钢材、混凝土、岩土材料等在低应力状态下可以认为其力学性质是线性的,但在稍高应力状态下则往往表现出强烈的非线性和非均匀性[1-2]。因此,工程材料在某一外界条件下的变形、屈服、流变等力学性能不仅取决于其本身的物质组成,还依赖于其所处的应力水平[3-5]。所以,准确测试、认识工程材料当前的应力状态对正确认识其变形特征和工作状态,进行工程健康诊断和维修加固等工作具有重要意义[6-8]。
目前,物体表面或内部某点的单向应力测试技术比较成熟。常用方法是在受测物体表面某一确定方向上布置直接测试元件或间接测试元件。直接测试元件包括钢筋计、应力计等;间接测试(通过应变算应力)元件包括各类应变片。
一点的空间应力状态包含3个正应力和3个剪应力共6个分量。多数材料的物理力学性质必须在三维条件下研究才更具工程价值和理论意义[9-12]。比如,混凝土在拉扭剪或三向压缩作用下的应力状态研究;岩土在三向轴力作用下的变形特性研究等,均较单向受力更具普遍性,也更为复杂[13-16]。而进行三维应力状态测试,则是开展上述研究的基础性工作。
现有的只测试某一确定方向上主应力的方法至少存在两方面的弊病。一是大主应力方向多数情况下是不明确的,从而直接导致按最大主应力方向布置应力计的方法存在一定的主观性。二是材料的强度、变形、屈服等性质与6个应力分量都有关系而不仅仅依赖于最大正应力。因此,在工程中仅仅谋求测试最大正应力的方法往往是片面的。
基于三维应力状态理论,以电阻应变片为基本元件,设计了一种能测试受力体内部三维应力状态的装置--三维应力计。该测试装置由6个布置在某一四面体6条棱上的单向应力计或电阻应变片组成。根据某一方向上正应力与常规应力状态6个应力分量之间的关系,建立了三维应力计各分量与常规应力分量之间的关系,并进一步导出了由三维应力计计算常规应力状态的方法。
平面应力状态包括2个正应力和1个剪应力,如图 1(a)所示。
平面应力状态的数学表达式为
三维应力状态包含3个正应力和3个剪应力,如图 1(b)所示。其数学表达式为
式中:σxy=σxy,σxz=σzx,σyz=σzy,即3个正应力和3个剪应力共6个分量可以完整刻画一点的应力状态。因此,要想测得一点的应力状态,需要测得6个应力分量,也即需要6个普通应力计。最直观、最简单的一种三维应力计可以设计为图 2所示的结构形式。
在图 2中,OABC-DEFG为正六面体,OACD为其一角。在相互垂直的3个方向OA、OC和OD上可以布置3个应力计a、b和c,在AC、CD和AD方向布置另外3个应力计d、e和f。这6个应力计分布在不同的方向上,因此可以测得该点6个不同方向上的正应力,并进一步可以得到该点基于常规应力状态表示方法的三维应力状态。
另外一种三维应力计的结构形式是基于正四面体的,即在正四面体OABC的六条棱上布置测试元件,如图 3所示。与图 2相比,图 3所示的正四面体结构更为稳定,且6个应力计均处于同等位置。因此,无论从骨架的稳定性方面考虑,还是从现场操作的便利性讲,正四面体应力计更为合理。
图 4为2种应力计的实物照片。为了保证各测试单元之间的相对角度在施工过程中保持稳定,各交叉点处以塑料球铰相联。塑料球铰有一定刚度但强度较低。它的使用即起到了固定各测试单元的作用,又能保证在较高应力状态时自动失去联结作用从而确保各测试单元在不受其他测试单元干扰的情况下独自变形。
如前所述,只要能测得某点6个不同方向上的正应力分量,就可以得到该点的应力状态。因此,像二维应力计可以有多种结构形式一样,三维应力计的结构形式也可以是多种多样的,而不仅仅限于图 2和图 3这2种特殊形式。但是,不难看出,这2种三维应力计最为合理、简单、实用。首先研究一般形式的三维应力计计算方法,再进一步给出图 2和图 3这2种特殊三维应力计的计算方法。
在三维空间中,假设某应力测试元件设置在OA方向,如图 5所示。则OA在x、y、z 3个坐标轴方向上的投影l、m、n分别为
式中:δ为测试元件所在直线与z轴的夹角,φ为该直线在平面xOy上的投影与x轴的夹角,这里将它们通称为方位角。若已知一点的应力状态为σij(式(2)),则OA方向的正应力为
也就是说,给定一点的应力状态,则任意方向上的正应力均可以由式(6)得到。设6个不同方向上的正应力σk为
式中:k=1, 2, 3, 4, 5, 6。进一步,可以将式(7)写成矩阵形式,即
或
式中:j=x, y, z, xy, yz, zx,而
因此
对于图 2所示的直角式布置方案,各应力测试元件的方向余弦如表 1所示。
因此,根据式(10)可以得到
进一步可以得到
类似于直角式三维应力计各测试元件一样,正四面体式三维应力计各测试元件的方位角和方向余弦同样可以得到,其结果如表 2所示。
同样,根据式(10)可以得到
对应的逆阵为
矩阵T存在逆阵的条件是其秩等于6,即
因此,组成三维应力计的6个测试元件,其布置方法不是随意的,而应满足式(16)的限定条件。在构造其他结构形式的三维应力计时,必须核对是否满足这一基本要求。
一般认为,误差包括系统误差和偶然误差两种。由三维应力计的制作过程产生的、对测试结果有稳定影响的误差称为系统误差。在使用过程中,由于偶然因素产生的呈正态规律分布的误差称为偶然误差。系统误差产生的原因主要包括以下几个方面:1) 3个测试元件的轴线难以绝对交汇于一点;2) 6条棱的长度存在误差从而影响测试元件之间的角度;3) 4个塑料球铰的物理力学性能存在必然的差异性;4) 4个塑料球铰与测试元件的联结也必然存在差异等。
设T-1的第j个行向量为rj,即
则根据式(11)可以得到σj的系统误差Δσj为
式中:Δσk为第k个测试元件的系统误差。为了缩小系统误差对三维应力计测试结果的影响,应针对以上引起系统误差的原因进行三维应力计制作过程中的质量控制。另外,三维应力计放置位置和放置角度的准确性,也会引起系统误差。
当然,由三维应力计获得的6个常规应力分量参数与真值之间也会存在偶然误差。若第k个测试元件读数σk的标准差为δk,则第j个待测应力分量σj的标准差δj为
若6个测试元件的标准差均等于δ0,则
因此,要想获得较高精度,应使$ \sum\limits_{k = 1}^6 {r_{jk}^2} $最小。所以,对于图 2所示的布置方式,各待测应力分量的标准差为
对于图 3所示布置方式,各待测应力分量的标准差为
可见,三维应力计的结构布置方式和测试时的放置角度,都会影响测试结果的误差大小。与图 2所示的布置方式和放置方位相比,图 3所示测试方法的误差稍大。当某一测试元件与某一待测方向重合或测试元件对称时,该方向上的应力测试值将逼近于真值,也即偶然误差较小;相反,当某一待测值方向均斜交于各测试元件时,偶然误差最大。
基于三维应力状态理论,设计了一种能测试受力体内部三维应力状态的装置--三维应力计。该测试装置由6个单向测试元件组成,且各测试元件的轴线构成四面体的6条棱。根据某一方向上正应力与常规应力状态表示方法之间的关系,建立了三维应力计各分量与常规应力分量之间的关系,并进一步导出了由三维应力计计算常规应力状态的方法。最后,对该装置产生系统误差和偶然误差的原因进行了分析和计算,并进一步指出了减小误差的路径和方法。