现有关于输入能量谱的研究成果多采用两段式或三段式能量谱模型^[2-6]，这两类模型的区别主要体现在对能量谱长周期段的描述，但目前没有充足的证据表明哪类模型更具代表性。为尽量真实地反映输入能量谱的客观规律，输入3种场地条件下强震记录，计算阻尼比为0.05的SDOF体系(m=1 kg)在周期0~6 s范围内的弹性输入能量谱，研究场地条件对输入能量谱的影响和输入能量谱的基本特征。

经统计，总体样本的输入能量谱曲线由于样本覆盖的震级、震中距、场地等条件极为广泛，因此，呈现出很大的离散性，不利于基于能量的设计应用。仅就输入能量谱峰值E_Imax这一个指标，经简单统计可以发现(如图 2所示)，E_Imax最小值为0.000 726 0 J，最大值达14.95 J，相差达5个数量级。显然，不加分类地进行平均，看似涵盖所有强震记录的能量特征，但实质上不能揭示影响输入能量谱峰值的影响因素。进一步对总体样本记录能量谱峰值周期T_pe(即输入能量谱E_lmax中对应的结构周期)分布进行统计(如图 3所示)，可见T_pe集中分布于中、短周期段，其中90.58%的强震记录T_pe分布于0~2.5 s区间。

图 2

图 2 Elmax分布图 Fig. 2 Distribution of Elmax

图 3

图 3 Tpe分布图 Fig. 3 Distribution of Tpe

需要注意的是，通过弹性输入能量谱试算，3种场地条件下都发现少数强震记录的输入能量谱卓越周期T_pe分布于长周期段(如图 4(a)中圆圈所示)，尤其在代表坚硬场地的A、B类地震动记录中，也出现了少量T_pe为3 s以上的情况，这与现有概念“坚硬场地上的能量反应应集中在中短周期段”存在矛盾。通过进一步傅里叶分析发现，这部分地震波的加速度傅里叶幅值谱都具有多个频率差距较大的峰值，输入能量谱也多呈现为特殊的多峰型曲线。鉴于此类地震动记录占比较少，且多峰型能量谱通常是由于震源机制、传输机制及场地影响等多因素耦合造成，在目前缺少系统性统计和足够样本数量前提下，暂不纳入本文研究范围。因此，后续对具有明显双峰型傅里叶加速度谱的地震动记录予以筛除，筛除程序为：首先，计算出各条地震波的傅里叶加速度谱，其次，计算出谱曲线上第1主峰和第2主峰对应周期值，当第1主峰值与第2主峰值对应周期相差大于等于2 s时，判定为双峰谱，对此类地震波进行筛除。图 4为全集系地震动记录归一化输入能量谱在筛除双峰谱前后的对比情况。据此标准筛选后，地震动样本数量为259条(含A、B类场地54条，C类场地102条，D类场地103条)，占原样本总体的93.8%，后续研究均据此样本集开展。

图 4

图 4 地震动记录筛选前后的归一化输入能量谱对比 Fig. 4 Comparison of ground motions before and after being screened

鉴于上述计算的输入能量谱涵盖了多个震级、多种场地类型和跨度较大的断层距地震动记录，直接对输入能量谱进行统计分析，必然存在很大的离散性。参考文献[4]，将输入能量谱表征为E_lmax与归一化输入能量谱曲线的乘积，可以更好地对输入能量谱特性进行分析。针对的259条地震动记录，统计3种场地条件下的平均输入能量谱(如图 5所示)。3种场地条件平均输入能量谱均呈现出明显的上升段、平台段和下降段，因此，选择三段式能量谱模型更为恰当。参考文献[4-6]关于三段式归一化输入能量谱函数表达形式，取归一化输入能量谱(NE_I)回归函数模型为

图 5

图 5 弹性平均输入能量谱 Fig. 5 Elastic mean input energy spectrum

式中：NE_I为阻尼比ξ=0.05时SDOF体系归一化弹性输入能量谱值；T₁和T₂分别为平台段的起始周期和结束周期；r为下降段的衰减系数，输入能量谱模型如图 6所示。

图 6

图 6 归一化输入能量谱模型 Fig. 6 Input energy spectrum model

4 输入能量谱峰值与地震动特征参数间的相关性分析

关于输入能量谱峰值E_Imax已有大量的研究成果^{[4, 11-13]}，但缺少各类指标对E_Imax影响的相关性对比分析。为了确定地震动参数与弹性输入能量谱之间的关系，收集整理了13个地震动参数用以进行分析对比，其中，包括峰值加速度(PGA)、峰值速度(PGV)、峰值位移(PGD)、均方根加速度(A_rms)、均方根速度(V_rms)、均方根位移(D_rms)、绝对累积速度(CAV)^[14]、Arias强度(I_a)、Park特征强度(I_c)^[11]、Riddell等^[12]、Fajfar等^[13]和程光煜等^[4]分别提出的地震动强度指标I_R、I_F、I_ch，各参数定义说明如表 1所示。鉴于地震动能量响应的物理意义，速度时程的傅里叶幅值谱与输入能量谱谱值具有直接相关性，且试算表明这两条谱曲线具有较为一致的曲线分布形式，因此，基于傅里叶变换提出新的地震动参数(I_se)。

表 1

表 1 地震动参数定义说明 Table 1 Explanations of ground motion parameters 参数类型 表达式与说明 幅值相关参数 ${\rm{PGA = }}{\left| {\mathit{\ddot x}\left(t \right)} \right|_{\max }}; {\rm{PGV = }}{\left| {\dot x\left(t \right)} \right|_{\max }}; {\rm{PGD = }}{\left| {x\left(t \right)} \right|_{\max }}; $ ${A_{{\rm{rms}}}} = \sqrt {\frac{1}{{{t_2} - {t_1}}}\int_{2t1}^t {{{\ddot x}^2}\left(t \right){\rm{d}}\mathit{t}} }; {V_{{\rm{rms}}}} = \sqrt {\frac{1}{{{t_2} - {t_1}}}\int_{2t1}^t {{{\mathit{\dot x}}^2}\left(t \right){\rm{d}}\mathit{t}} }; $ ${D_{{\rm{rms}}}} = \sqrt {\frac{1}{{{t_2} - {t_1}}}\int_{2t1}^t {{\mathit{x}^2}\left(t \right){\rm{d}}\mathit{t}} }; I{\rm{a = }}\frac{\mathit{\pi }}{{2\mathit{g}}}\int_0^{{t_f}} {{{\mathit{\ddot x}}^2}\left(t \right){\rm{d}}\mathit{t; }{\rm{CAV = }}\int_0^{{t_f}} {\left| {\ddot x\left(t \right)} \right|{\rm{d}}\mathit{t; }{\mathit{I}_{\rm{c}}}} = A_{{\rm{rms}}}^{1.5}\mathit{t}_{\rm{d}}^{0.5}} $ 时程相关参数 IR=PGV2/3td1/3(取中等周期段的表达式)；IF=PGVtd0.25；Ich=PGVtd0.15；Ise=∑Ci，式中:Ci为速度时程的傅里叶幅值谱第i个分量对应的振幅。

表 1 地震动参数定义说明 Table 1 Explanations of ground motion parameters

参考文献[12]回归方程，对输入能量谱峰值E_Imax采用式(5)所示拟合表达式。

$\overline {{E_{{\rm{Imax}}}}} = \mathit{\alpha }{\mathit{X}^\mathit{\beta }} $

(5)

式中：$\overline {{E_{{\rm{Imax}}}}} $为非线性拟合得到的输入能量谱峰值；X为待分析的地震动参数；α、β为非线性回归系数。计算上述地震动参数与E_Imax的非线性相关系数(如图 7所示)，通过比较相关性强弱，可确定用于描述地震动能量谱幅值的适宜地震动参数(由图 7可见)。3种场地条件下I_se与E_Imax的相关系数均为最大值，因此，本文选用I_se作为描述E_Imax的地震动参数。基于式(5)的形式进行非线性回归，得到ξ=0.05时的弹性输入能量谱峰值表达式。

图 7

图 7 各参数与EImax相关性系数 Fig. 7 Correlation coefficients between different parameters and EImax

$\overline {{E_{{\rm{Imax}}}}} = 1.789I_{{\rm{se}}}^{2.056} $

(6)

式中：I_se的单位取m/s；$\overline {{E_{{\rm{Imax}}}}} $单位为J。

为确定不同震级、震中距和场地条件下I_se取值，针对I_se的衰减规律展开进一步研究。参考文献[15-16]对输入能量谱衰减规律的衰减模型与研究成果，基于259条地震动数据，利用最小二乘法进行I_se衰减规律的回归，结果为

$\lg {\mathit{I}_{{\rm{se}}}} = 0.158 + 0.463\left( {M - 6} \right) - 0.088{\left( {M - 6} \right)^2} - 0.345\lg \left( {R_{{\rm{rup}}}^2 \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+ 51.552} \right) + 0.150{G_{\rm{c}}} + 0.294{G_{\rm{d}}} $

(7)

式中：M为矩震级；R_rup为断层距；G_c和G_d分别为考虑场地影响而引入的已知函数，当场地条件为C类时，G_c=1，其他场地条件时，G_c=0；当场地条件为D类时，G_d=1，其他场地条件时，则G_d=0。其他常数项均为回归分析的结果，其中，随机误差的均方差σ(lg I_se)=0.198。

5 弹性输入能量谱的建立与验证

场地条件是影响输入能量谱频谱特性的重要因素，整理不同场地条件下的分布情况，结果如图 8所示。3种场地条件下的分布存在明显差异，随场地条件变软，平均值逐渐增大(A、B类场地为0.776 s，C类场地为1.027 s，D类场地为1.185 s)，总体分布有向长周期移动的趋势，因此，有必要考虑场地条件对输入能量谱的影响。

图 8

图 8 不同场地条件下Tpe的分布情况 Fig. 8 Distribution of for different site conditions Tpe

为准确分析输入能量谱曲线分布特征，利用E_Imax对各条输入能量谱进行归一化，基于归一化输入能量谱进行研究分析。基于场地条件的划分，输入259条地震动记录，统计阻尼比为0.05的单自由度弹性体系的平均归一化输入能量谱曲线，并基于式(4)的形式，利用最小二乘法进行曲线拟合，拟合谱相关参数见表 2，拟合谱曲线如图 9所示。由表 2可见，随场地变软，输入能量谱卓越区段向长周期移动，T₁和T₂逐渐增加，下降段衰减系数r逐渐增大。将由式(6)计算得到的能量谱峰值与归一化输入能量谱拟合谱相乘，即可得到本文建议的弹性设计输入能量谱。

图 9

图 9 平均归一化输入能量谱与拟合谱的对比 Fig. 9 Comparison of average normalized input energy spectrums and fitted spectrums

表 2

表 2 拟合弹性能量谱参数 Table 2 The factors of fitted input energy spectrum 场地类别 T1 T2 t NEImax A、B类场地 0.12 1.25 0.82 0.33 C类场地 0.45 1.45 1.27 0.40 D类场地 0.52 1.67 1.30 0.40

表 2 拟合弹性能量谱参数 Table 2 The factors of fitted input energy spectrum

为检验研究成果的有效性，基于式(7)，在NGA数据库中另行随机选取C、D类场地纪录15条和21条，其强度指标lg I_se分布区间为[-0.067, -0.064]。图 10为两种场地条件下抽样记录平均输入能量谱与本文拟合谱计算结果的对比，由图可见，本文提出的拟合谱与平均输入能量谱曲线吻合良好，其中，C类场地平均相对误差为19.78%，D类场地为15.03%。抽样验算的结果表明，本文弹性设计输入能量谱能较准确地反映不同场地条件下平均输入能量谱的统计特征。

图 10

图 10 抽样平均输入能量谱与拟合谱的对比 Fig. 10 Comparison of sample mean input energy spectrums and fitted spectrums

6 结论

基于3种场地条件下259条地震动记录，利用时程分析和归一化方法，研究分析了SDOF弹性输入能量谱的基本特征。结论如下：

1) 通过相关性分析，提出作为评价输入能量谱幅值的地震动参数指标是合适的，并采用最小二乘法确定了I_se、E_lmax的表达式。

2) SDOF弹性平均输入能量谱曲线受场地条件影响显著，依据NEHRP推荐的场地划分准则，3种场地条件下平均输入能量谱曲线均具有三段式函数形式；经回归分析，得到结构阻尼比为0.05时, 各种场地条件下平均输入能量谱曲线特征参数的具体取值，确定了平均输入能量谱表达式。计算结果表明，随场地变软，平均输入能量谱卓越区段向长周期移动，拟合谱的平台起止点和逐渐增大，下降段的衰减系数逐渐提升。

3) 通过I_se、E_lmax表达式、归一化输入能量谱拟合谱曲线组合，即可得到不同震级、断层距与场地条件下建议的平均输入能量谱，算例结果表明，本文建议表达式能较准确地反映不同场地条件下平均输入能量谱的统计特征。

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