微纳输流管道系统在现阶段多领域有着极大的应用前景，尤其在生物医药领域，微纳管道以其特有的小尺度性在生物传感器、药物输送等方面有着不可替代的作用，其中碳纳米管因其具有1~40 nm的平均直径以及完美的空心管道结构已被认为是输送基因药品、抗癌药物等的最佳输流管道之一^[1-4]。在微纳管道输送药物的具体应用中，常通过施加外加磁场来增强系统的稳定性，使流体能更为精准地送至靶向目标，基于此大量相关研究随之出现^[5-8]，而在众多研究中，纳米流固耦合系统的振动机理是现阶段亟待了解与掌握的热点研究之一^[9-13]。大量研究表明这类系统的振动与管内流体流速及系统的边界条件有关，即：管内流体流速增加，输流管道会产生失稳现象，但边界条件不同失稳类型又不尽相同。过去的十几年中纳米输流管道系统另一个研究热点是如何反映纳米管道的小尺度效应，由此基于小尺度效应的许多高阶连续介质理论得以应用于纳米输流管道的振动以及失稳特性^[14-16]的研究中。Ghane等^[17]应用非局部连续介质理论，以Euler-Bernoulli梁模型研究了纵向磁场中输流碳纳米管的振动及颤振失稳。Bahaadini等^[18]则应用非局部应变梯度理论采用Timoshenko梁模型研究了小尺度效应、稀薄效应对碳纳米输流管道振动以及失稳特性的影响。在纳米流体储存、运输以及纳米复合材料等纳米技术领域，碳纳米管常嵌于某一基体中，而研究纳米管动力学特性所涉及的基体大都等效为Winkler弾性模型、Pasternak弾性模型以及其他一些粘弹性模型等^[19-21].

目前文献中对作用于输流碳纳米管道系统各参数间相互影响的研究鲜少提及。笔者依据非局部Euler-Bernoulli梁模型，弹性基体采用Pasternak弾性模型，针对纵向磁场作用下嵌入弹性基体中的简支输流单层碳纳米管(SWCNT)系统，研究各项参数耦合作用时该系统的振动及稳定性问题，并着重对各参数间的相互影响做进一步地分析，以期为纳米管在各领域中的应用提供一定的理论依据。

1 振动控制方程

图 1为弹性基体中简支输流碳纳米管在纵向磁场中的示意图。

如图所示建立坐标系，X为纳米管的轴向坐标，碳纳米管长度记为L，外径为D，弯曲刚度记为EI。该系统仅发生面内横向小幅振动，不计重力及管道外部拉、压力的影响，管内流体流动为理想流体的定常流动，不计流动阻力，流速不变记为U。

小变形情况下，Euler-Bernoulli梁应变-位移关系为

$ \varepsilon_{X X}=-Z \frac{\partial^2 W}{\partial X^2}, $

(1)

式中：W(X, t)为z向位移，t为时间，e_XX为x方向的应变。

由非局部弹性理论^[22]，SWCNT应力-应变关系可表示为：

$ \sigma_{X X}-\left(e_0 a\right)^2 \frac{\partial^2 \sigma_{X X}}{\partial X^2}=E \varepsilon_{X X}, $

(2)

式中：σ_XX为x方向的应力，E为纳米管弹性模量，e₀为材料常数，a为材料内部特征长度，对于碳纳米管而言C—C键长一般为0.142 nm^[23]。

碳纳米管内部流体作用于纳米管的力可表示为^[24]

$ F_{\mathrm{f}}=m_{\mathrm{f}}\left(\frac{\partial^2 W}{\partial t^2}+2 U \frac{\partial^2 W}{\partial X \partial t}+U^2 \frac{\partial^2 W}{\partial X^2}\right) \text {, } $

(3)

式中，m_f为每单位长度上纳米管内部流体的质量。

纵向磁场中，由磁场引起的作用于纳米管z方向上单位长度的磁场力为^[6]

$ F_Z=f_Z A=\eta A H_X^2 \frac{\partial^2 W}{\partial X^2}, $

(4)

式中：A为管道横截面积，f_Z为z方向上的洛伦兹力，其大小表示为$f_Z=\eta H_X^2 \frac{\partial^2 W}{\partial X^2}$，其中h为磁导率，H_X为纵向磁场强度。

Pasternak弾性基体由弹性参数K与剪切参数G来描述，其对纳米管作用力表示为^[25]

$ F=K W-G \frac{\partial^2 W}{\partial X^2}。$

(5)

基于上述各式，由弹性基体、磁场以及管内流体共同作用于碳纳米管的功为：

$ W_{\mathrm{Ext}}=\frac{1}{2} \int_0^L-\left(K W-G \frac{\partial^2 W}{\partial X^2}+F_Z+F_{\mathrm{f}}\right) W \mathrm{~d} X。$

(6)

管道系统的总动能为

$ T=\frac{1}{2}\left(m_{\mathrm{c}}+m_{\mathrm{f}}\right) \int_0^L\left(\frac{\partial W}{\partial t}\right)^2 \mathrm{~d} X, $

(7)

式中，m_c为每单位长度上纳米管的质量。

管道系统的应变能为

$ U=\frac{1}{2} \int_0^L \int_A \varepsilon_{X X} \sigma_{X X} \mathrm{~d} A \mathrm{~d} X。$

(8)

考虑到弯矩M与应力σ_XX的关系式：

$ M=\iint \sigma_{X X} Z \mathrm{~d} A, $

(9)

应用哈密顿原理：

$ {\int {{t_2}} _{t1}}\delta \left( {U - T - {W_{Ext}}} \right){\rm{d}}t = 0, $

(10)

可以得到输流简支碳纳米管的运动方程为：

$ \begin{gathered} E I \frac{\partial^4 W}{\partial X^4}+\left(m_{\mathrm{f}} U^2-\eta A H_X^2-G\right) \frac{\partial^2 W}{\partial X^2}+2 m_{\mathrm{f}} \frac{\partial^2 W}{\partial X \partial t}+K W+\left(m_{\mathrm{c}}+m_{\mathrm{f}}\right) \frac{\partial^2 W}{\partial t^2}- \\ \left(e_0 a\right)^2\left[\left(m_{\mathrm{f}} U^2-\eta A H_X^2-G\right) \frac{\partial^4 W}{\partial X^4}+2 m_{\mathrm{f}} \frac{\partial^4 W}{\partial X^3 \partial t}+K \frac{\partial^2 W}{\partial X^2}+\left(m_{\mathrm{c}}+m_{\mathrm{f}}\right) \frac{\partial^4 W}{\partial X^2 \partial t^2}\right]=0, \end{gathered} $

(11)

边界条件为：

$ X=0, L: W=\frac{\partial^2 W}{\partial X^2}=0 \text { 。} $

(12)

2 振动控制方程求解

为便于后续的理论分析，引入下列无量纲化的变量及参数：$w=\frac{W}{L}, x=\frac{X}{L}, \tau=\sqrt{\frac{E I}{m_{\mathrm{c}}+m_{\mathrm{f}}}} \frac{t}{L^2}, \beta=$ $\frac{m_{\mathrm{f}}}{m_{\mathrm{c}}+m_{\mathrm{f}}}, u=U L \sqrt{\frac{m_{\mathrm{f}}}{E I}}, \mu=\left(\frac{e_0 a}{L}\right)^2, g=G \frac{L^2}{E I}, k=K \frac{L^4}{E I}, \psi=\eta A H_X^2 \frac{L^2}{E I} 。$

则上述横向振动方程(11)及边界条件(12)可分别转化为下述的无量纲方程

$ \begin{gathered} \frac{\partial^4 w}{\partial x^4}+\left(u^2-\psi-g\right) \frac{\partial^2 w}{\partial x^2}+2 u \sqrt{\beta} \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial \tau}+k w+\frac{\partial^2 w}{\partial \tau^2}- \\ \mu\left[\left(u^2-\psi-g\right) \frac{\partial^4 w}{\partial x^4}+2 u \sqrt{\beta} \frac{\partial^4 w}{\partial x^3 \partial \tau}+k \frac{\partial^2 w}{\partial x^2}+\frac{\partial^4 w}{\partial x^2 \partial \tau^2}\right]=0 。\end{gathered} $

(13)

无量纲边界条件

$ x=0, 1: w=\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}=0。$

(14)

设方程(13)的解为w=φ(x)e^{Ω τ}，代入方程(13)有

$ \begin{gathered} \frac{\mathrm{d}^4 \varphi}{\mathrm{d} x^4}+\left(u^2-\psi-g\right) \frac{\mathrm{d}^2 \varphi}{\mathrm{d} x^2}+2 u \sqrt{\beta} \varOmega \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} x}+\left(\varOmega^2+k\right) \varphi- \\ \mu\left[\left(u^2-\psi-g\right) \frac{\mathrm{d}^4 \varphi}{\mathrm{d} x^4}+2 u \sqrt{\beta} \varOmega \frac{\mathrm{d}^3 \varphi}{\mathrm{d} x^3}+\left(\varOmega^2+k\right) \frac{\mathrm{d}^2 \varphi}{\mathrm{d} x^2}\right]=0 。\end{gathered} $

(15)

采用微分变换法(DTM)求解上述高阶微分方程，DTM算法是将待求解的微分方程转换成相应的代数方程组，进而通过求解该代数方程组来获得原微分方程闭合级数解的一种半解析算法。DTM法应用于纳米级别输流管道系统振动稳定性分析已在文献[4]得到证实。

基于DTM运算法则^[26]，可得到方程(15)的微分变换形式：

$ \begin{array}{r} {\left[1-\mu\left(u^2-\psi-g\right)\right](n+4) ! \varPhi(n+4)-2 \mu u \sqrt{\beta} \varOmega(n+3) ! \varPhi(n+3)+2 u \sqrt{\beta} \varOmega(n+1) ! \varPhi(n+1)+} \\ {\left[\left(u^2-\psi-g\right)-\mu\left(\varOmega^2+k\right)\right](n+2) ! \varPhi(n+2)+\left(\varOmega^2+k\right) n ! \varPhi(n)=0 。} \end{array} $

(16)

其中Φ (n)为φ (x) 变换函数。

边界条件的微分变换形式：

$ \varPhi(0)=\varPhi(2)=0 $

(17)

$ \sum\limits_{n=0}^{\infty} \varPhi(n)=0, \sum\limits_{n=0}^{\infty} n(n-1) \varPhi(n)=0 \text { 。} $

(18)

令Φ (1) = C₁, Φ(3) = C₂，进而与式(17)一起代入式(16)，迭代求得Φ(n)，n = 4, 5, …, N。然后将Φ(n)，n = 0, 1, 2, …, N代入式(18)，可得到以下2个方程：

$ \left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]\left\{\begin{array}{l} C_1 \\ C_2 \end{array}\right\}=0。$

(19)

令上式系数矩阵行列式为零即可获得输流碳纳米管系统无量纲复频率Ω，其中虚部Im(Ω)是系统的无量纲频率，研究表明^[27]，在Im(Ω) = 0时，简支管道系统出现屈曲失稳，此时流速称为系统发散失稳的临界流速，记为u_cr。

3 数值算例分析

采用的纳米管几何与材料参数分别为^[6]：管内流体的密度r_f = 1 000 kg/m³, 碳纳米管密度r_c = 2 300 kg/m³，外层半径R₀ = 3 nm，壁厚t_d = 0.1 nm，弹性模量E = 3.4 TPa，泊松比n =0.3。振动中为不计纳米管剪切变形与转动惯量，长径比取L/2R₀ = 40，磁导率h = 4π×10^-7，质量比β = 0.5，其余参数选择在算例中将给与说明，选取DTM算法收敛截取数60以确保各项数值解足够精确^[6]。

图 2为不考虑弹性基体时，简支输流SWCNT系统无量纲临界流速在小尺度系数μ及磁场强度H_X耦合作用下的变化规律。由图 2可以看出随着小尺度系数的增加系统临界流速降低，系统更易出现失稳现象；而随着磁场强度的增强系统临界流速增大、稳定性提高。进一步分析图 2可以发现，小尺度系数越大，磁场的增强对临界流速的提高越明显，例如：磁场强度由0提高到1×10⁸ A/m，在m = 0时，临界流速提升量Δu_cr = 4.42；在μ = 0.2时，Δu_cr = 4.714. 而磁场强度越大，改变小尺度效应对临界流速的影响越不明显，例如：小尺度参数μ由0增加到0.2，当磁场强度H_X = 0 A/m时，临界流速降低值Δu_cr = 0.481；当磁场强度H_X =1×10⁸ A/m时，Δu_cr= 0.187.

图 3为不计小尺度效应及磁场作用时，弹性基体无量纲弹性参数k及剪切参数g对系统无量纲临界流速u的影响。由图 3可以看到，随着弹性基体双参数的增加系统临界流速均提高，说明弹性基体增强了系统的刚度。比较双参数耦合作用的影响可以发现，剪切参数g对系统稳定性的影响优于弹性参数k。

图 4和图 5为不计小尺度效应时，弹性基体与磁场共同作用下输流SWCNT系统无量纲临界流速的变化规律，其中图 4剪切参数g = 0、图 5弹性参数k = 0。由图 4、5可以看到增强外加磁场及弹性基体均可提高系统的临界流速，说明弹性基体与纵向磁场均能增强系统的刚度。进一步比较各参数间的相互影响可以发现：在较强磁场中，弹性基体的改变对系统临界流速的影响程度降低，例如：无量纲弹性参数k由0增至300(图 4)，磁场强度为0 A/m时，临界流速提升量Δu_cr = 3.024；磁场强度为1×10⁸ A/m时，Δu_cr = 1.797。而在较强弹性基体下，磁场的增强对系统临界流速的提升程度也相应降低，如：外加磁场时由0增至1×10⁸ A/m，在弹性参数k = 0时，Δu_cr = 4.42；在k = 300时，Δu_cr = 3.013。分析图 5数据也可得到类似结论，这里不再赘述。这意味着在对系统刚度的提升作用中，纵向磁场与弹性基体并没有“遇强更强”，而是出现了“此长彼消”的变化情况。

图 6和图 7为不计磁场作用时，弹性基体与小尺度效应共同作用时输流SWCNT系统无量纲临界流速的变化规律，其中图 6剪切参数g = 0、图 7弹性参数k = 0。由图 6、7可以看到有无弹性基体，小尺度系数μ的增加都会降低系统的临界流速，而增强弹性基体可以提高系统临界流速。进一步比较各参数间的相互影响可以发现：小尺度效应与弹性基体间的相互影响作用表现得较为复杂。小尺度效应越强，弹性参数k的变化对系统临界流速的影响越弱，但剪切参数g对临界流速的影响越强，如：弹性参数k由0增至300，在小尺度系数为0时，临界流速提升值Δu_cr = 3.204，小尺度系数为0.2时，Δu_cr = 2.123(图 6)；剪切参数g由0增至60，在小尺度系数为0时，Δu_cr = 5.217，小尺度系数为0.2时，Δu_cr = 5.53(图 7)。反观弹性基体，在较大弹性参数k与较小剪切参数g时，小尺度效应的改变对临界流速的影响越明显，如：μ由0增加到0.2，在k= 0时，临界流速降低值Δu_cr = 0.481，k = 300时，Δu_cr =1.562(图 6)；同样的μ由0增加到0.2，在g = 0时，临界流速降低值Δu_cr = 0.481，g = 60时，Δu_cr = 0.168(图 7)。

图 8和图 9分别给出了外加纵向磁场与小尺度效应对弹性基体中输流管道系统振动频率的影响，其中图 8小尺度系数m = 0，图 9磁场强度H_X = 0 A/m。由图 8、9可以发现，不同参数情形下，管道系统振动频率均随管内流体流速增加而降低，且当流速达到相应的某一临界流速时，管道系统均产生了发散失稳。由图 8、9还可以看出，外加纵向磁场与弹性基体可提高系统的振动频率，而小尺度效应降低系统振动频率。进一步分析可以发现，磁场在没有弹性基体时对频率的提高程度优于有弹性基体时的情况；而对于小尺度效应，由图 9可以看到，在较大弹性参数与较小剪切参数的弹性基体中，小尺度系数的变化对系统频率的影响程度较强。

4 结论

基于非局部连续介质理论，以Euler-Bernoulli梁模型，弹性基体采用Pasternak弾性模型，研究了纵向磁场作用下嵌入弹性基体中的输流SWCNT管道系统在小尺度系数、磁场强度及弹性基体共同作用下的发散失稳问题，并着重研究了上述耦合作用的各参数相互之间的影响情况，得到如下结论：

1) 弹性基体、纵向磁场均能提升系统刚度，从而提高系统稳定性；而小尺度效应则降低了系统的刚度，使纳米管道系统更易出现失稳现象。

2) 弹性基体在对系统刚度的提升中，其剪切参数的作用优于弹性参数的作用。

3) 弹性基体与外加纵向磁场在共同提升系统稳定性的过程中，出现了“此长彼消”这一现象，即较强的弹性基体将降低外加磁场对系统稳定性的提升效率，反之亦然。

4) 弹性基体与小尺度效应的相互作用显得较为复杂，具体表现为：弹性基体的弹性参数越大、剪切参数越小，小尺度效应对输流管道系统的影响越强；而小尺度效应越明显，弹性基体中弹性参数对系统的影响越弱、剪切参数对系统的影响越强。

上述结论意味着，在实际应用中，为了增强纳米输流管道的稳定性，可通过外加磁场或弹性基体的方式来实现，但二者耦合作用时一味增大二者强度并不是一个较为经济的做法。另外，可适当增强磁场强度或选择弹性参数小、剪切参数大的弹性基体来降低小尺度效应对系统的影响。