混沌系统对初始值非常敏感，且具有良好的非收敛性和类随机性，因此在图像加密处理中具有广泛的应用^[1-3]。当前，混沌系统在图像加密中的应用主要包括混合迭代结构加密、置乱加密、灰度替换加密等技术。文献[4]提出了一种流密码算法，它结合了一次一密和强混沌映射，基于分段线性混沌序列生成相应的密钥流序列，综合了混沌算法和循环加密的优势。1994年，DNA计算被Adleman首次提出^[5]，为图像加密处理提供了新的思路和方向。文献[6]综合Chebyshev映射和DNA计算的优势，将图像进行扩散加密，结果显示加密效果良好。文献[7]将DNA计算用于进行图像加密，使得猫映射在图像安全处理效果上有极大提升。以上算法只是单纯处理数字图像加密的算法，没有与处理文本的加密算法结合，存在一定的局限性。在文献[8]中，Abbas提出了一种基于Hash的数字图像加密算法，结果显示加密效果良好。

文中将哈希函数、Arnold混沌映射和Logistic混沌映射结合，对图像进行R、G、B 3个维度的置乱；然后利用DNA编码对图像进行混乱处理。结合实验结果表明：文中图像加密算法具有很好的加密性。

1 算法基础 1.1 Logistic映射

Logistic映射模型比较经典，主要用于对动力系统、分形系统等复杂系统进行分析和研究。Logistic映射本质是一个在时间上离散的动力系统，其迭代公式为

$ x_{n+1}=\mu x_{n}\left(1-x_{n}\right), $

(1)

式中，μ∈ 0, 4, x_n∈(0, 1)。当3.569 945 6 < μ≤4时，Logistic映射处于混沌状态。

将Logistic映射^[9]改为

$ x_{n+1}=\left[3.569\ 945\ 972+(4-3.569\ 945\ 972) * \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)\right] x_{n}\left(1-x_{n}\right), $

(2)

式中，x_n为映射变量，0 < x_n < 1。

1.2 Arnold映射

俄国数学家Vladimir Igorevich Arnold首次提出了Arnold映射，又称猫映射。本质来说，Arnold映射就是在有限的区域内进行反复折叠和伸缩变换。

其原始公式为

$ \left[\begin{array}{l} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{n} \\ y_{n} \end{array}\right](\bmod 1), $

(3)

对其进行数字化处理之后，得到映射关系为

$ \left[\begin{array}{l} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1 & a \\ b & a b+1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{n} \\ y_{n} \end{array}\right](\bmod N), $

(4)

式中，a、b、N均为正整数。

1.3 DNA序列编码

DNA序列由A、T、C、G 4个碱基组成，其中A和T、C和G存在互补关系。如果使用2 bit表示字节表示一个字母，那么DNA编码的方案共有4！种。但是满足碱基互补原则的只有8种, 如表 1所示。

1.4 DNA序列的加法、减法

一套基于DNA序列的基本代数运算被King等^[10]提出，其基本思想起源于二进制的加减法运算。DNA序列的基本代数运算与编码方案有很强的关系，不同编码方案对应的加减法规则也不同。以表 1中第1种编码方案为例，其对应的加减运算规则如表 2所示。

1.5 SHA-256

哈希函数又叫散列函数，它能够将不同长度的信息转换成一个固定长度的信息。SHA-256函数可以将图像信息转换成256位的哈希值。SHA-256函数对初始值极其敏感，图像内容有任何细微的差别，计算出来的哈希值都会发生巨大的变化。

2 加密算法 2.1 加密算法

为了使加密效果更好，充分利用SHA-256函数、Arnold混沌映射、改进Logistic混沌映射和DNA加密处理的优点，文中提出一种新型加密技术，其算法步骤如下：

步骤1：假设明文图像的尺寸为M×N，将其按照红、绿、蓝3个维度进行转换，得到3个平面分别为R、G、B。这3个平面尺寸均为M×N，每个像素的值均在(0, 255)之间且为整数。若M和N值不相等，则可以通过补0的方式将其转换为N₁×N₁的方阵。

步骤2：分别求R、G、B 3个平面的像素值之和，然后运用SHA-256函数分别计算这3个和值的哈希值，得到3组256位哈希值。式(4)的2个参数a、b和加密轮数N就是由SHA-256函数产生的3个参数值，分别作为R、G、B 3个平面进行置乱处理的原始参数。

步骤3：运用按照式(4)分别对R、G、B 3个平面进行置乱处理。

步骤4：将置乱后的R、G、B 3个方阵进行二进制转换，每个平面转换后的大小均为N₁×8N₁，采用DNA编码规则对其进行编码处理，进而得到3个尺寸为N₁×4N₁的碱基方阵R₁、G₁、B₁。

步骤5：按照式(2)进行混沌映射处理得到尺寸为N₁×N₁的混沌序列m，利用算子mod(floor(m*power(10, 5)), 256)将序列m进行整数化处理，得到相应的序列，采用DNA编码规则对数化处理后的序列进行相应的编码处理得到对应的矩阵。

步骤6：根据式(5)替换R、G、B 3个平面的碱基序列，从而得到相应的3个平面R₂、G₂、B₂。

$ \left\{\begin{array}{l} R_{2}(i, j)=R_{1}(i, j)+G_{1}(i, j) \\ G_{2}(i, j)=G_{1}(i, j)+B_{1}(i, j) \\ B_{2}(i, j)=R_{2}(i, j)+G_{2}(i, j) \end{array}\right.。$

(5)

步骤7：分别采用表 1中的第4、2、7中的编码规则对置乱替换后的3个平面R₂、G₂、B₂进行解码处理，得到相应的3个平面R₃、G₃、B₃，尺寸为N₁×N₁。

步骤6：合成R₃、G₃、B₃ 3个平面得到相对应的密文图像，计算得到密文图像的和值，并将和值与密文图像进行异或运算，最终得到本文的加密图像。

2.2 解密算法

加密和解密互为逆过程。解密是对加密进行逆运算，将DNA加法运算替换为减法运算，并按照R、G、B的逆序对进行恢复，即可解密图像。

3 实验结果分析

文中选择明文图像为彩色的Lena图，尺寸为512×512，运行的环境为Intel Core i5 CPU@2.5GHz、8G内存、Win7 64位操作系统，仿真软件为MATLAB r2014a。对比图 1中的3幅图分析可知，Lena图像经过文中加密算法处理后，已经看不到明文信息，说明文中提出的加密算法具有良好的效果。

3.1 密钥敏感性分析

若式(2)的初始值和迭代次数发生细微改变，会导致加密后的图像不能恢复成原始图像。例如，若在解密过程中，将式(2)的初值增加1×10^-15，则会导致图像解密失败，具体如图 2所示。

3.2 直方图分析

直方图能够体现出图像灰度值的分布情况。图像灰度值的分布情况能够体现出图像的抗攻击能力。若图像灰度值分布越平均，则其越能抵抗统计攻击^[11-15]。从图 3、图 4、图 5对比分析中可以看出：文中算法加密图像的直方图和文献[15]算法加密图像的3个分量直方图都是比较均匀的，说明都具有良好的统计攻击抵御能力。2个算法加密的图像直方图差别很小，加密效果接近。

3.3 相邻像素相关性分析

为了验证文中算法的置乱效果，将基于水平、垂直和对角3个角度，从明文图像、加密图像中随机选取4 000对相邻像素点，然后运用式(6)~式(9)计算相邻像素间的相关性^[15-20]。

$ E(x)=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}, $

(6)

$ D(x)=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{N}\left(x_{i}-E(x)\right) 2, $

(7)

$ \operatorname{cov}(x, y)=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{N}\left(x_{i}-E(x)\right)\left(y_{i}-E(y)\right), $

(8)

$ r_{x y}=\frac{\operatorname{cov}(x, y)}{\sqrt{D(x)} \sqrt{D(y)}}, $

(9)

式中：x和y表示图像中两个相邻像素的灰度；N表示图像像素个数；E(x)表示x的数学期望；D(x)表示x的方差；cov(x, y)表示x, y的协方差；r_xy表示相关系数。

若相关系数越接近0，则像素之间的相关程度越低，图像置乱效果越好，加密图像破译难度越大。从表 3~表 5可以看出，文中加密后的图像的相关系数更接近0，置乱效果更好。

为了更加直观地展现像素之间的相关性，选择B平面，分别从水平、垂直、对角3个方面进行像素相关性图像的绘制。图 6和图 7分别表示的是加密前和文中加密的线性关系。对比分析可以看出原始图像B平面3个方向的图像像素值集中在主对角线上，相关性很强，而加密图像像素值均匀分布，相关性很弱，可破解性更小。

3.4 信息熵分析

信息熵体现了系统的随机性。图像直方图分布越均匀，则其随机性越强，信息熵就越大。式(10)所示的是信息熵的计算方式。对于灰度值范围为[0, 255]的图像，其信息熵与8的逼近程度反映了抵御攻击的能力，信息熵越接近8，抵御统计攻击的能力越强。根据式(10)计算所得结果如表 6所示。

可以看出，文中算法加密后的图像的信息熵更接近8，抗统计攻击的能力更强。

$ H_{m}=-\sum\limits_{i=0}^{255} p\left(m_{i}\right) \log p\left(m_{i}\right) $

(10)

3.5 明文敏感性分析

式(11)~式(12)分别表示的是NPCR(the number of pixels change rate)和UACI(the unified average changing intensity)这2项指标，此2项指标表示了图像的差分攻击抵抗能力。改变原始图像的R平面中(100, 80)处的像素值，通过式(11)~式(12)计算出的NPCR和UACI的结果如表 7所示。

$ \mathrm{NPCR}=\frac{\sum\limits_{i j} D(i, j)}{m \times n} \times 100 \% , $

(11)

$ \mathrm{UACI}=\frac{1}{m \times n}\left[\sum\limits_{i j} \frac{\left|D_{1}(i, j)-D_{2}(i, j)\right|}{255}\right] \times 100 \%, $

(12)

通过对比NPCR值和UACI值，可以看出文中算法抗差分攻击能力更强。

3.6 抗干扰能力分析

将均值和方差分别为0和0.05的高斯噪声加入到加密后的图像中。图 8中，图 8(a)表示的是加入高斯噪声后的加密图像，图 8(b)表示的是相应的解密图像。可以看出：文中的加密算法在图像混入少量噪声后，仍然能够将其解密出来，抗干扰能力较好。

4 结束语

随着网络技术的高速发展，彩色图像的安全性越来越受到重视。图像加密是一种很好保护图像信息的方法。文中结合哈希函数、Arnold混沌映射和Logistic混沌映射，使用DNA编码技术对图像进行混合加密。实验结果表明，本文的算法具有良好的加密效果，且对统计、差分攻击具有很好的抵御效果。