在桩基设计中，桩的承载力及其沉降特性是首先要确定的重要指标[1-3]。桩作为应用最广的一种基础形式，对其受力沉降特性研究已有了一定的发展，从开始的基本桩承载力公式到数值方法分析桩，以及通过荷载传递函数研究桩的受力沉降特性[4-10]，但桩-土共同作用是一个非常复杂的力学体系，特别是桩底存在沉渣时，桩在受竖向力的作用下的沉降不同于普通桩的沉降情况[11-19]。对带沉渣的单桩荷载沉降曲线进行分析，将其分为3个阶段：开始的弹性直线阶段、中间的沉渣压实阶段以及最后的弹塑性破坏阶段，并分别对3个阶段的沉降特性进行数学描述，总结得出各阶段的数学模型表达式。运用最优化方法，求得桩的极限沉载力Pf与反映荷载沉降曲线弯曲程度的系数a，结合带沉渣单桩的室内模型试验结果，可用本文的最优化方法得出带沉渣单桩的极限承载力与沉降量。
对于桩底有沉渣且具有端承力的摩擦桩，其静载荷载沉降曲线(图 1)可作如下描述：1) 当荷载较小时，侧阻力首先起作用，荷载逐步由桩身的上部向下部传递，此时桩端反力为0，对应的荷载沉降曲线实为桩身的荷载沉降关系曲线。此时虽然荷载较大，但对应的沉降量却很小，为弹性的直线段；2) 当荷载逐步增大至摩阻力传至桩端时，桩顶的下沉量Sk、Pb开始出现，此时真正出现桩顶的荷载沉降曲线；3) 随着荷载进一步增大，桩的沉降量进一步发生，桩侧摩阻力得以全部发挥，由于端阻力没有发挥，所以在荷载作用下桩顶会产生突然陡降，称之为拐点a，此时假设桩顶荷载为PⅠ，桩顶沉降为SⅠ，桩底开始压缩沉渣，桩端承担的荷载慢慢增大；4) 桩土体系进入弹塑性阶段，当荷载再增大时，导致桩底沉渣被压实，桩端阻力逐渐变大，荷载沉降曲线出现另一拐点b，此时桩顶荷载为PⅡ，桩顶沉降为SⅡ；5) 再随着荷载的增大，桩底土破坏，桩土体系完全丧失承载能力，桩身出现不停下沉。
根据以上对带沉渣单桩荷载沉降曲线的形态分析，可认为其整个沉降过程分为3段：1) 荷载较小时，只有桩侧摩阻力发挥，桩端阻力不发挥；2) 中间的压实沉渣段；3) 压实沉渣后桩端阻力的发挥。分别对这3个过程段建立函数关系并用数学表达式来描述。
1953年荷兰Van der Veen提出正常单桩的荷载-沉降曲线在弹性直线段可表示为
式中：a为反映荷载沉降曲线弯曲程度的系数(1/mm)；Pf为桩的极限承载能力(极限荷载)；P、S分别为桩顶所施加的荷载和桩顶沉降。
1968年Chandler提出用有效应力法求解粘性土和非粘性土的桩侧摩阻力qsu，表示为
对于正常固结粘性土，k0≈1-sinφ′，代入得
其中β=(1-sinφ′)tanφ′；当φ′=20~30时，β=0.24~0.29；据试验统计，β=0.25~0.40，平均为0.32；σ′v为桩侧计算土层的平均竖向有效应力；φ′为桩侧计算土层的有效内摩擦角。
考虑到桩侧的深度效应，对于长径比L/d大于侧阻临界深度(L/d)cr的桩，侧摩阻力可按式(4)取式(3)的修正值，即：
式中，临界长径比(L/d)cr对于均匀土层可取10~15。
桩侧摩阻力为：
此时没有端阻力的发挥，桩侧摩阻力等于桩顶荷载，假设拐点1的坐标为(P1，S1)，由式(1)和(5)推导出：
得到：
所以，弹性直线段的表达式为：
假设桩底沉渣压缩到与桩端土的弹性模量相同时为其压实状态。利用Poulos弹性理论法的分析原理求解单根摩擦桩的沉降值，假设：
1) 土是半空间均质、各向同性的弹性半空间体，弹性模量和泊松比不随桩的存在而变化；
2) 桩侧是完全粗糙的；
3) 只考虑桩与其邻近土之间的竖向位移协调，忽略径向位移协调。
根据上述假设，得到均质土中的单桩沉降计算公式：
式中：P为荷载；Es为土的弹性模量；L为桩长；Iρ为沉降影响系数，Io为在泊松比为0.5的半空间均质土中的单桩沉降影响系数，取决于L/d和桩的刚度系数；Rh为考虑均质土厚度的修正系数，取决于L/d和均质土厚度与桩长的比值h/L，可由表查得。
另一方面，在沉渣压实后的瞬时弹性模量为：
式中：H为沉渣高度；A为沉渣的截面积；Δh为沉渣的压缩量。
假设压实沉渣后的桩顶荷载为PⅡ，则当沉渣压实后，即当沉渣压缩量达到Δh时，单桩的沉降量为SⅡ，所以联合式(9)与(11)可得
从面得到压实沉渣沉降：
由2组数据(PⅠ，SⅠ)、(PⅡ，SⅡ)确定压缩沉渣时桩顶荷载与沉降的曲线方程(假定沉渣为弹性压缩，所以此曲线为弹性直线方程)即
代入相应的值，得到压缩沉渣段的方程
由于压实沉渣后单桩的承载性能与正常相似，所以可将式(1)所表示的曲线后半段(桩侧摩阻力完全发挥后)平移至压实沉渣时的拐点2处，即为压实沉渣后的单桩所表现的弹塑性阶段，表示为：
综上所述，带沉渣单桩的荷载沉降曲线的数学表达式为：
式(16)有2个参数需要确定，即a为反映荷载沉降曲线弯曲程度的系数(1/mm)与Pf为桩的极限承载能力(极限荷载)，可采用最优化问题分析得出，所谓最优化问题，泛指某一目标函数的极大或极小的问题，这里指的是Pf和a的确定，应保证按式(16)的计算值与实测值的总体误差最小。换言之，除按最优化技术确定的Pf和a值以外，将不存在任何别的数值能使式(16)的计算值与实测值保持最小误差，因此，应首先建立合理的误差函数。假设某工程桩静载试验共分N级加载，其实测数据为(P1, S1)，(P2, S2), (P3, S3)；…(Pi, Si)，……，(PN, SN)。其中Pi为第i级荷载值，单位kN；Si为桩在第i级荷载作用下，稳定时桩顶累计沉降量，单位mm。
对于第i级荷载作用下的桩顶累计沉降量Si，由式(16)可计算荷载Pi′。
取计算荷载Pi′与实测值Pi之差为
定义误差函数为
将式(17)代入(18)，得
式中Pi、Si为实测数据。因此式(19)是未知参数Pf和a的函数，故引入向量
从而式(19)为向量X的函数
这样，确定Pf和a的最佳值问题，便成为求一个向量Xk，使误差ε(Xk)为最小的问题。迭代计算步骤如图 2所示。
根据室内带沉渣单桩模型试验[11]，桩长50 cm, 桩径20 mm，试验的荷载沉降曲线如图 3所示，数据见表 1，用本文方法确定其极限荷载。
经过变换后的荷载位移曲线，如图 4所示。
通过本文最优化逻辑将曲线进行变换后可得到的单桩正常的极限荷载P3，而桩底有沉渣的单桩极限荷载为P4，两者差量为沉渣的压实荷载量，从图 2中可以看出，对于桩底存在沉渣的桩的极限承载力在沉渣被压实后，往往比无沉渣的桩承载力更大。
对带沉渣单桩的荷载沉降曲线的进行数学描述，将其分为3个阶段，并给出各阶段的数学描述，通过最优化分可析得出数学描述公式的参数, 从而确定出桩在存在沉渣时极限承载力，对于桩底存在沉渣时的桩的沉降与极限承载力有了进一步的认识，能够更加准确地掌握桩底存在沉渣时对桩的工作性状影响。
2013, Vol. 35 Issue (2): 28-32
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