土木建筑与环境工程  2013, Vol. 35 Issue (4): 79-83   PDF    
氯离子在混凝土管桩中的扩散规律
李镜培, 杨博, 岳著文    
同济大学 岩土及地下工程教育部重点实验室; 地下建筑与工程系 上海 200092
收稿日期：2012-07-30
基金项目：国家自然科学基金（51178341）
作者简介：李镜培(1963-), 男, 教授, 博士生导师, 主要从事桩基础及深基坑工程研究, (E-mail)lijp2773@tongji.edu.cn。
摘要：混凝土管桩在海工环境中广泛使用，管桩内表面为封闭面，外壁常常暴露于氯盐环境中。根据菲克第二定律和管桩的边界条件，采用分离变量法，得到氯离子扩散方程的解析解。该解析解包含稳态解和瞬态解2部分，而稳态解由贝塞尔函数构成，与基于半无限体边界条件的传统解不同。采用该解答计算PHC管桩氯离子扩散，探讨内外半径之比、扩散系数以及钢筋保护层厚度对氯离子扩散的影响。当内外半径之比a/b为1.5时，瞬态解的次要部分衰减速率比主要部分约大4倍。
关键词：混凝土管桩    氯离子扩散    贝塞尔函数    耐久性    
Diffusion Behavior of Chloride Ions in Concrete Pipe Piles
Li Jingpei, Yang Bo, Yue Zhuwen    
Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of the Ministry of Education; Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, P. R. China
Received: 2012-07-30
Abstract: Concrete pipe piles, whose internal surface is usually closed and external one is exposed to chloride environment, are widely used in marine environment. Based on Fick second law and the boundary condition of pipe pile, the analytical solution to chloride diffusion equation was deduced with the method of separation of variables. The solution comprises two parts:a stationary solution consisting of Bessel functions, and a transient solution. This is different from the traditional analytical solution that is based on semi-infinite boundary condition. Applying this result to a typical PHC pipe pile, the diffusion of chloride concentration was analyzed. Furthermore, the effects of the ratio of outer radius and inner radius, diffusion coefficient and protective concrete cover thickness on diffusion of chloride concentration were also discussed. When the ratio of outer radius and inner radius equals 1.5, the decay rate of secondary segment of transient solution is 4 times larger than that of the primary part. This example provides a computational basis for the corrosion of steel bar and some reference for durability design of pipe piles as well.
Key Words: concrete pipe piles    chloride diffusion    Bessel functions    durability    

氯离子通过混凝土内部的孔隙和微裂缝从周围环境向混凝土内部传递，到达混凝土与钢筋的界面，并逐渐累积，使钢筋表面氯离子浓度逐渐增大，达到临界浓度时，钢筋发生腐蚀。模拟氯离子侵入混凝土的主要方法是以Fick第二定律为基础的扩散法。Collepardi等[1-2]采用Laplace变换法得到了严格限制条件下的一维封闭解，其假定混凝土试件为半无限的空间体，解析解用一个超越函数描述。余红发等[3]推导出综合考虑氯离子结合能力、氯离子扩散系数的时间依赖性和结构微缺陷影响的混凝土氯离子扩散新方程.杨绿峰等[4]利用等比级数研究建立了基于有限域的氯离子扩散和浓度分布的解析解，建立了氯离子扩散深度的解析表达式。李秀梅等[5]应用分离变量法推导了三维长方体混凝土试块中氯离子扩散方程的解析解。氯离子扩散方程的解答与扩散域的形状密切相关，混凝土管桩与板、梁等结构形式不同，其氯离子在管桩混凝土中的扩散行为也会有所差别，半无限或长方体的边界条件不适合于管桩。

笔者采用分离变量法，基于管桩的边界条件推导了氯离子在混凝土管桩中扩散的解析解，分析海工混凝土管桩中氯离子的扩散规律。

1 扩散模型与基本方程
1.1 扩散模型

对于暴露在氯盐环境下的混凝土试件，按Fick第二定律得扩散方程：

$\begin{split} \frac{∂u}{∂t}=D\left(\frac{∂^2u}{∂x^2}+\frac{∂^2u}{∂y^2}+\frac{∂^2u}{∂z^2}\right)=D∇u \end{split}$ (1)

式中： $u$ 为氯离子浓度； $t$ 为混凝土试件暴露时间；∇为拉普拉斯算符； $D$ 为氯离子在混凝土试件中的扩散系数，通过实验获得。

初始条件为：

$\begin{split} u\left(x,y,z,0\right)=u_0 \end{split}$

假定混凝土试件暴露于氯盐环境中，暴露面记为 $\mathit\Gamma ，$ 其边界条件为：

$\begin{split} u\left(\mathit\Gamma ,t\right)=u_\text{s} \end{split}$

式中： $u_0$ 为初始氯离子浓度； $u_\text{s}$ 为混凝土表面氯离子浓度。

对于长管桩，每个横截面上的氯离子扩散情况相同，可将三维问题转化为二维问题。假定长管桩外壁暴露于氯盐环境中，且氯离子浓度一定，内壁为封闭面，氯离子浓度为 $0$ ，扩散系数D为常数。其扩散模型如图 1。

图 1 氯离子在管桩中的扩散模型

1.2 极坐标下基本方程

将二维扩散方程用极坐标表示：

$\begin{split} \frac{∂u}{∂t}=D\left(\frac{1}{r}\frac{∂}{∂r}\left(r\frac{∂u}{∂r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{∂^2u}{∂\varphi ^2}\right) \end{split}$ (2)

其中 $b≤r≤a,0≤\varphi ≤2\pi ；$

初始条件： $u\left(r,\varphi ,0\right)=u_0；$

边界条件： $u|_{r=b}=0，u|_{r=a}=u_\text{s}。$

2 基本方程解析解
2.1 非齐次方程解析解

由于边界条件是非齐次的，式（2）的解由相应齐次方程的解 $C$ 和另一解 $w$ 组成。

$\begin{split} u(r,\varphi ,t)=C(r,\varphi ,t)+w(r) \end{split}$ (3)

将（3）式代入（2）式得：

$\begin{split} &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{∂C}{∂t}=D\left(\frac{1}{r}\frac{∂}{∂r}\left(r\frac{∂C}{∂r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{∂^2C}{∂\varphi ^2}\right)+\\ &D\frac{1}{r}\frac{∂}{∂r}\left(r\frac{∂w}{∂r}\right) \end{split}$ (4)

选择合适的 $w(r)$ 使 $C$ 满足齐次方程及齐次边界条件。令 $D\frac{1}{r}\frac{∂}{∂r}\left(r\frac{∂w}{∂r}\right)=0，$ 且满足 $w(b)=0$ 和 $w(a)=u_\text{s}，$ 解得 $w(r)=\frac{\text{ln}(r/b)}{\text{ln}(a/b)}u_\text{s}。$

2.2 齐次方程解析解

$w$ 确定以后，则 $C$ 需要满足以下条件：

初始条件 $C\left(r,\varphi ,0\right)=u_0－w(r)；$ 边界条件 ${C|_{r=b}=}u|_b－w(b)=0$ ， $C|_{r=a}=u|_a－w(a)=$ 0。

将 $C$ 分离变量 $C=T\left(t\right)\upsilon \left(r,\varphi \right)$ 代入式（1），得 $\frac{T′}{DT}=\frac{\Delta \upsilon }{\upsilon }。$ 左边是 $t$ 的函数，右边是 $r、\varphi $ 的函数，两边必须等于同一个小于0的常数才有解，记为 $－k^2。$ 于是，

$\left\{\begin{split} &T′+k^2DT=0\\ &\Delta \upsilon +k^2\upsilon =0 \end{split}\right.$ (5)

令 $\upsilon \left(r,\varphi \right)=R\left(r\right)\mathit{\Phi }\left(\varphi \right)，$ 代入式（5），得 $r^2\frac{R″}{R}+r\frac{R′}{R}+k^2r^2=－\frac{\mathit{\Phi }″}{\mathit{\Phi }}。$ 两边依然只能等于同一个常数，记为 $\lambda ，$ 于是

$\left\{\begin{split} &\mathit{\Phi }″+\lambda \mathit{\Phi }=0\\ &\frac{\text{d}^2R}{\text{d}r^2}+\frac{1}{r}\frac{\text{d}R}{\text{d}r}+\left(k^2－\frac{\lambda }{r^2}\right)R=0 \end{split}\right.$ (6)

式（5）第一式的通解

$\begin{split} T\left(t\right)=K\text{e}^{－k^2Dt} \end{split}$ (7)
2.2.1 角度部分分离变量

圆环域内的任一点 $C$ 应该单值，则 $\mathit{\Phi }(0)=\mathit{\Phi }\left(2\pi \right)，\mathit{\Phi }′\left(0\right)=\mathit{\Phi }′\left(2\pi \right)。$ 解式（6）第1式得 $\mathit{\Phi }_n\left(\varphi \right)=A_n\text{sin}n\varphi +B_n\text{cos}n\varphi ，\lambda =n^2，n=0,1,2…。$ 对于轴对称问题，解答与 $\varphi $ 无关，取 ${n=}0，$ 得 $\mathit{\Phi }_0\left(\varphi \right)=B_0。$

2.2.2 径向部分分离变量

由分离边界条件 ${C|}_{r=b}=R\left(b\right)\mathit{\Phi }\left(\varphi \right)T\left(t\right)=0，C|_{r=a}=R\left(a\right)\mathit{\Phi }\left(\varphi \right)T\left(t\right)=0，$ 得 $R\left(b\right)=0，R\left(a\right)=0。$ 将 $\lambda =0$ 代入式（6）第2式并令 $x=kr，$ 得 $\frac{\text{d}^2R}{\text{d}x^2}+\frac{1}{x}\frac{\text{d}R}{\text{d}x}+R=0，$ 这是零阶贝塞尔方程。则方程的解为

$\begin{split} R_0\left(r\right)=E_0J_0\left(kr\right)+F_0Y_0\left(kr\right) \end{split}$

式中 $J_0$ 和 $Y_0$ 分别为第一类和第二类零阶贝塞尔函数，得到

$\begin{split} C\left(r,\varphi ,t\right)=R_0\left(r\right)\mathit{\Phi }_0\left(\varphi \right)T\left(t\right)=\left(E_0J_0\left(kr\right)+F_0Y_0\left(kr\right)\right)B_0K\text{e}^{－k^2Dt} \end{split}$

上式重新写为 $\left(KJ_0\left(kr\right)+LY_0\left(kr\right)\right)\text{e}^{－k^2Dt}$ ，带入端点条件 $R\left(b\right)=0，R\left(a\right)=0$ ，得

$\left\{\begin{split} &KJ_0\left(kb\right)+LY_0\left(kb\right)=0\\ &KJ_0\left(ka\right)+LY_0\left(ka\right)=0 \end{split}\right.$ (8)

齐次线性代数方程组只有平庸解 $K=L=0，$ 除非其行列式等于零

$\begin{split} &\ \ \ \ \ \ \ \ \left|\begin{array}{l}J_0\left(kb\right)&Y_0\left(kb\right)\\ J_0\left(ka\right)&Y_0\left(ka\right)\end{array}\right|=J_0\left(kb\right)Y_0\left(ka\right)－\\ &J_0\left(ka\right)Y_0\left(kb\right)=0 \end{split}$ (9)

解得离散本征值 $k_n$ ， $k_0≤k_1≤k_2≤…，$ 其值可从数学用表中查出。将 $k_n$ 代回式（8），可求得 $K_n$ 与 $L_n$ 的比值：

$\begin{split} \frac{L_n}{K_n}=－\frac{J_0\left(k_nb\right)}{Y_0\left(k_nb\right)} \end{split}$ (10)

将以上的本征解叠加起来： $C\left(r,\varphi ,t\right) = ∑\limits^∞_{n = 1}\left[K_{n }J_{0 }\left(k_{n }r\right) + L_{n }Y_{0 }\left(k_{n }r\right)\right]\text{e}^{-k_{n }^2Dt}。$ 将式（10）代入可得：

$\begin{split} &\ \ \ \ \ \ \ \ C\left(r,\varphi ,t\right)=\\ &∑\limits^∞_{n = 1}H_{n }\left[Y_{0 }\left(k_{n }b\right)J_{0 }\left(k_{n }r\right)-J_{0 }\left(k_{n }b\right)Y_{0 }\left(k_{n }r\right)\right]\text{e}^{-k_{n }^2Dt} \end{split}$ (11)

其中$H_{n}=\frac{C_{n}}{Y_{0}(k_{n}b)}$是待确定的常数。将初始条件代入式（11）得

$\begin{split} &\ \ \ \ \ \ \ \ ∑\limits^∞_{n=1}H_n\left[Y_0\left(k_nb\right)J_0\left(k_nr\right)－J_0\left(k_nb\right)Y_0\left(k_nr\right)\right]=\\ &u_0－w(r) \end{split}$ (12)

令 $Q_n\left(r\right)=Y_0\left(k_nb\right)J_0\left(k_nr\right)－J_0\left(k_nb\right)Y_0\left(k_nr\right)，$ 上式改写为

$\begin{split} ∑\limits^∞_{n=1}H_nQ_n(r)=u_0－w(r) \end{split}$ (13)

$Q_n(r)$ 满足零阶贝塞尔方程，与不同本征值 $k_n$ 在区间 $\left[b,a\right]$ 上带权函数 $r$ 正交，即 $∫^a_bQ_n\left(r\right)·Q_m\left(r\right)r\text{d}r=0，n≠m。$

$\begin{split} &\ \ \ \ \ \ \ \ H_{n } = \frac{\pi J_{0 }\left(k_{n }a\right)}{J_{0 }\left(k_{n }b\right) + J_{0 }\left(k_{n }a\right)}u_{0 }+\\ &\frac{\pi ^2k_{n }aJ_{0 }^2\left(k_{n }a\right)Q_n^1\left(a\right)}{2\left[J_{0 }^2\left(k_{n }b\right)-J_{0 }^2\left(k_{n }a\right)\right]}u_{\text{s}} \end{split}$ (14)

将式（14）代入式（11），再将式（11）代回式（3）得到解答：

$\begin{split} &\ \ \ \ \ \ \ \ u\left(r,\varphi ,t\right) = \frac{\text{ln}(r/b)}{\text{ln}(a/b)}u_{\text{s} } +\\ &∑\limits^∞_{n = 0}\left\{\frac{\pi J_{0 }\left(k_{n }a\right)}{J_{0 }\left(k_{n }b\right) + J_{0 }\left(k_{n }a\right)}u_{0 } +\right.\\ &\left.\frac{\pi ^2k_{n }aJ_{0 }^2\left(k_{n }a\right)Q_n^1\left(a\right)}{2\left[J_{0 }^2\left(k_{n }b\right)-J_{0 }^2\left(k_{n }a\right)\right]}u_{\text{s} }\right\} ·\\ &\left[Y_{0 }\left(k_{n }b\right)J_{0 }\left(k_{n }r\right)-J_{0 }\left(k_{n }b\right)Y_{0 }\left(k_{n }r\right)\right]\text{e}^{-k_{n }^2Dt} \end{split}$ (15)

其中 $Q^1_n\left(r\right)=Y_0\left(k_nb\right)J_1\left(k_nr\right)－J_0\left(k_nb\right)Y_1\left(k_nr\right),k_n$ 由式（11）确定。

式（15）右边第1项与时间无关，称为稳态解。第2项为无穷级数和，含有随时间指数衰减的因子，称为瞬态解，在时间足够长的条件下，都将衰减为零。作为近似解只取衰减最慢的解，取 $k_0$ 一项即可，管桩内部初始浓度 $u_0$ 由混凝土原材料带入的氯离子产生，其中包括：拌合用水带入的氯离子，外加剂带入的氯离子，水泥及矿物掺合料带入的氯离子以及使用海砂时带入的氯离子等，其含量通常较小，外界氯离子浓度较大时，可认为初始浓度为0。于是式（15）又可写为

$\begin{split} &\ \ \ \ \ \ \ \ u\left(r,\varphi ,t\right)≈\frac{\text{ln}(r/b)}{\text{ln}(a/b)}u_{\text{s} } +\\ &\frac{\pi ^2k_{0 }aJ_{0 }^2\left(k_{0 }a\right)Q_0^1\left(a\right)}{2\left[J_{0 }^2\left(k_{0 }b\right)-J_{0 }^2\left(k_{0 }a\right)\right]}u_{\text{s} } · \\ &\left[Y_{0 }\left(k_{0 }b\right)J_{0 }\left(k_{0 }r\right)-J_{0 }\left(k_{0 }b\right)Y_{0 }\left(k_{0 }r\right)\right]\text{e}^{-k_{0 }^2Dt} \end{split}$ (16)
3 算例与参数影响分析

PHC管桩直径600 mm，壁厚100 mm，桩身混凝土强度等级为C60。混凝土中初始氯离子浓度 $u_0$ 为0，边界氯离子浓度 $u_\text{s}$ 为1.0%，扩散系数D为80 mm2/a。计算结果如图 2：

图 2 氯离子浓度沿半径的分布

3.1 与传统解的比较

氯离子扩散方程的传统解答基于半无限大的边界条件，其结果为

$\begin{split} u=u_0+(u_\text{s}－u_0)\left[1－\text{erf}(\frac{x}{2\sqrt{Dt}})\right] \end{split}$ (17)

式中 $\text{erf}(u)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}∫^u_0\text{e}^{－t^2}\text{d}t$ 为误差函数。

本文解答与传统解、现场实测数据[15]的比较结果如图 3。

图 3 本文解答与传统解、现场实测数据比较

在氯离子扩散初期，传统解答给出的管桩内浓度分布偏小，说明氯离子在初期扩散较快；而在中期，二者解答基本一致；由于传统解不包含稳态解，扩散时间足够长时，管桩内氯离子浓度将与外界浓度一样，因此管桩内壁附近浓度偏大。

3.2 外径与内径比值a/b的影响

由式（16）可知，氯离子在不同管桩中的稳态分布仅与外径与内径比值a/b有关，说明不同管桩中氯离子的稳态分布具有相似性。查表可知k0b=6.270 2，b值不同，k0值亦不同，则瞬态解随时间的衰减的速率也不相同。

3.3 扩散系数D的影响

扩散系数D不同，瞬态解随时间的衰减速率也不相同，但对于管桩中氯离子浓度的稳态分布没有影响。若D显含时间，则式（6）第一式的通解将不是指数衰减解，但同样对于稳态分布没有影响。

3.4 混凝土保护层厚度的影响

直径600 mm，壁厚分别为100、110、130 mm的A型PHC管桩，假定混凝土保护层厚度均为40 mm，钢筋表面氯离子浓度随时间的变化关系如图 4：

图 4 钢筋表面氯离子浓度随时间的变化

对于外径相同但壁厚不同的管桩，当混凝土保护层厚度一样时，钢筋表面的氯离子浓度随时间的变化关系不同，管壁越厚扩散越慢。

4 结论

1）对于内壁为封闭面的管桩，氯离子扩散方程的传统解不包含稳态解，给出的浓度分布在初期偏小，然而随着扩散时间的推移，管桩内壁浓度分布偏大。在考虑了管桩的边界条件以后，得到的结果更能客观真实的反应实际情况。

2）氯离子浓度在管桩中的扩散只沿半径方向，与角度无关，可以看作一维扩散问题。管桩中氯离子浓度的稳态分布沿半径方向呈对数分布，仅与外径和内径的比值a/b有关。

3）扩散系数D越大，氯离子扩散速率越快，瞬态分布随时间衰减越快。外径相同但壁厚不同的管桩，管壁越厚，内径越小，氯离子扩散速率越慢。

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