在一般大气环境中，混凝土碳化是导致钢筋锈蚀的主要原因之一。混凝土碳化机理的研究已比较充分，但混凝土碳化受多种因素影响，如水泥品种和用量、水灰比、混凝土的养护、混凝土强度等级和环境因素等^[1-2]。国内外学者从不同角度提出了许多混凝土碳化深度预测模型，牛荻涛等^[1]以抗压强度为主要参数，考虑浇筑面、角部位置、工作应力、环境温度和湿度等因素影响，提出一个半理论半经验随机模型；张誉等^[2]以水灰比和水泥用量为主要参数，并通过快速碳化试验数据对模型进行了修正，建立了一个既有理论依据又有实用价值的碳化深度预测模型；Hakkinen^[3]以抗压强度为主要参数并考虑水泥掺合料和环境因素影响，建立一个模型，目前在欧洲广泛应用；Wang等^[4]建立了能考虑粉煤灰影响的预测混凝土碳化深度的数值模型；Talukdar等^[5-6]以CO₂浓度、CO₂扩散系数为主要参数，建立了能考虑气候影响的碳化深度预测模型。由于各个碳化深度预测模型考虑的侧重点不同，对同一工程，不同模型的预测结果存在显著的差异。卢峰等^[7]通过不同预测模型计算结果与实际工程检测数据对比，发现计算结果与实际工程测试结果差异普遍在30%~50%左右，且不同模型的适用条件也不同，如张誉模型计算粉煤灰混凝土碳化深度的精度较高，而牛荻涛模型计算普通水泥混凝土碳化深度的精度较高，模型的选择对评估结果的精度影响显著。

对一个既有结构，其各种因素对碳化的影响都已定型，理论上可依据碳化深度实测值确定碳化的概率模型，但碳化检测是有损检测，实际工程检测中样本数量受到限制而缺乏足够的代表性，单依靠小样本检测数据进行碳化可靠性分析可能导致统计不确定性太大^[8]，且当前工程检测中常用测量碳化深度的酚酞指示剂测试法易受外界因素影响，精度不高。贝叶斯方法可以综合数学预测模型的先验信息和现场检测的自然信息，更新预测模型，提高预测的精度。卫军等^[8]利用检测数据对混凝土模型和钢筋锈蚀模型的参数进行了更新，并利用更新后的参数计算结构的可靠度；Caspeele等^[9]应用贝叶斯方法将文献资料信息和少量试验资料结合，提高混凝土抗压强度的统计分布精度；Hyun等^[10]应用贝叶斯方法将验证荷载引入桩基的可靠性设计；吴本英等^[11]采用贝叶斯理论结合模型信息和检测信息，对碳化深度预测模型的参数进行更新，更新后的模型预测精度提高，同时发现如果模型选择恰当，更新后结果与实际工程吻合良好，如果模型选择不当，更新后的预测结果仍不理想。

笔者提出一个预测混凝土碳化深度的两层次贝叶斯更新模型，将碳化预测模型的均值和方差均看做随机变量，首先选择几个模型作为先验模型并对其平均赋以权重，然后应用检测信息，对模型的分布参数和模型权重进行更新，最后用更新后的模型参数和权重预测混凝土碳化深度。

1 双层贝叶斯更新模型

1.1 预测模型分布参数的贝叶斯更新

已有研究成果证明，混凝土的碳化深度x较好地服从正态分布N(μ,σ²)，由于存在主观不确定性，预测模型中碳化深度x的均值μ和方差σ²均应为随机变量，在对具体工程的碳化深度检测前，对均值μ和方差σ²的认识来自经验和已有研究成果(模型)，这种认识叫做先验信息^[1,12-13]。

采用共轭分布确定碳化深度x的均值μ和方差σ²的先验分布和后验分布^[14]，当σ²已知时，均值μ符合正态分布：

$ \mu |{{\sigma }^{2}}\tilde{\ }N({{\mu }_{0}},{{\sigma }^{2}}/{{k}_{0}}) $

(1)

方差σ²服从倒伽马分布：

$ {{\sigma }^{2}}\tilde{\ }IGa({{\upsilon }_{0}}/2,{{\upsilon }_{0}}\sigma _{\text{0}}^{\text{2}}/2) $

(2)

均值μ和方差σ²的共轭先验分布为：

$ \pi \left( \mu ,\sigma \right)\infty {{\sigma }^{-1}}{{\left( {{\sigma }^{2}} \right)}^{\frac{^{{{\upsilon }_{0}}}}{2}}}{\rm exp}\left( -\frac{1}{2{{\sigma }^{2}}}[{{\upsilon }_{0}}\sigma _{\text{0}}^{\text{2}}+{{k}_{0}}{{\left( \mu -{{\mu }_{0}} \right)}^{2}}] \right) $

(3)

式中:k₀、υ₀、σ₀和μ₀为超参数^[14]，可根据先验矩法、先验分位数等方法确定。均值μ和方差σ²的先验分布反映过去的研究成果对事物的认识，混凝土结构运营一段时间，通过检测获得一个碳化深度的样本x₁, x₂, …, x_n后，对均值μ和方差σ²有了新的认识。样本x₁, x₂, …, x_n的联合密度函数可表示为：

$ \begin{align} & \ \ \ \ \ \ \ p(x|\mu ,{{\sigma }^{2}})= \\ & {{\left( 2\pi \right)}^{-\frac{n}{2}}}{{\sigma }^{-n}}exp\left\{ -\frac{1}{2{{\sigma }^{2}}}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-\mu )}^{2}}} \right\}= \\ & {{\left( 2\pi \right)}^{-\frac{n}{2}}}{{\sigma }^{-n}}exp\left\{ -\frac{1}{2{{\sigma }^{2}}}\left[ n-1 \right){{s}^{2}}+n{{\left( \overline{x}+\mu \right)}^{2}}] \right\} \\ \end{align} $

(4)

式中$ \overline{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}} $，$\left( n-1 \right){{s}^{\text{2}}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-\overline{x})}^{2}}}$

均值μ和方差σ²的后验分布为^[14]：

$ \begin{align} & \pi \left( \mu ,\sigma |x \right)\infty {{\sigma }^{\text{-1}}}{{\left( {{\sigma }^{\text{2}}} \right)}^{-\left( \frac{{{\upsilon }_{n}}}{2}+1 \right)}}\times \\ & {\rm exp}\left\{ -\frac{1}{2{{\sigma }^{2}}}[{{\upsilon }_{n}}\sigma _{n}^{2}+{{k}_{n}}{{\left( \mu -{{\mu }_{n}} \right)}^{2}}] \right\} \\ \end{align} $

(5)

式中：

$ {\mu _n} = \frac{{{k_0}}}{{{k_0} + n}}{\mu _0} + \frac{n}{{{k_0} + n}}\overline x $

(6)

$ {k_n} = {k_0} + n $

(7)

$ {\upsilon _n} = {\upsilon _0} + n $

(8)

$ {{\upsilon }_{n}}\sigma _{n}^{2}={{\upsilon }_{0}}\sigma _{0}^{2}+\left( n-1 \right){{s}^{2}}+\frac{{{k}_{0}}n}{{{k}_{0}}+n}{{({{\mu }_{0}}+\overline{x})}^{2}} $

(9)

后验分布与先验分布形式上相同，只是以μ_n、υ_n、k_n和υ_nσ²_n代替μ₀、υ₀、k₀和υ₀σ₀²。后验均值μ_n是先验均值μ₀和检测均值x的加权平均值。k₀的含义：先验信息相当于“k₀个样本”所提供的信息，k_n=k₀+n相当于先验信息和后验信息的“总样本容量”。后验自由度υ_n是先验自由度加样本容量。

1.2 模型不定性的贝叶斯更新

假如有m个模型可以预测事件X的结果，但不知哪一个模型是最合理的，即m个模型都有可能是合理的，则事件X发生的概率可表示为：

$ P\left( X \right)=\sum\limits_{i=1}^{m}{P({{M}_{i}})}\int{_{{{\theta }_{i}}}}P(X|{{\theta }_{i}},{{M}_{i}})\pi ({{\theta }_{i}}|{{M}_{i}})d{{\theta }_{i}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 10 \right)~ $

(10)

式中：P(M_i)是模型的权重，满足$ \sum\limits_{i=1}^{m}{P({{M}_{i}})}=1$，当不知哪个模型最合理时，可取相同的概率，即P(M_i)=P(M_j)。θ_i={θ_i1, θ_i2, …, θ_in}表示模型M_i的分布参数向量；π(θ_i|M_i)表示模型M_i中参数θ_i的先验分布；P(X|θ_i, M_i)是事件X对(M_i, θ_i)的条件分布。

模型M_i与分布参数θ_i的先验分布π(H_i)为：

$ \pi ({H_i}) = P({M_i})\pi ({\theta _i}|{M_i}) $

(11)

当获得了X的观测数据x后，可根据贝叶斯原理给出H_i的后验分布：

$ \begin{align} & \pi ({{H}_{i}}|x)=P({{M}_{i}}|x)\pi ({{\theta }_{i}}|{{M}_{i}},x)= \\ & \frac{P(x|{{H}_{i}})\pi ({{\theta }_{i}}|{{M}_{i}})P({{M}_{i}})}{\sum\limits_{i=1}^{m}{P({{M}_{i}})}\int{_{\theta }}P(x|{{\theta }_{i}},{{M}_{i}})\pi ({{\theta }_{i}}|{{M}_{i}})d{{\theta }_{i}}}\ \ \ \\ \end{align} $

(12)

将式(12)两边对θ_i积分，可得M_i的后验分布：

$ \begin{align} & P({{M}_{i}}|x)= \\ & \frac{P({{M}_{i}})\int{_{\theta }}P(x|{{H}_{i}})f({{\theta }_{i}}|{{M}_{i}})d{{\theta }_{i}}}{\sum\limits_{i=1}^{m}{P({{M}_{i}})}\int{_{\theta }}P(x|{{H}_{i}})f({{\theta }_{i}},{{M}_{i}})d{{\theta }_{i}}} \\ \end{align} $

(13)

当有多个观测值时，P(x|H_i)即样本x的联合概率密度函数。式(12)除以式(13)，可得θ_i的后验分布：

$ \pi ({\theta _i}|{M_i}, x) = \frac{{P(x|{H_i})\pi ({\theta _i}|{M_i})}}{{\int {_\theta } P(x|{\theta _i}, {M_i})\pi ({\theta _i}|{M_i})d{\theta _i}}}\; $

(14)

则X的后验分布可表示为

$ \begin{align} & {{P}_{up}}=\sum\limits_{i=1}^{m}{P({{M}_{i}}|x)}\int{_{{{\theta }_{i}}}}P(X|{{\theta }_{i}},{{M}_{i}})\pi ({{\theta }_{i}}|{{M}_{i}}, \\ & x)d\theta {{M}_{i}}\ \\ \end{align} $

(15)

在没有获得检测数据前，应用贝叶斯先验模型式(10)预测碳化深度值；当获得检测数据后，应用贝叶斯后验模型式(15)预测碳化深度值。随着服役期增长，检测数据增多，可以不断对碳化深度预测模型进行贝叶斯更新，提高预测精度。

2 算例

张令茂^[15]做了一个10 a期的室内暴露碳化试验，采用425#普通水泥(含15%掺合料)，室温20℃，CO₂的体积分数为340×10⁶，相对湿度70%，其中10号试件掺加30%粉煤灰。检测了0.5、1、2、5和10a的碳化深度资料，如表 1所示。

表 1

表 1 试验数据 编号 碳化年龄/a 水胶比 水泥用量/(kg·m-3) 抗压强度/MPa 碳化深度实测值/mm 1 0.5 0.45 400 28.9 1.94 1 1.0 0.45 400 28.9 3.10 1 2.0 0.45 400 28.9 5.31 1 5.0 0.45 400 28.9 7.96 1 10.0 0.45 400 28.9 8.75 10 0.5 0.45 280 38.0 3.92 10 1.0 0.45 280 38.0 5.48 10 2.0 0.45 280 38.0 7.38 10 5.0 0.45 280 38.0 10.46 10 10.0 0.45 280 38.0 14.22

表 1 试验数据

试验结果和牛荻涛模型、张誉模型和Hakkinen模型的计算结果对比见图 1。对1号试件，牛荻涛模型与检测结果最接近，误差在30%左右，Hakkinen模型与试验结果相差最大，误差接近100%；对10号试件，Hakkinen模型吻合最好，误差小于15%，牛荻涛模型误差最大，超过100%。

图 1

图 1 碳化模型计算结果与试验结果对比

取碳化系数为统计量，牛荻涛模型^[1]是随机模型，可计算标准差，张誉模型^[2]和Hakkinen^[3]模型是确定型模型，取与牛荻涛模型相同的离散系数作为先验信息。由于文献[15]只给出了5次碳化深度实测值，假设实测是3个试件均值，总共测试15个试件，根据统计理论计算出1号试件和10号试件的实测均值和方差。

贝叶斯更新后的模型权重见表 2。对1号试件，牛荻涛模型吻合最好，更新后牛荻涛模型权重最大，而Hakkinen的权重更新后接近0。而10号试件，Hakkinen模型吻合最好，更新后的权重也最高。碳化系数的密度曲线见图 2，先验分布是3个模型的平均值，试验数据曲线是5次检测总样本曲线。随着更新次数增多，样本量增大，模型计算的碳化系数中值逐步接近实测值，标准差也逐步接近真实标准差，当实验样本无限大时，贝叶斯更新的概率密度曲线与真实概率密度曲线重合。图 3为更新后碳化深度预测值，更新次数越多，结果越精确，更新后的预测结果精度高于单一模型预测精度。

表 2

表 2 各种模型的先验与后验权重 试件 1号 10号 模型 牛荻涛 张誉 H 牛荻涛 张誉 H 先验 0.33 0.33 0.33 0.33 0.33 0.33 一次更新 0.57 0.41 0.02 0.00 0.30 0.70 二次更新 0.72 0.28 0.00 0.00 0.23 0.77 三次更新 0.84 0.16 0.00 0.00 0.20 0.80 四次更新 0.88 0.12 0.00 0.00 0.22 0.78

表 2 各种模型的先验与后验权重

图 2

图 2 碳化系数的先验与后验分布

图 3

图 3 碳化深度均值的贝叶斯更新

3 结语

通过贝叶斯方法，将小样本工程检测数据与现有碳化预测模型结合，对模型的选择和模型参数的取值进行更新，有效降低模型选择和模型参数的主观不定性和随机性。本方法尤其适用于存在多个结果差异较大的预测模型情形，采用本方法，仅应用少量检测数据即可获得更合理的结果，如在工程结构生命期内定期检测，可实现贝叶斯动态信息更新，使预测结果更加接近工程结构的实际情况。

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