钢筋混凝土结构在经历强震作用后会产生一定的残余变形(即不可恢复的塑性变形),残余变形的大小反映了结构损伤的程度,同时也是震后结构可修复能力的重要指标[1-2]。残余变形越大,进行修复的难度越大;当残余变形超过容许残余变形时,结构不能再修复,需拆除重建。1995年日本神户地震后,由于部分桥墩的残余变形较大,难以修复,因此不得不拆除约100根墩顶倾角大于1°(侧移比为1.75%)的桥墩[3]。同样,2008年汶川地震后,也有许多框架柱和桥墩由于残余变形过大而无法修复继续使用[4-5]。中国现有的建筑抗震设计规范侧重于承载力和考虑最大弹塑性变形以及累积耗能,着眼于“小震不坏”、“中震可修”、“大震不倒”的设防目标,对于“中震可修”仍主要采用最大变形验算(见《建筑抗震设计规范》[6]附录M),对将残余变形作为震后结构性能的评价指标虽有提及,但其中并没有涉及残余变形具体的计算和分析,在设计中不具有可操作性;中国桥梁抗震规范[7]也是如此,没有震后可维修性方面的具体指标要求。实际上,这方面的研究本身涉及的很少[1-2, 8-13],尚不能为设计中的震后可维修性提供依据。只按弹塑性最大变形设计的结构总体上满足“大震不倒”的要求,但强震作用下结构损伤严重,基本丧失使用功能且难以修复,不仅造成严重的经济损失,也不利于震后救灾与重建工作的开展。日本桥梁设计规范《道路桥梁示方书与解说》[14]给出了一种桥墩地震残余变形的计算方法,并将残余变形作为桥梁设计的重要指标,而中国抗震规范中对此还未涉及。鉴于此,本文采用65条标准化后的地震波对双线性SDOF体系进行动力时程分析,基于对时程响应结果的统计分析,研究了不同参数(如滞回特性、刚度比、周期、地面峰值加速度)对体系残余变形的影响,并重点分析了平均残余变形与平均最大弹塑性变形、体系刚度比的关系;同时结合理论分析提出了分别适用于弹塑性Kinematic滞回模型和Takeda滞回模型的残余变形计算公式。最后,以一钢筋混凝土单柱桥墩为例,详细阐述了采用本文提出的方法进行单自由度体系结构的地震残余变形计算及震后结构性能评估的过程。
为得到结构的最大弹塑性变形以及残余变形地震响应,对图 1所示的SDOF体系模型进行动力时程分析。模型中质点的高度H为3 000 mm,支撑质点的杆件截面尺寸为100 mm×100 mm,屈服荷载为Fy=329.616 kN,屈服位移为dy=0.021 8 m,体系的初始刚度(定义为屈服点处的割线刚度)为K1=1.512×107 N/m,阻尼比为ζ=0.05,体系自振周期按下式计算:
式中,M为体系的集中质量。给定质点质量M,则可由式(1)确定结构的自振周期。分析中选取的周期T范围为0.2~8.0 s,其中短周期范围内(T < 2 s)计算周期点选取的步长为0.2 s,长周期范围内(T>2 s)计算周期点选取的步长为1 s。
为研究不同的滞回模型对SDOF体系的最大弹塑性变形及残余变形的影响,分别采用双线性随动硬化(Kinematic)滞回模型和Takeda滞回模型来模拟钢筋混凝土单自由度体系的荷载-变形特性,如图 2、3所示。图 2所示的双线性模型未考虑体系卸载时刚度退化的影响,卸载刚度等于初始刚度K1,但由于其模型简单、计算高效,因而被广泛应用于钢筋混凝土结构的动力时程分析中;图 3所示的改进Takeda模型,考虑了体系卸载时刚度退化的影响,能更真实地反映钢筋混凝土结构的受力特性,其卸载刚度Ku与结构的最大弹塑性变形相关,按式(2)计算。
式中,μΔ为体系的相对位移延性系数;dm为体系的最大弹塑性变形;系数α取0.4。
由图 2、3的双线性模型可见,体系屈服后的刚度为rK1,其中系数r为屈服后的刚度K2与初始刚度K1的比值,简称刚度比。文中分别选取了r=0.0,0.01,0.05,0.1,0.15,0.2,0.25,0.3共8种不同刚度比的双线性模型进行分析,以研究刚度比r对体系残余变形以及最大弹塑性变形的影响。
为进行弹塑性时程分析,从美国太平洋地震工程研究中心(PEER)强震数据库[15]及中国地震记录中选取了不同场地条件下的共65条强震记录作为地震动输入,选择时尽量避开同次记录,各地震记录的详细信息如表 1所列。分析中将每条地震波分别标准化为峰值加速度(PGA)为0.125,0.25和0.5 g的标准地震波,以研究不同PGA的地震波对体系平均最大弹塑性变形和平均残余变形的影响。另外,分析中每条地震波数据后都添加了10 s以上持时的零加速度,以使震后结构的位移响应能自由衰减至某一稳定值,进而方便地从时程响应曲线中读取有效的残余变形值。
采用SAP2000软件对SDOF体系模型进行弹塑性时程分析,分析中体系的阻尼采用Rayleigh阻尼来表示,数值积分采用Newmark-beta方法。需要说明的是,分析中未考虑体系的桩土相互作用及P-Δ效应。图 4给出了SDOF体系在El Centro波下的弹塑性时程分析实例。由图 4可看出,当体系的周期、刚度比给定后,在相同地震波下采用Takeda模型和Kinematic模型计算出的时程响应有很大差别,采用Takeda模型得出的残余变形要明显小于采用Kinematic模型的值,而由两种模型计算出的相对位移延性需求μΔ则大致相当,这表明滞回特性对体系残余变形的大小有着较为明显的影响。
图 5、6分别给出了不同滞回模型(Takeda模型和Kinematic模型)下SDOF体系的最大弹塑性变形平均值$\overline{{{d}_{\text{m}}}}$和残余变形平均值$\overline{{{d}_{\text{R}}}}$随周期、刚度比以及地震波峰值加速度(PGA)变化的影响。其中,$\overline{{{d}_{\text{m}}}}$和$\overline{{{d}_{\text{R}}}}$为65条地震波时程分析的统计平均结果,统计中剔除了整个动力时程分析中结构始终保持弹性(未屈服)状态和相对位移延性系数μΔ大于10的结果,这是因为地震中保持弹性的结构不会产生残余变形,而位移延性系数μΔ大于10的结构则可能不满足保证“大震不倒”的最大弹塑性变形要求。
由图 5可以看出,SDOF体系的最大弹塑性变形受周期及地震波峰值加速度(PGA)的影响较为明显,而基本不受体系的刚度比和滞回模型特性的影响。对比图 5中Takeda模型(左图)和Kinematic模型(右图)的计算结果可以看出,2种模型得出的最大弹塑性变形平均值$\overline{{{d}_{\text{m}}}}$随周期T变化的趋势基本一致,而且相同周期下计算出的最大弹塑性变形值也非常接近。体系刚度比r的变化对计算结果几乎无影响,不同刚度比下的$\overline{{{d}_{\text{m}}}}$-T变化曲线基本重合。周期对最大弹塑性变形的影响可分为两个阶段,在周期T < 2.0 s的范围内,最大弹塑性变形平均值$\overline{{{d}_{\text{m}}}}$随周期T的增大急剧增大;而在周期T>2.0 s的范围内,$\overline{{{d}_{\text{m}}}}$随T增大的趋势明显变缓甚至保持水平直线。地面峰值加速度(PGA)对最大弹塑性变形有显著影响,PGA越大,同周期下计算出的最大弹塑性变形平均值$\overline{{{d}_{\text{m}}}}$越大,$\overline{{{d}_{\text{m}}}}$的增大程度与PGA的增加幅度呈非线性关系。
由图 6可以看出,滞回模型特性、体系刚度比、地震波峰值加速度(PGA)以及周期(尤其是T < 2.0 s的短周期)对SDOF体系的残余变形均有较明显的影响。由基于Takeda模型(左图)和Kinematic模型(右图)的计算结果对比可看出,2种模型得出的残余变形平均值$\overline{{{d}_{\text{R}}}}$随周期T变化的趋势大致相同,但相同周期下采用Kinematic模型计算出的残余变形平均值$\overline{{{d}_{\text{R}}}}$明显大于Takeda模型的值。体系刚度比r对残余变形有较大影响,刚度比越大残余变形越小,但采用Kinematic模型计算时,当体系刚度比r增至0.15后,再增大刚度比,残余变形减小幅度显著减小甚至可忽略。周期对残余变形的影响也可分为两个阶段,在周期T < 2.0 s的范围内,残余变形平均值$\overline{{{d}_{\text{R}}}}$随周期T的增大显著增大;而在周期T>2.0 s的范围内,$\overline{{{d}_{\text{R}}}}$随T增大的趋势变缓甚至出现波动或反弹,呈现较不规则的变化规律。地面峰值加速度(PGA)对残余变形的影响显著,PGA越大,相同周期下计算出的残余变形平均值$\overline{{{d}_{\text{R}}}}$越大,$\overline{{{d}_{\text{R}}}}$的增大程度与PGA的增加幅度呈非线性关系。
Macrae等[8]的研究表明,SDOF体系的残余变形与最大弹塑性变形没有明确的关系,相对位移延性系数的大小对残余变形的影响较小。这一结论是建立在分析中体系的位移延性需求预先给定以及少量地震波记录分析结果统计的基础上的,而实际上结构的残余变形理论值很大程度上取决于最大弹塑性变形(或位移延性系数)的大小。Borzi等[6]的研究也表明,位移延性系数是影响残余变形大小的重要参数,残余变形与最大弹塑性变形比drm随位移延性系数的增大而增大。为研究体系残余变形与最大弹塑性变形的关系,图 7给出不同PGA下分别采用Takeda模型和Kinematic模型计算出的残余变形平均值$\overline{{{d}_{\text{R}}}}$和位移延性系数平均值$\overline {{\mu _\mathit{\Delta }}} $的关系。由图 7可看出,两种模型下残余变形平均值$\overline{{{d}_{\text{R}}}}$与位移延性系数平均值$\overline {{\mu _\mathit{\Delta }}} $均大致呈线性递增关系,且刚度比越小线性递增斜率越大(越陡);对于Kinematic模型,当刚度比r≥0.15时,$\overline{{{d}_{\text{R}}}}$随$\overline {{\mu _\mathit{\Delta }}} $递增的趋势明显变缓,这进一步说明了刚度比对残余变形的大小有着非常重要的影响。
结构在经历地震作用后的最大可能残余变形dR max是指结构由峰值位移处沿卸载路径卸载至零恢复力处的位移,可由最大弹塑性变形求得。根据图 2、3所示的滞回模型,SDOF体系的最大可能残余变形dR max可由下式计算:
式中,系数α取为0时对应于Kinematic模型,系数α取为0.4时对应于Takeda模型。
采用式(3)计算的残余变形值往往大于弹塑性时程分析得到的值(即实际地震残余变形值dR),造成这一差异主要原因是,动力时程分析中体系经历最大变形后仍可能继续振动,卸载并非由最大变形处开始,如图 4所示。为分析实际地震残余变形dR与最大可能残余变形dR max的关系,采用式(3)对不同刚度比和位移延性系数(如图 7所示)下体系的最大可能残余变形dR max进行计算,并将其与相应时程分析的残余变形平均值$\overline{{{d}_{\text{R}}}}$进行比较。图 8和图 9分别给出了基于Takeda模型和Kinematic模型的$\overline{{{d}_{\text{R}}}}$和dR max的关系。
由图 8、9可看出,基于2种模型的弹塑性时程分析的残余变形平均值$\overline{{{d}_{\text{R}}}}$与最大可能残余变形dR max均大致呈指数函数关系。对于Takeda模型,对应于峰值加速度(PGA)ag=0.5、0.25、0.125 g时的函数变化参数分别为0.024 3、0.030 6、0.037 6;对于Kinematic模型,对应于峰值加速度(PGA)ag=0.5、0.25、0.125 g时的函数变化参数分别为0.001 3、0.002 4、0.000 42。考虑峰值加速度(PGA)的影响,基于2种模型的地震残余变形$\overline{{{d}_{\text{R}}}}$可分别按下式计算:
式中,ag的单位为g(9.8m/s2);dR max、dm和dy的单位均为m。需要说明是,式(4)和(5)是基于对不同SDOF体系弹塑性地震响应的平均值进行统计分析建立的,分析中体系的刚度比r的变化范围为0.0~0.3,相对位移延性系数μΔ的变化范围约为1.0~6.0(即结构的最大弹塑性变形dm的变化范围约为dy~6dy),因而在进行残余变形计算时需考虑公式的适用范围。另外,由图 8、9还可看出,基于Takeda模型的计算结果的离散性要明显小于基于Kinematic模型。
下面以图 10(a)所示的某一钢筋混凝土单柱桥墩为例,详细说明采用本文提出的方法进行单自由度体系结构的地震残余变形计算及震后结构性能评估的过程。桥墩高H=6 m,上部结构的集中质量M=1.2×105 kg。柱墩的截面尺寸及配筋详情如图 10(b)所示,具体参数如下:截面尺寸为1 000 mm×1 000 mm;混凝土轴心抗压强度为30 MPa,柱周纵向对称配置1228Ⅲ级钢筋,屈服强度设计值为360 MPa,极限强度为500 MPa;横向配置⏂10@100Ⅱ级钢筋,屈服强度设计值为300 MPa;混凝土保护层厚度为30 mm。桥墩所在位置的场地类别为Ⅲ类,设计地震分组为第二组,抗震设防烈度为8度罕遇地震。
本文提出的地震残余变形计算方法是以先获得结构双线性荷载-变形曲线的刚度比以及最大弹塑性变形为基础的。对于钢筋混凝土结构,可采用截面分析及塑性铰模型建立荷载-变形曲线,再通过Pushover方法确定不同单滞回模型下(Takeda模型和Kinematic模型)结构的最大弹塑性变形(抗震性能点),进而得到近似双线性荷载-变形曲线的刚度比,如图 11所示。图中Y点为结构的屈服点,D点为结构的抗震性能点(最大变形点)。
分析中,采用的钢筋、混凝土材料的本构模型及塑性铰模型参见文献[17]。计算得到的墩柱荷载-变形曲线如图 12所示,图中Y点为墩柱的屈服点,屈服位移为34.668 mm,屈服剪力为323.439 kN;D点为假定的柱最大位移反应点。采用ATC-40建议的能力谱法对结构进行pushover分析,地震反应谱根据我国《建筑抗震设计规范》(GB 50011-2010)[6]确定,结构等效阻尼比ζeq基于对图 2、3所示的单滞回环DC′D′C′(Kinematic)和DRD′R′(Takeda)的分析分别按下式计算:
式中,Fd为结构最大变形dm对应的水平荷载。
图 13示出了A-D格式下采用不同滞回模型得出的结构抗震性能点。由图可看出,采用Kinematic模型进行分析时,结构的最大弹塑性变形dm=81.05 mm,位移延性系数μΔ=2.34,体系刚度比r=0.23,等效阻尼比ζeq=26.64%;而采用Takeda模型进行分析时,结构的最大弹塑性变形dm=111.73 mm,位移延性系数μΔ=3.22,体系刚度比r=0.17,等效阻尼比ζeq=16.81%。假定结构最大弹塑性变形位移角限值为1/30,而本文分析得到的最大变形位移角值θ=0.081 05/6≈1/74(Kinematic)、θ=0.111 73/6≈1/54(Takeda),均小于规定的限值,满足8度罕遇地震下最大变形性能的要求。
采用pushover方法确定结构最大变形的同时也可得到结构屈服后的有效周期Td=0.95(Kinematic)、Td=1.09(Takeda),结合《建筑抗震设计规范》(GB 50011-2010)[6]给出的加速度反应谱计算公式,可求得基于不同滞回模型的反应谱加速度ag=0.33 g(Kinematic)、ag=0.34 g(Takeda)。将相关参数分别代入式(4)和式(5)即可求得结构的地震残余变形dR=4.74 mm(Kinematic)、dR=11.68 mm(Takeda),对应的残余变形位移角θR=0.08%(Kinematic)、θR=0.19%(Takeda)。根据日本《道路桥梁示方书与解说》(2002)[14]中结构残余变形位移角不超过1%的限定,则该单柱桥墩具有良好的抗震及震后修复能力。
值得注意的是,基于Kinematic模型和Takeda模型的残余变形计算结果有较大差异,Kinematic模型高估了结构的滞回耗能能力,抗震性能分析结果偏于不安全;而Takeda模型的计算结果则相对趋于安全。在对实际结构进行设计和震后性能分析时,应根据需要选择合理的计算模型,即根据实际结构本身的特性、重要性以及用途等确定采用的分析模型,在一定程度上实现基于性能的抗震设计方法。
地震残余变形作为震后结构性能控制的重要指标,应在结构抗震设计中予以考虑。本文基于对SDOF体系弹塑性地震响应的统计分析,系统研究了不同参数对体系残余变形的影响,其中滞回模型特性、体系刚度比、地面峰值加速度(PGA)以及最大弹塑性变形对残余变形的影响较大;同时结合理论分析提出了分别适用于弹塑性Kinematic滞回模型和Takeda滞回模型的残余变形计算方法。该方法是以获得结构的最大弹塑性变形为基础的,能与传统的基于结构最大变形性能的抗震分析方法(Pushover方法)很好地结合,强调首先保证结构的最大地震变形性能再考虑其震后可修复性,这与当前的结构抗震评估及设计理念也可以较好地适应。需要说明是,基于不同滞回模型的残余变形计算结果有较大差异,其中基于Takeda模型的结构残余变形的计算结果偏于安全。