土木建筑与环境工程  2017, Vol. 39 Issue (5): 23-30   PDF    
不同桩头约束下微倾单桩纵横向受荷响应计算的三参数法
张磊1, 龚晓南2    
1. 西安建筑科技大学 土木工程学院, 西安 710055;
2. 浙江大学 滨海和城市岩土工程研究中心, 杭州 310058
收稿日期：2017-01-05
基金项目：国家自然科学基金（51508455）；陕西省教育厅专项科研计划（16JK1444）；西安建筑科技大学青年科技基金（QN1614）
作者简介：张磊(1981-), 男, 博士, 主要从事桩基础研究, (E-mail)zh888lei@tom.com。
摘要：为研究桩头转动约束及桩身初始微倾斜对纵横向组合荷载作用下桩身侧向响应的影响，基于三参数形式的地基水平抗力系数，通过矩阵运算提出了桩身变形和内力的半解析解，并与模型试验结果及已有解计算结果进行对比以验证其可靠性。计算结果表明：桩头转动刚度增加时，桩顶位移和地表以下桩身最大弯矩减小，桩顶弯矩和地表以下桩身最大弯矩距离桩顶的距离增大。桩身初始倾角增加时，桩身最大位移和最大弯矩均线性增大，且随纵向荷载的增加其变化速率逐渐增大；纵向荷载增加时，桩身最大位移和最大弯矩均增大，且随纵向荷载和桩身初始倾角的增加其变化速率逐渐增大，而地表以下桩身最大弯矩距离地表的距离呈线性减小。
关键词：桩基础    转动刚度    倾斜    横向荷载    半解析解    
Three-parameter method for slightly inclined single pile with partial pile head fixity under combined vertical and lateral loads
Zhang Lei1, Gong Xiaonan2    
1. School of Civil Engineering, Xi'an University of Architecture and Technology, Xi'an 710055, P. R. China;
2. Research Center of Coastal and Urban Geotechnical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, P. R. China
Received: 2017-01-05
Foundation item: National Natural Science Foundation of China (No. 51508455); Scientific Research Program of Education Department of Shaanxi Provincial Government (No. 16JK1444); Science and Technology Foundation for Youths of Xi'an University of Architecture and Technology (No. QN1614)
Author brief: Zhang Lei(1981-), PhD, main research interest: pile foundation, (E-mail)zh888lei@tom.com.
Abstract: In order to study the influences of the rotational restraint at pile head and the slight initial inclination of pile shaft on lateral pile responses under simultaneous vertical and lateral loads, semi-analytical solutions were put forward by matrix calculation, based on the coefficient of subgrade reaction expressed in the three-parameter form. The results were validated by the comparison with model test results and the existing solutions. The results indicated that when the coefficient of rotational restraint at pile head increases, the displacement at pile head and the maximum bending moment under ground decrease, while the bending moment at pile head and the distance between the maximum bending moment under ground and pile head increased. Both the maximum displacement and bending moment increased linearly with the increase of the initial inclination angle of pile shaft, and their changing rates increased when the vertical load increased. When the vertical load increased, the maximum displacement and bending moment increased, and their changing rates increased with increases of the vertical load and the initial inclination angle of pile shaft. The distance between the maximum bending moment under ground and ground decreased linearly when the vertical load increases.
Key Words: pile foundations    coefficient of rotational restraint    inclination    lateral loads    semi-analytical solutions    

桩头转动约束对桩基水平承载性状有显著影响[1]：相同水平荷载下，桩顶固定时桩头水平位移约为桩顶自由时的25%；桩顶自由时桩身最大弯矩位于地表以下某点处，桩顶固定时位于桩顶。现有的桩基水平承载性状研究一般把桩顶的边界条件取为自由和固定两种理想化的情形[2-4]。对于存在上部承台的桩基，当桩头嵌入承台的深度不足或承台配筋量较少时，桩顶附近承台中的混凝土变形或开裂，导致桩头转动。即使桩与承台锚固牢靠，荷载作用下承台的旋转仍会带动桩头转动。因此，承台对桩头的约束弱于桩顶固定并强于桩顶自由。Mokwa等[1]和Prakash等[5]分别采用桩头转动刚度(桩头弯矩与桩头转角的比值)和桩头约束度(桩头弯矩与桩顶固定时桩头弯矩的比值)定量表示桩头转动约束。孔令刚等[6]讨论了几种桩头约束定量表征参数之间的关系，分析了桩身抗弯刚度、水平地基比例系数、自由段及地表以下桩身长度等因素对各表征参数的影响。姜丽红等[7]基于经验公式提出了桩顶位移、桩顶弯矩、地表以下桩身最大弯矩及其所在位置的简化计算方法。不仅横向荷载可以使桩身产生较大的侧向变形和内力，由上部结构及桩身自重等引起的纵向荷载也将因桩身的挠曲变形而产生附加的桩身弯矩和变形[8]。张玲等[9]、Zhang等[10]、Hirai[11]等针对不同工况，分别提出了纵横向组合荷载作用下桩身侧向变形和内力的计算方法，并分析了纵向荷载对桩身响应的影响。然而，已有的考虑桩头转动约束的桩基水平承载性状研究没有考虑纵向荷载的影响。

在实际工程中，桩身初始微倾斜普遍存在并可由多种原因引起[12-13]：压入或打入土体的预制桩，垂直度控制不好导致桩身倾斜；灌注桩施工时，桩孔倾斜导致桩身倾斜。对于纵横向受荷的桩基，由纵向荷载引起的桩身附加弯矩和附加变形可因桩身初始微倾斜而进一步加大。基于室内模型试验，赵明华等[14]研究了纵横向组合荷载作用下微倾木桩的水平承载性状；李微哲等[15]提出了层状地基中地基水平抗力系数随深度线性增加时桩身侧向响应的幂级数解。

本文基于更具一般性的三参数形式的地基水平抗力系数，采用桩头转动刚度表征桩头转动约束的程度，推导出纵横向组合荷载作用下微倾单桩侧向变形和内力的半解析解。编制了计算程序，通过与模型试验结果及已有解计算结果的对比，验证了所得解的可靠性。分析了桩头转动约束、桩身初始微倾斜、纵向荷载等对桩身响应的影响。

1 控制方程与解
1.1 建立方程

如图 1所示，桩的下半段位于地表以下，上半段为自由段。桩身倾斜，倾角为θ，以右倾为正，其值远小于1。自由段桩长为H0，地表以下桩长为H1。地表以下桩身分为OC段和CD段两段，长度分别为l1和l2。在各段上分别建立坐标系。桩顶作用水平力Qp和纵向力Np。由于桩头转动刚度物理意义明确，且在工程实践中易于通过计算或实测获得[6]，在求解时采用桩头转动刚度Km表征桩头转动约束的程度。当Km=0 kN·m/rad时，桩顶自由，桩顶可自由的水平移动和转动；桩头约束的程度随Km的增加而增强；当Km的值趋近于∞时，桩顶固定，桩顶的转角为零但仍可水平移动。桩底约束对桩身侧向变形和内力的影响随地表以下桩长的增加而减小；当地表以下桩长超过10倍桩径时，桩底约束对桩身侧向响应的影响可忽略不计。因此，为简化计算，桩底约束取为3种理想情况：桩底自由，即桩底的剪切力和弯矩为零，适用于桩底以下为软弱土体；桩底铰接，即桩底弯矩和位移为零，适用于桩底与岩石接触或嵌入岩石的长度较小；桩底固定，即桩底转角和位移为零，适用于桩底嵌入硬土或岩石的长度较大。地表以上桩身分布荷载取q(zG)=q0+ΔqzG/H0，式中zG为自由段纵坐标，q0和(q0+Δq)分别为桩顶及O点处分布荷载集度。地表以上桩身轴力：NG=Np+f0zG，OC段桩身轴力：NE1=Np+f0H0+f1zE1，CD段桩身轴力：NE2=Np+f0H0+f1l1+f1zE2，式中:zE1和zE2分别为OC段和CD段的纵坐标；f0为地表以上桩身轴力增长系数，取为桩身横截面积与桩身重度之积；f1为地表以下桩身轴力增长系数，取值方法由文献[16]给出。uGt、uE1t和uE2t分别表示荷载作用下地表以上、OC段和CD段桩身轴线的横坐标，若用uG、uE 1 和uE 2 分别表示荷载作用下地表以上、OC段和CD段桩身水平位移，则有

图 1 考虑桩头约束的微倾单桩纵横向受荷示意图 Fig. 1 Schematic diagram of a slightly inclined single pile with partial pile head fixity under combined vertical and lateral loads

$ u_{\rm{G}}^{\rm{t}} = {u_{\rm{G}}} + \theta \left( {{H_0} + {H_1}-{z_{\rm{G}}}} \right) $ (1a)
$ {u_{{\rm{E}}_1^t}} = {u_{{{\rm{E}}_1}}} + \theta \left( {{H_1}-{z_{{{\rm{E}}_1}}}} \right) $ (1b)
$ {u_{{\rm{E}}_2^t}} = {u_{{{\rm{E}}_2}}} + \theta \left( {{l_2}-{z_{{{\rm{E}}_2}}}} \right) $ (1c)

OC段和CD段地基水平抗力系数采用三参数形式表示，分别为：k1=m(z0+zE1)n和k2=m·(z0+l1+zE2)n，式中m和n分别为比例系数和指数，均可通过经验或实测确定。当z0和n采用不同的取值方法时，本文方法可化为单参数法(如常数法、m法和C值法)和双参数法，因此，采用的三参数形式的地基水平抗力系数更具一般性。假定土反力向左为正，则OC段土反力：p1=k1buE1，CD段土反力：p2=k2buE2，式中b为桩身宽度或直径。OC段上桩身轴力满足：${N_{{{\rm{E}}_1}}} > 2\sqrt {{k_1}bEI} $，CD段上满足：$ {N_{{{\rm{E}}_2}}} < 2\sqrt {{k_2}bEI} $，式中EI为桩身抗弯刚度。

位移向右为正，转角以左倾为正，弯矩以桩身左侧受拉为正，剪切力以形成顺时针力矩为正。类似文献[15]，地表以上桩身挠曲线微分方程为

$ EI\frac{{{{\rm{d}}^3}{u_{\rm{G}}}}}{{{\rm{d}}z_{\rm{G}}^3}} + {N_{\rm{G}}}\frac{{{\rm{d}}{u_{\rm{G}}}}}{{{\rm{d}}{z_{\rm{G}}}}} = {Q_p} + {N_{\rm{G}}}\theta + {q_0}{z_{\rm{G}}} + \frac{{\mathit{\Delta }q}}{{2{H_0}}}z_{\rm{G}}^2 $ (2)

另外，自由段桩身转角φG、弯矩MG和剪切力QG与桩身水平位移的关系分别为：$ {\varphi _{\rm{G}}} = \frac{{{\rm{d}}{u_{\rm{G}}}}}{{{\rm{d}}{z_{\rm{G}}}}}、{M_{\rm{G}}} = EI\frac{{{{\rm{d}}^2}{u_{\rm{G}}}}}{{{\rm{d}}z_{\rm{G}}^2}}$和$ {Q_{\rm{G}}} = EI\frac{{{{\rm{d}}^3}{u_{\rm{G}}}}}{{{\rm{d}}z_{\rm{G}}^3}} + {N_{\rm{G}}}\frac{{{\rm{d}}{u_{\rm{G}}}}}{{{\rm{d}}{z_{\rm{G}}}}}-{N_{\rm{G}}}\theta $。

对于OC段，同样可得

$ {Q_{{{\rm{E}}_1}}} = EI\frac{{{{\rm{d}}^3}{u_{{{\rm{E}}_1}}}}}{{{\rm{d}}{z_{{\rm{E}}_1^3}}}} + {N_{{{\rm{E}}_1}}}\frac{{{\rm{d}}{u_{{{\rm{E}}_1}}}}}{{{\rm{d}}{z_{{{\rm{E}}_1}}}}}-{N_{{{\rm{E}}_1}}}\theta $ (3)

式中：QE1为OC段上zE1处桩身剪切力。另外可得：$ {\varphi _{{{\rm{E}}_1}}} = \frac{{{\rm{d}}{u_{{{\rm{E}}_1}}}}}{{{\rm{d}}{z_{{{\rm{E}}_1}}}}}、{M_{{{\rm{E}}_1}}} = EI\frac{{{{\rm{d}}^2}{u_{{{\rm{E}}_1}}}}}{{{\rm{d}}{z_{{\rm{E}}_1^2}}}}、\frac{{{\rm{d}}{Q_{{{\rm{E}}_1}}}}}{{{\rm{d}}{z_{{{\rm{E}}_1}}}}} =-{p_1}$，式中：φE1和ME1分别为OC段上zE1处桩身转角和弯矩。式(3) 已不能求得解析解和幂级数解，以下给出半解析解。如图 2(a)所示，OC段被分成n1个等长的小段。图 2(b)以第i段为例，在该段上建立坐标系，图中uE1i为zE1i处桩身水平位移。假定第i段上桩身轴力NE1i和地基水平抗力系数k1i均为常数，分别可取为$ {N_{{{\rm{E}}_1}i}} = {N_{\rm{p}}} + {f_0}{H_0} + \frac{{{f_1}\left( {2i- 1} \right){l_1}}}{{2{n_1}}}、{k_{1i}} = m{\left[{{z_0} + \frac{{\left( {2i-1} \right){l_1}}}{{2{n_1}}}} \right]^n}\left( {i = 1, 2, \cdots, {n_1}} \right)$。将上述两式代入式(3) 并对纵坐标求导数，得第i段桩身的挠曲微分线方程

图 2 地表以下桩身和桩段示意图 Fig. 2 Schematic diagrams of pile shaft and pile segments under gound

$ EI\frac{{{{\rm{d}}^4}{u_{{{\rm{E}}_1}i}}}}{{{\rm{d}}{z_{{\rm{E}}_1^4i}}}} + {N_{{{\rm{E}}_1}i}}\frac{{{{\rm{d}}^2}{u_{{{\rm{E}}_1}i}}}}{{{\rm{d}}{z_{{\rm{E}}_1^2i}}}} + {k_{1i}}b{u_{{{\rm{E}}_1}i}} = 0 $ (4)

并有：${\varphi _{{{\rm{E}}_1}i}} = \frac{{{\rm{d}}{u_{{{\rm{E}}_1}i}}}}{{{\rm{d}}{z_{{{\rm{E}}_1}i}}}}、{M_{{{\rm{E}}_1}i}} = EI\frac{{{{\rm{d}}^2}{u_{{{\rm{E}}_1}i}}}}{{{\rm{d}}{z_{{\rm{E}}_1^2i}}}}、{Q_{{{\rm{E}}_1}i}} = EI \cdot \frac{{{{\rm{d}}^3}{u_{{{\rm{E}}_1}i}}}}{{{\rm{d}}{z_{{\rm{E}}_1^3i}}}} + {N_{{{\rm{E}}_1}i}}\frac{{{\rm{d}}{u_{{{\rm{E}}_1}i}}}}{{{\rm{d}}{z_{{{\rm{E}}_1}i}}}}-{N_{{{\rm{E}}_1}i}}\theta $，式中φE1i、ME1i和QE1i分别为第i段上zE1i处桩身转角、弯矩和剪切力。

同理，CD段被分成n2个等长的小段。如图 2(c)所示，在第j段上建立坐标系，图中uE2j为zE2j处桩身水平位移，则第j段桩身挠曲线微分方程为

$ EI\frac{{{{\rm{d}}^4}{u_{{{\rm{E}}_2}j}}}}{{{\rm{d}}{z_{{\rm{E}}_2^4j}}}} + {N_{{{\rm{E}}_2}j}}\frac{{{{\rm{d}}^2}{u_{{{\rm{E}}_2}j}}}}{{{\rm{d}}{z_{{\rm{E}}_2^2j}}}} + {k_{2i}}b{u_{{{\rm{E}}_2}j}} = 0 $ (5)

式中：${N_{{{\rm{E}}_2}j}} = {N_{\rm{p}}} + {f_0}{H_0} + {f_1}{l_1} + \frac{{{f_1}\left( {2j- 1} \right){l_2}}}{{2{n_2}}}, {k_{2j}} = m{\left[{{z_0} + {l_1} + \frac{{\left( {2j-1} \right){l_2}}}{{2{n_2}}}} \right]^n}\left( {j = 1, 2, \cdots, {n_2}} \right) $。并有：${\varphi _{{{\rm{E}}_2}j}} = \frac{{{\rm{d}}{u_{{{\rm{E}}_2}j}}}}{{{\rm{d}}{z_{{{\rm{E}}_2}j}}}}, {M_{{{\rm{E}}_2}j}} = EI\frac{{{{\rm{d}}^2}{u_{{{\rm{E}}_2}j}}}}{{{\rm{d}}{z_{{\rm{E}}_2^2j}}}}, {Q_{{{\rm{E}}_2}j}} = EI \cdot \frac{{{{\rm{d}}^3}{u_{{{\rm{E}}_2}j}}}}{{{\rm{d}}{z_{{\rm{E}}_2^3j}}}} + {N_{{{\rm{E}}_2}j}}\frac{{{\rm{d}}{u_{{{\rm{E}}_2}j}}}}{{{\rm{d}}{z_{{{\rm{E}}_2}j}}}}-{N_{{{\rm{E}}_2}j}}\theta $，式中：φE2j、ME2j和QE2j分别为第j段上zE2j处桩身转角、弯矩和剪切力。

1.2 各段上的解

求解式(2)，并利用地表以上桩身转角、弯矩和剪切力与桩身水平位移的关系，得到该段桩身侧向响应的幂级数解

$ {\pmb{U}_{\rm{G}}} = \left( {{z_{\rm{G}}}} \right){\pmb{A}_{\rm{G}}}\left( {{z_{\rm{G}}}} \right){\pmb{U}_{\rm{p}}} $ (6)

式中：Up=[up, φp, Mp, Qp, 1]T，表示桩顶的变形和内力；UG=[uG, φG, MG, QG, 1]T，表示zG处桩身变形和内力；${\pmb{A}_{\rm{G}}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{S_{{\rm{G1}}}}}&{{T_{{\rm{G}}\;{\rm{1}}}}}&{{V_{{\rm{G}}\;{\rm{1}}}}}&{{R_{{\rm{G}}\;{\rm{1}}}}}\\0&{{S_{{\rm{G}}\;2}}}&{{T_{{\rm{G}}\;2}}}&{{V_{{\rm{G}}\;2}}}&{{R_{{\rm{G}}\;2}}}\\0&{{S_{{\rm{G}}\;3}}}&{{T_{{\rm{G}}\;3}}}&{{V_{{\rm{G}}\;3}}}&{{R_{{\rm{G}}\;3}}}\\0&0&0&1&{{R_{{\rm{G}}\;5}}}\\0&0&0&0&1 \end{array}} \right] $，RG、SG、TG、VG已由文献[15]给出，本文不再赘述。

求解式(4)，并利用OC段上第i段桩身转角、弯矩和剪切力与桩身水平位移的关系，得到第i段桩身侧向响应的解析解

$ {\pmb{U}_{{{\rm{E}}_1}i}}\left( {{z_{{{\rm{E}}_1}i}}} \right) = {\pmb{L}_{{{\rm{E}}_1}i}}\left( {{z_{{{\rm{E}}_1}i}}} \right){\pmb{U}_{{{\rm{E}}_1}i, 0}} $ (7)

式中：UE1i, 0=[uE1i, 0, φE1i, 0, ME1i, 0, QE1i, 0, 1]T，表示OC段上第i段桩身顶点处的变形和内力；UE1i(zE1i)=[uE1i, φE1i, ME1i, QE1i, 1]T，表示第i段上zE1i处桩身变形和内力；${\pmb{L}_{{{\rm{E}}_1}i}}\left( {{z_{{{\rm{E}}_1}i}}} \right) = \pmb{B}_{{{\rm{E}}_1}i}^{- 1}\left( 0 \right), {\pmb{B}_{{{\rm{E}}_1}i}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{a_i}}&{-{\lambda _{1i}}{c_i}}&{-EI\lambda _{1i}^2{a_i}}&{-EI{\lambda _{1i}}\lambda _{2i}^2{c_i}}&0\\{{c_i}}&{{\lambda _{1i}}{a_i}}&{ - EI\lambda _{1i}^2{c_i}}&{EI{\lambda _{1i}}\lambda _{2i}^2{a_i}}&0\\{{f_i}}&{ - {\lambda _{2i}}{s_i}}&{ - EI\lambda _{2i}^2{f_i}}&{ - EI\lambda _{1i}^2{\lambda _{2i}}{s_i}}&0\\{{s_i}}&{{\lambda _{2i}}{f_i}}&{ - EI\lambda _{2i}^2{s_i}}&{EI\lambda _{1i}^2{\lambda _{2i}}{f_i}}&0\\0&0&0&{ - {N_{{{\rm{E}}_1}i}}\theta }&1 \end{array}} \right]^{\rm{T}}, {a_i} = \cos \left( {{\lambda _{1i}}{z_{{{\rm{E}}_1}i}}} \right), {c_i} = \sin \left( {{\lambda _{1i}}{z_{{{\rm{E}}_1}i}}} \right) $, $ {f_i} = \cos \left( {{\lambda _{2i}}{z_{{{\rm{E}}_1}i}}} \right), {s_i} = \sin \left( {{\lambda _{2i}}{z_{{{\rm{E}}_1}i}}} \right), {\lambda _{1i}} = \sqrt 2 \sqrt {{\alpha _{1i}} + \sqrt {\alpha _{1i}^2-{\gamma _{1i}}} }, {\lambda _{2i}} = \sqrt 2 \cdot \sqrt {{\alpha _{1i}}-\sqrt {\alpha _{1i}^2-{\gamma _{1i}}} } $, ${\alpha _{1i}} = \frac{{{N_{{{\rm{E}}_1}i}}}}{{4EI}}, {\gamma _{1i}} = \frac{{{k_{1i}}b}}{{4EI}} $。

求解式(5)，并利用CD段上第j段桩身转角、弯矩和剪切力与桩身水平位移的关系，得到第j段桩身侧向响应的解析解

$ {\pmb{U}_{{{\rm{E}}_2}j}}\left( {{z_{{{\rm{E}}_2}j}}} \right) = {\pmb{L}_{{{\rm{E}}_2}j}}\left( {{z_{{{\rm{E}}_2}j}}} \right){\pmb{U}_{{{\rm{E}}_2}j, 0}} $ (8)

式中：UE2j, 0=[uE2j, 0, φE2j, 0, ME2j, 0, QE2j, 0, 1]T，表示CD段上第j段桩身顶点处的变形和内力；UE2j(zE2j)=[uE2j, φE2j, ME2j, QE2j, 1]T，表示第j段上zE2j处桩身变形和内力；LE2j(zE2j)=BE2j(zE2j)BE2j-1(0)，${\pmb{B}_{{{\rm{E}}_2}j}} = {\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{\eta _j}{g_j}}&{{\eta _j}\left( {{\lambda _{3j}}{g_j}-{\lambda _{4j}}{t_j}} \right)}&{-2EI{\eta _j}\left( {{\alpha _{2j}}{g_j} + {\lambda _{3j}}{\lambda _{4j}}{t_j}} \right)}&{-2{\gamma _{2j}}EI{\eta _j}\left( {{\lambda _{3j}}{g_j} + {\lambda _{4j}}{t_j}} \right)}&0\\{{\eta _j}{t_j}}&{{\eta _j}\left( {{\lambda _{4j}}{g_j} + {\lambda _{3j}}{t_j}} \right)}&{2EI{\eta _j}\left( {{\lambda _{3j}}{\lambda _{4j}}{g_j} - {\alpha _{2j}}{t_j}} \right)}&{2{\gamma _{2j}}EI{\eta _j}\left( {{\lambda _{4j}}{g_j} - {\lambda _{3j}}{t_j}} \right)}&0\\{{\delta _j}{g_j}}&{ - {\delta _j}\left( {{\lambda _{3j}}{g_j} + {\lambda _{4j}}{t_j}} \right)}&{ - 2EI{\delta _j}\left( {{\alpha _{2j}}{g_j} - {\lambda _{3j}}{\lambda _{4j}}{t_j}} \right)}&{2{\gamma _{2j}}EI{\delta _j}\left( {{\lambda _{3j}}{g_j} - {\lambda _{4j}}{t_j}} \right)}&0\\{{\delta _j}{t_j}}&{{\delta _j}\left( {{\lambda _{4j}}{g_j} - {\lambda _{3j}}{t_j}} \right)}&{ - 2EI{\delta _j}\left( {{\lambda _{3j}}{\lambda _{4j}}{g_j} + {\alpha _{2j}}{t_j}} \right)}&{2{\gamma _{2j}}EI{\delta _j}\left( {{\lambda _{4j}}{g_j} + {\lambda _{3j}}{t_j}} \right)}&0\\0&0&0&{ - {N_{{{\rm{E}}_2}j}}\theta }&1 \end{array}} \right]^{\rm{T}}}, $$ {\eta _j} = {{\rm{e}}^{\;{\lambda _{3j}}{z_{{{\rm{E}}_2}j}}}}, {\delta _j} = {{\rm{e}}^{\;-{\lambda _{3j}}{z_{{{\rm{E}}_2}j}}}}, {g_j} = \cos \left( {{\lambda _{4j}}{z_{{{\rm{E}}_2}j}}} \right), {t_i} = \sin \left( {{\lambda _{4j}}{z_{{{\rm{E}}_2}j}}} \right), {\lambda _{3j}} = \sqrt {{\gamma _{2j}}-{\alpha _{2j}}}, $${\lambda _{4j}} = \sqrt {{\gamma _{2j}} + {\alpha _{2j}}}, {\gamma _{2j}} = \sqrt {\frac{{{k_{2j}}b}}{{4EI}}}, {\alpha _{2j}} = \frac{{{N_{{{\rm{E}}_2}j}}}}{{4EI}}$。

1.3 求解过程

首先，用二分法近似求得图 1中C点位置，也即得到l1和l2的值。然后，基于桩身响应在图 1中O点和C点处的连续性，结合桩顶、底的边界条件，得到桩顶未知的边界值

$ {\pmb{u}_{{\rm{pu}}}} = \pmb{\psi }_1^{-1}{\pmb{\psi }_2}{u_{{\rm{pk}}}} $ (9)

式中：$ {\pmb{u}_{{\rm{pu}}}} = {\left[{{\pmb{u}_{\rm{p}}}, {\varphi _{\rm{p}}}} \right]^{\rm{T}}}, {\pmb{u}_{{\rm{pk}}}} = {\left[{{Q_{\rm{p}}}, 1} \right]^{\rm{T}}}, {\pmb{\psi }_1} = \pmb{\upsilon }{\pmb{A}_{{\rm{Gu}}}}\left( {{H_0}} \right), {\pmb{\psi }_2} = \pmb{\upsilon }{\pmb{A}_{{\rm{Gk}}}}\left( {{H_0}} \right), \pmb{\upsilon } = {\pmb{L}_{{{\rm{E}}_2}{n_2}{\rm{k}}}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){\pmb{L}_{{{\rm{E}}_2}\left( {{n_2} -1} \right)}}$$ \left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right) \cdots {\pmb{L}_{{{\rm{E}}_2}1}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){\pmb{L}_{{{\rm{E}}_1}{n_1}}}\left( {\frac{{{l_1}}}{{{n_1}}}} \right){\pmb{L}_{{{\rm{E}}_1}\left( {{n_1}-1} \right)}}\left( {\frac{{{l_1}}}{{{n_1}}}} \right) \cdots {\pmb{L}_{{{\rm{E}}_1}1}}\left( {\frac{{{l_1}}}{{{n_1}}}} \right)。{\pmb{A}_{{\rm{Gu}}}}\left( {{H_0}} \right) = $$\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{A_{{\rm{G11}}}}\left( {{H_0}} \right)}&{{A_{{\rm{G12}}}}\left( {{H_0}} \right) + {K_m}{A_{{\rm{G13}}}}\left( {{H_0}} \right)}\\{{A_{{\rm{G21}}}}\left( {{H_0}} \right)}&{{A_{{\rm{G22}}}}\left( {{H_0}} \right) + {K_m}{A_{{\rm{G23}}}}\left( {{H_0}} \right)}\\{{A_{{\rm{G31}}}}\left( {{H_0}} \right)}&{{A_{{\rm{G32}}}}\left( {{H_0}} \right) + {K_m}{A_{{\rm{G33}}}}\left( {{H_0}} \right)}\\{{A_{{\rm{G41}}}}\left( {{H_0}} \right)}&{{A_{{\rm{G42}}}}\left( {{H_0}} \right) + {K_m}{A_{{\rm{G43}}}}\left( {{H_0}} \right)}\\{{A_{{\rm{G51}}}}\left( {{H_0}} \right)}&{{A_{{\rm{G52}}}}\left( {{H_0}} \right) + {K_m}{A_{{\rm{G53}}}}\left( {{H_0}} \right)} \end{array}} \right]\left( {{A_{{\rm{G11}}}}({H_0}} \right), {A_{{\rm{G21}}}}\left( {{H_0}} \right) \cdots, {A_{{\rm{G53}}}}\left( {{H_0}} \right) $均取自矩阵AG(H0)，如AG43(H0)为矩阵AG(H0)中第4行第3列的元素，下同。)，$ {\pmb{A}_{{\rm{Gk}}}}\left( {{H_0}} \right) = {\left[\begin{array}{l} {A_{{\rm{G14}}}}\left( {{H_0}} \right){A_{{\rm{G24}}}}\left( {{H_0}} \right){A_{{\rm{G34}}}}\left( {{H_0}} \right){A_{{\rm{G44}}}}\left( {{H_0}} \right){A_{{\rm{G54}}}}\left( {{H_0}} \right)\\{A_{{\rm{G15}}}}\left( {{H_0}} \right){A_{{\rm{G25}}}}\left( {{H_0}} \right){A_{{\rm{G35}}}}\left( {{H_0}} \right){A_{{\rm{G45}}}}\left( {{H_0}} \right){A_{{\rm{G55}}}}\left( {{H_0}} \right) \end{array} \right]^{\rm{T}}}$。桩底自由时：${\pmb{L}_{{{\rm{E}}_2}{n_2}{\rm{k}}}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right) = \left[\begin{array}{l} {L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 31}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 32}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 33}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 34}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 35}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right)\\{L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 41}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 42}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 43}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 44}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 45}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right) \end{array} \right] $；桩底铰接时：$ {L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}{\rm{k}}}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right) = \left[\begin{array}{l} {L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 11}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 12}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 13}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 14}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 15}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right)\\{L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 31}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 32}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 33}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 34}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 35}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right) \end{array} \right]$；桩底固定时：${L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}{\rm{k}}}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right) = \left[\begin{array}{l} {L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 11}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 12}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 13}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 14}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 15}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right)\\{L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 21}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 22}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 23}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 24}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right){L_{{{\rm{E}}_2}{n_2}, 25}}\left( {\frac{{{l_2}}}{{{n_2}}}} \right) \end{array} \right] $。

桩顶弯矩等于桩头转动刚度与桩顶转角的乘积。至此，桩顶位移、转角、弯矩和剪切力全部得到。由式(6)~(8) 及各分界点处桩身响应的连续性，可得任意点处桩身变形和内力。

2 算例验证

采用Fortran语言编制了桩身响应计算程序，现验证解及程序的可靠性。通过室内模型试验，赵明华等[14]研究了微倾木桩在纵横向组合荷载作用下的水平承载性状。第2组第5号试桩主要参数：地表以上桩长为66.0 cm，总桩长为135.0 cm，桩身直径为31.57 mm，抗弯刚度为407.686 6 N·m2，桩身初始倾角θ=0.012 9 rad，桩顶自由，即Km=0 kN·m/rad，桩底自由。上覆黏土层厚度为30 cm，下卧砂土层厚度为70 cm。地基水平抗力系数中的参数：m=2.1×105 kN/m3.8，z0=0.1 m，n=0.8。桩、土其余参数详见文献[14]。地表以上桩身无分布荷载作用，水平力Qp=26.95 N。地表处桩身水平位移与纵向荷载的实测关系及不计桩侧摩阻力和桩身重度影响时，本文解和文献[15]解的计算结果如图 3所示。

图 3 地表处桩身水平位移与纵向荷载的关系 Fig. 3 Relationship between horizontal pile displacement at ground and vertical load

由图 3可见，本文解计算值与模型试验实测结果吻合度较高，所得解及程序是可靠的。另外，本文地基水平抗力系数比文献[15]中的更具一般性，计算值也比文献[15]解计算值更接近实测结果，说明本文解更先进。

3 影响因素分析

为探讨桩头转动约束、桩身初始微倾斜及纵向荷载等对纵横向组合荷载作用下桩身侧向响应的影响，以某桥梁桩基为例进行分析。地表以上及以下桩长分别为15、30 m，桩径为1.8 m，桩底自由，桩身抗弯刚度为9.275×106 kN·m2；比例系数m=6×103 kN/m3.8，z0=0.4 m，n=0.8。地表以上桩身无分布荷载作用，且该段桩身轴力增长系数f0=62.345 kN/m；为方便计算，假定桩身轴力自地表至桩底线性减小到零。

3.1 桩头转动约束的影响

分别利用桩顶自由时桩顶位移ufree、桩顶固定时桩顶弯矩Mfixed及总桩长H对桩顶位移up、桩顶弯矩Mp、地表以下桩身最大弯矩Mmax及其距离桩顶的距离zmax归一化，得到无量纲的量：桩顶位移比up/ufree、桩顶弯矩比Mp/Mfixed、地表以下桩身最大弯矩比Mmax/Mfixed及地表以下桩身最大弯矩距离桩顶的距离比zmax/H。纵向荷载Np=10 MN、桩身初始倾角θ=5×10-3rad，不同的水平荷载下，up/ufree、Mp/Mfixed、Mmax/Mfixed及zmax/H与桩头转动刚度Km的关系如图 4所示。

图 4 桩身响应与桩头转动刚度的关系 Fig. 4 Relationship between pile responses and coefficient of rotational restraint

由图 4可见，水平荷载的大小对up/ufree、Mp/Mfixed、Mmax/Mfixed及zmax/H的影响很小，可忽略不计。当Km < 1×104 kN·m/rad时，近于桩顶自由状态，桩顶弯矩接近零；桩身最大弯矩位于地表以下某点处，其值约为桩顶固定时桩顶弯矩的1.8倍。当Km的值在1×104 kN·m/rad和1×108 kN·m/rad之间时，随着桩头转动刚度的增加，桩顶位移和地表以下桩身最大弯矩迅速减小，而桩顶弯矩和地表以下桩身最大弯矩距离桩顶的距离迅速增大。桩头转动刚度在1×106 kN·m/rad附近存在一临界值，在该点处桩顶弯矩等于地表以下桩身最大弯矩，且桩身最大弯矩达到最小值；当桩头转动刚度大于该临界值时，桩顶弯矩超过地表以下桩身最大弯矩而成为最大弯矩。当Km>1×108 kN·m/rad时，近于桩顶固定状态；桩顶位移约为桩顶自由时的22%，这与文献[1]的结论相近。

3.2 桩身初始微倾斜的影响

分别利用θ=0 rad时的桩顶位移uvp和桩身最大弯矩Mvmax及总桩长H对桩顶位移up、桩身最大弯矩Mmax及其距离桩顶的距离zmax归一化，得到无量纲的量：桩顶位移比up/uvp、最大弯矩比Mmax/Mvmax及桩身最大弯矩距离桩顶的距离比zmax/H。纵向荷载Np=10 MN、水平荷载Qp=250 kN，不同的桩头转动刚度下，up/uvp、Mmax/Mvmax及zmax/H与桩身初始倾角的关系如图 5所示。

图 5 桩身响应与桩身初始倾角的关系 Fig. 5 Relationship between pile responses and initial inclination angle of pile shaft

由图 5(a)、(b)可见，随着桩身初始倾角的增加，桩身最大位移和最大弯矩均线性增大，且在桩头转动刚度增加时其变化速率保持不变。桩身初始倾角从0 rad增至1×10-2 rad时，桩身最大位移和最大弯矩均增加约42%。由图 5(c)可见，Km=1×103 kN·m/rad及Km=5×105 kN·m/rad时，桩身最大弯矩位于地表以下某点处，且其位置随桩身初始倾角的增加而保持不变。另外，计算结果表明当Km=1×108 kN·m/rad时，桩身最大弯矩位于桩顶。因此，纵横向组合荷载作用下桩身侧向响应受桩身初始微倾斜的影响较大，不容忽视。

3.3 纵向荷载的影响

桩头转动刚度Km=5×104 kN·m/rad、水平力Qp=350 kN；桩身最大位移、最大弯矩以及最大弯矩距离地表的距离在不同的桩身初始倾角下与纵向荷载的关系如图 6所示。

图 6 桩身响应与纵向荷载的关系 Fig. 6 Relationship between pile responses and vertical load

由图 6(a)、(b)可见，随着纵向荷载的增加，桩身最大位移和桩身最大弯矩均增大，当纵向荷载较小时其变化速率较小。随着纵向荷载和桩身初始倾角的增加，其变化速率逐渐增大。在纵向荷载施加的后期，随着纵向荷载的增加，桩身最大位移和桩身最大弯矩急剧增大，此时，桩基处于失稳状态。桩身最大位移和桩身最大弯矩受桩身初始微倾斜的影响随纵向荷载的增加而增大。由图 5(c)可见，随着纵向荷载的增加，桩身最大弯矩距离地表的距离呈线性减小。

4 结论

基于三参数形式的地基水平抗力系数，采用桩头转动刚度表征桩头转动约束的程度，推导出纵横向组合荷载作用下微倾单桩侧向变形和内力的半解析解。计算分析后得到以下结论：

1) 随着桩头转动刚度的增加，桩顶位移和地表以下桩身最大弯矩均减小，桩顶弯矩和地表以下桩身最大弯矩距离桩顶的距离均增大。桩头转动刚度存在一临界值，在该点处桩顶弯矩等于地表以下桩身最大弯矩；当桩头转动刚度大于该临界值时，桩顶弯矩超过地表以下桩身最大弯矩而成为最大弯矩。

2) 随着桩身初始倾角的增加，桩身最大位移和最大弯矩均线性增大，且在桩头转动刚度增加时其变化速率保持不变。桩身最大位移和最大弯矩受桩身初始微倾斜的影响随纵向荷载的增加而增大。桩身最大弯矩所在位置随桩身初始倾角的增加而保持不变。

3) 随着纵向荷载的增加，桩身最大位移和桩身最大弯矩均增大，其变化速率也随纵向荷载及桩身初始倾角的增加而逐渐增大，而地表以下桩身最大弯矩距离地表的距离呈线性减小。

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