r_f1/r_b1>r_f2/r_b2，则k_c是a₁的减函数。

以上分析结果可以解释为，中央政府对k_c的决策是一个相对平衡的过程。某地区的r_bi增长会对中央的k_c决策产生消极影响，减小中央政府的决策空间，而r_fi的增长会对k_c的决策产生积极影响，增大中央政府的决策空间。而各地区征地成本a_i对k_c的影响取决于地区间r_bi/r_fi的相对水平，通常情况下中央政府要求地方的r_bi, r_fi水平与当地的经济发展水平(即经济发展水平高的地区，征地成本也高)相适应，若r_f1/r_b1 < r_f2/r_b2，则有两种可能，一是地区1的经济发展水平高于地区2，二是虽然地区1的经济发展水平低于地区2，但是地区1的商业地块单位价格存在炒作成分，使之高于地区2的商业地块单位价格。因此，无论是哪种情况都说明，随着地区1的经济水平提升，k_c会增加。反之，若r_f1/r_b1>r_f2/r_b2，则说明随着地区1的经济水平提升，k_c会减少。

结论3：在确定k的两种模式中，k_i与k_c的大小关系取决于两个地区的r_fi/r_bi的相对水平。若两个地区的r_fi/r_bi不相等，则k₁>k_c>k₂或者k₁ < k_c < k₂；若两个地区的r_fi/r_bi相等，则k₁=k₂=k_c。

证明：以地区1为例，对k₁和k_c作差。

$ {k_1} - {k_c} = \frac{{{{r}_{b1}}}}{{2({{r}_{b1}} - {{r}_{f1}})}} - \frac{{\frac{{{{r}_{b1}}}}{{{a_1}}} + \frac{{{{r}_{b2}}}}{{{a_2}}}}}{{2\left[{\frac{{({{r}_{b1}}-{{r}_{f1}})}}{{{a_1}}}} \right] + \left[{\frac{{{{r}_{b2}}-{{r}_{f2}}}}{{{a_2}}}} \right]}} = \frac{{{a_1}{{r}_{b1}}({{r}_{b2}} - {{r}_{f2}}) - {a_1}{{r}_{b2}}({{r}_{b1}} - {{r}_{f1}})}}{{2({{r}_{b1}} - {{r}_{f1}})[{a_2}({{r}_{b1}}-{{r}_{f1}}) + {a_1}({{r}_{b2}}-{{r}_{f2}})]}} $

因此，k₁－k_c的正、负取决于r_b1(r_b2－r_f2)－r_b2(r_b1－r_f1)的正、负。

若r_b1/(r_b1－r_f1)≥r_b2/(r_b2－r_f2)，则有r_f1/r_b1≥r_f2/r_b2，从而k₁－k_c≥0即k₁≥k_c，由对称性知k₂≤k_c。反之，则k₂>k_c>k₁。

结论4：在确定k的两种模式中，S_i1与S_i2(i=1, 2) 的大小关系受到r_fi/r_bi的影响。

证明：由${S_{ij}} = \frac{{{r_{bi}} - ({r_{bi}} - {r_{fi}}){{k}_i}}}{{2{a_i}}}$可知：

$ \begin{array}{l} {S_{11}} - {S_{12}} = \frac{{{r_{b1}} - ({r_{b1}} - {r_{f1}}){k_1}}}{{2{a_1}}} - \frac{{{r_{b1}} - ({r_{b1}} - {r_{f1}}){{k}_c}}}{{2{a_1}}} = \\ \frac{{({r_{b1}} - {r_{f1}})({{k}_1} - {{k}_c})}}{{2{a_1}}} \end{array} $

因此，S₁₁与S₁₂大小的讨论可以参照结论3的讨论方式进行。

同理，S₂₁与S₂₂大小的讨论也可以参照结论3的讨论方式进行。

当r_f1/r_b1>r_f2/r_b2时，则k₁>k_c>k₂，于是可知S₁₁>S₁₂，S₂₁ < S₂₂；反之，当r_f1/r_b1 < r_f2/r_b2时，则k₁ < k_c < k₂，于是可知S₁₁ < S₁₂，S₂₁>S₂₂。

从结论3和结论4分析可知，k_i和k_c，S₁₁和S₁₂，S₂₁和S₂₂大小关系主要是受到两个地区之间r_f1/r_b1和r_f2/r_b2大小关系的影响。r_fi/r_bi较大的地区，对于公租房建设的承受能力较好，因此愿意接受较高的公租房建设比例，并相应地提高建设用地指标。

结论5：地区1和地区2在模式1中获得的利润与在模式2中获得的利润的大小关系取决于两个地区间$\frac{{{r_{fi}}}}{{{r_{bi}}}}$的大小关系。当$\frac{{{r_{f1}}}}{{{r_{b1}}}} \ge \frac{{{{r}_{f2}}}}{{{{r}_{b2}}}}$时，π₁₁≥π₁₂；当$\frac{{{r_{f1}}}}{{{r_{b1}}}} < \frac{{{{r}_{f2}}}}{{{{r}_{b2}}}}$时，π₁₁ < π₁₂。

证明：将地区1在两种模式下的利润函数作差。

$ \begin{array}{l} {\pi _{11}} - {\pi _{12}} = \frac{{r_{b1}^2}}{{16{a_1}}} - \frac{1}{{16{a_1}}}{\left( {2{r_{b1}} - \frac{{({r_{b1}} - {r_{f1}})(\frac{{{r_{b1}}}}{{{a_1}}} + \frac{{{{r}_{b2}}}}{{{a_2}}})}}{{\frac{{({r_{b1}} - {r_{f1}})}}{{{a_1}}} + \frac{{{{r}_{b2}} - {{r}_{f2}}}}{{{a_2}}}}}} \right)^2} =\\ \frac{1}{{16{a_1}}}\left[{{{\left( {\frac{{({r_{b1}}-{r_{f1}})(\frac{{{r_{b1}}}}{{{a_1}}} + \\\frac{{{{r}_{b2}}}}{{{a_2}}})}}{{\frac{{({r_{b1}}-{r_{f1}})}}{{{a_1}}} + \frac{{{{r}_{b2}}-{{r}_{f2}}}}{{{a_2}}}}}} \right)}^2}} \right] =\\ \frac{1}{{16{a_1}}}\left( {3{r_{b1}} - \frac{{({r_{b1}} - {r_{f1}})(\frac{{{r_{b1}}}}{{{a_1}}} + \frac{{{{r}_{b2}}}}{{{a_2}}})}}{{\frac{{({r_{b1}} - {r_{f1}})}}{{{a_1}}} + \frac{{{\rm{(}}{{r}_{b2}} - {{r}_{f2}})}}{{{a_2}}}}}} \right)\left( {{r_{b1}} - \frac{{({r_{b1}} - {r_{f1}})(\frac{{{r_{b1}}}}{{{a_1}}} + \frac{{{{r}_{b2}}}}{{{a_2}}})}}{{\frac{{({r_{b1}} - {r_{f1}})}}{{{a_1}}} + \frac{{{\rm{(}}{{r}_{b2}} - {{r}_{f2}})}}{{{a_2}}}}}} \right) \end{array} $

显然，$3{r_{b1}} - \frac{{({r_{b1}} - {r_{f1}})(\frac{{{r_{b1}}}}{{{a_1}}} + \frac{{{{r}_{b2}}}}{{{a_2}}})}}{{\frac{{({r_{b1}} - {r_{f1}})}}{{{a_1}}} + \frac{{{\rm{(}}{{r}_{b2}} - {{r}_{f2}})}}{{{a_2}}}}} > 0$

因此，要判断π₁₁-π₂₁的大小只需要分析${r_{b1}} - \frac{{({r_{b1}} - {r_{f1}})(\frac{{{r_{b1}}}}{{{a_1}}} + \frac{{{{r}_{b2}}}}{{{a_2}}})}}{{\frac{{({r_{b1}} - {r_{f1}})}}{{{a_1}}} + \frac{{{\rm{(}}{{r}_{b2}} - {{r}_{f2}})}}{{{a_2}}}}}$的大小。

令$\mathit{\Delta } = {r_{b1}}\left( {\frac{{({r_{b1}} - {r_{f1}})}}{{{a_1}}} + \frac{{{\rm{(}}{\mathit{r}_{b2}} - {\mathit{r}_{f2}})}}{{{a_2}}}} \right) - ({r_{b1}} - {r_{f1}})\left( {\frac{{{r_{b1}}}}{{{a_1}}} + \frac{{{\mathit{r}_{b2}}}}{{{a_2}}}} \right) = \frac{1}{{{a_2}}}({r_{b1}}({\mathit{r}_{b2}} - {\mathit{r}_{f2}}) - {\mathit{r}_{b2}}({r_{b1}} - {r_{f1}}))$

若$\frac{{{r_{f1}}}}{{{r_{b1}}}} \ge \frac{{{{r}_{f2}}}}{{{{r}_{b2}}}}$，则Δ≥0，即π₁₁≥π₁₂；反之，若$\frac{{{r_{f1}}}}{{{r_{b1}}}} < \frac{{{r_{f2}}}}{{{r_{b2}}}}$，则Δ < 0，即π₁₁ < π₁₂。

这个结果说明，$\frac{{{r_{fi}}}}{{{r_{bi}}}}$较大的地区对公租房建设的承受能力较好，更愿意接受差异化的建设比例模式；而$\frac{{{r_{fi}}}}{{{r_{bi}}}}$较小的地区对公租房建设的积极性较低，更愿意接受全国统一建设比例模式。

结论6：中央政府在模式1中获得的收益大于在模式2中获得的收益，即两个地区在模式1下建设的公租房总量大于在模式2下建设的公租房总量。

证明：要判断中央政府在哪种模式下收益更大，只需要对两种模式下的收益情况进行比较。

$ \begin{array}{l} {\pi _{c2}} - {\pi _{c1}} = {k_c}({{S}_{12}} + {{S}_{22}}) - ({{k}_1}{{S}_{11}} + {{k}_2}{{S}_{21}}) = \frac{1}{{8{a_1}{a_2}{{\left( {\frac{{{r_{b1}} - {r_{f1}}}}{{{a_1}}} + \frac{{{r_{b2}} - {r_{f2}}}}{{{a_2}}}} \right)}^2}}}\\ \left[{\frac{{{a_2}{r_{b1}}({r_{b1}}-{r_{f1}})}}{{{a_1}}} + \frac{{{a_1}{r_{b2}}({r_{b2}}-{r_{f2}})}}{{{a_2}}} + {r_{b1}}({r_{b2}}-{r_{f2}}) + {r_{b2}}({r_{b1}} - {r_{f1}})} \right] \cdot \left( {\frac{{{r_{b1}}}}{{{a_1}}} + \frac{{{r_{b2}}}}{{{a_2}}}} \right) - \left( {\frac{{r_{b1}^2}}{{8{a_1}({r_{b1}} -\\ {r_{f1}})}} +\\ \frac{{r_{b2}^2}}{{8{a_2}({r_{b2}} -\\ {r_{f2}})}}} \right) = \frac{1}{{8{a_1}{a_2}{{\left( {\frac{{{r_{b1}} - {r_{f1}}}}{{{a_1}}} + \frac{{{r_{b2}} - {r_{f2}}}}{{{a_2}}}} \right)}^2}}}\left[{\frac{{2{r_{b1}}{r_{b2}}({r_{b2}}-{r_{f2}})}}{{{a_2}}} + \frac{{2{r_{b1}}{r_{b2}}({r_{b1}}-{r_{f1}})}}{{{a_1}}}-\frac{{{r}_{b1}^2({r_{b2}} - {r_{f2}})}}{{{a_1}}}} \right. - \\ \frac{{{r}_{b1}^2{{({r_{b1}} - {r_{f1}})}^2}}}{{{a_2}}} - \left. {\frac{{{r}_{b2}^2{{({r_{b1}} - {r_{f1}})}^2}}}{{{a_2}}} - \frac{{{r}_{b2}^2{{({r_{b1}} - {r_{f1}})}^2}}}{{{a_1}({r_{b2}} - {r_{f2}})}}} \right] \end{array} $

(*)

由于根据(*)中模型的对称性，因此只需要考察下面公式的正负号。

$ \begin{array}{l} \frac{{2{r_{b1}}{r_{b2}}({r_{b1}} - {r_{f1}})}}{{{a_1}}} - \frac{{{r}_{b1}^2({r_{b2}} - {r_{f2}})}}{{{a_1}}} = \\ \frac{1}{{{a_1}({r_{b2}} - {r_{f2}})}}[2{r_{b1}}{r_{b2}}({r_{b1}}-{r_{f1}})({r_{b2}}-{r_{f2}})-{r}_{b1}^2{({r_{b2}} - {r_{f2}})^2} - r_{b2}^2{({r_{b1}} - {r_{f1}})^2}] = - \frac{{{{({r_{b2}}{r_{f1}} - {r_{b1}}{r_{f2}})}^2}}}{{{a_1}({r_{b2}} - {r_{f2}})}} \end{array} $

由此可知，π_c2－π_c1 < 0。

这个结果说明，就全国范围而言，按照各个地区的经济发展水平和房地产发展现状确定公共租赁房建设规模，可以取得更好的建设效果。

四、结语

本文研究了在中央政府选择两种不同的建设比例模式时，地方政府的用地规模和收益情况。研究表明，两种决策模式下，两个地区之间公共租赁房收益与商业住宅收益之比，即$\frac{{{r_{fi}}}}{{{r_{bi}}}}$ (i=1, 2) 的大小关系是影响中央政府制定公共租赁房建设比例的关键因素。就地方政府而言，$\frac{{{r_{fi}}}}{{{r_{bi}}}}$较大地区承担的公租房建设比例k_i较大，从而导致该地区在情况1中的用地指标大于等于在情况2中的用地指标，即S_i1≥S_i2；该地区在情况1中的收益大于等于在情况2中的收益，即π_i1≥π_i2。反之，$\frac{{{r_{fi}}}}{{{r_{bi}}}}$较小地区承担的公租房建设比例k_i较小，从而导致S_i1≤S_i2，π_i1≤π_i2。这表明，$\frac{{{r_{fi}}}}{{{r_{bi}}}}$较大地区更愿意执行模式1，而$\frac{{{r_{fi}}}}{{{r_{bi}}}}$较小地区更愿意执行模式2。就中央政府而言，其在模式1中获得了更大的收益，因此中央政府会制定差别化的公租房建设比例。