脆性岩石处于高应力状态下，由于弹性变形能突然释放并产生弹射、岩石碎化、发声甚至地震动等破坏现象，这种现象被称为岩爆。岩爆对工程项目及人身安全带来极大损害，岩爆预测是岩爆防控的基础，是指导工程施工的依据，也是学者研究的一个重要课题，因此，一些学者针对岩爆这种特殊工程响应问题进行了深入探讨。目前，已有许多比较成熟的岩爆理论，主要有能量理论、强度理论、刚度理论、冲击倾向理论和失稳理论等。材料随着变形会发生渐变损伤，潘一山等[1]基于此理论探讨了圆形地下洞室发生岩爆的可能性。王桂尧等[2]利用断裂力学理论分析了岩体在高应力状态下裂隙扩展的特点，探讨了岩爆发生的机理，并在前人研究的基础上提出了隧道围岩应力强度因子等值线的概念。Wang等[3]基于岩石中的应变能，分析了岩爆的发生机理。Mansurov等[4]对诱发性地震的数据进行详细研究，分析了岩爆发生的可能性。Jiang等[5]对深埋巷道模型进行数值模拟分析，探讨了其岩爆特征。Zuo等[6]基于岩爆过程中能量的传递机制分析了岩爆的特征。徐林生等[7]分析了岩爆形成机制，研究了岩爆发生的判别条件。蔡美峰等[8]基于地应力实测与岩石力学室内试验结果，采用多准则判据对矿区深部发生岩爆的倾向性做出定性分析与评价。另外，结合非线性科学、专家系统和人工智能技术等方法，不同学者提出了多种岩爆预测新方法，如模糊学理论[9]，人工神经网络[10]，功效系数法[11]等。但是，目前对于地下洞室围岩岩爆的分析大多以定性分析为主，缺乏对地下洞室围岩岩爆区范围、位置和弹射速度的定量分析和计算方法。
笔者将岩体视为不含初始原生裂隙、仅含微缺陷(裂纹)的颗粒体。地下洞室开挖后，颗粒之间的微裂纹扩展形成次生裂纹，次生裂纹失稳扩展形成破裂区及岩爆区的宏观裂纹。考虑地下洞室围岩岩爆过程的能量传递机理，定量分析了围岩岩爆区范围、位置及碎块弹射速度与地应力状态、岩石颗粒直径、岩体峰值荷载前后模量比率系数、微裂纹密度、岩石断裂韧度和泊松比之间的关系。
以圆形巷道为例，假定圆形巷道水平方向和竖直方向的地应力分别为σh和σv，并假定微裂纹在岩体中均匀分布，微裂纹的初始长度为2c0，微裂纹的间距为2w，岩体中的颗粒直径为d。岩体开挖卸荷后，根据叠加原理，非静水压力条件下圆形洞室连续围岩弹性应力场可以表示为[12]
式中：r0为圆形洞室半径；r和θ为围岩上任意一点的极坐标。
实验和理论结果表明[13-14]：微裂纹沿最大主应力方向即周向应力方向扩展。此时，连续围岩的主应力可以精确表示为
根据文献[10-14]，地下洞室开挖后，微裂纹扩展形成次生裂纹，次生裂纹表面上的拉应力可以表示为[13-16]
式中：$f\left( l \right)=\frac{d}{l}$，l为次生裂纹扩展长度，d为岩石颗粒直径。
微裂纹尖端的Ⅰ型应力强度因子可以表示为[15]
当微裂纹尖端的应力强度因子KI等于实验确定的岩石断裂韧度KIC时，微裂纹将发生弯折扩展，次生裂纹的扩展长度l可以根据式(8) 确定。
根据式(7) 和式(8) 可以确定次生裂纹扩展长度l。
次生裂纹汇合形成宏观裂隙出现的条件为
次生裂纹扩展所耗散的能量可以表示为能量释放率G在次生裂纹长度l上的积分，即
岩体储存的弹性应变能密度为
将胡克定律代入式(11) 可得岩体储存的弹性应变能密度为
如果岩体峰值荷载前的弹性模量和峰值荷载后的模量之比为
式中：m为反映岩体峰值荷载前后模量比率的系数；E1为岩体峰值荷载后的模量；E为岩体峰值荷载前的弹性模量。
忽略次生裂纹扩展过程所消耗的热量密度，根据式(10) 可求出次生裂纹扩展所消耗的能量密度，总耗散能等于次生裂纹扩展所消耗的能量[17-18]
式中：N代表微裂纹的密度。
当次生裂纹扩展所需的耗散能密度最小时，剩余能量最大，最容易发生岩爆，为此，对式(14) 取θ的一阶偏导式(15)。将式(15) 确定的θ值(θ=θ0)，代入式(14) 关于θ的二阶偏导表达式，如果其值大于或等于零，即可确定该处次生裂纹扩展所需的耗散能密度最小，从而可确定该处为最大岩爆烈度位置。令
式中：${{\mathit{n}}_{1}}=\frac{{{\sigma }_{\rm{v}}}+{{\sigma }_{\rm{h}}}}{2}\left( 1-\frac{\mathit{r}_{0}^{2}}{{{\mathit{r}}^{2}}} \right)$；${{\mathit{n}}_{2}}=\frac{{{\sigma }_{\rm{h}}}-{{\sigma }_{\rm{v}}}}{2}\left( 1-4\frac{\mathit{r}_{0}^{2}}{{{\mathit{r}}^{2}}}+3\frac{\mathit{r}_{0}^{4}}{{{\mathit{r}}^{4}}} \right)$；${{\mathit{n}}_{3}}=\frac{{{\sigma }_{\rm{v}}}+{{\sigma }_{\rm{h}}}}{2}\left( 1+\frac{\mathit{r}_{0}^{2}}{{{\mathit{r}}^{2}}} \right)$；${{\mathit{n}}_{4}}=\frac{{{\sigma }_{\rm{v}}}-{{\sigma }_{\rm{h}}}}{2}\cdot \left( 1+3\frac{\mathit{r}_{0}^{4}}{{{\mathit{r}}^{4}}} \right)$；${{\mathit{n}}_{5}}=\frac{{{\sigma }_{\rm{v}}}-{{\sigma }_{\rm{h}}}}{2}\left( 1+2\frac{\mathit{r}_{0}^{2}}{{{\mathit{r}}^{2}}}-3\frac{\mathit{r}_{0}^{4}}{{{\mathit{r}}^{4}}} \right)$；${{\mathit{n}}_{6}}=\sqrt{{{[{{\mathit{n}}_{1}}-{{\mathit{n}}_{3}}+({{\mathit{n}}_{2}}+{{\mathit{n}}_{4}})\rm{cos}~2\theta]}^{2}}+4\mathit{n}_{5}^{2}\rm{si}{{\rm{n}}^{2}}2\theta }$；n7=(n1-n3)(n2+n4)+(n22+2n2n4+n42-4n52)×cos 2θ；n8=2d2sin 2θn62(n4-n2+ $\frac{{{n}_{7}}}{{{n}_{6}}}$)；n9=n1+n3+n2cos 2θ-n4cos 2θ；n10=sin 2θ(-n1l-n3l-n2lcos 2θ+n4lcos 2θ+3dn6+ln6)；n11=-dn1n2+dn2n3-dn1n4+dn3n4；n12=-n1n2l+n2n3l-n1n4l+n3n4l；n13=(n22+2n2n4+n42-4n52)cos 2θ；n14=sin 2θ(-n1l-n3l-n2lcos 2θ+n4lcos 2θ+dn6+ln6)；n15=d2ln[-l(-n9+n6)]；n16=-4(n2+n4)[n1-n3+(n2+n4)cos 2θ]sin 2θ+8n52sin 4θ。
计算模型适用于岩体中不含初始原生裂隙，岩石颗粒之间的微裂纹导致次生裂纹失稳扩展而产生的岩爆。根据能量守恒定律，岩爆产生的动能为
另外，岩爆发生应该同时满足两个条件：一个是次生裂纹完全汇合才形成宏观裂隙，另一个是岩石中总耗散能密度要小于弹性应变能密度，即
根据式(18) 可以确定发生岩爆的岩体面积A。
根据发生岩爆的岩体面积可以确定发生岩爆的岩体质量M为
式中：ρ为岩石的密度。
岩爆发生时岩石的弹射速度为
以算例的形式分析圆形地下洞室连续围岩破裂区及岩爆特征。具体计算参数为：岩石弹性模量E=25 GPa, 密度ρ=2 200 kg/m3, 洞室半径为r0=7 m。
图 2表示不同应力状态下围岩破裂区及岩爆区分布规律，计算参数为d=5 mm、v=0.3、m=0.5、N=500、c0=0.4 mm、w=8 mm、KIC=0.1 MPa·m1/2。从图 2可以看出，围岩破裂区和岩爆区分布范围与水平方向应力和竖直方向应力差值有很大关系，岩爆区呈倒V字形。
在分析围岩岩爆区面积与围岩的应力的关系时，采用围岩应力的侧压力系数。图 3所示为围岩岩爆区面积随侧压力系数的变化规律。从图 3可知：当侧压力系数大于1时，岩爆区面积随侧压力系数的增大而增大，并且侧压力系数小于6时，曲线比较陡，说明围岩岩爆面积随侧压力系数增大比较快，而侧压力系数大于6时，曲线比较缓，说明围岩岩爆面积增长明显变慢并趋向某一定值；当侧压力系数小于1时，岩爆区面积随侧压力系数的增大而减小，侧压力系数在小于0.29时，围岩岩爆面积减小比较快，当侧压力系数大于0.29时，围岩岩爆面积减小变慢。
图 4所示为碎块平均弹射速度随侧压力系数的变化规律。从图 3和图 4可以看出，围岩岩爆区面积和碎块平均弹射速度与侧压力系数的变化规律基本一致。从图 4可知：当侧压力系数小于1时，碎块平均弹射速度随侧压力系数的增大而减小，最后趋于零；当侧压力系数大于1时，碎块平均弹射速度随侧压力系数的增大而增大，当侧压力系数大于6时，碎块平均弹射速度与侧压力系数基本上呈正比例关系，且增长较慢，侧压力系数小于6时，曲线比较陡，碎块弹射速度增长较快。
图 5所示为不同岩石颗粒直径条件下围岩破裂区及岩爆区分布规律，计算参数为：σv=3 MPa、σh=23 MPa、m=0.5、N=500、v=0.3、KIC=0.1 MPa·m1/2。从图 5可以看出，围岩破裂区和岩爆区分布范围随颗粒直径的增大而减小。
图 6所示为围岩岩爆区面积随岩石颗粒直径变化规律。从整体上看围岩岩爆区面积随颗粒直径的增大而减小。当岩石颗粒直径小于0.2时，岩爆区面积减小比较快，当岩石颗粒直径大于0.2时，岩爆区面积减小变缓。
图 7所示为碎块平均弹射速度随岩石颗粒直径变化规律。从总体上可以看出，碎块平均弹射速度随颗粒直径的增大而减小，并最终趋于稳定值。在岩石颗粒直径小于0.2时，曲线比较陡，碎块平均弹射速度下降比较快，但当直径大于0.2时，曲线基本平缓，并趋于稳定值。
图 8所示为岩体峰值荷载前和后的模量比率系数对围岩破裂区及岩爆区分布规律的影响，计算参数为：σv=3 MPa、σh=23 MPa、v=0.3、d=5 mm、N=500、KIC=0.1 MPa·m1/2。计算结果表明：围岩破裂区和岩爆区分布范围不随岩体峰值荷载前后模量比率系数变化而变化。
图 9所示为岩体峰值荷载前和后的模量比率系数对碎块平均弹射速度变化规律的影响。从图 9可以看出，碎块平均弹射速度随岩体峰值荷载前和后的模量比率系数的增大而减小，并在0.8处碎块平均弹射速度减小变快，并最终在1处变为0。
图 10所示为不同微裂纹密度条件下围岩破裂区及岩爆区分布规律，计算参数为：σv=3 MPa、σh=23 MPa、d=5 mm、v=0.3、N=500、KIC=0.1 MPa·m1/2。计算结果表明：围岩破裂区和岩爆区分布范围随微裂纹密度的增大而减小。
图 11所示为不同裂纹密度条件下岩爆区面积随裂纹密度变化规律。从整体上可以看出，岩爆区面积随裂纹密度的增大而减小，变化趋势呈先快后变缓，最终趋于稳定值。
图 12所示为碎块平均弹射速度随裂纹密度变化规律。从图 12可以看出，当裂纹密度N小于600时，碎块平均弹射速度随裂纹密度的增大而增大；当裂纹密度N大于600时，碎块平均弹射速度随裂纹密度的增大而减小，并且在900处减小趋势变缓，最终趋于稳定值。
图 13所示为不同岩石断裂韧度条件下围岩破裂区及岩爆区分布规律，计算参数为：σv=3 MPa、σh=23 MPa、d=5 mm、m=0.5、v=0.3、N=500。从图 13可以看出，围岩破裂区和岩爆区分布范围随断裂韧度的增大而减小。
图 14所示为围岩岩爆区面积随岩石断裂韧度变化规律。从图 14可以看出，岩爆区面积随岩石断裂韧度的增大而减小，且曲线斜率基本为定值，说明围岩岩爆区面积与岩石断裂韧度呈正比例关系。
图 15所示为不同岩石断裂韧度条件下碎块平均弹射速度变化规律。从图 15可以看出，碎块平均弹射速度随岩石断裂韧度的增大而增大，且增长趋势基本一致。
图 16所示为不同泊松比条件下围岩破裂区及岩爆区分布规律，计算参数为：σv=3 MPa、σh=23 MPa、d=5 mm、m=0.5、N=500、KIC=0.1 MPa·m1/2。从图 16可以看出，围岩破裂区和岩爆区分布范围随泊松比的增大而略有增大。
图 17所示为不同泊松比条件下围岩岩爆区面积变化规律。从图 17可以看出，围岩岩爆区面积随泊松比的增大而增大，当0.1＜v＜0.2时，岩爆区面积增长较慢；当0.2＜v＜0.3，岩爆区面积增长加快；当0.3＜v时，围岩岩爆区面积为定值，不随泊松比而变化。
图 18所示为不同泊松比条件下碎块平均弹射速度变化规律。从整体上可以看出，碎块平均弹射速度随泊松比的增大而减小，当v＜0.2时，碎块平均弹射速度减小比较慢，当v＞0.2时，则减小加快。
根据能量守恒定律，定量研究了非静水压力条件下圆形洞室连续围岩岩爆区位置、面积及岩爆后岩石碎块弹射速度与应力状态及各种岩体参数之间的关系。地下洞室连续围岩的水平应力和竖向应力差值不同，对围岩的破裂区和岩爆位置及面积大小影响程度不同，差值越大，越容易产生岩爆。当侧压力系数(水平应力与竖向应力比值)大于1时，岩爆区面积和碎块平均弹射速度随之侧压力系数增加，先快速增加，当达到6时，增长变缓，并趋于稳定值；当侧压力系数小于1时，岩爆区面积和碎块弹射速度随侧压力系数增加而减小，当达到某一值后变为0。岩石颗粒直径越大，岩爆区面积和碎块平局弹射速度越小，岩石颗粒直径小于0.2时影响比较大。岩爆区面积随裂纹密度增大而减小，最后趋于稳定值，而碎块平均弹射速度随裂纹密度增大先增大后减小，并也趋于稳定值。岩石断裂韧度越大，岩爆区面积越小，而碎块平均弹射速度随岩石断裂韧度增大而增大，可见岩石断裂韧度对岩爆区面积和碎块平均弹射速度的影响相反。泊松比越大，岩爆区面积越大，当泊松比大于0.3时，岩爆区面积为定值，碎块平均弹射速度随泊松比增大而减小。
2017, Vol. 39 Issue (6): 37-45
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2017, Vol. 39 Issue (6): 37-45
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