利用阵列天线接收空间信号并通过对接收信号进行处理来获取空间信号方位角的过程称为波达方向(DOA, direction of arrival)估计。DOA估计在移动通信^[1]、雷达定位^[2-4]和电子对抗等领域有着广泛的应用。近年来，已有大量的DOA估计算法被提出, 其中包括多重信号分类(MUSIC，multiple signal classification)算法^[2-3]，旋转不变子空间(ESPRIT，estimation of signal parameters via rotational invariance techniques)算法^[4-5]，传播算子(PM, propagator method)算法^[6]以及稀疏重构类算法^[7]。但这些算法最早都是针对均匀阵列提出的。

对于常规的均匀阵列，为了避免角度模糊，阵元间距不能超过入射信号的半个波长。事实上，在实际应用中，当阵元间距很小时，阵元间的互耦效应就会比较明显。Wang等^[8]利用矩阵分解的方法将互耦系数从流形矩阵中分离开，构造一个不包含互耦系数的代价函数，通过搜索代价函数的最值来实现对DOA的估计。Ye等^[9]利用阵列部分中间阵元的接收数据提出了一种解耦算法，能有效地消除互耦的影响，然而这种算法孔径损失较为严重。Liu等^[10]利用部分中间阵元接收数据的四阶累积量，提出了一种自校正DOA估计算法，可以弥补部分孔径损失。Cao等^[11]同样也是利用中间阵元接收数据，提出了一种针对非圆信号的自校正DOA估计算法。

除了利用算法来消除互耦效应对DOA估计的影响，使用稀疏阵列也是减小阵元间互耦效应的重要途经。阵元间的互耦效应会随着间距的增大而减弱，当间距足够大时，互耦效应便可以忽略。所以，在考虑互耦效应时，往往只需要考虑相近的阵元。稀疏阵列的阵元间距可以超过入射信号的半个波长，所以相对均匀阵列而言，稀疏阵列的互耦效应会更小。常见的稀疏阵列有互素阵列^[12-13]，嵌套阵列^[14-20]等。对于大部分稀疏阵列来说，虽然随着部分阵元间距的增加，互耦作用在一定程度上减小了，但是却很难做到将互耦的影响完全消除。为了获得具有连续虚拟阵元的虚拟阵列，大多数阵列的最小阵元间距依然不能超过入射信号的半个波长。虽然Li等^[13]和Shi等^[20]也提出了可以完全消除互耦作用的阵列结构，但在这些阵列对应的虚拟阵列中会出现很多的孔洞，从而无法像稀疏阵列^[14-16]那样获得具有连续虚拟阵元的虚拟阵列。这样会使得很多经典的高精度DOA估计算法很难直接应用于这些阵列。

笔者提出一种由2个嵌套子阵列组成的互素嵌套阵列，2个子阵的最小间距由一对互素的整数确定。这2个子阵列的最小间距可以远超过入射信号的半个波长。所以只要选择的互素整数足够大就可以将互耦效应减小到可以忽略的程度。针对这种特殊阵列结构，又提出另一种无模糊的DOA估计算法。此算法先利用接收数据的四阶累积量构造一个四阶累积量矩阵，然后通过对这个矩阵的多步处理获得一个信号子空间。这个信号子空间可以对应一个具有连续虚拟阵元的虚拟阵列，利用这个信号子空间可获得无模糊的DOA估计值。相对于其它稀疏线阵^[14-19]，所提阵列可通过调整间距做到完全消去阵元间互耦效应影响，且不会产生角度模糊。相比于已有解耦算法^[5-7], 所提的阵列结构及算法具有更高的角度分辨能力和估计精确度。

符号说明：符号“cum{·}”，“[·]^T”，“[·]^H”，“[·]^*”，“⊗”和“[·]⁺”分别表示四阶累积量，转置，共轭转置，共轭，kronecker乘积和Moore-Penrose广义逆。H(i, j)表示矩阵H第i行，第j列位置的元素，H(i:j, :)表示选取矩阵H的第i行至第j行，I_K表示K阶单位矩阵。

1 互素嵌套阵列结构

如图 1所示，互素嵌套阵列由2个子嵌套阵组成, 每个子阵可看成嵌套阵列^[14]的扩展结构。令d=λ/2，其中λ表示信号波长，第一个子阵包含N (N=N₁+N₂)个阵元，单位间距为qd。第二个子阵包含M (M=M₁+M₂)个阵元，单位间距为pd，其中q与p是一对互素的正整数。图 2给出了一个9元互素嵌套阵列结构，其中q=3，p=4。

令第一个子阵的第一个阵元为参考阵元，设K个远场窄带不相干信号s₁(t), …, s_K(t)的方向角分别为θ₁, θ₂, …, θ_K。令θ=[θ₁, θ₂, …, θ_K], Δ=2πd/λ。不考虑互耦效应时，阵列接收可以表示为

$\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\theta}) \boldsymbol{s}(t)+\boldsymbol{n}_{1}(t) , \\ \boldsymbol{y}(t)=\boldsymbol{B}(\boldsymbol{\theta}) \boldsymbol{s}(t)+\boldsymbol{n}_{2}(t), \end{array}\right.$

(1)

其中:x(t)=[x₁(t), …, x_N－1(t), x_N(t)]^T∈C^N×1；y(t)=[y₁(t), …, y_M－1(t), y_M(t)]^T∈C^M×1; s(t)=[s₁(t), …, s_K(t)]^T∈C^K×1表示非高斯信号向量；n₁(t)=[n₁₁(t), …, n_1N(t)]∈C^N×1和n₂(t)=[n₂₁(t), …, n_2M(t)]∈C^M×1是2个子阵接收的高斯噪声；A(θ)=[a(θ₁), …, a(θ_K)]∈C^N×K；B(θ)=[b(θ₁), …, b(θ_K)]∈C^M×K；a(θ_k)=[1, $e^{-i \frac{2 \pi q d}{\lambda}} \sin \theta_{k}$, …, $e^{-i \frac{2 \pi q d}{\lambda}\left(N_{1}-1\right) \sin \theta_{k}}$, $e^{-i \frac{2 \pi q d}{\lambda} N_{1} \sin \theta_{k}}$, $e^{-i \frac{2 \pi q d}{\lambda}\left(2 N_{1}+2\right) \sin \theta_{k}}$, …, $e^{-i \frac{2 \pi q d}{\lambda}\left[\left(N_{2}-1\right)\left(N_{1}+2\right)-2\right] \sin \theta_{k}}$, …, ${{e}^{-i\frac{2\pi qd}{\lambda }\left[ {{N}_{2}}\left( {{N}_{1}}+2 \right)-3 \right]\sin {{\theta }_{k}}}}{{]}^{\text{T}}}$，b(θ_k)=[e^{-iΔ₀sin θ_k}, $e^{-i\left(\frac{2 \pi p d}{\lambda}+\Delta_{0}\right) \sin \theta_{k}}$, …, $e^{-i\left[\frac{2 \pi p d}{\lambda}\left(M_{1}-1\right)+\Delta_{0}\right] \sin \theta_{k}}$, $e^{-i\left[\frac{2 \pi p d}{\lambda} M_{1}+\Delta_{0}\right] \sin \theta_{k}}$, $e^{-i\left[\frac{2 \pi p d}{\lambda}\left(2\left(M_{1}+1\right)+\Delta_{0}\right] \sin \theta_{k}\right.}$, …, $e^{-i\left[\frac{2 \pi p d}{\lambda}\left(M_{2}\left(M_{1}+2\right)-3\right)+\Delta_{0}\right] \sin \theta_{k}}$]^T；Δ₀= $\frac{2 \pi q d}{\lambda}\left[N_{2}\left(N_{1}+2\right)-3\right]$。

当考虑阵元互耦效应时，整个阵列接收可以表示为

$z(t)=\boldsymbol{M}\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\theta}) \\ \boldsymbol{B}^{\prime}(\boldsymbol{\theta})\end{array}\right] \boldsymbol{s}(t)+\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{n}_{1}(t) \\ \boldsymbol{n}_{2}^{\prime}(t)\end{array}\right], $

(2)

其中：B′(θ)和n′₂(t)分别表示B(θ)和n₂(t)的后M-1行，M∈C(M+N－1)×(M+N－1)为互耦矩阵，m_ij表示第i个阵元与第j个阵元间的互耦系数，且满足m_ii=1。当第i个阵元与第j个阵元间距离大于某值wd时，m_ij=0，即互耦效应可以忽略。对于所提阵列结构，只要选取一对都大于w的互素整数，便可消除互耦的影响。

2 DOA估计算法描述

对于所提阵列，由于单位间距大于半个波长，且对应的虚拟阵列包含的虚拟阵元不具有连续性。所以无法直接使用空间平滑算法来构造扩展的协方差矩阵和获取信号子空间。下面针对这种特殊的阵列结构，提出一种基于四阶累积量的DOA估计算法。

首先利用阵列接收数据的4阶累积量构造4个四阶累积量矩阵C₁∈C^{[N₂(N₁+2)－2]×[N₂(N₁+2)－2]}，C₂∈C^{[N₂(N₁+2)－2]×[M₂(M₁+2)－2]}，C₃∈C^{[M₂(M₁+2)－2]×[N₂(N₁+2)－2]}和C₄∈C^{[M₂(M₁+2)－2]×[M₂(M₁+2)－2]}。对于任意给定的1≤u, v≤N₂(N₁+2)－2，1≤u, v≤M₂(M₁+2)－2都存在以下唯一分解式

$\left\{\begin{array}{l}u=u_{1}+u_{2}\left(N_{1}+2\right), \\ v=v_{1}+v_{2}\left(N_{1}+2\right) , \\ \bar{u}=\bar{u}_{1}+\bar{u}_{2}\left(M_{1}+2\right), \\ \bar{v}=\bar{v}_{1}+\bar{v}_{2}\left(M_{1}+2\right), \end{array}\right.$

(3)

其中, 1≤u₁, v₁≤N₁+2，1≤u₁, v₁≤M₁+2。

利用分解式(3)，C₁，C₂，C₃，C₄可根据下面公式确定

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{C}}_1}(u,v) = {\mathop{\rm cum}\nolimits} \left\{ {{x_a}(t),x_b^*(t),x_c^*(t),{x_d}(t)} \right\}},\\ {{\mathit{\boldsymbol{C}}_2}(u,\bar v) = {\mathop{\rm cum}\nolimits} \left\{ {{x_a}(t),x_b^*(t),y_{\rlap{-} c}^*(t),{y_{\rlap{-} d}}(t)} \right\}},\\ {{\mathit{\boldsymbol{C}}_3}(\bar u,v) = {\mathop{\rm cum}\nolimits} \left\{ {{y_{\rlap{-} a}}(t),y_{\rlap{-} b}^*(t),x_c^*(t),{x_d}(t)} \right\}},\\ {{\mathit{\boldsymbol{C}}_4}(\bar u,\bar v) = {\mathop{\rm cum}\nolimits} \left\{ {{y_{\rlap{-} a}}(t),y_{\rlap{-} b}^*(t),y_{\rlap{-} c}^*(t),{y_{\rlap{-} d}}(t)} \right\}} ,\end{array}} \right.$

(4)

其中, a, b, c, d, a, b, c, d满足

$\left\{\begin{array}{cl}a=N_{1}+1+u_{2}, b=N_{1}+2-u_{1} ; & \text { 当 } u_{1}<N_{1}+2 , \\ a=N, b=N-u_{2}-1 ; & \text { 当 } u_{1}=N_{1}+2 , \\ c=N_{1}+1+v_{2}, d=N_{1}+2-v_{1} ; & \text { 当 } v_{1}<N_{1}+2 , \\ c=N, d=N-v_{2}-1 ; & \text { 当 } v_{1}=N_{1}+2 , \\ \bar{a}=M_{1}+1+\bar{u}_{2}, \bar{b}=M_{1}+2-\bar{u}_{1} ; & \text { 当 } \bar{u}_{1}<M_{1}+2, \\ \bar{a}=M, \bar{b}=M-\bar{u}_{2}-1 ; & \text { 当 } \bar{u}_{1}=M_{1}+2 , \\ \bar{c}=M_{1}+1+\bar{v}_{2}, \bar{d}=M_{1}+2-\bar{v}_{1} ; & \text { 当 } \bar{v}_{1}<M_{1}+2 , \\ \bar{c}=M, \bar{d}=M-\bar{v}_{2}-1 ; & \text { 当 } \bar{v}_{1}=M_{1}+2 ,\end{array}\right. $

(5)

利用这4个四阶累积量矩阵C_i，i=1, 2, 3, 4可以构造一个分块四阶累积量矩阵

$\begin{aligned} \boldsymbol{C} &=\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{C}_{1} & \boldsymbol{C}_{2} \\ \boldsymbol{C}_{3} & \boldsymbol{C}_{4}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{l}\overline{\boldsymbol{A}} \\ \overline{\boldsymbol{B}}\end{array}\right] \boldsymbol{S}_{0}\left[\begin{array}{ll}\overline{\boldsymbol{A}}^{H} & \overline{\boldsymbol{B}}^{H}\end{array}\right] , \end{aligned}$

(6)

其中：A(θ)=[a(θ₁), …, a(θ_K)]∈C^{[N₂(N₁+2)－2]×K}; B(θ)=[b(θ₁), …, b(θ_K)]∈C^{[M₂(M₁+2)－2]×K}; a(θ_k)=[1, $e^{-i \frac{2 \pi q d}{\lambda}} \sin \theta_{k}$, …, $e^{-i \frac{2 \pi q d}{\lambda}\left[N_{2}\left(N_{1}+2\right)-3\right] \sin \theta_{k}}$]^T; b(θ_k)=[1, $e^{-i \frac{2 \pi p d \sin \theta k}{\lambda}}$, …, $\left.e^{-i}\left[\frac{2 \pi p d}{\lambda}\left(M_{2}\left(M_{1}+2\right)-3\right)\right] \sin \theta_{k}\right]^{\mathrm{T}}$; S₀=diag{S₁, S₂, …, S_K}; S_k=cum{s_k, s_k^*, s_k^*, s_k}，k=1, 2, 3, …, K。设A₁和A₂分别是由A的前N₂(N₁+2)－3行和后N₂(N₁+2)－3行构成的矩阵

$\left\{\begin{array}{l}\overline{\boldsymbol{A}}_{1}=\overline{\boldsymbol{A}}\left(1: N_{2}\left(N_{1}+2\right)-3, \boldsymbol{)}\right. , \\ \overline{\boldsymbol{A}}_{2}=\overline{\boldsymbol{A}}\left(2: N_{2}\left(N_{1}+2\right)-2 \boldsymbol{, }_{:}\right) 。\end{array}\right. $

(7)

设B₁和B₂分别是由B的前M₂(M₁+2)－3行和后M₂(M₁+2)－3行构成的矩阵

$\left\{\begin{array}{l}\overline{\boldsymbol{B}}_{1}=\overline{\boldsymbol{B}}\left(1: M_{2}\left(M_{1}+2\right)-3, \boldsymbol{)}\right. , \\ \overline{\boldsymbol{B}}_{2}=\overline{\boldsymbol{B}}\left(2: M_{2}\left(M_{1}+2\right)-2, :\right)。\end{array}\right. $

(8)

根据A₁，A₂，B₁，B₂的元素特点可知

$\left\{\begin{array}{l}\overline{\boldsymbol{A}}_{2}=\overline{\boldsymbol{A}}_{1} \mathit{\pmb{\Phi}}_{1}, \\ \overline{\boldsymbol{B}}_{2}=\overline{\boldsymbol{B}}_{1} \mathit{\pmb{\Phi}}_{2} , \end{array}\right.$

(9)

其中：Φ₁=diag{ $e^{-i \frac{2 \pi q d}{\lambda} \sin \theta_{1}}$, …, $e^{-i \frac{2 \pi q d}{\lambda} \sin \theta_{K}}$}；Φ₂=diag{ $e^{-i \frac{2 \pi p d}{\lambda}} \sin \theta_{1}$, …, $e^{-i \frac{2 \pi p d}{\lambda} \sin \theta_{K}}$}。

对C进行特征值分解，C的K个最大特征值对应向量组成的矩阵U_s称为信号子空间，且存在可逆矩阵T满足

$\boldsymbol{U}_{s}=\left[\begin{array}{l}\overline{\boldsymbol{A}} \\ \overline{\boldsymbol{B}}\end{array}\right] \boldsymbol{T} , $

(10)

从U_s中提出2个子矩阵，分别记为

$\left\{\begin{array}{c}\boldsymbol{U}_{1}=\boldsymbol{U}_{s}\left(1: N_{2}\left(N_{1}+2\right)-2, :\right) , \\ \boldsymbol{U}_{2}=\boldsymbol{U}_{s}\left(N_{2}\left(N_{1}+2\right)-1: N_{2}\left(N_{1}+2\right)+M_{2}\left(M_{1}+2\right)-4, :\right) 。\end{array}\right. $

(11)

再从U_s中提取出4个矩阵，分别记为

$\left\{\begin{array}{c}\boldsymbol{U}_{11}=\boldsymbol{U}_{s}\left(1: N_{2}\left(N_{1}+2\right)-3, :\right) , \\ \boldsymbol{U}_{12}=\boldsymbol{U}_{s}\left(2: N_{2}\left(N_{1}+2\right)-2, :\right) , \\ \boldsymbol{U}_{21}=\boldsymbol{U}_{s}\left(N_{2}\left(N_{1}+2\right)-1: N_{2}\left(N_{1}+2\right)+M_{2}\left(M_{1}+2\right)-5, :\right) , \\ \boldsymbol{U}_{22}=\boldsymbol{U}_{s}\left(N_{2}\left(N_{1}+2\right): N_{2}\left(N_{1}+2\right)+M_{2}\left(M_{1}+2\right)-4, :\right) 。\end{array}\right. $

(12)

根据式(10)和(11)，可知

$\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{U}_{1}=\overline{\boldsymbol{A}} \boldsymbol{T} ;\\ \boldsymbol{U}_{2}=\overline{\boldsymbol{B}} \boldsymbol{T} 。\end{array}\right. $

(13)

再根据式(10)和(13)，可知

$\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{U}_{11}=\overline{\boldsymbol{A}}_{1} \boldsymbol{T} , \\ \boldsymbol{U}_{12}=\overline{\boldsymbol{A}}_{2} \boldsymbol{T} , \\ \boldsymbol{U}_{21}=\overline{\boldsymbol{B}}_{1} \boldsymbol{T} , \\ \boldsymbol{U}_{22}=\overline{\boldsymbol{B}}_{2} \boldsymbol{T} 。\end{array}\right. $

(14)

类似ESPRIT算^[4-5]法，利用式(14)可得

$\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{U}_{11}^{+} \boldsymbol{U}_{12}=\boldsymbol{T}^{-1} \mathit{\pmb{\Phi}}_{1} \boldsymbol{T} ; \\ \boldsymbol{U}_{21}^{+} \boldsymbol{U}_{22}=\boldsymbol{T}^{-1} \mathit{\pmb{\Phi}}_{2} \boldsymbol{T} 。\end{array}\right.$

(15)

然而, 在这里不能直接像ESPRIT算法一样，通过对U₁₁⁺U₁₂或者U₂₁⁺U₂₂进行特征值分解来获取DOA估计值。当p≠1, q≠1时，利用特征值分解得到得DOA估计值会出现角度模糊。

但是，因为q与p是一对互素的整数，所以一定存在另外2个整数p₁, q₁使得p₁p+q₁q=1。此时对U₁₁⁺U₁₂和U₂₁⁺U₂₂进行乘方运算，便可得到

$\left\{\begin{array}{l}\left(\boldsymbol{U}_{11}^{+} \boldsymbol{U}_{12}\right)^{q 1}=\boldsymbol{T}^{-1} \mathit{\pmb{\Phi}}_{1}^{q 1} \boldsymbol{T} ; \\ \left(\boldsymbol{U}_{21}^{+} \boldsymbol{U}_{22}\right)^{p 1}=\boldsymbol{T}^{-1} \mathit{\pmb{\Phi}}_{2}^{p 1} \boldsymbol{T};\end{array}\right. $

(16)

如果当p₁或q₁是负数时，定义(U₁₁⁺U₁₂)^q₁=(U₁₂⁺U₁₁)^－q₁或(U₂₁⁺U₂₂)^p₁=(U₂₂⁺U₂₁)^－p₁。

设对角矩阵Φ=Φ₁^q₁Φ₂^p₁，根据(16)可知

$\begin{aligned} \mathit{\pmb{\Phi}} &=\operatorname{diag}\left\{e^{-i \frac{2 \pi q 1 d}{\lambda} \sin \theta_{1}}, \cdots, e^{-i \frac{2 \pi q q 1 d}{\lambda} \sin \theta_{K}}\right\} \operatorname{diag}\left\{e^{-i \frac{2 \pi p p 1 d}{\lambda} \sin \theta_{1}}, \cdots, e^{-i \frac{2 \pi p p 1 d}{\lambda} \sin \theta_{K}}\right\} \\ &=\operatorname{diag}\left\{e^{-i \frac{2 \pi\left(q q_{1}+p p_{1}\right) d}{\lambda} \sin \theta_{1}}, \cdots, e^{-i \frac{2 \pi\left(q q_{1}+p p_{1}\right) d}{\lambda}} \sin \theta_{K}\right.\\ &=\operatorname{diag}\left\{e^{-i \frac{2 \pi d}{\lambda} \sin \theta_{1}}, \cdots, e^{-i \frac{2 \pi d}{\lambda} \sin \theta_{K}}\right\} \end{aligned}$

(17)

令矩阵Ξ=(U₁₁⁺U₁₂)^q₁(U₂₁⁺U₂₂)^p₁，由式(16)、(17)可知

$\begin{aligned} \boldsymbol{\mathit{\Xi}} &=\left(\boldsymbol{U}_{11}^{+} \boldsymbol{U}_{12}\right)^{q 1}\left(\boldsymbol{U}_{21}^{+} \boldsymbol{U}_{22}\right)^{p 1} \\ &=\boldsymbol{T}^{-1} \mathit{\pmb{\Phi}}_{1}^{q 1} \mathit{\pmb{\Phi}}_{2}^{p 1} \boldsymbol{T}=\boldsymbol{T}^{-1} \mathit{\pmb{\Phi}} \boldsymbol{T} 。\end{aligned}$

(18)

此时对Ξ进行特征值分解，便可获得无模糊的DOA。然而，这个方法获得的DOA估计值的精确度依然不高，所以利用Ξ对原有的信号子空间进行扩展。

构造2组选择矩阵 $\boldsymbol{E}_{1 t}=\boldsymbol{I}_{N_{2}\left(N_{1}+2\right)-2} \otimes \hat{e}_{t}$，t=0, 1, 2, …, q－1， $\boldsymbol{E}_{2 t}=\boldsymbol{I}_{M_{2}\left(M_{1}+2\right)-2} \otimes \widetilde{e}_{t}$，t=0, 1, 2, …, p－1其中 $\widehat{e}_{t} \in C^{1 \times q}, \widetilde{e}_{t} \in C^{1 \times p}$表示只有第t+1个分量为1，其它分量为0的2个向量。利用E_1t，E_2t对U₁和U₂进行扩展，构造出U_new1和U_new2

$\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{U}_{\text {new } 1}=\sum\limits_{t=0}^{q-1} \boldsymbol{E}_{1 t} \boldsymbol{U}_{1} \boldsymbol{\boldsymbol { \Xi }}^{\mathrm{T}}=\widetilde{\boldsymbol{A}}(\boldsymbol{\theta}) \boldsymbol{T} ;\\ \boldsymbol{U}_{\text {new2 }}=\sum\limits_{t=0}^{p-1} \boldsymbol{E}_{2 t} \boldsymbol{U}_{2} \boldsymbol{\boldsymbol { \Xi }}^{\mathrm{T}}=\widetilde{\boldsymbol { B }}(\boldsymbol{\theta}) \boldsymbol{T} 。\end{array}\right.$

(19)

合并U_new1，U_new2构造U_new

$\boldsymbol{U}_{\text {new }}=\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{U}_{\text {new } 1} \\ \boldsymbol{U}_{\text {new } 2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\widetilde{\boldsymbol{A}}(\boldsymbol{\theta}) \\ \widetilde{\boldsymbol{B}}(\boldsymbol{\theta})\end{array}\right] \boldsymbol{T}, $

(20)

其中： $\widetilde{\boldsymbol{A}}(\boldsymbol{\theta})=\left[\widetilde{\boldsymbol{a}}\left(\theta_{1}\right), \cdots, \widetilde{\boldsymbol{a}}\left(\theta_{K}\right)\right] \in \boldsymbol{C}^{q\left[N_{2}\left(N_{1}+2\right)-2\right] \times K}$； $\tilde{\boldsymbol{B}}(\boldsymbol{\theta})=\left[\widetilde{\boldsymbol{b}}\left(\theta_{1}\right), \cdots, \widetilde{\boldsymbol{b}}\left(\theta_{K}\right)\right] \in \boldsymbol{C}^{p\left[M_{2}\left(M_{1}+2\right)-2\right] \times K}$； $\tilde{\boldsymbol{a}}\left(\theta_{k}\right)$=[$1, {{e}^{-i\frac{2\pi qd}{\lambda }\sin {{\theta }_{k}}}}, \cdots, {{e}^{-i\frac{2\pi qd}{\lambda }}}^{\left[ q\left({{N}_{2}}\left({{N}_{1}}+2 \right)-2 \right)-1 \right]\sin {{\theta }_{k}}~\text{T}}\in {{\boldsymbol{C}}^{q\left[ {{N}_{2}}\left({{N}_{1}}+2 \right)-2 \right]\times 1}}; \tilde{b}\left({{\theta }_{k}} \right)=[1, {{e}^{-i\frac{i\pi \sin \theta }{\lambda }}}, \cdots, {{e}^{-i\frac{2\pi d}{\lambda }\left[ p\left({{M}_{2}}\left({{M}_{1}}+2 \right)-2 \right)-1 \right]\sin {{\theta }_{k}}}}$]^T∈C^{p[M₂(M₁+2)-2]×1}。

从 $\widetilde{\boldsymbol{A}}(\boldsymbol{\theta})$和 $\widetilde{\boldsymbol{B}}(\boldsymbol{\theta})$的结构可以看出，这2个阵列流形矩阵对应的虚拟阵列是不存孔洞的，所以利用信号子空间U_new来估计信号角度不会出现角度模糊。

对U_new进行正交化可获得标准正交化向量U_new^o[2]，再构造函数

$f(\boldsymbol{\theta})=\frac{1}{\boldsymbol{a}^{H}(\boldsymbol{\theta})\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{U}_{new }^{o}\left(\boldsymbol{U}_{new }^{o}\right)^{H}\right) \boldsymbol{a}(\boldsymbol{\theta})} ,$

(21)

搜索出f(θ)的最大值，便可估计出正确的方向角。

3 仿真实验

通过几个仿真实验来对比所提算法与已有自校正算法的性能。假设w=2，即当阵元间距超过2d时，阵元耦合效应可以忽略。假设阵元本身的互耦系数为1，距离相差d的2个阵元的互耦系数为c2=0.9+0.4i，距离相差2d的2个阵元的互耦系数为c3=0.5-0.35i。对于所有算法，谱峰搜索的间隔固定为0.1°。设解耦算法^[8-10]使用14元均匀阵列，阵元间距为d。对于所提的阵列，设N=7，M=8，因为2个子阵存在一个共用阵元，所以阵元总数也是14。在前2组实验中，研究阵列取q=3，p=4，在这种情况下阵列中所有阵元的互耦效应就可以完全忽略。在第二组仿真实验中，利用DOA估计的均方根误差(RMSE, root mean square error)来评价算法的估计精确度，并设RMSE的定义为

$\mathrm{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{K J} \sum\limits_{j=1}^{J} \sum\limits_{k=1}^{K}\left(\hat{\theta}_{k j}-\theta_{k}\right)^{2}} , $

(22)

其中J=200表示Monte-Carlo实验的次数， $\hat{\theta}_{k j}$表示在第j次试验中对第k个信号的DOA估计值。

第一组仿真实验对比4种不同算法对角度的分辨能力，将快拍数固定在500，信噪比SNR(signal noise ratio)固定在10 dB。首先设4个信号的方向角为30°，40°，50°，60°。图 3(a)显示了算法与Liu等^[10]提出的算法的空间谱。图 3(b)显示的是Wang等^[8]和Ye^[9]等所提算法的空间谱。通过观察这2幅对比图，可以发现只有算法和Liu的算法^[10]能较好的将4个信号区分开，而其他2个算法对这4个信号的区分效果很差。然后将4个信号的方向角改为45°，50°，55°，60°，角度间隔减小到5°。图 4(a)显示出算法与Liu的算法^[10]的空间谱，图 4(b)显示了Wang的算法^[8]和Ye的算法^[9]的空间谱。此时，可以发现算法依然能够将4个信号顺利的区分开，但其它3个算法都已无法区分这4个信号。这几幅仿真图中的结果可以反映出所提方法对信号的分辨能力要明显好过其它3种算法。

第二组仿真实验对比4种不同算法对角度估计的精确度。此次实验是在信号能被分辨开的情况下进行对比，所以信号源的数量减少到3个，方向角设为30°，40°，50°。首先将快拍数固定在500。图 5显示4个算法的均方根误差随信噪比的变化情况。然后将信噪比固定在2.5 dB，图 6显示4个算法的均方根误差随快拍数的变化情况。从这2幅对比图中可以发现，算法的估计精确度要远超过其他3种算法。另外，从图 5中可以发现当信噪比较低的时候，算法的优势更加明显。而从图 6中也可以发现算法即使在较低的快拍数下也能获得较好的估计性能。综合2组仿真实验的结果，算法无论是在估计精确度方面，还是对角度的分辨力方面都会优于已有的几种自校正DOA估计算法。

第三组仿真实验对比所提算法在不同的q，p取值下的DOA估计效果。为了反应阵元间距对DOA估计精确度的作用，此次仿真实验也不考虑阵元的互耦效应。从图 7中可以看出，算法在q=4，p=5时估计的精确度是最高的。从这个仿真结果可以发现，所提的算法并不会因为阵元间距的增加而导致估计精确度的降低。反而随着间距增大估计精确度有提高的趋势。事实上，随着q，p取值的增大，阵列能应对的互耦效应的强度也会增大。当q=4，p=5时，便可应对w=3的情形。而此时对于解耦算法^[8-10]，解耦效果就会进一步降低，尤其是算法^[9-10]孔径损失将会更加严重。

4 结束语

为了最大限度地消除阵元互耦效应对DOA估计带来地影响，提出了一种可以根据互耦效应的强度来调整阵元间距的互素嵌套阵列。此阵列由2个大间距的嵌套阵列组成，只要间距足够大就可以消除互耦效应。并且针对这种大间距阵列提出了一种可以避免角度模糊的高分辨的DOA估计算法，在减小互耦作用的同时还能确保DOA估计的准确性，不会因为间距的增大而造成估计精确度的降低。仿真结果表明此阵列配合所提DOA估计算法比一些已有的自校正算法具有更高的估计精确度和角度分辨力。