剪切变形对基桩<i>P-Δ</i>效应的影响

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	李微哲

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剪切变形对基桩P-Δ效应的影响

李微哲^1,2, 娄平²

1. 中南大学土木工程学院长沙 410012 ;
2. 中煤科工集团重庆设计研究院有限公司，重庆400016

收稿日期：2016-03-07

作者简介：李微哲(1981-)，男，主要从事桩基础及路基研究,(E-mail)46414461@qq.com。

摘要：给出了小剪切变形下的基桩P-Δ效应和大剪切变形下支座P-Δ效应计算的杆单元刚度矩阵方程。假定杆单元弯曲变形位移函数为三次幂函数，剪切变形函数为线性函数，根据有限元法一般原理，推导了一种同时计入竖向力径向剪切分力剪切变形和水平力剪切变形的P-Δ效应杆单元刚度方程，推导了一种仅计入竖向力径向剪切分力剪切变形而忽略水平力剪切变形的P-Δ效应杆单元刚度方程，推导了一种仅计入水平力剪切变形而忽略竖向力径向剪切分力剪切变形的P-Δ效应杆单元刚度方程。计入水平力剪切变形而忽略竖向力径向剪切分力剪切变形的P-Δ效应杆单元可良好的模拟支座在大剪切变形下的偏心工作特性，能实时计入其偏心弯矩影响，为实时计入支座偏心特性的结构动静力分析提供了理论支撑。最后通过自编MATLAB程序进行算例分析，结果表明，计入支座大剪切变下的P-Δ效应后，基桩内力位移和地基土压力均显著增大。基桩自身剪切变形对桩身内力位移和地基土压力影响较小，可以忽略。

关键词：基桩支座水平力剪切变形竖向力径向剪切分力 P-Δ效应有限杆单元法

P-Δ effect analysis of pile and bearing with shear deformation

Li Weizhe^1,2, Lou Ping²

1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410000,P.R. China;
2. China Coal Technology & Engineering Group, Chongqing Design & Research Institute Co. Ltd. Chongqing 400016,P.R. China

Received: 2016-03-07

Author brief: Li Weizhe(1981-),main research interests: pile foundation and subgrade engineering, (E-mail)46414461@qq.com.

Abstract: Finite pole element method is presented for P-Δ effect analysis of pile and bearing while shear deformation is well considered. It is assumed that horizontal displacement of the pole element has a longitudinally cubic power function and the shear displacement has a longitudinally linear function, the P-Δ effect pole element rigid equation considering the shear deformation produced by lateral load and the radial component of vertical load, is derived. The P-Δ effect pole element rigid equation considering the shear deformation only produced by lateral load is derived in the paper. The P-Δ effect pole element rigid equation considering the shear deformation only produced by the radial component of vertical load, is derived in the paper. And the P-Δ effect pole element considering the shear deformation only produced by lateral load can simulate the bearing working eccentrically well in real-time. Matlab process of finite pole element method for P-Δ effect analysis of pile and bearing is edited, and case analysis is done, and the theory and the method is proved good. Finally conclusions are drawn as follows:(i) the P-Δ effect analysis result of pile will increase obviously while the eccentric bending moment of the bearing is well considered; (ii) the deformation has little effect on the P-Δ effect analysis result of the pile and bearing.

Key Words: pile bearing lateral shear deformation radial component of vertical load P-Δ effect finite pole element method

倾斜荷载下的基桩，不仅水平力产生剪切变形，竖向力因转角产生径向剪切分力也将产生剪切变形。桩顶支座大剪切变形下的P-Δ效应极显著，不容忽略。目前，计入剪切变形的基桩P-Δ效应计算的有杆单元法尚似未见报道。而弹簧、刚臂或等效偏心弯矩均难实时模拟支座大剪切变形下的P-Δ效应。因此研究计入小剪切变形下的基桩P-Δ效应和大剪切变形下支座P-Δ效应计算方法具有实际意义。

目前基桩P-Δ效应计算分析方法较多，可分为解析解法和有限元法两大类。线弹性土中基桩P-Δ效应静力计算解析解，主要有m法假定的幂级数解^[1]，C法(张氏法)假定的解析解^[2-3]，以及 (mz+C)法假定的幂级数解^[4]。随后栾鲁宝等^[5]给出了粘弹性土中考虑P-Δ效应时基桩水平振动的解析解答。赵明华等^[6]提出应用有限元-有限层法进行基桩P-Δ效应计算。在有限杆元法中，通过附加几何刚度矩阵来考虑P-Δ效应。常用的杆单元几何刚度矩阵为线性近似的几何刚度矩阵或一致几何刚度矩阵。但因假定和推导过程差异，几何刚度矩阵形式较多。王用中等^[7]、赵明华等^{[8, 10]}、夏拥军等^[9]均给出了不同形式的P-Δ效应杆单元刚度矩阵方程。梁仁杰等^[11]提出用白噪声扫描的手段，结合数值计算的方法，求解结构考虑 P-Δ 效应时的模态参数，并研究了P-Δ 效应对结构动力特性影响。李刚等^[12]应用有限杆单元法对结构P-Δ效应动力分析，认为P-Δ效应将降低结构抗震能力。耿江玮等^[13]对考虑材料非线性和P-Δ效应的非规则连续梁桥进行地震反应分析，魏标等^[14]重点研究了支座布置对不等高墩非规则连续梁桥地震响应的影响，张志俊等^[15]进行了弹性支座对桥梁车致振动的隔振效果研究，以上学者均用弹簧或弹簧阻尼单元模拟桥梁支座，忽略了支座的偏心弯矩效应。马长飞等^[16]、刘彦辉等^[17]通过构造水平力偶代替支座偏心弯矩，应用有限杆单元法对上下部结构和隔震支座进行了地震反应分析，虽考了了支座偏心弯矩效应，但求解较复杂，通用性不足。孟凡涛等^[18]综合考虑剪切变形和梁柱节点连接半刚性影响的基础上，给出了框架柱的抗侧移刚度公式，认为剪切变形对框架结构的 P-Δ 效应影响显著，已超出工程上可接受的 5%的误差范围。

本文将假定杆单元剪切变形和弯曲变形的位移模式，推导小剪切变形下的P-Δ效应杆单元刚度方程，用以计算桩身剪切变形影响；推导大剪切变形下的P-Δ效应的杆单元刚度方程，用以计算支座大剪切变形下的P-Δ效应。

1 计入剪切变形的P-Δ效应杆单元

为推导计入了剪切变形和P-Δ效应的杆单元刚度方程，假定弯曲变形产生的水平位移为三次幂函数，剪切变形产生的水平位移为线性函数。

1.1 P-Δ效应杆单元受力平衡微分方程

假定P-Δ效应杆单元为弹性体，单元受力如图 1所示。

图 1 杆单元受力分析示意图 Fig. 1 mechanics analysis of P-Δ effect element

假定单元节点的弯矩逆时针方向为正，顺时针方向为负；节点剪力、轴力方向与坐标轴方向相为正。则根据材料力学原理, 单元节点i、j的弯矩与节点位移关系如下：

$\left\{ \begin{align} & {{M}_{i}}=-EI\frac{{{d}^{2}}{{v}_{i}}}{d{{z}^{2}}} \\ & {{M}_{j}}=EI\frac{{{d}^{2}}{{v}_{j}}}{d{{z}^{2}}} \\ \end{align} \right.$

(1)

式中:M_i、v_i、M_j、v_j分别为节点i的弯矩、位移和节点j的弯矩和位移;z为单元长度方向坐标;E为计算弹性模量。

对节点i进行平衡弯矩分析，其弯矩平衡方程为

$({{M}_{i}}+{{M}_{j}})+{{F}_{Qj}}({{z}_{j}}-{{z}_{i}})-{{F}_{Nj}}({{v}_{j}}-{{v}_{i}})=0$

(2)

对节点j进行平衡弯矩分析，其弯矩平衡方程为

$({{M}_{i}}+{{M}_{j}})-{{F}_{Qi}}({{z}_{j}}-{{z}_{i}})+{{F}_{Ni}}({{v}_{j}}-{{v}_{i}})=0$

(3)

将式(1) 代入式(2) 得

$\begin{array}{*{35}{l}} EI\frac{{{d}^{2}}{{v}_{j}}}{d{{z}^{2}}}-EI\frac{{{d}^{2}}{{v}_{i}}}{d{{z}^{2}}}+{{F}_{Qj}}({{z}_{j}}-{{z}_{i}})- \\ {{F}_{Nj}}\left( {{v}_{j}}-{{v}_{i}} \right)=0~ \\ \end{array}$

(4)

将式(1) 代入式(3) 得

$\begin{align} & EI\frac{{{d}^{2}}{{v}_{j}}}{d{{z}^{2}}}-EI\frac{{{d}^{2}}{{v}_{j}}}{d{{z}^{2}}}-{{F}_{Qi}}\left( {{z}_{j}}-{{z}_{i}} \right)+ \\ & {{F}_{Ni}}\left( {{v}_{j}}-{{v}_{i}} \right)=0\text{ } \\ \end{align}$

(5)

设： $dM\text{ }=\text{ }EI\frac{{{d}^{2}}{{v}_{j}}}{d{{z}^{2}}}-EI\frac{{{d}^{2}}{{v}_{j}}}{d{{z}^{2}}},~dz\text{ }=\text{ }{{z}_{j~}}-{{z}_{i~}},~dv=\text{ }{{v}_{j}}-{{v}_{i}}$ ，则式(3) 可写成

$\frac{dM}{dz}-{{F}_{Nj}}\frac{dv}{dz}+{{F}_{Qj}}=0$

(6)

$\frac{dM}{dz}+{{F}_{Ni}}\frac{dv}{dz}-{{F}_{Qi}}=0$

(7)

1.2 剪切变形和弯曲变形位移模式

假定考虑剪切变形的杆单元水平位移模式为

$v=vb+{{v}_{s}}$

(8)

$vb\left( z \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}z+{{a}_{2}}{{z}^{2}}+{{a}_{3}}{{z}^{3}}$

(9)

$vs=vsL+vsV={{a}_{4}}+{{a}_{5}}z$

(10)

式中:v为单元总水平位移; v_b弯曲变形引起的水平位移;v_s为剪切变形引起的水平位移;v_sL为水平力剪切变形产生的水平位移;v_sV为竖向力径向剪切分力剪切变形产生的水平位移。

则仅考虑弯曲变形时，单元i节点(Z=0) 和单元j节点(z=l)的水平位移和转角如下：

$\left\{ \begin{align} & vb~\left( 0 \right)\text{ }=\text{ }vib~=\text{ }{{a}_{0}} \\ & v{{\prime }_{b~}}\left( 0 \right)\text{ }=\text{ }\varpi ib~=\text{ }{{a}_{1}} \\ & vb~\left( l \right)\text{ }=\text{ }vjb~=\text{ }{{a}_{0~}}+\text{ }{{a}_{1~}}l\text{ }+\text{ }{{a}_{2~}}{{l}^{2}}~+\text{ }{{a}_{3~}}{{l}^{3}} \\ & v\prime b~\left( l \right)\text{ }=\text{ }\varpi jb~=\text{ }{{a}_{1~}}+\text{ }2{{a}_{2~}}l\text{ }+\text{ }3{{a}_{3~}}{{l}^{2}} \\ \end{align} \right.$

(11)

式中:l为单元长度;a₀、a₁、a₂、a₃为待定系数;v_ib、v_jb、φ_ib、φ_jb为仅考虑弯曲变形时单元节点i和j的水平位移和转角。

根据式(11) ，可将a₀、a₁、a₂、a₃待定系数表达成v_ib、φ_ib、v_jb、φ_jb的表达式为

$\left. \begin{align} & {{a}_{0}}={{v}_{ib}} \\ & {{a}_{1}}={{\varphi }_{ib}} \\ & {{a}_{2}}=-\frac{3}{{{l}^{2}}}{{v}_{jb}}-\frac{2}{l}{{\varphi }_{jb}}+\frac{3}{{{l}^{2}}}{{v}_{jb}}-\frac{1}{l}{{\varphi }_{jb}} \\ & {{a}_{3}}=\frac{3}{{{l}^{2}}}{{v}_{jb}}+\frac{1}{{{l}^{2}}}{{\varphi }_{ib}}-\frac{2}{{{l}^{3}}}{{v}_{jb}}+\frac{1}{{{l}^{2}}}{{\varphi }_{jb}} \\ \end{align} \right\}$

(12)

将式(12) 代入式(9) , 可得单元弯曲变形水平位移函数为

$\left. \begin{align} & {{v}_{b}}\left( z \right)=\left[ {{N}_{1}},\text{ }{{N}_{2}},\text{ }{{N}_{3}},\text{ }{{N}_{4}} \right]{{\{{{v}_{ib}},\text{ }{{\varphi }_{ib}},\text{ }{{v}_{jb}},\text{ }{{\varphi }_{jb}}\}}^{T}}~ \\ & \begin{array}{*{35}{l}} {{N}_{1}}=\frac{1}{{{l}^{3}}}\left( 2{{z}^{3}}-3{{z}^{2}}l+{{l}^{3}} \right), \\ {{N}_{2}}=\frac{1}{{{l}^{3}}}\left( {{z}^{3}}l-2{{z}^{2}}{{l}^{2}}+z{{l}^{3}} \right) \\ {{N}_{3}}=1{{l}^{3}}\left( -2{{z}^{3}}+3{{z}^{2}}l \right), \\ {{N}_{4}}=\frac{1}{{{l}^{3}}}\left( {{z}^{3}}l-{{z}^{2}}{{l}^{2}} \right) \\ \end{array} \\ \end{align} \right\}$

(13)

则仅考虑剪切变形时，单元i节点(Z=0) 和单元j节点(z=l)的水平位移和转角为

$~\left. \begin{align} & {{v}_{s}}~\left( 0 \right)\text{ }=\text{ }{{v}_{is~}}=\text{ }{{a}_{4}} \\ & v\prime s~\left( 0 \right)\text{ }=\text{ }{{{\bar{\omega }}}_{is}}~=\text{ }{{a}_{5}} \\ & {{v}_{s~}}\left( l \right)\text{ }=\text{ }{{v}_{js}}~=\text{ }{{a}_{4~}}+\text{ }{{a}_{5~}}l \\ & v\prime s~\left( l \right)\text{ }=\text{ }{{{\bar{\omega }}}_{js}}~=\text{ }{{a}_{5~}} \\ \end{align} \right\}$

(14)

将式(14) 代入式(10) , 则单元剪切变形水平位移函数为

$\left. \begin{matrix} {{v}_{s}}\left( z \right)=\left[ {{N}_{5}},{{N}_{6}} \right]{{\left\{ {{v}_{is}},{{v}_{js}} \right\}}^{\text{T}}} \\ {{N}_{5}}=1-\frac{z}{l},{{N}_{6}}=\frac{z}{l} \\ \end{matrix} \right\}$

(15)

依材料力学和图 1假定，水平剪力、竖向力径向剪切分力产生的剪切变形计算为

$\begin{array}{*{35}{l}} {{\varphi }_{is}}={{\varphi }_{js}}=\frac{{{v}_{js}}-{{v}_{is}}}{l}= \\ -\frac{k\left( {{F}_{Qi}}+{{v}_{i}}-{{v}_{j}}l{{F}_{Ni}} \right)}{GA}=\frac{k\left( {{F}_{Qj}}+{{v}_{i}}-{{v}_{j}}l{{F}_{Nj}} \right)}{GA} \\ \end{array}$

(16)

${{\varphi }_{isL}}={{\varphi }_{jsL}}=\frac{{{v}_{jsL}}-{{v}_{isL}}}{l}=-\frac{k{{F}_{Qi}}}{GA}=\frac{k{{F}_{Qj}}}{GA}$

(17)

$\begin{array}{*{35}{l}} {{\varphi }_{isV}}=\frac{{{\varphi }_{jsV}}={{v}_{jsV}}-{{v}_{isV}}}{l}= \\ -\frac{k{{F}_{Ni}}{{v}_{i}}-{{v}_{j}}l}{GA}=\frac{k{{F}_{Nj}}{{v}_{i}}-{{v}_{j}}l}{GA} \\ \end{array}$

(18)

式中:F_Q为单元剪力;k为形状剪切系数，对矩形截面取1.2，对圆形截面取10/9，G为计算剪切模量;v_isL、v_jsL、φ_isL、φ_jsL分别为水平力剪切变形在单元i、j节点产生的水平位移和转角;v_isV、v_jsV、φ_isV、φ_jsV分别为竖向力径向剪切分力剪切变形在单元i、j节点产生的水平位移和转角。

1.3 单元刚度矩阵方程

因剪切变形引起的转角在节点不连续，则

$\left\{ \begin{align} & {{\varphi }_{i}}\ne {{\varphi }_{ib}}+{{\varphi }_{is}} \\ & \begin{array}{*{35}{l}} {{\varphi }_{j}}\ne {{\varphi }_{jb}}+{{\varphi }_{js}} \\ {{v}_{jb}}-{{v}_{ib}}=l\frac{\left( {{\varphi }_{ib}}+{{\varphi }_{jb}} \right)}{2}\text{ } \\ \end{array} \\ \end{align} \right.$

(19)

根据式(5) 、式(8) 和式(10) 可得

$EI\frac{{{d}^{3}}{{v}_{ib}}}{d{{z}^{3}}}=EI\frac{{{d}^{3}}{{v}_{ib}}}{d{{z}^{3}}}$

(20)

则联合式(1) 、(4) 和式(13) ，可得单元剪力为

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{F}_{Qi}}=\frac{d{{M}_{i}}}{dz}+{{F}_{Ni}}\frac{d{{v}_{i}}}{dz}=EI\frac{{{d}^{3}}{{v}_{ib}}}{d{{z}^{3}}}+{{F}_{Ni}}\frac{d{{v}_{i}}}{dz} \\ {{F}_{Qj}}=-\frac{d{{M}_{i}}}{dz}+{{F}_{Nj}}\frac{d{{v}_{i}}}{dz}=-EI\frac{{{d}^{3}}{{v}_{ib}}}{d{{z}^{3}}}+{{F}_{Nj}}\frac{d{{v}_{i}}}{dz}~ \\ \end{array} \right.$

(21)

或

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{F}_{Qi}}=\frac{d{{M}_{i}}}{dz}+{{F}_{Ni}}\frac{d{{v}_{i}}}{dz}=EI\frac{{{d}^{3}}{{v}_{ib}}}{d{{z}^{3}}}+{{F}_{Ni}}{{v}_{j}}-{{v}_{i}}l \\ {{F}_{Qj}}=-\frac{d{{M}_{i}}}{dz}-{{F}_{Nj}}\frac{d{{v}_{i}}}{dz}=-EI\frac{{{d}^{3}}{{v}_{ib}}}{d{{z}^{3}}}+{{F}_{Nj}}{{v}_{j}}-{{v}_{i}}l~ \\ \end{array} \right.$

(22)

将式(13) 代入式(22) 可得单元节点剪力为

$\begin{array}{*{35}{l}} {{F}_{Qi}}=EI\left[ \frac{12}{{{l}^{3}}},\text{ }\frac{6}{{{l}^{2}}},\text{ }\frac{-12}{{{l}^{3}}},\text{ }\frac{6}{{{l}^{2}}} \right]{{\left\{ {{v}_{ib}},\text{ }{{\varphi }_{ib}},\text{ }{{v}_{jb}},\text{ }{{\varphi }_{jb}} \right\}}^{T}}+ \\ {{F}_{Ni}}\frac{\left( {{v}_{j}}-{{v}_{i}} \right)}{l} \\ \end{array}$

(23)

(24)

将式(13) 、(19) 代入式(1) 可得单元节点弯矩为

$\begin{array}{*{35}{l}} {{M}_{i}}=-EI\frac{{{d}^{2}}{{v}_{ib}}}{d{{z}^{2}}}= \\ EI\left[ \frac{6}{{{l}^{2}}},\text{ }\frac{4}{l},\text{ }\frac{-6}{{{l}^{2}}},\text{ }\frac{2}{l} \right]{{\left\{ {{v}_{ib}},\text{ }{{\varphi }_{ib}},\text{ }{{v}_{jb}},\text{ }{{\varphi }_{jb}} \right\}}^{T}} \\ \end{array}$

(25)

$\begin{array}{*{35}{l}} {{M}_{i}}=-EI\frac{{{d}^{2}}{{v}_{ib}}}{d{{z}^{2}}}= \\ EI\left[ \frac{6}{{{l}^{2}}},\text{ }\frac{2}{l},\text{ }\frac{-6}{{{l}^{2}}},\text{ }\frac{4}{l} \right]{{\left\{ {{v}_{ib}},\text{ }{{\varphi }_{ib}},\text{ }{{v}_{jb}},\text{ }{{\varphi }_{jb}} \right\}}^{T}} \\ \end{array}$

(26)

将式(16) 代入式(23) 可得计入剪切变形后单元节点位移关系为

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} GA\frac{({{v}_{is}}-{{v}_{js}})}{kl}-\frac{{{v}_{i}}-{{v}_{j}}}{l}{{F}_{Ni}}= \\ \frac{12EI}{{{l}^{3}}}\left( {{v}_{ib}}-{{v}_{jb}} \right)+\frac{6EI}{{{l}^{2}}}\left( {{\varphi }_{ib}}+{{\varphi }_{jb}} \right)-{{F}_{Ni}}\frac{\left( {{v}_{i}}-{{v}_{j}} \right)}{l} \\ {{v}_{i}}-{{v}_{j}}=\left( {{v}_{ib}}-{{v}_{jb}} \right)+\left( {{v}_{is}}-{{v}_{js}} \right)\text{ } \\ \end{array} \right.$

(27)

或

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{v}_{ib}}-{{v}_{jb}}=\frac{{{v}_{i}}-{{v}_{j}}}{1+b}-\frac{bl}{2\left( 1+b \right)}\left( {{\varphi }_{ib}}+{{\varphi }_{jb}} \right) \\ b=\frac{12kEI}{{{l}^{2}}GA} \\ \end{array} \right.$

(28)

将式(17) 代入式(23) 可得仅计入水平力剪切变形而忽略竖向力径向剪切分力剪切变形时的单元节点位移关系如下：

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{v}_{ib}}-{{v}_{jb}}={{v}_{i}}-{{v}_{j}}-\frac{kl{{F}_{Qi}}}{GA} \\ {{v}_{i}}-{{v}_{j}}=\left( {{v}_{ib}}-{{v}_{jb}} \right)+\left( {{v}_{isL}}-{{v}_{jsL}} \right) \\ \end{array} \right.$

(29)

由式(18) 可得仅计入竖向力径向剪切分力剪切变形而忽略水平力剪切变形时的单元节点位移关系如下：

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{v}_{isV}}-{{v}_{jsV}}=\frac{k{{F}_{Ni}}}{GA}({{v}_{i}}-{{v}_{j}}) \\ {{v}_{i}}-{{v}_{j}}=\left( {{v}_{ib}}-{{v}_{jb}} \right)+\left( {{v}_{isV}}-{{v}_{jsV}} \right)\text{ } \\ \end{array} \right.$

(30)

将式(27) 代入式(23) 可得同时计入水平力剪切变形和竖向力径向剪切分力剪切变形时，单元节点剪力、弯矩与节点总水平位移、弯曲变形引起的转角之间关系为

$\begin{array}{*{35}{l}} {{F}_{Qi}}=\left[ \frac{12EI}{{{l}^{3}}\left( 1+b \right)}-\frac{{{F}_{Ni}}}{l} \right]({{v}_{i}}-{{v}_{j}})+ \\ \frac{6EI}{{{l}^{2}}\left( 1+b \right)}\left( {{\varphi }_{ib}}+{{\varphi }_{jb}} \right) \\ \end{array}$

(31)

$\begin{array}{*{35}{l}} {{F}_{Qj}}=-\left[ \frac{12EI}{{{l}^{3}}\left( 1+b \right)}-\frac{{{F}_{Ni}}}{l} \right]\left( {{v}_{i}}-{{v}_{j}} \right)- \\ \frac{6EI}{{{l}^{2}}\left( 1+b \right)}\left( {{\varphi }_{ib}}+{{\varphi }_{jb}} \right)\text{ } \\ \end{array}$

(32)

$\begin{array}{*{35}{l}} {{M}_{i}}=\frac{6EI}{{{l}^{2}}\left( 1+b \right)}\left( {{v}_{i}}-{{v}_{j}} \right)+ \\ \frac{EI\left( 4+b \right)}{l\left( 1+b \right)}{{\varphi }_{ib}}+\frac{EI\left( 2-b \right)}{l\left( 1+b \right)}{{\varphi }_{jb}} \\ \end{array}$

(33)

$\begin{array}{*{35}{l}} {{M}_{j}}=\frac{6EI}{{{l}^{2}}\left( 1+b \right)}\left( {{v}_{i}}-{{v}_{j}} \right)+ \\ \frac{EI\left( 2-b \right)}{l\left( 1+b \right)}{{\varphi }_{ib}}+\frac{EI\left( 4+b \right)}{l\left( 1+b \right)}{{\varphi }_{jb}} \\ \end{array}$

(34)

整理式(31) -式(34) 可得考虑水平力剪切变形、竖向力切向剪切变形时P-Δ效应杆单元刚度矩阵方程为

$\left. \begin{align} & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{F}^{e}}_{Qi} \\ {{M}_{i}}^{e} \\ {{F}^{e}}_{Qj} \\ {{M}_{j}}^{e} \\ \end{array} \right\}=\frac{1}{1+b}\left[ \begin{matrix} \frac{12EI}{{{l}^{3}}}-\frac{{{F}_{N}}}{l}\left( 1+b \right) & \frac{6EI}{{{l}^{2}}} & -\frac{12EI}{{{l}^{3}}}+\frac{{{F}_{N}}}{l}\left( 1+b \right) & \frac{6EI}{{{l}^{2}}} \\ \frac{6EI}{{{l}^{2}}} & \frac{\left( 4+b \right)EI}{l} & -\frac{6EI}{{{l}^{2}}} & \frac{\left( 2-b \right)EI}{l} \\ -\frac{12EI}{{{l}^{3}}}+\frac{{{F}_{N}}}{l}\left( 1+b \right) & -\frac{6EI}{{{l}^{2}}} & \frac{12EI}{{{l}^{3}}}-\frac{{{F}_{N}}}{l}\left( 1+b \right) & -\frac{6EI}{{{l}^{2}}} \\ \frac{6EI}{{{l}^{2}}}+ & \frac{\left( 2-b \right)EI}{l} & -\frac{6EI}{{{l}^{2}}} & \frac{\left( 4+b \right)EI}{l} \\ \end{matrix} \right]\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{\varphi }_{ib}} \\ {{v}_{j}} \\ {{\varphi }_{jb}} \\ {{F}^{e}}_{Ni} \\ \end{array} \right\} \\ & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{F}^{e}}_{Ni} \\ {{F}^{e}}_{Nj} \\ \end{array} \right\}=\left[ \begin{matrix} \frac{EA}{l} & -\frac{EA}{l} \\ -\frac{EA}{l} & \frac{EA}{l} \\ \end{matrix} \right]\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{i}} \\ {{u}_{j}} \\ \end{array} \right\} \\ \end{align} \right\}$

(35)

式中:F_Ni^e、F_Qi^e、M_i^e 、F_Nj^e、F_Qj^e 、M_j^e为单元节点内力；F_N为单元内力，计算时可取节点i的轴力；v_i、v_j、φ_ib、φ_jb意义同前。

将式(29) 代入式(23) 可得仅计入水平力剪切变形而忽略竖向力径向剪切分力剪切变形时，P-Δ效应杆单元刚度矩阵方程式(36) 。

$\left. \matrix{ \left\{ {\matrix{ {{F^e}_{Qi}} \hfill \cr {{M_i}^e} \hfill \cr {{F^e}_{Qj}} \hfill \cr {{M_j}^e} \hfill \cr } } \right\} = {1 \over {1 + b}}\left[ {\matrix{ {{{12EI} \over {{l^3}}} - {{{F_N}} \over l}} & {{{6EI} \over {{l^2}}}} & { - {{12EI} \over {{l^3}}} + {{{F_N}} \over l}} & {{{6EI} \over {{l^2}}}} \cr {{{6EI} \over {{l^2}}} + {{b{F_N}} \over 2}} & {{{\left( {4 + b} \right)EI} \over l}} & { - {{6EI} \over {{l^2}}} - {{b{F_N}} \over 2}} & {{{\left( {2 - b} \right)EI} \over l}} \cr { - {{12EI} \over {{l^3}}} + {{{F_N}} \over l}\left( {1 + b} \right)} & { - {{6EI} \over {{l^2}}}} & {{{12EI} \over {{l^3}}} - {{{F_N}} \over l}} & { - {{6EI} \over {{l^2}}}} \cr {{{6EI} \over {{l^2}}} + {{b{F_N}} \over 2}} & {{{\left( {2 - b} \right)EI} \over l}} & { - {{6EI} \over {{l^2}}} - {{b{F_N}} \over 2}} & {{{\left( {4 + b} \right)EI} \over l}} \cr } } \right]\left\{ {\matrix{ {{v_i}} \hfill \cr {{\varphi _{ib}}} \hfill \cr {{v_j}} \hfill \cr {{\varphi _{jb}}} \hfill \cr } } \right\} \hfill \cr \left\{ {\matrix{ {{F^e}_{Ni}} \hfill \cr {{F^e}_{Nj}} \hfill \cr } } \right\} = \left[ {\matrix{ {{{EA} \over l}} & { - {{EA} \over l}} \cr { - {{EA} \over l}} & {{{EA} \over l}} \cr } } \right]\left\{ {\matrix{ {{u_i}} \hfill \cr {{u_j}} \hfill \cr } } \right\} \hfill \cr} \right\}$

(36)

将式(30) 代入式(23) 可得仅计入竖向力径向剪切分力剪切变形而忽略水平力剪切变形时，P-Δ效应杆单元刚度矩阵方程式(37) 。

$\eqalign{ & \left. \matrix{ \left\{ {\matrix{ {{F^e}_{Qi}} \hfill \cr {{M_i}^e} \hfill \cr {{F^e}_{Qj}} \hfill \cr {{M_j}^e} \hfill \cr } } \right\} = \left[ {\matrix{ {{{12EI} \over {{l^3}}} - {{{F_N}} \over l}(1 + b)} & {{{6EI} \over {{l^2}}}} & { - {{12EI} \over {{l^3}}} + {{{F_N}} \over l}(1 + b)} & {{{6EI} \over {{l^2}}}} \cr {{{6EI} \over {{l^2}}} + {{b{F_N}} \over 2}} & {{{\left( {4 + b} \right)EI} \over l}} & { - {{6EI} \over {{l^2}}} - {{b{F_N}} \over 2}} & {{{EI} \over l}} \cr { - {{12EI} \over {{l^3}}} + {{{F_N}} \over l}\left( {1 + b} \right)} & { - {{6EI} \over {{l^2}}}} & {{{12EI} \over {{l^3}}} - {{{F_N}} \over l}(1 + b)} & { - {{6EI} \over {{l^2}}}} \cr {{{6EI} \over {{l^2}}} + {{b{F_N}} \over 2}} & {{{EI} \over l}} & { - {{6EI} \over {{l^2}}} - {{b{F_N}} \over 2}} & {{{EI} \over l}} \cr } } \right]\left\{ {\matrix{ {{v_i}} \hfill \cr {{\varphi _{ib}}} \hfill \cr {{v_j}} \hfill \cr {{\varphi _{jb}}} \hfill \cr } } \right\} \hfill \cr \left\{ {\matrix{ {{F^e}_{Ni}} \hfill \cr {{F^e}_{Nj}} \hfill \cr } } \right\} = \left[ {\matrix{ {{{EA} \over l}} & { - {{EA} \over l}} \cr { - {{EA} \over l}} & {{{EA} \over l}} \cr } } \right]\left\{ {\matrix{ {{u_i}} \hfill \cr {{u_j}} \hfill \cr } } \right\} \hfill \cr} \right\} \cr & \cr}$

(37)

如将剪切刚度视为无穷大，则b=0，则可将式(35) ~(37) 简化为不考虑剪切变形但考虑P-Δ效应的单元刚度矩阵方程如式(38) 。可见，式(38) 中的单元刚度矩阵即为梁单元刚度矩阵和几何刚度矩阵之和。

$\eqalign{ & \left. \matrix{ \left\{ {\matrix{ {{F^e}_{Qi}} \hfill \cr {{M_i}^e} \hfill \cr {{F^e}_{Qj}} \hfill \cr {{M_j}^e} \hfill \cr } } \right\} = \left[ {\matrix{ {{{12EI} \over {{l^3}}} - {{{F_N}} \over l}} & {{{6EI} \over {{l^2}}}} & { - {{12EI} \over {{l^3}}} - {{{F_N}} \over l}} & {{{6EI} \over {{l^2}}}} \cr {{{6EI} \over {{l^2}}}} & {{{EI} \over l}} & { - {{6EI} \over {{l^2}}}} & {{{2EI} \over l}} \cr { - {{12EI} \over {{l^3}}} - {{{F_N}} \over l}} & { - {{6EI} \over {{l^2}}}} & {{{12EI} \over {{l^3}}} - {{{F_N}} \over l}} & { - {{6EI} \over {{l^2}}}} \cr {{{6EI} \over {{l^2}}}} & {{{2EI} \over l}} & { - {{6EI} \over {{l^2}}}} & {{{EI} \over l}} \cr } } \right]\left\{ {\matrix{ {{v_i}} \hfill \cr {{\varphi _{ib}}} \hfill \cr {{v_j}} \hfill \cr {{\varphi _{jb}}} \hfill \cr } } \right\} \hfill \cr \left\{ {\matrix{ {{F^e}_{Ni}} \hfill \cr {{F^e}_{Nj}} \hfill \cr } } \right\} = \left[ {\matrix{ {{{EA} \over l}} & { - {{EA} \over l}} \cr { - {{EA} \over l}} & {{{EA} \over l}} \cr } } \right]\left\{ {\matrix{ {{u_i}} \hfill \cr {{u_j}} \hfill \cr } } \right\} \hfill \cr} \right\} \cr & \cr}$

(38)

1.4 P-Δ效应单刚矩阵中F_N变量求解

忽略P-Δ效应和剪切变形影响的一般杆单元刚度方程式(39) 。

$\left\{ {\matrix{ {{F^e}_{Ni}} \hfill \cr {{F^e}_{Qi}} \hfill \cr {{M_j}^e} \hfill \cr {{F^e}_{Nj}} \hfill \cr {{F^e}_{Qj}} \hfill \cr {{M_j}^e} \hfill \cr } } \right\} = \left[ {\matrix{ {{{EA} \over l}} \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill & { - {{EA} \over l}} \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill \cr 0 \hfill & {{{12EI} \over {{l^3}}}} \hfill & {{{6EI} \over {{l^2}}}} \hfill & 0 \hfill & { - {{12EI} \over {{l^3}}}} \hfill & {{{6EI} \over {{l^2}}}} \hfill \cr 0 \hfill & {{{6EI} \over {{l^2}}}} \hfill & {{{4EA} \over l}} \hfill & 0 \hfill & { - {{6EA} \over l}} \hfill & {{{2EI} \over {{l^2}}}} \hfill \cr { - {{EA} \over l}} \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill & {{{EA} \over l}} \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill \cr 0 \hfill & {{{12EI} \over {{l^3}}}} \hfill & { - {{6EI} \over {{l^2}}}} \hfill & 0 \hfill & {{{12EI} \over {{l^3}}}} \hfill & { - {{6EI} \over {{l^2}}}} \hfill \cr 0 \hfill & {{{6EI} \over {{l^2}}}} \hfill & {{{2EI} \over {{l^2}}}} \hfill & 0 \hfill & { - {{6EI} \over {{l^2}}}} \hfill & {{{4EI} \over {{l^2}}}} \hfill \cr } } \right]\left\{ {\matrix{ {{u_i}} \hfill \cr {{v_i}} \hfill \cr {{\varphi _i}} \hfill \cr {{u_j}} \hfill \cr {{v_j}} \hfill \cr {{\varphi _j}} \hfill \cr } } \right\}$

(39)

按忽略P-Δ效应的一般杆系有限元分析，即求解得各单元节点的轴力F_N(受压为负)，实际计算分析时可取min(F_Ni，F_Nj)作为P-Δ效应杆单元刚度矩阵的变量F_N。

1.5 考虑剪切变形时单元节点转角的计算

由式(35) 、式(36) 、式(37) 可知，考虑剪切变形的P-Δ效应杆单元刚度矩阵方程中，节点转角仅考虑了弯曲变形，并未计入剪切变形的影响。同时考虑剪切变形和弯曲变形的节点转角计算式为

${{\varphi }_{i}}=\frac{0.5({{v}_{i+1}}-{{v}_{i-1}})}{l}$

(40)

${{\varphi }_{i}}=\frac{({{v}_{i+1}}-{{v}_{i-1}})}{l}$

(41)

式中：φ_i为节点i转角；v_i-1v_i、v_i+1分别为i-1节点、i节点和i+1节点的位移，式(40) 应用于一般节点，式(41) 或式(42) 适用于端节点。

1.6. 单元内力求解

在小变形情况下，当已知节点位移时，可按式(35) ~(37) 计算单元节点内力时，剪力结果未计入竖向力径向剪切分力结果。如需在小变形情况下计入竖向力径向剪切分力影响，在计入剪切变形影响、仅计入水平力剪切变形影响、仅计入竖向力径向剪切分力剪切变形影响时应分别按式(26) 、 (27) 、(28) 计算单元节点内力。

$\left. \matrix{ \left\{ {\matrix{ {{F^e}_{Qi}} \hfill \cr {{M_i}^e} \hfill \cr {{F^e}_{Qj}} \hfill \cr {{M_j}^e} \hfill \cr } } \right\} = {1 \over {1 + b}}\left[ {\matrix{ {{{12EI} \over {{l^3}}}} & {{{6EI} \over {{l^2}}}} & { - {{12EI} \over {{l^3}}}} & {{{6EI} \over {{l^2}}}} \cr {{{6EI} \over {{l^2}}}} & {{{\left( {4 + b} \right)EI} \over l}} & { - {{6EI} \over {{l^2}}}} & {{{\left( {2 - b} \right)EI} \over l}} \cr { - {{12EI} \over {{l^3}}}} & { - {{6EI} \over {{l^2}}}} & {{{12EI} \over {{l^3}}}} & { - {{6EI} \over {{l^2}}}} \cr {{{6EI} \over {{l^2}}} + } & {{{\left( {2 - b} \right)EI} \over l}} & { - {{6EI} \over {{l^2}}}} & {{{\left( {4 + b} \right)EI} \over l}} \cr } } \right]\left\{ {\matrix{ {{\varphi _{ib}}} \hfill \cr {{v_j}} \hfill \cr {{\varphi _{jb}}} \hfill \cr {{F^e}_{Ni}} \hfill \cr } } \right\} \hfill \cr \left\{ {\matrix{ {{F^e}_{Ni}} \hfill \cr {{F^e}_{Nj}} \hfill \cr } } \right\} = \left[ {\matrix{ {{{EA} \over l}} & { - {{EA} \over l}} \cr { - {{EA} \over l}} & {{{EA} \over l}} \cr } } \right]\left\{ {\matrix{ {{u_i}} \hfill \cr {{u_j}} \hfill \cr } } \right\} \hfill \cr} \right\}$

(43)

$\left. \matrix{ \left\{ {\matrix{ {{F^e}_{Qi}} \hfill \cr {{M_i}^e} \hfill \cr {{F^e}_{Qj}} \hfill \cr {{M_j}^e} \hfill \cr } } \right\} = \left[ {\matrix{ {{{12EI} \over {{l^3}}} - {{b{F_N}} \over l}} & {{{6EI} \over {{l^2}}}} & { - {{12EI} \over {{l^3}}} - {{b{F_N}} \over l}} & {{{6EI} \over {{l^2}}}} \cr {{{6EI} \over {{l^2}}} + {{b{F_N}} \over 2}} & {{{\left( {4 + b} \right)EI} \over l}} & { - {{6EI} \over {{l^2}}}} & {{{\left( {2 - b} \right)EI} \over l}} \cr { - {{12EI} \over {{l^3}}} - {{b{F_N}} \over l}} & { - {{6EI} \over {{l^2}}}} & {{{12EI} \over {{l^3}}} - {{{F_N}} \over l}} & { - {{6EI} \over {{l^2}}}} \cr {{{6EI} \over {{l^2}}} + {{b{F_N}} \over 2}} & {{{\left( {2 - b} \right)EI} \over l}} & { - {{6EI} \over {{l^2}}} - {{b{F_N}} \over 2}} & {{{\left( {4 + b} \right)EI} \over l}} \cr } } \right]\left\{ {\matrix{ {{v_i}} \hfill \cr {{\varphi _{ib}}} \hfill \cr {{v_j}} \hfill \cr {{\varphi _{jb}}} \hfill \cr } } \right\} \hfill \cr \left\{ {\matrix{ {{F^e}_{Ni}} \hfill \cr {{F^e}_{Nj}} \hfill \cr } } \right\} = \left[ {\matrix{ {{{EA} \over l}} & { - {{EA} \over l}} \cr { - {{EA} \over l}} & {{{EA} \over l}} \cr } } \right]\left\{ {\matrix{ {{u^e}_i} \hfill \cr {{u_j}^e} \hfill \cr } } \right\} \hfill \cr} \right\}$

(44)

$\eqalign{ & \left. \matrix{ \left\{ {\matrix{ {{F^e}_{Qi}} \hfill \cr {{M_i}^e} \hfill \cr {{F^e}_{Qj}} \hfill \cr {{M_j}^e} \hfill \cr } } \right\} = \left[ {\matrix{ {{{12EI} \over {{l^3}}} - {{b{F_N}} \over l}} & {{{6EI} \over {{l^2}}}} & { - {{12EI} \over {{l^3}}} + {{b{F_N}} \over l}} & {{{6EI} \over {{l^2}}}} \cr {{{6EI} \over {{l^2}}} + {{b{F_N}} \over 2}} & {{{4EI} \over l}} & { - {{6EI} \over {{l^2}}} + {{b{F_N}} \over 2}} & {{{2EI} \over l}} \cr { - {{12EI} \over {{l^3}}} + {{b{F_N}} \over l}} & { - {{6EI} \over {{l^2}}}} & {{{12EI} \over {{l^3}}} - {{{F_N}} \over l}} & { - {{6EI} \over {{l^2}}}} \cr {{{6EI} \over {{l^2}}} + {{b{F_N}} \over 2}} & {{{2EI} \over l}} & { - {{6EI} \over {{l^2}}} + {{b{F_N}} \over 2}} & {{{4EI} \over l}} \cr } } \right]\left\{ {\matrix{ {{v_i}} \hfill \cr {{\varphi _{ib}}} \hfill \cr {{v_j}} \hfill \cr {{\varphi _{jb}}} \hfill \cr } } \right\} \hfill \cr \left\{ {\matrix{ {{F^e}_{Ni}} \hfill \cr {{F^e}_{Nj}} \hfill \cr } } \right\} = \left[ {\matrix{ {{{EA} \over l}} & { - {{EA} \over l}} \cr { - {{EA} \over l}} & {{{EA} \over l}} \cr } } \right]\left\{ {\matrix{ {{u_i}} \hfill \cr {{u_j}} \hfill \cr } } \right\} \hfill \cr} \right\} \cr & \cr}$

(45)

式(43) ~(45) 分别由式(35) ~(37) 演化而来，主要是在反算单元节点剪力时已计入了小变形情况下竖向力因倾角而产生的径向剪切分力。式(43) ~(45) 的剪力项分别减去式(35) ~(37) 对应的剪力项即可得竖向力因倾角而产生的径向剪切分力。

1.7 支座等大剪切变形构件P-Δ效应计算

工程中大部分构件剪切变形影响很小而可以忽略。但如支座等大剪切变形构件，竖向力产生的偏心弯矩十分显著，而刚臂或弹簧均不能实时模拟支座的偏心弯矩效应。支座发生大剪切变形时，本文竖向力径向剪切分力近似计算公式不再适用。但是仅计入水平力剪切变形时的P-Δ效应杆单元刚度方程式(36) 却能很好地反映支座的工作性能，可以很好地计入竖向力在因支座大剪切变形而产生的偏心弯矩影响，即支座的P-Δ效应。

2 支座P-Δ效应算例一

某支座高h=0.3 m，直径d=850 mm，剪切模量G=2 MPa，抗压弹性模量E=5 000 MPa，竖向力F_N= 15 000 kN，水平力F_H=180 kN。

支座受力如图 2，支座顶水平位移由剪切变形V_s和弯曲变形V_m组成，但剪切变形远大于弯曲变形，且与支座高度h同数量级，为典型的大剪切变形构件；支座底部总弯矩由竖向力偏心弯矩和水平力矩组成，竖向力偏心弯矩往往极显著，且远大于水平力矩。支座偏心受压后其竖向抗压刚度会随之变化，其弯曲变形会出现一定的非线性，本文暂时忽略此影响，并假定其抗压弹模不变。

图 2 支座受力示意图 Fig. 2 mechanics analysis of bearing

本文中将支座划分为10个杆单元，按仅计入水平力剪切变形而忽略竖向力径向剪切分力剪切变形时，P-Δ效应杆单元刚度矩阵方程式 (21) ，自编Matlab程序计算，支座单元节点水平位移、弯曲转角、弯矩计算如下表 1所示。可见支座底面偏心弯矩占总弯矩的93.65%，水平力产生的弯矩仅占6.35%。偏心弯矩显著，不容忽略，在基桩内力位移计算分析时应予以考虑。

表 1 支座位移内力结果 Table 1 Deformation and moment of bearing element

3 支座基桩共同作用算例二

某桥梁基桩^{[1, 7, 9]}，冲刷线以上桩长30.212 m，其中l₁=8.012 m，d₁=1.8 m，E₁=1.933 3×10⁴ MPa；l₂=22.2 m，d₂=2.2 m，E₂=1.8×10⁴ MPa；在冲刷线以下桩长l₃=42.8 m，d₃=2.2 m，E₃=1.8×10⁴ MPa；地基比例系数m=10 000 kN/m³，竖向荷载Fz=9 102.2 kN，水平荷载Fx=165 kN。设墩顶支座同算例一，且基桩剪切模型G=0.4E。

支座基桩受力如图 3，支座顶水平位移由基桩水平位移V_p和支座自身水平变形V_b组成；且二者同数量级。基桩顶荷载除了上部结构传递的竖向力F_N和水平力F_Q外，还有竖向力因支座自身变形而产生的偏心弯矩F_N·V_b，因竖向力和支座变形均很大，因此偏心弯矩不能忽略。

图 3 支座基桩受力示意图 Fig. 3 mechanics analysis of bearing and pile

将支座划分了2个杆单元，其单元刚度矩阵方程采用式(36) ；基桩划分了731个杆单元，在忽略和计入桩身剪切变性影响情况下其单元刚度矩阵方程分别采用 (38) 和式(35) ；并用自编MATLAB有限元程序计算，结果如表 2和图 4。

表 2 基桩和支座P-Δ效应主要结果 Table 2 P-Δ effect analysis result of the pile and bearing

图 4 支座和基桩P-Δ效应的内力位移分布图(忽略桩身剪切变形影响) Fig. 4 Distribution of internal force, displacement and soil pressure for pile and bearing while shear deformation of pile is ignored

因此，支座P-Δ效应对基桩内力位移影响显著，应该考虑；而剪切变形对桩身内力位移影响极小，则可忽略。

支座偏心弯矩效应也可以通过水平力作用在支座的剪切变形乘以竖向力近似求得，并将此偏心弯矩加载至基桩顶，即可在基桩P-Δ效应计算时等效考虑支座的影响。但在上下部结构、支座和地基共同作用时，支座的偏心弯矩效应很难用等效弯矩进行实时模拟。因此，提出的计入水平力剪切变形时的P-Δ效应杆单元刚度方程式(35) 能很好地反映支座的偏心工作特性，为上下部结构共同作用的关键衔接构件——支座提供了理论支撑。

4 结论

假定杆单元位弯曲变形移函数为三次幂函数，剪切变形位移函数为线性函数，根据有限元一般原理，导出了考虑了P-Δ效应、水平力剪切变形、竖向力径向剪切分力剪切变形的杆单元的刚度方程，通过算例分析，主要结论如下：

1) 推导了同时考虑水平力剪切变形、竖向力径向剪切分力剪切变形和P-Δ效应的杆单元刚度矩阵方程；推导了仅计入水平力剪切变形而忽略竖向力径向剪切分力剪切变形时的P-Δ效应杆单元刚度矩阵方程；推导了仅计入竖向力径向剪切分力剪切变形而忽略水平力剪切变形时的P-Δ效应杆单元刚度矩阵方程，进一步完善了P-Δ效应杆单元理论。

2) 仅计入水平力剪切变形而忽略竖向力径向剪切分力剪切变形时的P-Δ效应杆单元能很好地反映支座大剪切变形的偏心工作特性，为上下部结构共同作用动静力分析的关键衔接构件——支座提供了理论支撑。

3) 支座和基桩共同作用的P-Δ效应分析表明，在水平力作用下，支座大剪切变形下的P-Δ效应将使基桩内力位移和桩侧土压力显著增大，并进一步削弱支座和墩台综合水平刚度，基桩P-Δ效应分析、墩台水平力分配时应予以考虑。

4) 基桩自身剪切变形对基桩P-Δ效应影响极小，可以忽略。

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