土木与环境工程学报  2020, Vol. 42 Issue (3): 10-16   doi: 10.11835/j.issn.2096-6717.2019.185   PDF    
基于极限平衡法的砂土中条形基础极限承载力计算方法
赵志峰 , 马青 , 方舟     
南京林业大学 土木工程学院, 南京 210037
收稿日期：2019-08-19
基金项目：国家自然科学基金(51508279)
作者简介：赵志峰(1978-), 男, 副教授, 博士, 主要从事城市地下工程、微生物岩土工程研究, E-mail:zzf0911@163.com.
摘要：通过理论计算确定浅基础的极限承载力是岩土研究的基本课题。由于推导中对滑动面以及承载力系数间的关系假定不同，已有理论计算出的承载力系数的数值并不完全相同。根据极限承载力分析的经典理论模型，采用极限平衡法力矩平衡条件，推导出砂土中条形基础的极限承载力计算公式，并整理得到承载力系数Nq和Nγ的表达式。与已有常用计算方法相比，推导出的承载力系数Nq和Nγ的计算公式相互独立，避免了承载力系数相互影响的不足，并减少了计算的不确定性。为验证公式的准确性，将计算结果与极限分析法的理论解答以及文献中的试验结果进行对比，结果表明，相比几种经典理论，用该公式计算出不同内摩擦角时的系数Nγ与极限分析法的计算值更加接近；用该公式计算出的极限承载力与室内试验实测的承载力也更加接近。
关键词：极限承载力    砂土    条形基础    极限平衡法    承载力系数    
Ultimate bearing capacity analysis of strip footing on sand based on the limit equilibrium method
Zhao Zhifeng , Ma Qing , Fang Zhou     
College of Civil Engineering, Nanjing Forestry University, Nanjing 210037, P. R. China
Received: 2019-08-19
Foundation item: National Natural Science Foundation of China (No. 51508279)
Author brief: Zhao Zhifeng (1978-), associate professor, PhD, main research interests: urban underground engineering and microbial geotechnical engineering, E-mail: zzf0911@163.com.
Abstract: Ultimate bearing capacity analysis of shallow foundations has been extensively studied by geotechnical scholars. Since different hypotheses exist in the slip surface and relationship between bearing capacity factors, the value of bearing capacity factors is not same depending on the theory used. Based on the classical analytical model, a limit equilibrium method of moment equilibrium is used to deduce the bearing capacity formula of strip footing on sand, and the equations of bearing capacity factors Nq and Nγ are given. Compared to commonly used theoretical models, the equations of factors Nq and Nγ are independent thus avoid the interplay of two factors and reduce the uncertainty in calculation. In order to verify the accuracy of the equations, the calculation is compared with the theory solution of limit analysis and laboratory test results in literature. Results indicate that the Nγ values calculated by the proposed equations of different internal friction angle are closer to solution of limit analysis than other theoretical models. Furthermore, the bearing capacity calculated by equations in this paper shows good agreement with the data of laboratory test.
Keywords: ultimate bearing capacity    sand    strip footing    limit equilibrium method    bearing capacity factor    

天然地基极限承载力作为岩土力学中的基本问题，受到了学术界和工程界的重视。Terzaghi、Meyerhof等采用不同的方法，推导出了地基极限承载力的计算公式并给出了相应的承载力系数。

目前常用的分析方法有：塑性极限分析法、滑移线法和极限平衡法[1]。这3种承载力理论计算方法各有特点：极限分析法理论上比较严密、推导相对比较复杂；滑移线理论能求得无重土极限承载力精确解[2]，但对有重土需要结合其他方法求解；极限平衡法由于推导简便而得到了普遍应用。以Terzaghi为代表的学者分析了基底以上堆载q、基础宽度b和黏聚力c对承载力的影响，给出了被广泛应用的地基承载力计算公式

$ {p_{\rm{u}}} = c{N_{\rm{c}}} + q{N_{\rm{q}}} + 0.5\gamma b{N_\gamma } $ (1)

式中：承载力系数Nc、Nq、Nγ均为内摩擦角的函数。

对于砂土，黏聚力为零，式(1)改写为

$ {p_{\rm{u}}} = q{N_{\rm{q}}} + 0.5\gamma b{N_\gamma } $ (2)

由于理论推导中会采取不同的简化，因此，各学者得到的承载力系数表达式有所不同。文献[3]中列出了当基底完全粗糙时Terzaghi理论的承载力系数[3]

$ {N_{\rm{q}}} = \frac{{{{\rm{e}}^{(1.5\{\pi - \varphi ){\rm{tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi }}}}{{2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}(\pi /4 + \varphi /2)}} $ (3a)
$ {N_\gamma } = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{K_{\rm{p}}}}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{\kern 1pt} \varphi }} - 1} \right){\rm{tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi $ (3b)

式中：Kp为被动土压力系数。Terzaghi和Peck建议由半经验公式计算Nγ

$ {N_\gamma } = 1.8({N_{\rm{q}}} - 1){\rm{tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi $ (4)

Lyamin等[4]总结了Hansen、Bolton等学者关于承载力系数的研究成果。承载力系数Nq可表示为

$ {N_{\rm{q}}} = {{\rm{e}}^{\pi{\rm{ tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi }} \cdot {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}({\rm{ \mathsf{ π} }}/4 + \varphi /2) $ (5)

对于承载力系数Nγ，由于很难给出严密的推导，所以，不同学者给出了各自的经验公式，这给使用者带来了困难[5-6]。其中，比较有代表性的有

Hansen 等提出的

$ {N_\gamma } = 1.5({N_{\rm{q}}} - 1){\rm{tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi $ (6a)

Vesic[7] 提出的

$ {N_\gamma } = 2({N_{\rm{q}}} + 1){\rm{tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi $ (6b)

Lyamin 等[4]提出的

$ {N_\gamma } = ({N_{\rm{q}}} - 1){\rm{tan}} \left( {1.32\varphi } \right) $ (6c)

需要指出的是，Terzaghi采用叠加方法计算承载力系数Nc、Nq、Nγ，由于计算时采用不同破坏模式的叠加，因此，推导出的承载力与真实值存在差异[8-9]。模型试验和现场试验也表明，采用某些经典模型计算出的极限承载力偏于保守。

随着有限元等数值计算方法的普及，很多学者倾向于采用数值模拟方法研究承载力问题。数值模拟方法假定少、适用范围广，但计算结果缺少普遍性，可以与理论分析法相互补充。目前，仍有学者通过理论分析来研究地基承载力，研究主要集中在：采用非叠加方法计算承载力系数；推导不同形状基础的地基承载力解析解；计算非均质地基条件下的极限承载力。

笔者采取极限平衡法在同一破坏模式下研究砂土上条形基础的承载力，推导考虑埋深和土体重度的极限承载力解析解，提出相互独立的承载力系数计算公式，并将推导结果同经典解答以及文献中的试验结果进行对比，验证公式的合理性和适用性。

1 公式推导

推导中采用经典承载力理论的基本假定：条形基础基底粗糙，土体视为理想刚塑性模型且服从Mohr-Coulomb屈服准则，在极限荷载下土体发生整体剪切破坏。

设基础宽度为b、埋深为d、基底以上由于土重产生的堆载为γd，考虑对称性，取一半进行分析，分析简图如图 1所示。根据各学者普遍认可的破坏模式，在基底最大压力pu作用下，土中破坏面分为3个区：三角形ABC为弹性核，水平夹角为θ1；ACD为过渡区、边界CD为对数螺旋线，中心角为θ2；ADG为被动区，AD与水平面的夹角为45°-φ/2。

图 1 极限承载力分析简图 Fig. 1 Analysis sketch of bearing capacity

当基底压力增大时，破坏面逐渐向地表发展。此时，土体自重应力σcz会在AD面上产生正应力σn和剪应力τn。CD面上作用着抗剪强度τz，AC面上也作用着正应力和剪应力。以ACD为研究对象，当土体处于极限平衡状态时，各力对A点的力矩应平衡。由于作用在AC和AD面上的剪应力对A点力矩为零，所以只需考虑两个面上的正应力产生的力矩。为了便于分析，将AD面上的正应力进行分解。

如图 2所示，作用在AD面上的正应力分成两种：一种是由于基底以上的堆载γd产生的，沿AD面保持不变；一种是由在AD高度范围内的土体自重产生的，沿AD呈三角形分布。

图 2 AD面上的正应力 Fig. 2 Normal stress on AD plane

根据几何关系可得到

$ {{\sigma }_{\text{n1}}}=\gamma d\cdot \text{cos}\left( {{45}^{{}^\circ }}-\frac{\varphi }{2} \right) $ (7)
$ {{\sigma }_{\text{n2}}}=\gamma AD\cdot \text{sin}\left( {{45}^{{}^\circ }}-\frac{\varphi }{2} \right)\cdot \text{cos}\left( {{45}^{{}^\circ }}-\frac{\varphi }{2} \right) $ (8)

σn1对A点产生的顺时针力矩M1为

$ {M_1} = {\sigma _{{\rm{n1}}}} \cdot AD \cdot \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}{\sigma _{{\rm{n1}}}} \cdot A{D^2} $ (9a)

σn2对A点产生的顺时针力矩M2为

$ {M_2} = \frac{1}{2}{\sigma _{{\rm{n2}}}} \cdot AD \cdot \frac{2}{3}AD = \frac{1}{3}{\sigma _{{\rm{n2}}}} \cdot A{D^2} $ (9b)

CD面上的抗剪强度也会对A点产生顺时针力矩。由于在θ2范围内的半径是变化的，方程为γ=γ0eθ2tan φ, γ0=AC。而在CD面上的砂土抗剪强度与该点所受正应力有关，为便于推导假设在CD面上的抗剪强度τz为定值。根据文献[3]列出的Meyerhof的推导思路，可得到其对A点的力矩M3为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{M_3} = {\tau _{\rm{z}}}\int_0^{{\theta _2}} {{\gamma ^2}} {\rm{d}}\theta = {\tau _{\rm{z}}}\int_0^{{\theta _2}} {{{\rm{e}}^{2\theta {\rm{tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi }}} {\rm{d}}\theta = }\\ {\frac{{{\tau _{\rm{z}}}}}{{2{\rm{tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi }}\gamma _0^2({{\rm{e}}^{2{\theta _2}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi }} - 1)} \end{array} $ (9c)

作用在AC面上的正应力会对A点产生逆时针的力矩。与AD面相似，对AC面上正应力进行分解如图 3。

图 3 AC面上的正应力 Fig. 3 Normal stress on AC plane

两种应力对A点的力矩分别为

$ {M_1^\prime = \frac{1}{2}{\sigma _{{\rm{n3}}}} \cdot A{C^2} = \frac{1}{2}{\sigma _{{\rm{n3}}}} \cdot \gamma _0^2} $ (9d)
$ {M_2^\prime = \frac{1}{3}{\sigma _{{\rm{n4}}}} \cdot AC = \frac{1}{3}{\sigma _{{\rm{n4}}}} \cdot \gamma _0^2} $ (9e)

式中：${\gamma _0} = \frac{b}{2}\sec \;{\theta _1}$。

为了减少未知量数量，引入平均正应力σn′，即${M_1}^\prime + {M_2}^\prime = \frac{1}{2}{\sigma _{\rm{n}}}^\prime \cdot \gamma _0^2$

根据A点的力矩平衡，可得到

$ \begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{2}\sigma _{\rm{n}}^\prime \cdot \gamma _0^2 = \frac{1}{2}{\sigma _{{\rm{n1}}}} \cdot A{D^2} + \frac{1}{3}{\sigma _{{\rm{n2}}}} \cdot A{D^2} + }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{{{\tau _z}}}{{2{\rm{tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi }}\gamma _0^2({{\rm{e}}^{2{\theta _2}{\rm{tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi }} - 1)} \end{array} $ (10)

式中:AD=γ0eθ2tan φ，式(10)写为

$ \begin{array}{*{20}{l}} {\sigma _{\rm{n}}^\prime \cdot \gamma _0^2 = {\sigma _{{\rm{n1}}}} \cdot \gamma _0^2{{\rm{e}}^{2{\theta _2}{\rm{tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi }} + \frac{2}{3}{\sigma _{{\rm{n2}}}} \cdot \gamma _0^2{{\rm{e}}^{2{\theta _2}{\rm{tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi }} + }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{{{\tau _z}}}{{{\rm{tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi }}\gamma _0^2({{\rm{e}}^{2{\theta _2}{\rm{tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi }} - 1)} \end{array} $ (11)

根据Mohr-Coulomb强度定理，砂土的抗剪强度为τz= $\overline {{\sigma _z}} $ ·tan φ，代入式(11)，化简后得

$ \sigma _{\rm{n}}^\prime = \sigma _{{\rm{n1}}}^\prime \cdot {{\rm{e}}^{2{\theta _2}{\rm{tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi }} + \frac{2}{3}{\sigma _{{\rm{n2}}}} \cdot {{\rm{e}}^{2{\theta _2}{\rm{tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi }} + \overline {{\sigma _z}} ({{\rm{e}}^{2{\theta _2}{\rm{tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi }} - 1) $ (12)

将式(7)、式(8)代入式(12)，并化简得

$ \begin{matrix} \sigma _{\text{n}}^{\prime }=\gamma d\ \text{cos}\left( {{45}^{{}^\circ }}-\frac{\varphi }{2} \right){{\text{e}}^{2{{\theta }_{2}}\text{tan}\ \varphi }}+ \\ \frac{1}{6}\gamma b\ \text{sec}\ {{\theta }_{1}}\ \text{sin}({{90}^{{}^\circ }}-\varphi ){{\text{e}}^{3{{\theta }_{2}}\text{tan}\ \varphi }}+\overline{{{\sigma }_{z}}}({{\text{e}}^{2{{\theta }_{2}}\text{tan}\ \varphi }}-1) \\ \end{matrix} $ (13)

由于在对数螺旋线CD上的正应力不是定值，为了便于求解且偏于安全，取C点的法向应力为$\overline {{\sigma _z}} $，即

$ \overline {{\sigma _z}} = {\sigma _{cz}} \cdot {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\theta _1} = (\gamma d + 0.5\gamma b{\kern 1pt} {\rm{tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\theta _1}){\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\theta _1} $ (14)

将式(14)代入式(13)，得到

$ \begin{align} \ & \sigma _{\text{n}}^{\prime }=\gamma d[\text{cos}({{45}^{{}^\circ }}-\varphi /2){{\text{e}}^{2{{\theta }_{2}}\text{tan}\ \varphi }}+\text{sin}\ {{\theta }_{1}}{{\text{e}}^{2{{\theta }_{2}}\text{tan}\ \varphi }}-\text{sin}\ {{\theta }_{1}}]+ \\ & \frac{1}{2}\gamma b\left[ \frac{\text{sin}({{90}^{{}^\circ }}-\varphi )}{3\text{cos}\ {{\theta }_{1}}}{{\text{e}}^{3{{\theta }_{2}}\text{tan}\ \varphi }}+\text{tan}\ {{\theta }_{1}}\text{sin}{{\theta }_{1}}{{\text{e}}^{2{{\theta }_{2}}\text{tan}\ \varphi }}-\text{tan}\ {{\theta }_{1}}\text{sin}\ {{\theta }_{1}} \right] \\ \end{align} $ (15)

对ABC土体进行受力分析，如图 4所示，在极限荷载pu的作用下，AC和BC受到两侧土体产生的法向应力σn′和切向应力τn′，它们在竖向上分解后的合力与作用在宽度b上的pu与土体重力W相平衡，即：

$ \sigma _{\rm{n}}^\prime \cdot {\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\theta _1} \cdot 2AC + \tau _{\rm{n}}^\prime \cdot {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\theta _1} \cdot 2AC = {p_{\rm{u}}}b + W $
图 4 ABC受力分析 Fig. 4 Stress analysis of soil body ABC

将τn′=σn′·tan φ, $W = \frac{1}{4}\gamma {b^2}\tan \;{\theta _1}$代入上式，得

$ {p_{\rm{u}}} = \sigma _{{\rm{ n }}}^\prime \cdot (1 + {\rm{tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi {\rm{tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\theta _1}) - \frac{1}{4}\gamma b{\rm{tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\theta _1} $ (16)

将式(15)代入式(16)，化简后得到

$ {p_{\rm{u}}} = q{N_{\rm{q}}} + 0.5\gamma b{N_\gamma } $ (17)

其中

$ \begin{matrix} {{N}_{\text{q}}}=\left[ {{\text{e}}^{2{{\theta }_{2}}\text{tan}\ \varphi }}\left( \text{cos}\left( {{45}^{{}^\circ }}-\frac{\varphi }{2} \right)+\text{sin}\ \ {{\theta }_{1}} \right)-\text{sin}\ {{\theta }_{1}} \right]\cdot \\ (1+\text{tan}\ \varphi \text{tan}\ {{\theta }_{1}}) \\ \end{matrix} $ (18)
$ \begin{array}{*{35}{l}} {{N}_{\gamma }}=\left[ {{\text{e}}^{2{{\theta }_{2}}\text{tan}\ \varphi }}\left( \frac{\text{sin}({{90}^{{}^\circ }}-\varphi )}{3\text{cos}\ {{\theta }_{1}}}{{\text{e}}^{{{\theta }_{2}}\text{tan}\ \varphi }}+\text{tan}\ {{\theta }_{1}}\text{sin}\ {{\theta }_{1}} \right)- \right. \\ \ \left. -\text{tan}\ {{\theta }_{1}}\text{sin}\ {{\theta }_{1}} \right]\cdot (1+\text{tan}\ \varphi \text{tan}\ {{\theta }_{1}})-\frac{1}{2}\text{tan}\ {{\theta }_{1}} \\ \end{array} $ (19)

式(18)、式(19)中除了砂土的内摩擦角外，涉及的变量只有两个：θ1、θ2。根据图 1的几何关系，θ2=135°-θ1+φ/2。而ABC的夹角θ1，学者们有不同的取值，根据Terzaghi和数值模拟的研究，θ1的大小与土的内摩擦角比较接近，故取θ1=φ。

2 承载力系数的比较

通过以上推导得到了作用下砂土上的条形基础承载力系数表达式。已有的承载力理论大多是先推导出Nq的表达式，再通过经验法得到Nγ与Nq的关系(如式(4)、式(6a)、式(6b)、式(6c))。本文直接推导出两个系数的计算公式，方便使用。

表 1为笔者公式与目前使用较多的经典理论计算出的承载力系数Nq对比。已有理论中，计算公式主要有两类：一是Terzaghi使用的式(3a)，一是Hansen、Vesic等众多学者使用的式(5)。当内摩擦角小于24°时，式(18)计算出的Nq小于Terzaghi和Hansen的计算值；当内摩擦角不小于24°时，式(18)计算出的Nq介于Terzaghi和Hansen二者之间。

表 1 与各学者承载力系数Nq对比 Table 1 Comparison of bearing capacity factor Nq between common used theory and this paper

表 2为笔者公式与目前使用较多的理论计算出的承载力系数Nγ对比。列举的4种理论中，Terzaghi(式(4))、Vesic(式(6b))计算出的Nγ相对较高，而Hansen(式(6a))和Salgado(式(6c))计算出的Nγ相对较低。当内摩擦角小于12°时，Terzaghi、Hansen、Salgado承载力理论得到的均小于1，式(19)计算出的为1.49，略低于Vesic理论得到的1.69。随着内摩擦角的增大，式(19)计算出的Nγ基本介于Terzaghi和Vesic的解答之间，大于Hansen和Salgado的解答。

表 2 与各学者承载力系数Nγ对比 Table 2 Comparison of bearing capacity factor Nγ between common used theory and this paper

从承载力系数的推导和数值可以看出，内摩擦角φ直接决定着承载力系数的高低和砂土承载力的大小。尤其是当内摩擦角较大时，这一影响体现得更为明显。因此，在计算密砂的承载力系数时，对内摩擦角的取值需要慎重。有学者指出，在非关联流动法则下，砂土的剪胀角ψ会影响速度矢量的方向[10-11]。此时应该用式(20)计算的等效内摩擦角φ*代替内摩擦角φ计算承载力系数[11]。另外，基础宽度b对承载力计算的准确性也存在一定影响。基础宽度增大虽然会使承载力提高，但很多研究也表明存在界限，所以，在地基基础规范的承载力修正中，对宽度的取值进行了限制。因此，使用本文公式计算承载力时，砂土内摩擦角取值尽量不超过44°，条形基础宽度不超过6 m。

$ {\rm{tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\varphi ^*} = \frac{{{\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi }}{{1 - {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi }} $ (20)
3 计算结果的对比验证

为了验证公式的合理性，将计算结果进行两种对比验证。

3.1 与极限分析法计算的Nγ对比

由于系数Nγ多是通过经验公式计算，因此，各承载力理论中Nγ差别较大。极限分析法理论比较复杂、推导严密，可得到极限荷载[12]，因此，将笔者计算的Nγ与极限分析法的计算值进行对比。参考在地基承载力研究中被广泛引用的Michalowski和Soubra的极限分析法计算结果。Michalowski比较了已有的承载力理论，并给出了基底粗糙时Nγ的计算公式[11]

$ {N_\gamma } = {{\rm{e}}^{0.66 - 5.11{\rm{tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi }}{\rm{tan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi $ (21)

Soubra给出了承载力的推导思路，由于过程复杂，所以，给出了不同内摩擦角时的Nγ值[13]。选取了内摩擦角为15°、25°、35°的3种情况进行对比。如表 3所示，不同摩擦角时本文公式的计算结果同Michalowski和Soubra的解答都比较接近。几种经典理论中，Vesic解在内摩擦角为35°时的解答与极限分析法的解答比较接近，但在15°和25°时相差较大。

表 3 得到的系数Nγ对比 Table 3 Comparison of bearing capacity factor Nγ between classical theory and this paper

3.2 与试验得到的pu进行对比

将公式解与已有研究中的试验结果进行对比。在砂土承载力方面的研究主要集中在理论和数值分析上，关于砂土上浅基础极限承载力的试验成果并不多。Siddiquee等[14-15]曾在砂土上进行过一系列基础承载力试验，因此，从中选取条形基础的试验结果进行对比。

试验1(模型试验)[14]：条形基础宽度0.5 m，基础置于砂土表面、埋深为0。

试验2(离心机试验)[15]：等效条形基础宽度1 m，基础的埋深与基础宽度的比值分别为：0.50、0.75、1.00。

两种试验采用的都是相同的石英砂(Toyoura sand)。该砂的干重度为15.8 kN/m3，考虑应力水平后的等效内摩擦角为40.1°。

试验1得到的极限承载力pu约为470 kPa。使用本文公式计算出的承载力为461 kPa，Terzaghi理论解为488 kPa, Vesic解为440 kPa, Hansen解为320 kPa、Salgado解为335 kPa。本文公式的解答与试验值更接近。

试验2通过离心机试验得到了条形基础不同埋深时的极限承载力[13]。通过图 5的计算值与试验值对比可以看出，几种埋深下的Terzaghi解都大于试验值，而Hansen解和Salgado解都明显小于试验值，这与之前承载力系数的规律一致。Vesic解和本文公式解与试验值比较接近，相比之下，当d/b=0.25和0.5时，本文公式的解答与试验值相差很小；当d/b=1.0时，Vesic解更接近。从不同埋深的试验数值来看，d/b从0.75增加至1.0时，承载力的增幅明显小于d/b从0.5增加至0.75时，这可能与试验误差等因素有关。

图 5 承载力计算解与试验解的对比 Fig. 5 Comparison of bearing capacity between calculated values and test values

将几种理论解与试验值的平均误差进行计算。使用本文公式计算值与试验值的误差为2.6%，其余理论的误差分别为：Vesic解为7.4%，Terzaghi解为9.5%，Hansen解为21%，Salgado解为19%。从结果对比可以看出，本文公式可以用来计算砂土上条形基础的极限承载力且误差较小。

4 结论

1) 根据经典承载力理论，对滑动区土体的受力进行分析，推导出基于极限平衡法的承载力解析解，并整理出承载力系数Nq和Nγ的表达式。

2) 使用本文得到的承载力系数计算公式，给出了砂土内摩擦角2°~44°时的承载力系数取值，并与常用的承载力系数取值方法进行了比较。

3) 本文得到的承载力系数计算公式相互独立、变量较少，使用起来比较方便。通过与已有试验研究结果对比，验证了本文公式计算结果的合理性。

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