为了实现孔隙比随土体深度变化而变化，也即随土体当前应力的变化而变化，根据下图 1中e-lnp′平面中的NCL线(各向等压固结线)、CSL线(临界状态线)与K₀状态固结线之间的关系，并结合修正剑桥模型的原理推导出正常固结黏土K₀状态下孔隙比e与有效平均主应力的关系式，其具体推导过程可参见文献[7]。

图1

图 1 K0状态下土体初始孔隙比确定 Fig. 1 Calculation of the initial void ratio for clays under K0 state

式(1)即为土体处于K₀正常固结状态下孔隙比随土体当前应力状态变化的关系式，可用于子程序VOIDRI的编写。

关于渗透系数与孔隙比之间的关系，不少研究者通过室内外试验提出了不同的经验关系式，其中运用较为普遍的主要为表 1中4种关系式。

表 1

表 1 渗透系数与孔隙比的关系式汇总 Table 1 Tabulate the relationship between void ratio and permeability coefficient $ 提出者 关系式 适用土体 Kozeny[8] & Carman[9-10] $k = \frac{{{n^3}}}{{5{{\left( {1 - n} \right)}^2}}}{\left( {\frac{{{D_{{\rm{eff}}}}}}{6}} \right)^2}$ Deff为土体的平均有效粒径 砂土 Samarasinghe[11] $k = C\frac{{{e_k}^m}}{{1 + {e_k}}}$ 对于软土m一般取5[12] 砂土、粘土 Mesri等[13] $k = 6.45 \times {10^{ - 11}}{\left( {\frac{{{e_k}/CF}}{{{A_c} + 1}}} \right)^4}$ CF为土体的粘粒含量，Ac为土体的活性指数 软土 Taylor[14] $\lg k = \lg {k_0} - \frac{{{e_0} - {e_k}}}{{{C_k}}}$ Ck为与土体渗透系数相关的指标，Ck=0.5e0 软土 $

表 1 渗透系数与孔隙比的关系式汇总 Table 1 Tabulate the relationship between void ratio and permeability coefficient

对于式(5)，可以写为C_kΔlgk=Δe，可以看出C_k为Δlgk-Δe坐标中的斜率，且C_k(T)=0.5e₀。现将其他3式也通过类似的方法，将其在Δlgk-Δe坐标中进行转换，得到其斜率C_k，并比较四者的斜率C_k与e₀的关系。

对于KC方程(2)，$k = \frac{{{n^3}}}{{5{{\left( {1-n} \right)}^2}}}{\left( {\frac{{{D_{{\rm{eff}}}}}}{6}} \right)^2}$，因对于同一种土D_eff为常数，所以其具体Δlgk-Δe转换过程如下：

则有：$\mathit{\Delta }\ln k = \left( {\frac{3}{{{e_0}}} + 2} \right)\mathit{\Delta e} \Rightarrow \frac{{2.3{e_0}}}{{3 + 2{e_0}}}\mathit{\Delta }\lg k = \mathit{\Delta e}$，所以${C_k}\left( K \right) = \frac{{2.3{e_0}}}{{3 + 2{e_0}}}$。

同理，式(3)可以转换为

$\mathit{\Delta }\ln k = \left( {\frac{m}{{{e_0}}} - \frac{1}{{1 + {e_0}}}} \right)\mathit{\Delta e} \Rightarrow \frac{{2.3}}{{\frac{m}{{{e_0}}} - \frac{1}{{1 + {e_0}}}}}\mathit{\Delta }\lg k = \mathit{\Delta e}$，所以${\mathit{C}_k}\left( S \right) = \frac{{2.3}}{{\frac{m}{{{e_0}}} - \frac{1}{{1 + {e_0}}}}}$。

式(4)可以写为$\mathit{\Delta }{\rm{ln}}\frac{k}{{{k_0}}} = 4\ln \left( {1 + \frac{{\mathit{\Delta e}}}{{{e_0}}}} \right)$，则有$\mathit{\Delta }\ln k = \frac{4}{{{e_0}}}\mathit{\Delta e} \Rightarrow \frac{{{e_0}}}{4}\mathit{\Delta }\ln k = \mathit{\Delta e}$, 所以${C_k}\left( M \right) = \frac{{2.3{e_0}}}{4}$。

将上述所得的斜率C_k与e₀的关系描绘在文献[15-16]中所统计的Champlain Clay、加拿大国内及一些国外粘土的C_k与e₀的关系数据库中，如图 2所示。从图 2可以看出，C_k(M)和C_k(S)在数据较为集中的上方，C_k(K)处于数据集中的下方，其与数据库数据的相关性较差，而C_k(T)与其他3式相比，其与数据库的相关性较好，所以本文拟采用Talay提出的渗透系数与孔隙比的关系式^[14]，并结合前面推导的孔隙比随土体当前应力变化的关系式，可以得到下式：

图2

图 2 4种Ck随初始孔隙比的变化与数据库的对比 Fig. 2 Comparison between the four types of Ck changed with e0 and the database

式中e₀为K₀状态下的初始孔隙比，e₁为各向等压固结下的初始孔隙比。

按式(6)编写子程序USDFLD，以实现渗透系数随土体当前应力的变化而变化。

2 实例演示跳转到：本文顶部跳转到：本文顶部　1 基于MCC的孔隙比和渗透系数随土体当前应力变化的关系　2 实例演示　3 计算结果分析　    3.1 地表沉降　    3.2 墙体水平位移　    3.3 坑底隆起　    3.4 地下连续墙弯矩　4 结语　参考文献跳转到：本文顶部跳转到：本文顶部　1 基于MCC的孔隙比和渗透系数随土体当前应力变化的关系　2 实例演示　3 计算结果分析　    3.1 地表沉降　    3.2 墙体水平位移　    3.3 坑底隆起　    3.4 地下连续墙弯矩　4 结语　参考文献

计算模型为某公共建筑的基坑工程，基坑总宽度为60 m，标准段开挖深度为16 m，基坑开挖施工步骤分为4步，其具体的施作顺序见图 3，围护结构采用深度为32 m地下连续墙加3道支撑，地下水位高度设置为与地表平齐。由于施工支撑的需要，在模拟过程中每步开挖结束后，设置一定的间歇期。

图3

图 3 基坑降水开挖步骤概况 Fig. 3 Procedure of dewatering and excavation of deep foundation pit

根据Peck^[17]、Lin^[18]、Roboski等^[19]研究的成果，对于软土地区的深基坑开挖，基坑的边缘至边界的距离为开挖深度的5倍时，边界条件对基坑的影响可以忽略。为尽量减少模型的边界条件对变形的影响，本文模拟区域为基坑两侧向外延伸90 m，深度方向取为70 m。

模型中连续墙的模拟采用实体单元，按照Hashash^[20]等人的观点，认为连续墙的厚度方向至少要划分两排实体单元才能模拟连续墙的弯矩，此模型采用沿厚度方向2个单元模拟。建模过程中，地下连续墙与土体之间的接触采用摩擦模型，即切向符合各向同性的Coulomb定律，摩擦系数μ=0.3，法向采用“硬”接触，即假设接触面间能传递无限大的压力而不能传递任何拉力。主动侧土体与墙体整体接触，被动侧土体与墙体按每步的开挖深度分段设置接触，这样在每次开挖土体时也相应移除了被动侧设置的接触对，如图 4所示^[21]。

图4

图 4 墙土接触关系示意图 Fig. 4 Schematic of the contact relationship between soil and diaphragm wall

导入编写的子程序以实现孔隙比和渗透系数随土体当前应力的变化。

土体参数采用上海地区第4层淤泥质黏土的修正剑桥模型参数，其具体取值见表 2^[21]。

表 2

表 2 土层的修正剑桥模型参数 Table 2 Modified Cam-Clay parameters for the soil 重度γ/(KN·m-3) 初始孔隙比e0 静止侧压力系数K0 泊松比ν e-lnp平面正常固结线斜率λ e-lnp平面回弹曲线斜率κ 临界状态线斜率M 渗透系数k/(mm·s-1) 17.15 1 0.5 0.35 0.14 0.01 1.4 8e-6

表 2 土层的修正剑桥模型参数 Table 2 Modified Cam-Clay parameters for the soil

模型各部件所采用的单元见表 3。

表 3

表 3 模型中各部件所选单元 Table 3 Selected unit for all components in the two models 工况 土体 地下连续墙 水平支撑 不考虑降水 CPE8R CPE8R T2D2 考虑降水 CPE8RP CPE8R T2D2

表 3 模型中各部件所选单元 Table 3 Selected unit for all components in the two models

相应的模型主要开挖区网格图如图 5所示。

图5

图 5 模型主要开挖区有限元网格 Fig. 5 Finite element meshs for the model

为了对比分析孔隙比和渗透系数的变化对基坑坑内外土体的变形和围护结构内力的影响，在保证其他参数不变的情况下，分别建立了如下3种情况下的计算模型：不考虑孔隙比和渗透系数的变化、只考虑孔隙比的变化不考虑渗透系数的变化、同时考虑孔隙比和渗透系数的变化。图 6、7所示为孔隙比和渗透系数随深度变化关系图。

图6

图 6 孔隙比随深度变化图 Fig. 6 Variation of void ratio with depth

图7

图 7 渗透系数随深度变化图 Fig. 7 Variation of permeability coefficient with depth

3 计算结果分析跳转到：本文顶部跳转到：本文顶部　1 基于MCC的孔隙比和渗透系数随土体当前应力变化的关系　2 实例演示　3 计算结果分析　    3.1 地表沉降　    3.2 墙体水平位移　    3.3 坑底隆起　    3.4 地下连续墙弯矩　4 结语　参考文献跳转到：本文顶部跳转到：本文顶部　1 基于MCC的孔隙比和渗透系数随土体当前应力变化的关系　2 实例演示　3 计算结果分析　    3.1 地表沉降　    3.2 墙体水平位移　    3.3 坑底隆起　    3.4 地下连续墙弯矩　4 结语　参考文献

3.1 地表沉降跳转到：本文顶部跳转到：本文顶部　1 基于MCC的孔隙比和渗透系数随土体当前应力变化的关系　2 实例演示　3 计算结果分析　    3.1 地表沉降　    3.2 墙体水平位移　    3.3 坑底隆起　    3.4 地下连续墙弯矩　4 结语　参考文献跳转到：本文顶部跳转到：本文顶部　1 基于MCC的孔隙比和渗透系数随土体当前应力变化的关系　2 实例演示　3 计算结果分析　    3.1 地表沉降　    3.2 墙体水平位移　    3.3 坑底隆起　    3.4 地下连续墙弯矩　4 结语　参考文献

图 8(a)、(b)、(c)、(d)分别为不考虑孔隙比和渗透系数的变化、仅考虑孔隙比变化、同时考虑孔隙比和渗透系数变化3种情况下基坑降水开挖各施工步的坑外地表沉降图。从以上3个图中可以看出距基坑边缘80 m处时，坑外地表沉降逐渐趋近于零，表明本次基坑降水开挖模拟所设置的边界条件对坑内外土体的变形的影响可以忽略。3种情况下的最大地表沉降均发生在距基坑边缘约1/3倍基坑开挖深度附近，且其沉降变形模式由三角形逐渐向凹槽型过渡，这与Ou等^[22]提出的关于软土地区基坑开挖所致地表沉降经验曲线吻合。

图8

图 8 不同情况下地表沉降曲线 Fig. 8 Settlement curves of ground surface with different situation

图 9所示为如上所述的3种情况下，各降水开挖步引起的距基坑边缘4.8 m处(地表最终沉降量最大处)的地表沉降(ΔH)图。从图中可以看出除第一施工步以外，每一施工步中由降水所引起的地表沉降量约为开挖所引起的0.5倍。这也表明对深大基坑降水开挖进行相关的数值模拟时，必须考虑降水的影响，在进行基坑降水开挖现场监控时，应加强降水期间的监测频率，这对保障基坑施工安全有着重要意义。

图9

图 9 降水开挖对地表沉降的影响对比 Fig. 9 Comparison between the influence of dewatering and excavation to the surface subsidence

对比分析8(a)、(b)、(c)、(d)可知，孔隙比随土体当前应力变化时各开挖步的坑外地表最大沉降量均大于孔隙比不变时的坑外地表最大沉降量，且由图 8(d)可知，孔隙比随土体当前应力变化时的坑外地表的最终沉降量约为孔隙比不变时的1.4倍，分析其原因如下。

修正剑桥模型中弹性应变增量可以表示为

${\rm{d}}\varepsilon _v^e = \frac{{{\rm{d}}v}}{v} = \frac{\kappa }{v}\frac{{{\rm{d}}p'}}{{p'}}$

(7)

由上式可以导出体积弹性模量为

$K = \frac{{vp'}}{\kappa } = \frac{{\left( {1 + e} \right)p'}}{\kappa }$

(8)

从上式可以看出，当其他条件相同时，体积弹性模量K与e成正比，即K随着e的增大而增大，当孔隙比较大时，相同的土体卸荷条件产生的地表沉降将会较小^[21]。图 6所示为孔隙比随深度的变化图，其值随深度的增大呈非线性减小趋势，所以图 8(d)中仅考虑孔隙比变化时的坑外最大地表沉降量大于孔隙比为定值时的坑外最大沉降量。

同时由8(d)可知，考虑渗透系数随深度变化时的坑外地表沉降的最大值和基坑边缘处的沉降值均小于渗透系数为定值时的情况，后者约为前者的2.1倍，可见渗透系数的选取对坑外地表沉降的影响显著，需慎重对待。董志良等^[4]将渗透系数随固结应力的变化关系应用于真空预压下单井的三维有限元计算，其地表沉降计算结果也有类似的规律。所以在进行基坑降水开挖相关有限元分析时，必须同时考虑孔隙比和渗透系数的变化，否者会得到偏大的地表沉降，这将造成较大的工程浪费。

3.2 墙体水平位移跳转到：本文顶部跳转到：本文顶部　1 基于MCC的孔隙比和渗透系数随土体当前应力变化的关系　2 实例演示　3 计算结果分析　    3.1 地表沉降　    3.2 墙体水平位移　    3.3 坑底隆起　    3.4 地下连续墙弯矩　4 结语　参考文献跳转到：本文顶部跳转到：本文顶部　1 基于MCC的孔隙比和渗透系数随土体当前应力变化的关系　2 实例演示　3 计算结果分析　    3.1 地表沉降　    3.2 墙体水平位移　    3.3 坑底隆起　    3.4 地下连续墙弯矩　4 结语　参考文献

图 10(a)、(b)、(c)、(d)分别为不考虑孔隙比和渗透系数变化、仅考虑孔隙比变化、同时考虑孔隙比和渗透系数变化3种情况下各开挖步的墙体水平位移。从图中可以看出地下连续墙的每个开挖降水步的最大水平位移位置随基坑开挖深度的增加而不断下移，在未设置支撑时，基坑降水开挖所导致的墙体的水平位移变形模式呈悬臂状态，支撑设置之后，墙体的最大水平位移逐渐下移，且其变形模式逐渐由悬臂模式逐渐向凹槽型转变，且各开挖步最大墙体水平位移均出现在基坑开挖面附近，这与大量的实测数据和理论分析所得连续墙体的变形规律相符。

图10

图 10 不同情况下的墙体水平位移 Fig. 10 Horizontal displacements of diaphragm wall with different situations

图 11所示为3种情况下，各降水开挖步引起的距地表 14.8 m处(地下连续墙最大水平位移处)墙体的水平位移(ΔS)图。从图中可以看出，除第一施工步以外，由降水所引起的墙体的水平位移为开挖所引起的0.5~1.1倍。这也表明降水对墙体的水平位移有较大的影响，在进行基坑降水开挖现场监控时，应加强降水期间的墙体位移的监测频率，这对保障基坑施工安全有着重要意义。

图11

图 11 降水开挖各步对墙体水平位移的影响对比 Fig. 11 Comparison between the influence of dewatering and excavation to the horizontal displacement of wall

对比分析10(a)、(b)、(c)、(d)可知，孔隙比随土体当前应力变化时，基坑降水开挖引起的墙体的最大水平位移均大于孔隙比不变时的墙体的最大水平位移，且由图 10(d)可知，孔隙比随土体当前应力变化时的墙体的最终的水平位移约为孔隙比不变时的1.2倍。由图 10(a)、(b)、(c)、(d)可知，同时考虑孔隙比和渗透系数的变化时较仅考虑孔隙比的变化时，基坑降水开挖所产生的各开挖步的墙体的最大位移均小于渗透系数为定值的情况，且其最终的墙体水平位移，后者约为前者的1.6倍。

3.3 坑底隆起跳转到：本文顶部跳转到：本文顶部　1 基于MCC的孔隙比和渗透系数随土体当前应力变化的关系　2 实例演示　3 计算结果分析　    3.1 地表沉降　    3.2 墙体水平位移　    3.3 坑底隆起　    3.4 地下连续墙弯矩　4 结语　参考文献跳转到：本文顶部跳转到：本文顶部　1 基于MCC的孔隙比和渗透系数随土体当前应力变化的关系　2 实例演示　3 计算结果分析　    3.1 地表沉降　    3.2 墙体水平位移　    3.3 坑底隆起　    3.4 地下连续墙弯矩　4 结语　参考文献

基坑工程施工过程中，由于坑内土体的开挖卸荷，从而使得坑底产生土体隆起。在实际基坑工程施工中，基坑坑底隆起的监测比较困难，而且有关影响坑底隆起的因素较多，诸如坑底有无工程桩、基坑开挖的施工方法和施工步骤、基坑围护结构的插入深度、坑内土体的卸荷比、地下水的渗流、坑外地表超载、温度的变化等。有关此方面的研究国内外的学者虽得到一定的研究成果，仍需更进一步的研究。

图 12所示为不考虑孔隙比和渗透系数的变化、仅考虑孔隙比的变化、同时考虑孔隙比和渗透系数的变化时3种情况下的坑底最终隆起曲线。从图中可知，仅考虑孔隙比的变化时，坑内隆起量较另外两者情况下均偏大，产生此结果的原因与前述分析孔隙比对坑外地表沉降变形的影响类似，不再赘述。同时孔隙比和渗透系数随土体当前应力变化时的情况较仅考虑孔隙比的变化时坑内隆起小，这种变化趋势与前述的坑外地表沉降和墙体位移一致。当孔隙比和渗透系数均为定值和孔隙比和渗透系数均变化时，其坑底隆起量几乎相同，其可以理解为孔隙比的变化和渗透系数的变化对坑底隆起影响效果的叠加所致。

图12

图 12 不同情况下的坑底最终隆起曲线 Fig. 12 Final values of rebound at bottom with different situations

3.4 地下连续墙弯矩跳转到：本文顶部跳转到：本文顶部　1 基于MCC的孔隙比和渗透系数随土体当前应力变化的关系　2 实例演示　3 计算结果分析　    3.1 地表沉降　    3.2 墙体水平位移　    3.3 坑底隆起　    3.4 地下连续墙弯矩　4 结语　参考文献跳转到：本文顶部跳转到：本文顶部　1 基于MCC的孔隙比和渗透系数随土体当前应力变化的关系　2 实例演示　3 计算结果分析　    3.1 地表沉降　    3.2 墙体水平位移　    3.3 坑底隆起　    3.4 地下连续墙弯矩　4 结语　参考文献

在进行地下连续墙的配筋及截面设计时通常需要了解墙体的弯矩分布情况，如图 13所示为不考虑孔隙比和渗透系数的变化、仅考虑孔隙比的变化、同时考虑孔隙比和渗透系数的变化时3种情况下的地下连续墙的弯矩分布曲线。从图 13可知，仅考虑孔隙比的变化和同时考虑孔隙比和渗透系数的变化两种情况下墙体的弯矩分布情况较一致，其最大的弯矩位于基坑最终开挖面附近，且其分布形式与Zdravkovic等^[23]分析的软土地区基坑开挖多支撑地下连续墙的弯矩分布形式一致，墙体的最大弯矩值位置与墙体水平位移最大值位置基本一致，而两者都不考虑的情况下，计算所得的墙体弯矩分布与前述分布相差较大。对比分析3种情况下的墙体的最大弯矩可知，同时考虑孔隙比和渗透系数的变化时墙体的最大弯矩较仅考虑孔隙比的变化的情况小，后者约为前者的2倍，所以需慎重对待孔隙比和渗透系数的变化，如简单的将其设置为定值，则将会得到偏大的墙体弯矩值，从而造成严重的工程浪费。

图13

图 13 不同情况下的地下连续墙弯矩 Fig. 13 Bending moment of diaphragm wall with different situations

笔者也曾尝试在其他参数完全相同的情况下，将土体的渗透系数设置为某一定值，如5e^-5、4 e^-5、3 e^-5、2 e^-5、1e^-5、9 e^-6、8 e^-6、7 e^-6、6 e^-6、5e^-6、4 e^-6、3 e^-6、2e^-6、1e^-6(mm/s)，由此所得的地表沉降量、墙体的水平位移量、坑底的隆起量、墙体最大弯矩值均逐渐减小，即随着渗透系数的减小，上述各量均逐渐减小。但是，笔者发现上述各量的变化并非线性的，较其他范围而言，当渗透系数变化范围处于[7e^-6、7e^-5](mm/s)时，土体位移及围护结构的位移和内力变化更为敏感，限于篇幅的原因不一一对比。对于淤泥质黏土渗透系数的取值对基坑降水开挖所导致的坑内土体及围护结构变形及内力的影响还需更进一步的研究。

4 结语跳转到：本文顶部跳转到：本文顶部　1 基于MCC的孔隙比和渗透系数随土体当前应力变化的关系　2 实例演示　3 计算结果分析　    3.1 地表沉降　    3.2 墙体水平位移　    3.3 坑底隆起　    3.4 地下连续墙弯矩　4 结语　参考文献跳转到：本文顶部跳转到：本文顶部　1 基于MCC的孔隙比和渗透系数随土体当前应力变化的关系　2 实例演示　3 计算结果分析　    3.1 地表沉降　    3.2 墙体水平位移　    3.3 坑底隆起　    3.4 地下连续墙弯矩　4 结语　参考文献

1)当孔隙比随土体当前应力变化时坑外地表沉降量、墙体的水平位移、坑底土体的隆起量、地下连续墙的弯矩均大于孔隙比为定值时的情况。当渗透系数随土体当前应力变化时坑外地表沉降量、墙体的水平位移、坑底隆起量、地下连续墙的弯矩均小于渗透系数为定值的情况，且这种差异在进行基坑降水开挖分析时不能被忽略，否则会影响基坑开挖施工及基坑周围建(构)筑物的安全和正常使用。

2)由降水步所产生的最大地表沉降量和地下连续墙的最大水平位移约为开挖步所产生的一半以上，所以在进行基坑降水开挖现场监控时，应加强降水期间的监测频率，这对保障基坑施工安全有着重要意义。

3)对于淤泥质黏土而言，在对基坑降水开挖进行有限元分析时，渗透系数的影响因素不容忽略，且当渗透系数在[7e^-6、7e^-5](mm/s)范围内变化时，渗透系数这一参数的取值对坑内外土体的变形及围护结构的内力的影响较其他范围更显著，所以其取值应慎重对待，且有关此方面的问题还需深入研究。

参考文献跳转到：本文顶部跳转到：本文顶部　1 基于MCC的孔隙比和渗透系数随土体当前应力变化的关系　2 实例演示　3 计算结果分析　    3.1 地表沉降　    3.2 墙体水平位移　    3.3 坑底隆起　    3.4 地下连续墙弯矩　4 结语　参考文献跳转到：本文顶部跳转到：本文顶部　1 基于MCC的孔隙比和渗透系数随土体当前应力变化的关系　2 实例演示　3 计算结果分析　    3.1 地表沉降　    3.2 墙体水平位移　    3.3 坑底隆起　    3.4 地下连续墙弯矩　4 结语　参考文献

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