土木建筑与环境工程  2013, Vol. 35 Issue (1): 111-116   PDF    
预应力混凝土梁长期变形的随机性分析
徐腾飞1, 向天宇1, 杨成1,2, 赵人达1    
1. 西南交通大学 桥梁工程系, 成都 610031;
2. 重庆大学 山地城镇建设与新技术教育部重点实验室, 重庆 400045
收稿日期：2012-04-28
基金项目：国家教育部博士点基金（20110184120010）；铁道部科技项目（2010G018-A-1）；中央高校基本科研业务费专项资金科技创新项目（SWJTU11CX011）；重庆大学山地城镇建设与新技术教育部重点实验室访问学者基金（2010001）
作者简介：徐腾飞(1983-), 男, 博士, 主要从事结构非线性与结构随机性行为研究, (E-mail)soar1120@gmail.com。
摘要：由于混凝土收缩徐变具有显著的不确定性，需要采用随机方法进行有概率保证意义的长期变形分析。采用基于响应面的蒙特卡洛抽样技术，将GL2000模型中影响长期变形的因素作为随机变量，建立了预应力混凝土梁的长期变形随机性分析模型。利用该模型对某预应力混凝土简支梁开展了长期变形随机分析，同时对模型中各个随机变量进行了敏感性分析与参数分析。结果表明，对长期变形有较大影响的随机变量有：徐变模型的不确定性，弹性模量模型的不确定性，二期恒载值的不确定性，张拉控制应力值的不确定性；为抑制梁体长期变形，施工控制中应严格控制张拉应力精度与推迟二恒加载时间。
关键词：预应力混凝土梁    收缩徐变    随机性    敏感性    响应面    
Uncertainty Analysis of Long-term Deformation for Prestressed Concrete Beam
Xu Tengfei1, Xiang Tianyu1, Yang Cheng1,2, Zhao Renda1    
1. Department of Bridge Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu, 610031, P. R. China;
2. Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area, Ministry of Education, Chongqing University, Chongqing 400045, P. R. China
Received: 2012-04-28
Abstract: Owing to the randomness of shrinkage and creep of concrete, random analysis method should be adopted to give a reasonable result with probabilistic guarantee. Stochastic variables for long-term analysis with GL2000 model about creep and shrinkage of concrete were presented. Combining Monte Carlo sampling with the response surface method, the stochastic analysis model was performed which is on time-variant deflection of prestressed concrete bridge. The long-term deflection of a prestressed concrete bridge was analyzed by this model. Sensitivity analysis and parametric study were carried out. And the uncertainty of creep model, elastic modulus of concrete, magnitude of sustained load, and prestress forces are the most important factors for long-term deflection. Furthermore, controlling accuracy of prestress forces and delaying the loading time are helpful to inhibit long-term deflection.
Key Words: prestressed concrete bridge    creep and shrinkage    stochastic    sensitivity    response surface method    

由于混凝土的收缩徐变效应，预应力混凝土桥梁在运营阶段出现梁体持续变形的现象。大跨度预应力混凝土梁桥运营数年后，70%以上均出现了不同程度的病害, 其主要原因就包括混凝土收缩徐变大[1]。而在高速铁路桥梁中，收缩徐变引起的线路不平顺性，将影响列车运营的安全性与舒适性。因此正确的预测桥梁因收缩徐变引起的长期变形尤为重要。

目前采用确定性徐变计算方法，得到的跨中下挠值与实际相差达30%以上，理论计算与桥梁实际受力状态存在明显差异[1]。Bažant等[2]指出，影响混凝土收缩徐变的因素众多，变化规律复杂，具有时变性和随机性。1983年Madsen等[3]率先开展了BP模型的参数与模型随机性研究，进而利用拉丁超立方抽样方法研究收缩徐变效应的均值与方差[2]。Yang[4]基于ACI209与MC90模型分析了预应力构件的收缩徐变的不确定性与敏感性。采用改进的拉丁超立方抽样技术，熊学玉等[5]研究了超长预应力混凝土框架结构由徐变引起的时变位移和应力的随机性问题。

学者们提出了多种混凝土收缩徐变模型，代表性的有ACI209模型、CEB-FIP 90模型、B3模型和GL2000模型。已有研究表明，B3模型和GL2000模型对已知试验数据描叙较好，表现出了相对较小的模型离散性[6]。鉴于B3模型的参数中所需要的混凝土配合比在桥梁设计时通常是未确定的，本文采用GL2000模型[7-8]考虑混凝土的收缩徐变特性，并利用基于响应面的蒙特卡洛抽样技术，进行收缩徐变随机分析。以铁路40 m简支梁为例，研究了各个徐变参数对结构长期变形的敏感特性，提出设计施工中控制收缩徐变效应的建议。

1 混凝土长期应变随机分析

GL2000模型[6-8]定义由应力产生的长期应变为

$ \varepsilon (t, {t_0}) = \sigma J(t, {t_0}) = \sigma (\frac{1}{{{E_c}({t_0})}} + \frac{{\varphi (t, {t_0})}}{{{E_c}}}) $ (1)

式中：t和t0分别为计算龄期和加载龄期；Ec和Ec(t0)分别为28 d和加载龄期时混凝土弹性模量；ϕ(t, t0)为徐变系数，表达形式为：

$ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {}{} \end{array}\varphi (t,{t_0}) = 2\mathit{\Phi} ({t_c})\left[ {\frac{{{{(t - {t_0})}^{0.3}}}}{{{{(t - {t_0})}^{0.3}} + 14}}} \right] + \\ \mathit{\Phi} ({t_c})\sqrt {\frac{7}{{{t_0}}}} \sqrt {\frac{{(t - {t_0})}}{{(t - {t_0}) + 7}}} + 2.5{\rm{\mathit{\Phi} }}({t_c})(1 - 1.086{R_{\rm{H}}}^2)\sqrt {\frac{{(t - {t_0})}}{{(t - {t_0}) + 0.15{{(\frac{V}{S})}^2}}}} \end{array} $ (2)

式中：V/S为混凝土构件的体积表面积比；RH为环境湿度(用小数表示)。上式中右边括弧内前2项代表基本徐变，第3项代表干缩徐变。Φ(tc)为

$ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {}{\mathit{\Phi} ({t_{\rm{c}}}){\rm{ = }}} \end{array}\\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1{{t_0} \le {t_{\rm{c}}}}\\ {\sqrt {\sqrt[{1 - }]{{\frac{{({t_0} - {t_{\rm{c}}})}}{{({t_0} - {t_c}) + 0.15{{(\frac{V}{S})}^2}}}}}} }{{t_0} > {t_{\rm{c}}}} \end{array}} \right. \end{array} $ (3)

式中：tc为干缩开始时间。当只有基本徐变发生时，Φ(tc)值取1。

GL2000模型收缩应变发展方程定义为：

$ {\varepsilon _{{\rm{sh}}}}(t) = {\varepsilon _{{\rm{shu}}}}\beta ({R_{\rm{H}}})\beta (t) $ (4)

其中

$ {\varepsilon _{{\rm{shu}}}} = 0.001K\sqrt {\frac{{30}}{{{f_{{\rm{cm}}}}}}} ;\beta ({R_{\rm{H}}}) = 1 - 1.18{R_{\rm{H}}}^4\ $ (5)
$ \beta (t) = \sqrt {\frac{{t - {t_{\rm{c}}}}}{{t - {t_{\rm{c}}} + 0.15{{(V/S)}^2}}}} $ (6)

式(5)中，ƒcm为混凝土28 d的抗压强度平均值；K是跟水泥种类相关的系数。

根据Bažant等[2]的建议，混凝土长期应变的随机发展方程可以表达为：

$ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {\begin{array}{*{20}{l}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}{} \end{array}\varepsilon (t,{t_0}) = \left[ {{\alpha _1}J(t,{t_0})} \right]\sigma ({t_0}) + }\\ {\int_{{t_0}}^t {\left[ {{\alpha _1}J(t,\tau )} \right]{\rm{d}}\sigma (\tau ) + {\alpha _2}{\varepsilon _{{\rm{sh}}}}(t)} } \end{array}} \end{array}\\ \end{array} $ (7)

式中J(t, t0)为徐变度，式(7)的物理意义为在t0时刻施加的单位应力在t时刻产生的应变总和，α1和α2分别为与混凝土徐变和收缩模型相关的模型不确定性变量。

随机分析时还需考虑模型参数的随机性。取ƒcm和RH为随机变量，分别定义为α3ƒcm和α4RH。

以往的研究对混凝土弹性模量的随机性考虑不足。一般而言，混凝土平均抗压强度与弹性模量之间存在随机相关性。GL2000模型中给出了2者的确定性关系模型，通过在该确定性模型前乘以一随机变量的方式定义2者的随机相关性，表达形式为：

$ {E_{\rm{c}}}(t) = {\alpha _5}(3500 = 4300\sqrt {{f_{{\rm{cm}}}}\frac{{{t^{0.75}}}}{{a + b{t^{0.75}}}}} ) $ (8)

其中，a和b为跟水泥种类有关的系数[7]。

综合以上几种随机因素，假设各随机因子之间相互独立，混凝土长期应变的随机发展方程为：

$ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {}{} \end{array}\varepsilon (t,{t_0}) = \sigma ({t_0}) \cdot \alpha \frac{1}{{{\alpha _5}{E_c}({\alpha _3}{f_{{\rm{cm}}}},{t_0})}} + \\ \sigma ({t_0}) \cdot {\alpha _1}\frac{{\varphi (t,{t_0},{\alpha _3}{f_{{\rm{cm}}}},{\alpha _4}h)}}{{{\alpha _5}{E_{\rm{c}}}({\alpha _3}{f_{{\rm{cm}}}})}} + \\ \int_{{t_0}}^t {{\alpha _1}\left[ {\frac{1}{{{\alpha _5}{E_{\rm{c}}}({\alpha _3}{f_{{\rm{cm}}}},\tau )}} + \frac{{\varphi (t,{\alpha _3}{f_{{\rm{cm}}}},{\alpha _4}h)}}{{{\alpha _5}{E_c}({\alpha _3}{f_{{\rm{cm}}}})}}} \right]} {\rm{d}}\sigma (\tau ){\rm{ + }}\\ {\alpha _2}{\varepsilon _{{\rm{sh}}}}(t,{\alpha _3}{f_{{\rm{cm}}}},{\alpha _4}h) \end{array} $ (9)

同时，本文还考虑了自重荷载、二期恒载与张拉控制应力的随机性，随机因子分别为α6、α7和α8。表 1给出了各个随机变量的统计特性。

表 1 随机变量的统计特性

2 基于响应面的蒙特卡洛分析方法

响应面法(Response Surface Method, RSM)通过少量的确定性试验结果拟合一个曲面来近似代替真实的响应值分布，从而建立随机变量与结构响应值之间的显式函数关系，避免了直接蒙特卡洛法(Monte Carlo, MC)反复求解有限元带来的巨大计算开销[12]。首先在均值点附近利用若干次的有限元计算，建立结构长期变形的响应面函数，再对其进行MC抽样，进而直接获取结构响应的分布信息。

为了提高响应面拟合精度，取考虑交叉项的二次多项式构造响应面

$ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {}{} \end{array}g(x) = a + \sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}{x_i}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{c_i}{x_i}^2} + \\ \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\sum\limits_{j > i}^n {{d_{ij}}{x_i}{x_j}} } \end{array} $ (10)

式中：n为变量个数，a，bi, ，ci，dij(i=1，2，…，n；j=1，2，…，n)为待定因数，未知数数量为(n+1)(n+2)/2。

敏感性分析是研究随机变量对结构响应贡献程度的有效方法。本文定义基于响应面的敏感性系数为：

$ \frac{{{{\left. {\frac{{\partial G(X)}}{{\partial {X_i}}}\sigma {{\rm{x}}_i}} \right|}_{{X_i} = {u_{{X_i}}}}}}}{{\sqrt {\sum\limits_{j = 1}^N {{{({{\left. {\frac{{\partial G(x)}}{{\partial {X_j}}}\sigma {{\rm{x}}_j}} \right|}_{{X_j} = {u_{{X_j}}}}})}^2}} } }}\ $ (11)

式中:G(X)为响应面函数；σX(j=1, 2, …, n)为随机因子均方差。通过引入均方差σX(j=1, 2, …, n)，一方面使得敏感性系数为无量纲量，另一方面计入均方差可以考虑变量离散性对结构响应的贡献，具有更明确的概率意义[13]。

3 混凝土徐变的有限元分析方法

采用Trost和Bazant提出的按照龄期调整有效模量法进行混凝土徐变效应分析。根据Trost-Bazant理论[14]，连续变化的应变与应力的关系可表示为：

$ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {}{} \end{array}{\varepsilon _s}(t) = \frac{{\sigma ({\tau _0})}}{E}\varphi (t,{\tau _0}) + \frac{{{\sigma _s}({\tau _0})}}{E}[1 + \\ \rho (t,{\tau _0})\varphi (t,{\tau _0})] = \frac{{\sigma ({\tau _0})}}{E}\varphi (t,{\tau _0}) + \frac{{{\sigma _s}({\tau _0})}}{{{E_\varphi }}} \end{array} $ (12)
$ \rho (t, {\tau _0}) = \frac{{\int_{{\tau _0}}^t {\frac{{{\sigma _{s(\tau )}}}}{{{\rm{d}}\tau }}\tilde \omega (t, \tau )d\tau } }}{{{\sigma _s}(t)\tilde \omega (t, {\tau _0})}} $ (13)

式中：τ0为加载龄期，t为计算应变时的龄期，ρ(t, τ0)即为老化系数，Eφ即为按龄期调整的有效模量。

采用混凝土结构非线性分析软件CSBNLA进行桥梁结构的长期变形随机分析[12]。该软件采用退化梁单元，采用本文程序对国际材料和结构实验室联合会(RILEM)的TC114/3委员会于1993年发布的混凝土结构和材料的收缩与徐变行为的基准算例(Benchmark Examples)进行了验证，取得了良好的数值结果[15-16]。

4 算例分析

图 1为铁路40 m简支梁断面图，其中顶底板厚度分别为300、280 mm，腹板厚度为500 mm；混凝土强度等级为C50，预应力钢束采用13-7ϕ5，底板预应力束保护层厚度110 mm，腹板最下层预应力束中心线距离底板300 mm，腹板预应力束沿竖向等间距布置，间距190 mm。预应力体系采用后张法施工，张拉控制应力σcon =1 395 MPa，张拉时混凝土龄期28 d。长期作用荷载为：自重荷载236.195 kN/m，二期恒载180 kN/m；自重作用时混凝土龄期为28 d，二期恒载作用时混凝土龄期为60 d。环境湿度取70%。

图 1 40 m预应力混凝土梁跨中断面

利用本文的方法，计算成桥10 a中桥梁跨中位移，成桥后由于预应力作用梁体跨中出现上挠，徐变效应体现为上挠，二期恒载施加后，跨中上挠量减小，但随着收缩徐变效应发生，上挠量逐渐增大，至3 a后逐渐稳定，10 a最终位移均值为25.29 mm，方差为6.47 mm，变异系数为26%。图 2给出了前3 a的跨中位移均值及其变异发展曲线，由此可以得到具有一定保证率的位移分析结果，特别的当位移近似正态分布时，此保证率为97.72%与2.28%。计算结果表明，收缩徐变效应具有明显的不确定性，采用确定性的分析结果有可能不恰当的设置桥梁预拱度，影响列车行车安全性与平稳性。

图 2 梁体跨中挠度

利用敏感性分析方法，可以计算各个随机变量对成桥10a后跨中位移的敏感性，图 3给出了计算结果。可以看出，敏感性最高的参数为徐变度的模型不确定性，其次为弹性模量模型的不确定性，因此在设计与计算过程中，合理的选择计算模型将有利于提高收缩徐变效应的预测精度。

图 3 跨中位移的敏感系数

对于模型参数的不确定性而言，最为敏感的是荷载的不确定性，其次为张拉控制应力的不确定性。

值得指出的是，文献[11]中张拉控制应力变异系数为1.5%，而此项系数与施工水平紧密相关。图 4给出了张拉控制应力变异系数为1.5%与10%的跨中位移时程对比，图 5给出了两种变异系数下跨中3 a后位移的概率密度曲线。由图可以看出2者位移均值基本一致，但是随着张拉控制应力的变异性增大，导致跨中挠度的离散性显著增大。为分析其原因，本文计算了张拉控制应力变异系数为1.5%~10%时各个主要随机变量的敏感性，图 6给出了计算结果。由图中结果可以看出：随着张拉控制应力变异性的增大，张拉控制应力的敏感性迅速增大，当张拉控制应力变异系数为10%时，张拉控制应力的敏感性系数达到0.81，成为最敏感的随机变量。因此在施工过程中应较精确控制张拉应力，以控制收缩徐变效应的离散性。

图 4 跨中位移时程曲线

图 5 跨中位移概率密度函数

图 6 跨中挠度敏感系数与σcon的变异系数

梁体预制后通常需存梁一段时间才进行架设，图 7给出了二期恒载加载时的混凝土龄期与其敏感系数的关系。由图中可以看出存梁时间越短，二期恒载对于收缩徐变效应影响越明显。延长存梁时间有利于抑制二期恒载对收缩徐变效应的影响，但存梁2个月后，此影响基本稳定。

图 7 跨中挠度敏感系数与二恒加载时间

5 结论

采用GL2000模型计算混凝土的收缩徐变特性，并利用基于响应面的蒙特卡洛抽样技术，进行收缩徐变随机分析。以铁路40 m简支梁为例，分析表明：

1) 应考虑收缩徐变效应具有明显的不确定性，以避免不恰当的设置桥梁预拱度，影响列车行车安全性与平稳性。

2) 徐变度的模型不确定性对徐变效应最为敏感，其次为弹性模量模型的不确定性，因此宜进一步开展徐变模型研究。

3) 随着张拉控制应力变异性的增大，跨中长期变形的离散性显著增加，同时张拉控制应力的敏感性迅速增大，在施工过程中应注意控制张拉应力的精确性。延长存梁时间有利于抑制二期恒载对收缩徐变效应的影响，但存梁2个月后，此影响基本稳定。

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