软土盾构隧道在投入运营后发生纵向不均匀沉降。其发展到一定程度后，环缝张开，进而容易引起渗水和诱发进一步的不均匀沉降。故环缝张开量是隧道安全运营的关键指标。通过分析盾构隧道环缝张开可靠度可为运营隧道的适时合理维护以及优化结构和防水设计提供技术支撑。
实际工程中由于衬砌的设计受地质勘查资料准确程度以及相关规范和理论的制约，包含一定的不确定性；盾构隧道在运营期间其上覆地层也会发生一定的变迁；施工中管片的制作精度和螺栓连接等方面同样带有不确定性。故多种因素影响环缝张开量的变化。确定性分析则忽略或低估了各种不确定因素对地下结构物的影响。可靠度分析则是一种清楚反映各种不确定影响的计算方法。
目前，对管片衬砌的可靠度分析通常使用一次二阶矩法(FOSM)，在此基础上胡志平等[1]基于JC法可靠度指标的几何意义，建立了管片衬砌结构可靠度计算的优化模型。对于复杂的非线性功能函数则有Monte Carlo模拟法[2, 20]、随机有限元法[3]以及响应面法[4, 20]。然而对于随机变量分布参数(均值、方差等)的估计通常是带有认识不确定性的，且在小样本统计时尤为明显[5]，一般方法使用点估计并没有体现。忽视认识不确定性可能会导致低估隧道环缝分析中的不确定性水平，从而导致不安全的决策。贝叶斯估计作为一种较好的方法可以给出参数的分布，但需要不断地增加后验信息。区间估计则可以在一定置信水平下考虑分布参数的认识不确定性。因此，在样本数量较少时，可以将其与Monte Carlo模拟结合使用。从而在样本信息不完整情况下客观反映可靠度本身的不确定性。
在分析环缝张开可靠度时，首先通过随机变量分布参数的区间估计，结合随机变量的分布函数产生概率分布边界。采用Monte Carlo抽样产生随机变量区间，从而计算出环缝失效概率的上界和下界。以上海地铁盾构隧道为例，结合纵向曲率半径和纵向弯曲刚度比进行了进一步的讨论，定量化的得到两者在一定失效概率区间下的控制范围，最后与验算点法对比讨论，阐述区间Monte Carlo法较验算点法的优势。
软土盾构隧道衬砌结构先由管片拼装成衬砌环再沿纵向连接而成。根据盾构隧道结构现有纵向分析方法[6-15]，当环缝接头受压时，主要由传力衬垫及混凝土管片承受压应力；当环缝接头受拉时，由螺栓承受拉应力，衬垫或管片不参与受拉。因此环缝接头的抗压刚度和抗拉刚度具有较大差异，抗压刚度大于抗拉刚度。樊振宇等[16]通过抗压刚度与抗拉刚度的比值确定出环缝张开量与压缩量的比值，进而算出环缝张开量。该方法由于概念清晰，使用方便，本文采用将以这一方法为基础进行盾构隧道环缝张开量的可靠度分析。这一方法有5点假设：
1) 平截面假定，即隧道横断面上每一处的张开或压缩量与该位置距中性轴的长度成正比；
2) 螺栓抗拉刚度沿环缝面积均匀分布；
3) 接头位置法向应力沿厚度方向均匀分布；
4) 纵向弯矩作用下，管片环以中性轴为界，一侧受压，另一侧受拉。受拉侧的拉应力由螺栓承担，受压侧的压应力由管片或衬垫承担；
5) 衬砌环刚度远大于环缝接头，视为刚体。
衬砌环计算半径定义为R；管片厚度为d；环缝接头抗压刚度为kp(Pa/m)；抗拉刚度为kt(Pa/m)；抗压、抗拉刚度比值(以下简称“刚度比”)为n，n=kp/kt。
当环缝接头承受纵向弯矩的时候，其转动轴位置并不在衬砌环的几何中心，而是由O点移动到O′点(图 1)，沿弧长取角度微分dθ，则微分段的弧长为Rdθ，考虑到衬砌厚度为d，则微分段的面积为(Rd)dθ。转动轴位置对应角度为α。通过积分分别求出转动轴上方和下方的法向应力，在不考虑衬砌纵向轴力的条件下，由转动轴上方与下方合力的绝对值相等，得式(1)。
通过求解式(1)可得到转动轴位置对应角度α，进一步得到环缝张开量与压缩量比值m：
通过对不同刚度比n的取值进行计算，环缝张开及压缩量比值m与刚度比n的关系如下表所示。通常刚度比n都由估算进行确定。表 1给出部分m与n的计算结果。
图 2为纵向曲率半径与环缝张开量关系图，图中aa’ bb’分别为环缝张开量的一半和环缝压缩量的一半，aa’/bb’=m，D为衬砌环外直径，B为环宽。根据几何关系推导出环缝的张开量为：
从式(3)可以看出，最大环缝张开量由B、D、m、ρ 4个变量确定。
由式(3)构造环缝张开失效功能函数：
其中ρ代表隧道的纵向曲率半径。环宽B、衬砌环直径D由于制作精度，具有一定的误差。刚度比通常通过估算得到。Δcr则表示环缝临界张开量。记X=[xB, xD, xm, xΔcr]表示由随机变量组成的4维向量，其分别代表功能函数中B，D，m，Δcr4个参数。通过沉降监测数据使用不同拟合方法计算出隧道的纵向曲率半径略有差别，且其变异系数很小，对环缝张开可靠度的影响可忽略，本文不将纵向曲率半径视为随机变量。式(4)中随机变量的概率分布参数由样本统计进行估计，这里采用区间估计确定分布参数的置信区间，从而表征统计估计的认识不确定性。本文做探讨性假设xB, xD, xΔcr, xm服从正态总体。各随机变量分布函数的确定有待进一步的研究。各随机变量待估参数为μ，令Θ表示待估参数μ的置信区间。对于X=[xB, xD, xm, xΔcr]中每个元素，当均值μ在区间Θ中变化时，产生一族概率密度函数，通过Monte Carlo抽样在一族密度函数中模拟得到不同的Pf，其也在一定的区间内变化，我们感兴趣的是寻找这个区间的上界和下界。
令F(X)表示X=[xB, xD, xm, xΔcr]中各随机变量的正态分布函数，对应于μ∈Θ，能够找到一对分布函数FF，使得$F\left(x \right) \in [\underline {\mathit{F}\left(x \right)}, \overline {\mathit{F}\left(x \right)} ]$。则这一对分布函数组成一组概率分布边界，所有可能的分布函数介于其中。图 3所示为一组概率分布边界，表示一族均值μ∈[2, 3]标准差σ=1的正态分布概率分布函数。概率分布边界不仅包含的参数的不确定性，某种程度上也蕴含了随机变量相关性的不确定性。
使用Monte Carlo方法进行模拟，通过式(5)可计算结构失效概率：
式中：N表示总的抽样模拟次数；I[.]为判断指标函数，当G(xB, xD, xm, xΔcr)≤0时为1，否则为0。由参数μ的区间估计确定概率分布边界，使用逆转换法产生随机抽样区间$[\underline {{\mathit{x}_\mathit{i}}}, \overline {{x_i}} ]$如图 4所示。
在一次抽样模拟中，对功能函数G(xB, xD, xm, xΔcr)中每个基本未知量xi进行一次Monte Carlo抽样，产生区间$[\underline {{\mathit{x}_\mathit{i}}}, \overline {{x_i}} ]$，由这些区间的边界确定功能函数的最大值max(G(xB, xD, xm, xΔcr; μ))和最小值min(G(xB, xD, xm, xΔcr; μ))，注意到
结合式(5)得
最终得
以上海地铁2号线为例，衬砌环直径D=6.2 m，环宽B=1 m，根据传力衬垫和接头螺栓材料力学性能，刚度比取n=10[16]，查表 1可得对应m=4.36。按地铁隧道设计要求，要使环缝中密封垫不漏水要求环缝张开量δ≤6 mm，即(4)中环缝临界张开量Δcr=6 mm。参考《地下铁道设计规范》以及《地下铁道工程施工及验收规范》规定的衬砌制作和拼装必须达到的精度要求并结合已有工程经验，各统计量见表 2。
对各随机变量的期望进行区间估计(假设总体方差与样本方差相同)，见表 3。分3种显著性水平α，对每个参数进行N=10 000次Monte Carlo抽样模拟。在一次抽样模拟中，对功能函数G(xB, xD, xm, xΔcr)中每个基本未知量xi通过概率分布边界产生区间$[\underline {{\mathit{x}_\mathit{i}}}, \overline {{x_i}} ]$，由这些区间的边界确定功能函数的最大值max(G(x; μ))和最小值min(G(x; μ))，利用式(8)统计模拟结果计算失效概率的上界和下界。
当隧道纵向曲率半径变化时，计算结果如图 5所示。
从图 5可知：1)当纵向曲率半径小于700 m时，Pf上下界均接近1，环缝发生渗漏水的可能性极大，与文献[10]的分析结果相符；2)当纵向曲率半径大于1 100 m时，Pf上下界均小于0.1，发生渗漏水可能性较小，隧道可继续工作，但需根据巡检结果适时养护。《地铁隧道保护条例》规定由外界因素引起的隧道曲率半径应不小于15 000 m，远大于1 100 m，可见按该条例规定，隧道可完全处于安全运行的工作状态；3)曲率半径在700 m至1 100 m之间，Pf的变化幅度较大；4)从3种显著性水平来看，随α的减小，参数的置信区间宽度相应增大，两条Pf曲线包围的面积增大，即Pf上下界差值随之增大，反映出失效概率的不确定程度增大；5)在3种显著性水平下，曲率半径小于700 m或大于1 100 m时Pf上下界差值都较小，即失效概率不确定性较小，当曲率半径在700 m至1 100 m范围内时，Pf上下界差值较曲线两端显著增大，即失效概率不确定性较大，可见认识不确定性对可靠度计算的影响主要集中在曲率半径为700 m至1 100 m范围内。
当隧道纵向曲率半径为1 000 m时，改变刚度比，进行Monte Carlo模拟，计算所得环缝张开失效概率如图 6所示。
从图 6可知：1)当刚度比小于5时，Pf上下界均接近0，基本不会发生渗漏水；2)随刚度比增大，Pf上界逐渐增大，下界变化较小；3)从3种显著性水平来看，随α的减小，参数的置信区间宽度相应增大，两条Pf曲线张开程度增大，反映出失效概率的不确定程度增大；4)在3种显著性水平下，刚度比小于5时Pf上下界差值较小，当刚度比大于5时，Pf上下界差值单调增长，反映出对环缝张开量的认识不确定性逐渐增大。
以下通过本文方法与验算点法对比讨论，说明区间Monte Carlo法在考虑认识不确定性方面较传统可靠度分析方法的优势。
采用验算点法确定可靠度指标β，计算环缝失效概率(计算结果见图 7)。考虑显著性水平α=0.1，将Monte Carlo模拟结果与验算点法进行对比，如图 7所示。由于验算点法在当量标准正态化时使用的是分布参数的点估计(通常是最大似然估计)，故计算得到的失效概率同样也是一个点，即传统分析方法低估了认识不确定性对可靠度本身不确定性的影响。
计算结果表明验算点法计算所得Pf曲线在Monte Carlo模拟结果的上下界包围的区域内部。说明Monte Carlo模拟将分布参数的不确定性考虑在内。对置信水平的选取和部分未知参数的确定是包含主观因素的，区间Monte Carlo法体现了由于认识不确定性导致的结构可靠度在一定区间内变化。验算点法所得曲线应当理解为在所有可能的Pf曲线中，分布参数最大似然估计对应的特殊情况，而不能完全反应统计参数估计带来的可靠度本身的不确定性。区间Monte Carlo法较传统方法在认识不确定性方面考虑的更为完善，更有利于地铁运营养护决策的制定、优化结构和防水设计。
通过区间Monte Carlo随机抽样模拟，从地铁盾构隧道纵向曲率半径和管片衬砌环刚度比两方面讨论了环缝张开失效概率，并与传统分析方法(验算点法)对比，得出以下结论：
1) 隧道纵向曲率半径的变化对环缝张开量的影响较为显著，从计算结果来看，隧道纵向曲率半径大于1 100 m时，失效概率较低且变异性很小。证明现行《地铁隧道保护条例》对隧道变形曲线的规定合理有效。
2) 隧道在一定纵向曲率状态下随衬砌环刚度比的增加，失效概率逐渐增大，其变异性也随之增大。当衬砌密封垫和止水片良好的情况下，通过增大环缝接头螺栓直径或增多螺栓数量等方式可有效降低环缝张开失效的概率。
3) 失效概率的变异性可反映对统计参数的认识不确定性。不考虑统计参数的不确定性时计算所得的失效概率在区间可靠度计算的失效概率的下界之上，说明采用传统可靠度分析方法可能会低估环缝张开的风险水平，进而可能导致不安全决策。可见区间Monte Carlo法较验算点法在认识不确定性方面考虑的更为完善。
在随机模拟中对各随机变量进行独立直接抽样，今后的工作中可进一步考虑随机变量的相关性，并在抽样方式上做以改进，考虑使用重点抽样达到提高抽样效率的目的。
2013, Vol. 35 Issue (6): 1-6
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2013, Vol. 35 Issue (6): 1-6
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