GBT最早是由Schardt提出的，用于分析冷弯薄壁构件的稳定^[16]，它将构件的屈曲模态分解为一系列横截面变形模态(包括整体、畸变和局部屈曲)的线性组合。当一些模态的作用不显著时，GBT可以选择性地对作用显著的模态进行研究。

对于每一个模态，都有以下平衡方程^{[3, 5]}

式中：x为构件纵向坐标；函数φ_j(x)为模态j对应的沿构件纵向的振幅函数；E、G为弹性模量和剪切模量；C_ij、D_ij、B_ij分别为与屈曲时的模态i、j相关的截面翘曲常数、扭转常数、横向弯曲刚度，X_kij为与屈曲前模态k、屈曲时模态i、j相关的几何刚度，W_k为截面应力合力，分别按式(2)计算。

式中：t、K为板件的厚度和弯曲刚度(K=Et³/[12(1-v²)])；s为沿截面板厚中线的曲线坐标；c为沿曲线坐标的截面周长。u、v、w为沿x、s、z坐标的位移，如图 2所示。

图 2

图 2 构件坐标示意图

对于RL型截面构件，在轴向压力、绕截面弱轴或强轴的弯矩作用下发生畸变屈曲时，图 3所示模态(对称S、反对称D)是截面畸变过程中的主要模态，即包括翼缘、卷边、后翼缘及后卷边4块板件的畸变。采用伽辽金法求解相应的平衡微分方程，求解时不同边界条件下构件位移函数的选取可参考文献[14]。限于篇幅，笔者直接给出构件畸变屈曲荷载计算式的表达式。

图 3

图 3 RL型截面畸变的主要模态

1) 对于轴心受压柱，相关的屈曲模态主要为S。对于两端简支和固支的构件，屈曲荷载的表达式均可写为

式中：μ_B、μ_C为与构件变形相关的参数，取决于描述振幅函数的选取，与构件的边界条件和屈曲半波数n有关，而C_S、D_S、B_S(为了与文献[12-15]中的命名统一，分别为C_SS、D_SS、B_SS的简写)分别为对应模态S的翘曲常数、扭转常数和横向弯曲刚度。

当构件两端简支时，对式(3)关于构件长度L求导，即dP/dL=0，可得构件的屈曲半波长和屈曲荷载的最小值为

式中X_S为X_1SS的简写，为轴向荷载下与模态S相关的几何刚度。

2) 对于受弯构件，当构件绕弱轴弯曲时，相关的主要屈曲模态也为S，屈曲荷载和半波长计算与轴心受压柱相同，仅几何刚度X_S^Ⅱ的计算略有差异(见本文第2.2节，X_S^Ⅱ为绕截面弱轴(Ⅱ轴)弯曲时与模态S相关的几何刚度)。当构件绕强轴弯屈曲时，相关的主要屈曲模态为S+D组合，对于简支和固支的构件，其屈曲荷载的表达式也均可写为

式中X_SD^Ⅰ为绕截面强轴(Ⅰ轴)弯曲时与模态S、D相关的几何刚度。

当构件两端简支时，由于对式(5)求导较为麻烦，文献[14]提出下式计算畸变屈曲时半波长(误差很小，一般≤1%)：

此时的屈曲荷载可用式(6)的计算结果带入式(5)求得。对于两端固支的构件，由于构件发生畸变屈曲时，沿构件长度的半波数与构件长度等因素有关，可以根据伽辽金法假设的位移函数以及发生屈曲时的荷载来加以确定。

式(3)~(6)中的参数μ_B、μ_C可按下列取值：

1) 对于两端简支的构件，采用正弦的振幅函数可以得到屈曲荷载的精确解^[3]，参数μ_B、μ_C表达式为

2) 对于两端固支的构件，其屈曲荷载随构件长度变化而变化，通过假定的位移函数，再利用式(3)或(5)，可以得到屈曲荷载的近似解^[15]，参数μ_B、μ_C表达式为

2 RL截面的参数确定
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计算构件的畸变屈曲荷载时，截面的翘曲常数C_S、C_D，扭转常数D_S、D_D以及弯曲刚度B_S、B_D的计算只与截面尺寸参数有关，而几何刚度X_S、X_S^Ⅱ、X_SD^Ⅰ还与屈曲前的荷载情况有关。采用软件Matlab推导这些参数的计算表达式，在此之前，需先求解一个广义特征值问题，以求得S、D模态下RL截面10个节点的广义翘曲位移。

2.1 节点位移
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计算步骤如下：

1) 初始形函数u_k(s)。选取方法为依次在RL型截面各个节点上施加单位翘曲位移u_k=-1，在相邻节点间线性分布，且u_k-1=u_k+1=0。图 4为在节点5上施加单位翘曲位移的示意。

图 4

图 4 初始形函数施加示意图

2) 由剪应变γ_xs^M=0的假设和力法原理，计算初始形函数v_k(s)、w_k(s)，对于任一板单元v_k(s)为常数，w_k(s)为三次式。计算柔度矩阵[F]和矩阵[$\ddot w$]，结果见文后附录。

3) 根据式(2)和假设的初始形函数积分计算矩阵[C]，结果见附录。根据式(9)计算矩阵[B]。此处矩阵[B]、[C]都是高度耦合的矩阵，并且只用于截面参数分析。

$ \left[ M \right] = - {\left[ F \right]^{ - 1}}\left[ {\ddot w} \right],\left[ B \right] = - {\left[ {\ddot w} \right]^{\rm{T}}}\left[ M \right] $

(9)

4) 求解下列广义特征值问题

$ \left( {\left[ B \right] - {\lambda _\alpha }\left[ C \right]} \right)\left\{ {{u_\alpha }} \right\} = 0\left( {\alpha = 1, \cdots 10} \right) $

(10)

可得到对应于每一模态α的特征向量{u_α}={u₁, u₂, …, u₉, u₁₀}^T，其中S、D模态分别对应2个最小的非零特征值λ_S、λ_D(0 < λ_S < λ_D)。

5) 由式(11)计算向量{m_S}、{m_D}(对应各个节点沿构件纵向的均布弯矩)

$ \left\{ {{m_{\rm{S}}}} \right\} = \left[ M \right]\left\{ {{u_{\rm{S}}}} \right\},\left\{ {{m_{\rm{D}}}} \right\} = \left[ M \right]\left\{ {{u_{\rm{D}}}} \right\} $

(11)

根据上述步骤，可得RL型截面S、D模态的特征向量{u}、弯矩向量{m}为

$ \left\{ u \right\} = {\left\{ {1\;{u_2}\;{u_3}\;{u_4}\;{u_5}\;\gamma {u_5}\;\gamma {u_4}\;\gamma {u_3}\;\gamma {u_2}\;\gamma } \right\}^{\rm{T}}} $

(12a)

$ \left\{ m \right\} = {\left\{ {0\;0\;{m_3}\;{m_4}\;{m_5}\;\gamma {m_5}\;\gamma {m_4}\;\gamma {m_3}\;0\;0} \right\}^{\rm{T}}} $

(12b)

式中参数γ对模态S取1，对模态D取-1，以下所有算式取值均同此处。

对于截面的各板单元，其平面内膜位移{v}、板件转角{φ}和弯曲位移{w}可表示为

$ \left\{ v \right\} = {\left\{ {{v_{\rm{a}}}\;{v_{\rm{l}}}\;{v_{\rm{s}}}\;{v_{\rm{f}}}\;{v_{\rm{w}}}\; - \gamma {v_{\rm{f}}}\; - \gamma {v_{\rm{s}}}\; - \gamma {v_{\rm{l}}}\; - \gamma {v_{\rm{a}}}} \right\}^{\rm{T}}} $

(13a)

$ \left\{ \varphi \right\} = {\left\{ {{\varphi _{\rm{a}}}\;{\varphi _{\rm{l}}}\;{\varphi _{\rm{s}}}\;{\varphi _{\rm{f}}}\;{\varphi _{\rm{w}}}\; - \gamma {\varphi _{\rm{f}}}\; - \gamma {\varphi _{\rm{s}}}\; - \gamma {\varphi _{\rm{l}}}\; - \gamma {\varphi _{\rm{a}}}} \right\}^{\rm{T}}} $

(13b)

$ \left\{ w \right\} = {\left\{ {{w_{\rm{a}}}\;{w_{\rm{l}}}\;{w_{\rm{s}}}\;{w_{\rm{f}}}\;{w_{\rm{w}}}\;\gamma {w_{\rm{f}}}\;\gamma {w_{\rm{s}}}\;\gamma {w_{\rm{l}}}\;\gamma {w_{\rm{a}}}} \right\}^{\rm{T}}} $

(13c)

{v}、{φ}和{w}中各分量具体的计算式为

膜位移v_a.S、v_l.S、v_s.S、v_f.S、v_w.S和v_a.D、v_l.D、v_s.D、v_f.D、v_w.D为

膜位移v_a.S、v_l.S、v_s.S、v_f.S、v_w.S和v_a.D、v_l.D、v_s.D、v_f.D、v_w.D为

$ \begin{array}{l} {v_{\rm{a}}} = \frac{{1 - {u_2}}}{{{b_{\rm{a}}}}},{v_{\rm{l}}} = \frac{{{u_2} - {u_3}}}{{{b_{\rm{l}}}}},{v_{\rm{s}}} = \frac{{{u_3} - {u_4}}}{{{b_{\rm{s}}}}},{v_{\rm{f}}} = \\ \frac{{{u_4} - {u_5}}}{{{b_{\rm{f}}}}},{v_{\rm{w}}} = \frac{{\left( {1 - \gamma } \right){u_5}}}{{{b_{\rm{w}}}}} \end{array} $

(14)

式(14)各式对S、D模态都适用，但γ应取相应的值，下同。

板单元弦转角φ_w.S、φ_f.S、φ_s.S、φ_l.S、φ_a.S和φ_w.D、φ_f.D、φ_s.D、φ_l.D、φ_a.D为

$\begin{array}{*{20}{l}} {{\varphi _{\rm{w}}} = \frac{{{v_{\rm{f}}}\left( {1 - \gamma } \right)}}{{{b_{\rm{w}}}}},{\varphi _{\rm{f}}} = \frac{{{v_{\rm{s}}} + {v_{\rm{w}}}}}{{{b_{\rm{f}}}}},{\varphi _{\rm{s}}} = \frac{{{v_{\rm{f}}} - {v_{\rm{l}}}}}{{{b_{\rm{s}}}}},}\\ {{\varphi _{\rm{l}}} = \frac{{ - {v_{\rm{s}}} - {v_{\rm{a}}}}}{{{b_{\rm{l}}}}},{\varphi _{\rm{a}}} = {\varphi _{\rm{l}}} + \frac{{{b_1}{m_3}}}{{6K}}} \end{array}$

(15)

弯曲位移w_w.S、w_f.S、w_s.S、w_l.S、w_a.S和w_w.D、w_f.D、w_s.D、w_l.D、w_a.D为

$ \begin{array}{l} {w_{\rm{w}}} = - \frac{{{v_{\rm{f}}}}}{2}\left( {1 + \gamma } \right),{w_{\rm{f}}} = \frac{{{v_{\rm{w}}} - {v_{\rm{s}}}}}{2},{w_{\rm{s}}} = \frac{{{v_{\rm{f}}} + {v_{\rm{l}}}}}{2},\\ {w_{\rm{l}}} = \frac{{{v_{\rm{a}}} - {v_{\rm{s}}}}}{2},{w_{\rm{a}}} = \frac{{{b_{\rm{a}}}\left( {{v_{\rm{s}}} + {v_{\rm{a}}}} \right) - 2{b_1}{v_1}}}{{2{b_1}}} - \frac{{{b_{\rm{a}}}{b_{\rm{l}}}{m_3}}}{{12K}} \end{array} $

(16)

2.2 截面参数计算公式
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利用上述节点位移计算表达式，由式(2)可得横截面力学参数C_S、B_S、D_S和C_D、B_D、D_D(γ=1、-1，下标分别为S、D)为

$ \begin{array}{l} C = \frac{t}{3}\left[ {2{b_{\rm{a}}}\left( {u_2^2 + {u_2} + 1} \right) + 2{b_1}\left( {u_2^2 + {u_2}{u_3} + u_3^2} \right) + } \right.\\ \left. {2{b_{\rm{s}}}\left( {u_3^2 + {u_3}{u_4} + u_4^2} \right) + 2{b_{\rm{f}}}\left( {u_4^2 + {u_4}{u_5} + u_5^2} \right) + {b_{\rm{w}}}u_5^2\left( {2 + \gamma } \right)} \right] \end{array} $

(17a)

$\begin{array}{*{20}{l}} {B = \frac{1}{{3K}}\left[ {2{b_1}m_3^2 + 2{b_{\rm{s}}}\left( {m_3^2 + {m_3}{m_4} + m_4^2} \right) + 2{b_{\rm{f}}}\left( {m_4^2} \right.} \right.}\\ {\left. {\left. {{\rm{ + }}{m_4}{m_5} + m_5^2} \right) + \left( {2 + \gamma } \right){b_{\rm{w}}}m_5^2} \right]} \end{array}$

(17b)

$ D = \frac{{{t^3}}}{3}\left( {2{b_a}\varphi _{\rm{a}}^2 + 2{b_{\rm{l}}}\varphi _{\rm{l}}^2 + 2{b_{\rm{s}}}\varphi _{\rm{s}}^2 + 2{b_{\rm{f}}}\varphi _{\rm{f}}^2 + {b_{\rm{w}}}\varphi _{\rm{w}}^2} \right) $

(17c)

截面几何刚度按式(18)计算，即

$ X = \frac{t}{{15\;120{K^2}C}}\sum\limits_i {{X_i}} $

(18)

式中C为对应构件屈曲前模态的截面翘曲常数，对于研究的轴压、绕强轴或弱轴纯弯情况，C分别为截面面积A、绕强轴惯性矩I_Ⅰ和绕弱轴惯性矩I_Ⅱ，如表 1所示。

表 1

表 1 截面轴向位移U1~U5的取值 X U5 U4 U3 U2 U1 C XS、XD 1 1 1 1 1 A XSⅡ、XDⅡ xG xG-bf xG-bf xG-bf-bl xG-bf-bl IⅡ XSDⅠ $\frac{{{b_{\rm{w}}}}}{2}$ $\frac{{{b_{\rm{w}}}}}{2}$ $\frac{{{b_{\rm{w}}}}}{2} - {b_{\rm{S}}}$ $\frac{{{b_{\rm{w}}}}}{2} - {b_{\rm{S}}}$ $\frac{{{b_{\rm{w}}}}}{2} - {b_{\rm{S}}} + {b_{\rm{a}}}$ IⅠ 注：xG为截面形心到腹板厚度中线的距离，见图 1(c)。

表 1 截面轴向位移U1~U5的取值

对于截面几何刚度X_S、X_D、X_S^Ⅱ、X_D^Ⅱ，共包含6项，

$ \begin{array}{l} {X_1} = 15\;120{K^2}\left[ {{b_{\rm{a}}}\left( {v_{\rm{a}}^2 + w_{\rm{a}}^2} \right)\left( {{U_1} + {U_2}} \right) + {b_1}\left( {v_1^2} \right.} \right.\\ \left. { + w_1^2} \right)\left( {{U_2} + {U_3}} \right) + {b_{\rm{s}}}\left( {v_{\rm{s}}^2 + w_{\rm{s}}^2} \right)\left( {{U_3} + {U_4}} \right) + {b_{\rm{f}}}\left( {v_{\rm{f}}^2 + } \right.\\ \left. {\left. {w_{\rm{f}}^2} \right)\left( {{U_4} + {U_5}} \right) + {b_{\rm{w}}}\left( {v_{\rm{w}}^2 + w_{\rm{w}}^2} \right){U_5}} \right] \end{array} $

$ \begin{array}{l} {X_2} = 1\;260{K^2}\left[ {b_{\rm{a}}^3b_{\rm{a}}^2\left( {{U_1} + {U_2}} \right) + b_1^3{\varphi _1}\left( {{U_2} + {U_3}} \right)} \right.\\ \left. { + b_{\rm{s}}^3\varphi _{\rm{s}}^2\left( {{U_3} + {U_4}} \right) + b_{\rm{f}}^3b_{\rm{f}}^2\left( {{U_4} + {U_5}} \right) + b_{\rm{w}}^3\varphi _{\rm{w}}^2{U_5}} \right] \end{array} $

$ \begin{array}{l} {X_3} = 5\;040{K^2}\left[ {b_{\rm{a}}^2{\varphi _{\rm{a}}}{w_{\rm{a}}}\left( {{U_2} - {U_1}} \right) + b_{\rm{l}}^2{\varphi _{\rm{l}}}{w_{\rm{l}}}\left( {{U_3} - } \right.} \right.\\ \left. {\left. {{U_2}} \right) + b_{\rm{s}}^2{\varphi _{\rm{s}}}{w_{\rm{s}}}\left( {{\mathit{U}_4} - {\mathit{U}_3}} \right) + b_{\rm{f}}^2{\varphi _{\rm{f}}}{w_{\rm{f}}}\left( {{U_5} - {U_4}} \right)} \right] \end{array} $

$ \begin{array}{l} {X_4} = b_{\rm{l}}^5m_3^2\left( {29{U_2} + 35{U_3}} \right) + b_{\rm{s}}^5\left[ {m_3^2\left( {29{U_4} + } \right.} \right.\\ \left. {\left. {35{U_3}} \right) + m_4^2\left( {29{U_3} + 35{U_4}} \right) + 62{m_3}{m_4}\left( {{U_3} + {U_4}} \right)} \right] + \\ b_{\rm{f}}^5\left[ {m_4^2\left( {29{U_5} + 35{U_4}} \right) + m_5^2\left( {29{U_4} + 35{U_5}} \right) + } \right.\\ \left. {62{m_4}{m_5}\left( {{U_4} + {U_5}} \right)} \right] + \left( {62\gamma + 64} \right)b_{\rm{w}}^5m_5^2{U_5} \end{array} $

$ \begin{array}{l} {X_5} = 168K\left[ {b_{\rm{l}}^3{w_{\rm{l}}}{m_3}\left( {7{U_2} + 8{U_3}} \right) + b_{\rm{s}}^3{w_{\rm{s}}}{m_3}\left( {7{U_4} + } \right.} \right.\\ \left. {8{U_3}} \right) + b_{\rm{s}}^3{w_{\rm{s}}}{m_4}\left( {7{U_3} + 8{U_4}} \right) + b_{\rm{f}}^3{w_{\rm{f}}}{m_4}\left( {7{U_5} + 8{U_4}} \right) + \\ \left. {b_{\rm{f}}^3{w_{\rm{f}}}{m_5}\left( {7{U_4} + 8{U_5}} \right) + 7.5b_{\rm{w}}^3{w_{\rm{w}}}{m_5}\left( {1 + \gamma } \right){U_5}} \right] \end{array} $

$ \begin{array}{l} {X_6} = 42K\left[ {b_1^4{\varphi _1}{m_3}\left( {4{U_3} - 2{U_2}} \right) + b_{\rm{s}}^4{\varphi _{\rm{s}}}{m_3}\left( {2{U_4} - } \right.} \right.\\ \left. {4{U_3}} \right) + b_{\rm{s}}^4{\varphi _{\rm{s}}}{m_4}\left( {4{U_4} - 2{U_3}} \right) + b_{\rm{f}}^4{\varphi _{\rm{f}}}{m_4}\left( {2{U_5} - 4{U_4}} \right) + \\ \left. {{b_f}{{\rm{ \mathsf{ φ} }}_f}{{\rm{m}}_5}\left( {4{U_5} - 2{U_4}} \right) + {\rm{b}}_w^4{\varphi _w}{{\rm{m}}_5}\left( {\gamma - 1} \right){{\rm{U}}_5}} \right] \end{array} $

式中U_i(i=1, …10)是构件屈曲前的节点轴向位移。

对于截面几何刚度X_SD^Ⅰ，同样包含6项，

$ \begin{array}{l} {X_1} = 15\;120{K^2}\left[ {{b_{\rm{a}}}\left( {{v_{{\rm{a,S}}}}{v_{{\rm{a,D}}}} + {w_{{\rm{a,S}}}}{w_{{\rm{a,D}}}}} \right)\left( {{U_1} + } \right.} \right.\\ \left. {{U_2}} \right) + {b_1}\left( {{v_{{\rm{l,S}}}}{v_{{\rm{l,D}}}} + {w_{{\rm{l,S}}}}{w_{{\rm{l,D}}}}} \right)\left( {{U_2} + {U_3}} \right) + {b_{\rm{s}}}\left( {{v_{{\rm{s,S}}}}{v_{{\rm{s,D}}}} + } \right.\\ \left. {{w_{{\rm{s,S}}}}{w_{{\rm{s,D}}}}} \right)\left( {{U_3} + {U_4}} \right) + {b_{\rm{f}}}\left( {{v_{{\rm{f,S}}}}{v_{{\rm{f,D}}}} + {w_{{\rm{f,S}}}}{w_{{\rm{f,D}}}}} \right)\left( {{U_4} + } \right.\\ \left. {\left. {{U_5}} \right)} \right] \end{array} $

$ \begin{array}{l} {X_2} = 1\;260{K^2}\left[ {b_{\rm{a}}^3{\varphi _{{\rm{a,S}}}}{\varphi _{{\rm{a,D}}}}\left( {{U_1} + {U_2}} \right) + b_{\rm{l}}^3{\varphi _{{\rm{l,S}}}}{\varphi _{{\rm{l,D}}}}\left( {{U_2} + } \right.} \right.\\ \left. {\left. {{U_3}} \right) + b_{\rm{s}}^3{\varphi _{{\rm{s,S}}}}{\varphi _{{\rm{s,D}}}}\left( {{U_3} + {U_4}} \right) + b_{\rm{f}}^3{\varphi _{{\rm{f,S}}}}{\varphi _{{\rm{f,D}}}}\left( {{U_4} + {U_5}} \right)} \right] \end{array} $

$ \begin{array}{l} {X_3} = 2\;520{K^2}\left[ {b_{\rm{a}}^2\left( {{w_{{\rm{a,D}}}}{\varphi _{{\rm{a,S}}}} + {w_{{\rm{a,S}}}}{\varphi _{{\rm{a,D}}}}} \right)\left( {{U_2} - {U_1}} \right) + } \right.\\ b_1^2\left( {{w_{{\rm{l,S}}}}{\varphi _{{\rm{l,D}}}} + {w_{{\rm{l,D}}}}{\varphi _{{\rm{l,S}}}}} \right)\left( {{U_3} - {U_2}} \right) + b_{\rm{s}}^2\left( {{w_{{\rm{s,S}}}}{\varphi _{{\rm{s,D}}}} + } \right.\\ \left. {{w_{{\rm{s,D}}}}{\varphi _{{\rm{s,S}}}}} \right)\left( {{U_4} - {U_3}} \right) + b_{\rm{f}}^2\left( {{w_{{\rm{f,S}}}}{\varphi _{{\rm{f,D}}}} + {w_{{\rm{f,D}}}}{\varphi _{{\rm{f,S}}}}} \right)\left( {{U_5} - {U_4}} \right) - \\ \left. {b_{\rm{w}}^2\left( {{w_{{\rm{w,S}}}}{\varphi _{{\rm{w,D}}}} + {w_{{\rm{w,D}}}}{\varphi _{{\rm{w,S}}}}} \right){U_5}} \right] \end{array} $

$ \begin{array}{l} {X_4} = b_1^5{m_{3{\rm{,S}}}}{m_{3{\rm{,D}}}}\left( {29{U_2} + 35{U_3}} \right) + b_{\rm{s}}^5\left[ {{m_{3{\rm{,S}}}}{m_{3{\rm{,D}}}}\left( {29{U_4} + } \right.} \right.\\ \left. {35{U_3}} \right) + {m_{4{\rm{,S}}}}{m_{4{\rm{,D}}}}\left( {29{U_3} + 35{U_4}} \right) + 31\left( {{m_{3{\rm{,S}}}}{m_{4{\rm{,D}}}} + } \right.\\ \left. {\left. {{m_{4,{\rm{S}}}}{m_{3,{\rm{D}}}}} \right)\left( {{U_3} + {U_4}} \right)} \right] + b_{\rm{f}}^5\left[ {{m_{4{\rm{,S}}}}{m_{4{\rm{,D}}}}\left( {29{U_5} + 35{U_4}} \right) + } \right.\\ {m_{5{\rm{,S}}}}{m_{5{\rm{,D}}}}\left( {29{U_4} + 35{U_5}} \right) + 31\left( {{m_{4{\rm{,S}}}}{m_{5{\rm{,D}}}} + {m_{5{\rm{,S}}}}{m_{4{\rm{,D}}}}} \right)\left( {{U_4} + } \right.\\ \left. {\left. {{U_5}} \right)} \right] + 6b_{\rm{w}}^5{m_{5,{\rm{S}}}}{m_{5,{\rm{D}}}}{U_5} \end{array} $

$ \begin{array}{l} {X_5} = 84K\left[ {b_{\rm{l}}^3\left( {{w_{{\rm{l,S}}}}{m_{3,{\rm{D}}}} + {w_{{\rm{l,D}}}}{m_{3,{\rm{S}}}}} \right)\left( {7{U_2} + 8{U_3}} \right) + } \right.\\ b_{\rm{s}}^3\left( {{w_{{\rm{s,S}}}}{w_{4{\rm{,D}}}} + {w_{{\rm{s,D}}}}{w_{4{\rm{,S}}}}} \right)\left( {7{U_3} + 8{U_4}} \right) + b_{\rm{s}}^3\left( {{w_{{\rm{s,S}}}}{m_{3,{\rm{D}}}} + } \right.\\ \left. {{w_{{\rm{s,D}}}}{m_{3,{\rm{S}}}}} \right)\left( {7{U_4} + 8{U_3}} \right) + b_{\rm{f}}^3\left( {{w_{{\rm{f,D}}}}{m_{5{\rm{,S}}}} + {w_{{\rm{f,S}}}}{m_{5{\rm{,D}}}}} \right)\left( {7{U_4} + } \right.\\ \left. {8{U_5}} \right) + b_{\rm{f}}^3\left( {{w_{{\rm{f,S}}}}{w_{4{\rm{,D}}}} + {w_{{\rm{f,D}}}}{w_{4{\rm{,S}}}}} \right)\left( {7{U_5} + 8{U_4}} \right) + \\ \left. {b_{\rm{w}}^3{w_{{\rm{w,S}}}}{m_{5,{\rm{D}}}}{U_5}} \right] \end{array} $

$ \begin{array}{l} {X_6} = 42K\left[ {b_{\rm{l}}^4\left( {{\varphi _{{\rm{l,S}}}}{m_{3,{\rm{D}}}} + {\varphi _{{\rm{l,D}}}}{m_{3,{\rm{S}}}}} \right)\left( {2{U_3} - {U_2}} \right) + } \right.\\ b_{\rm{s}}^4\left( {{\varphi _{{\rm{s,S}}}}{m_{4{\rm{,D}}}} + {\varphi _{{\rm{s,D}}}}{m_{4{\rm{,S}}}}} \right)\left( {2{U_4} - {U_3}} \right) + b_{\rm{s}}^4\left( {{\varphi _{{\rm{s,S}}}}{m_{3,{\rm{D}}}} + } \right.\\ \left. {{\varphi _{{\rm{s,D}}}}{m_{3,{\rm{S}}}}} \right)\left( {{U_4} - 2{U_3}} \right) + b_{\rm{f}}^4\left( {{\varphi _{{\rm{f,S}}}}{m_{5{\rm{,D}}}} + {\varphi _{{\rm{f,D}}}}{m_{5{\rm{,S}}}}} \right)\left( {2{U_5} - } \right.\\ \left. {{U_4}} \right) + b_{\rm{f}}^4\left( {{\varphi _{{\rm{f,S}}}}{m_{4{\rm{,D}}}} + {\varphi _{{\rm{f,D}}}}{m_{4{\rm{,S}}}}} \right)\left( {{U_5} - 2{U_4}} \right) - \\ \left. {3b_{\rm{w}}^4{\varphi _{{\rm{w,D}}}}{m_{5,{\rm{S}}}}{U_5}} \right] \end{array} $

对于轴压和绕弱轴弯曲的构件，横截面屈曲前的轴向位移是对称的，即U₁=U₁₀，U₂=U₉，U₃=U₈，U₄=U₇，U₅=U₆；而对于绕强轴弯曲的构件，横截面屈曲前的轴向位移是反对称的，即U₁=-U₁₀，U₂=-U₉，U₃=-U₈，U₄=-U₇，U₅=-U₆。U₁~U₅的取值见表 1。

3 计算式验证
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为了验证得到的计算式的正确性，把计算式得到的结果与有限条软件CUFSM的分析结果进行比较。CUFSM软件是用于两端简支的冷弯薄壁构件的计算程序^[17-18]，通过把构件长度划分得足够精细，可以准确地分析具有各种形式截面(开口或闭口)构件的屈曲行为，所以把其计算结果作为精确解，与计算式的计算结果以及文献[2]和[3]给出算式的计算结果比较。由于CUFSM无法计算两端固支的构件，以下主要比较两端简支构件的计算结果。所有算例的截面如表 2所示，截面厚度均为1.0 mm。

表 2

表 2 RL型截面尺寸 mm 编号 bw bf bs bl ba 1 90 40 10 30 10 2 90 40 10 30 5 3 90 45 10 30 10 4 90 45 10 30 5 5 90 60 10 30 10 6 90 60 10 30 5 7 120 45 10 30 10 8 120 45 10 30 5 9 120 60 10 30 10 10 120 60 10 30 5 11 120 90 10 30 10 12 120 90 10 30 5 13 120 90 15 30 15 14 120 90 15 30 10 15 150 60 15 30 15 16 150 60 15 30 10 17 150 90 10 30 10 18 150 90 10 30 5 19 150 90 15 30 15 20 150 90 15 30 10 21 150 90 10 45 10 22 150 90 10 45 5 23 150 90 15 45 15 24 150 90 15 45 10 注：表中截面主要来源于文献[2]和[3]。

表 2 RL型截面尺寸

对于给定截面，先利用Matlab或者Maple软件求解一个广义特征值问题，依据附录计算矩阵[B]、[C]，由式(10)求解得到相对于模态S和D的特征值以及相应的特征向量，特征向量即为S、D模态截面各节点的广义翘曲位移。轴压下构件发生畸变屈曲时主要模态为S，根据式(12)~(16)可计算得S模态下的向量{u}、{m}、{v}、{φ}、{w}，进一步可计算得到截面参数C_S、B_S、D_S以及X_S。最后，根据边界条件求取构件的畸变屈曲荷载：当两端简支时，按式(4)计算构件的屈曲临界荷载和屈曲半波长；当两端固支时，需利用式(3)，假设屈曲半波长为L/n替代式中的L，并分别取屈曲半波数n=1, 2, 3…，计算得到的最小值即为构件的畸变屈曲荷载。绕截面强轴或弱轴弯曲时的计算大致与上述过程相同，此处不再赘述。

表 3和表 4分别给出了构件轴心受压、绕截面弱轴弯曲和绕截面强轴弯曲时畸变屈曲荷载的计算结果与比较。

表 3

表 3 轴心受压时计算结果比较 N 编号 Pex Pcr $\frac{{{P_{{\rm{cr}}}}}}{{{P_{{\rm{ex}}}}}}$ PY-T $\frac{{{P_{{\rm{Y - T}}}}}}{{{P_{{\rm{ex}}}}}}$ PL-H $\frac{{{P_{{\rm{L - H}}}}}}{{{P_{{\rm{ex}}}}}}$ 1 102 136 103 009 1.01 97 607 0.96 100 637 0.99 2 78 487 77 247 0.98 3 40 992 41 339 1.01 38 043 0.93 38 747 0.95 4 31 318 30 837 0.98 5 75 134 75 121 1.00 72 016 0.96 74 278 0.99 6 61 264 59 829 0.98 7 38 845 39 307 1.01 8 29 656 29 184 0.98 9 72 960 72 607 1.00 70 410 0.97 71 661 0.98 10 59 903 58 098 0.97 11 54 569 53 834 0.99 51 909 0.95 53 299 0.98 12 49 333 48 601 0.99 13 77 011 76 518 0.99 73 609 0.96 73 867 0.96 14 68 725 67 810 0.99 15 43 823 44 575 1.02 41 483 0.95 41 281 0.94 16 36 246 36 192 1.00 17 53 640 52 731 0.98 51 159 0.95 52 124 0.97 18 48 736 47 746 0.98 19 75 194 74 591 0.99 72 170 0.96 72 086 0.96 20 67 331 66 291 0.98 21 48 873 48 284 0.99 46 737 0.96 47 954 0.98 22 41 247 40 119 0.97 23 71 154 71 129 1.00 68 164 0.96 68 864 0.97 24 60 700 59 736 0.98 平均值 0.99 0.95 0.97 标准差 0.01 0.01 0.01 注：下标ex、cr、Y-T和L-H分别表示由CUFSM软件计算的精确解、基于GBT理论的算式、文献[3]公式及文献[2]算式的计算值。

表 3 轴心受压时计算结果比较

表 4

表 4 绕弱轴弯曲、绕强轴弯曲时计算结果比较 N·m 编号 绕弱轴弯矩 绕强轴弯矩 Mex Mcr $\frac{{{M_{{\rm{cr}}}}}}{{{M_{{\rm{ex}}}}}}$ MY-T $\frac{{{M_{{\rm{Y - T}}}}}}{{{M_{{\rm{ex}}}}}}$ $\frac{{{M_{{\rm{cr}}}}}}{{{M_{{\rm{ex}}}}}}$ Mex Mcr 1 2 240 040 2 213 244 0.99 2 275 949 1.02 4 187 725 4 541 461 1.08 2 1 641 065 1 613 636 0.98 3 428 469 3 520 707 1.03 3 970 212 969 875 1.00 951 321 0.98 1 727 505 1 870 685 1.08 4 705 765 697 523 0.99 1 398 740 1 434 457 1.03 5 2 160 967 2 129 240 0.99 2 174 323 1.01 3 287 574 3 547 357 1.08 6 1 676 919 1 658 557 0.99 2 787 315 2 841 078 1.02 7 936 595 923 407 0.99 923 864 0.99 2 253 521 2 341 281 1.04 8 689 654 680 927 0.99 1 791 421 1 791 398 1.00 9 2 085 205 2 044 388 0.98 2 097 314 1.01 4 249 033 4 402 839 1.04 10 1 638 807 1 615 342 0.99 3 562 335 3 544 299 0.99 11 2 052 502 2 019 254 0.98 2 048 514 1.00 3 247 624 3 340 807 1.03 12 1 780 960 1 785 103 1.00 2 963 305 3 004 577 1.01 13 3 099 201 3 054 240 0.99 3 086 224 1.00 4 672 692 5 059 125 1.08 14 2 673 351 2 659 724 0.99 4 292 531 4 482 863 1.04 15 1 378 077 1 360 842 0.99 1 341 813 0.97 3 309 936 3 480 225 1.05 16 1 114 592 1 103 851 0.99 2 840 773 28 871 741 1.02 17 1 999 568 1 961 660 0.98 1 990 654 1.00 3 933 823 3 971 584 1.01 18 1 748 602 1 746 280 1.00 3 587 513 3 589 024 1.00 19 3 006 348 2 957 771 0.98 2 980 514 0.99 5 653 895 5 903 151 1.04 20 2 609 802 2 593 154 0.99 5 155 976 5 253 084 1.02 21 1 984 375 1 946 591 0.98 1 997 786 1.01 3 542 631 3 606 845 1.02 22 1 610 229 1 596 294 0.99 3 005 096 2 980 849 0.99 23 3 051 762 3 009 223 0.99 3 061 913 1.00 5 215 176 5 526 506 1.06 24 2 602 849 2 491 306 0.96 4 561 619 4 669 163 1.02 平均值 0.99 1.00 1.03 标准差 0.01 0.01 0.03 注：下标ex、cr、Y-T和L-H分别表示由CUFSM软件计算的精确解、基于GBT理论的算式、文献[3]公式及文献[2]算式的计算值。

表 4 绕弱轴弯曲、绕强轴弯曲时计算结果比较

从表 3可知，与CUFSM提供的精确解相比，笔者算式、文献[2]算式以及文献[3]算式的精度都比较高，计算数据误差在5%以内，笔者算式误差在3%以内，计算精度更高。

而根据表 4的对比可见，构件绕弱轴弯曲屈曲时，笔者算式与文献[3]简化公式的精度都较高，最大误差均在2%以内。但笔者算式同时可用于计算两卷边宽度b_s与b_a不等的情况，并具有较高的精度。对绕强轴弯曲屈曲的情况，笔者算式除个别截面的误差达8%外，计算精度仍然比较高。

使用基于GBT的算式和CUFSM软件计算屈曲半波长时会发现，构件在轴心受压和绕弱轴弯曲下屈曲半波长与绕强弯曲下的屈曲半波长相比略大。这与文献[3]、[19]等对于C型截面的研究结果是一致的。表 5仅给出轴心受压时屈曲半波长的数值。

表 5

表 5 屈曲半波长计算结果比较 编号 γex γcr γcr/γex γY-T γY-T/γex γL-H γL-H/γex 1 560 565 1.01 556 0.99 508 0.91 2 458 458 1.00 3 716 720 1.01 710 0.99 650 0.91 4 590 587 0.99 5 655 656 1.00 659 1.01 607 0.93 6 558 554 0.99 7 748 756 1.01 744 0.99 698 0.93 8 619 619 1.00 9 686 688 1.00 690 1.01 652 0.95 10 587 583 0.99 11 843 840 1.00 840 1.00 819 0.97 12 766 765 1.00 13 1 132 1 140 1.01 1 136 1.00 1 072 0.95 14 1 000 1 000 1.00 15 1 079 1 076 1.00 1 093 1.01 1 024 0.95 16 986 982 1.00 17 875 873 1.00 870 0.99 866 0.99 18 798 797 1.00 19 1 119 1 117 1.00 1 132 1.01 1 083 0.97 20 1 025 1 021 1.00 21 948 946 1.00 943 0.99 908 0.96 22 829 823 0.99 23 1 224 1 226 1.00 1 227 1.00 1 144 0.93 24 1 093 1 088 1.00 平均值 1.00 1.00 0.95 标准差 0.006 0.009 0.025

表 5 屈曲半波长计算结果比较

由表 5可见，基于GBT的计算公式与文献[3]给出的简化公式的结果都非常精确，误差均在1%以内，而文献[2]公式给出的结果最大误差为9%，偏差相对较大。

4 结论
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根据广义梁理论的基本原理，推导了带后翼缘与后卷边的槽型(RL型)截面冷弯薄壁型钢构件在轴心受压、绕弱轴弯曲或强轴弯曲时发生弹性畸变屈曲的临界荷载计算式。算式包括了两端简支和固支2种边界条件。通过与有限条结果以及既有理论公式的计算结果比较分析，表明笔者推导提出的计算式具有较高的精度，且算式形式较为简单。

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