磁流变弹性体(MRE, magnetorheological elastomer)通常由非磁性聚合物基质和微米级磁性颗粒混合固化而成。固化后，铁磁颗粒被限制在基体中，因此不存在颗粒沉降和稳定性差等问题^[1-2]。其力学特性可在外加磁场作用下发生显著改变，尤其是宏观的刚度和阻尼可在外加磁场控制下发生快速、连续、可逆的变化^[3-5]，将MRE应用于智能结构、传感机构和振动控制领域具有非常广阔的前景，近年来已成为智能材料研究的一个热点^[6-10]。

作为一种智能材料，MRE具有优异的磁控变刚度力学特性，其储能模量可随外加磁场的增大而增大，表现出明显的磁流变效应。为提高MRE的磁致力学性能，研究者们在基体和填充颗粒的选择、改性等方面进行了大量研究^[11-15]。研究表明，各向异性MRE比各向同性MRE具有更好的磁致性能，因此在MRE固化过程中通常会施以外加磁场进行预结构化，得到颗粒链与外加磁场同向的各向异性MRE样品。当MRE中磁性颗粒的体积分数较小时，颗粒在基体中呈链状结构排列。

有学者研究发现，MRE中颗粒链的排列会对其磁致模量产生较大影响^[16-18]。从微观角度出发，基于磁偶极子理论建立了MRE的磁致剪切模量微观模型，分析了颗粒链取向角度对磁致剪切模量的影响，并预测了磁致剪切模量随取向角度的变化规律。通过对制备试样的测试表明，该微观模型的预测趋势与实验数据完全一致；根据羰基铁粉磁化规律，将微观模型参数简化，采用实测数据对简化模型参数进行识别，得到MRE磁致模量的参数模型，结果表明该参数模型能够很好的预测颗粒链取向角度和外加磁场对MRE磁致模量的影响。本研究以期为MRE的制备及磁致机理研究提供相关理论和技术支撑。

1 基于偶极子理论的磁致模量微观模型

磁性颗粒是MRE具有磁控特性的根本原因。MRE内部颗粒间的相互作用力一般采用磁偶极子模型计算^[19-21]。将MRE中的磁化颗粒视为大小均匀的磁偶极子，并且忽略基体以及磁化颗粒间磁场的耦合作用，通过分析磁化颗粒间相互作用机理，可得磁致模量的微观模型^[22]。虽然这种简化会造成一定误差，但预测趋势却是正确的^[23]。颗粒被磁化后具有与外加磁场方向相同的磁偶极矩，其大小可表示为^[21]

$ m=\frac{4}{3} \pi a_{3} \mu_{0} \mu_{1} \chi H, $

(1)

式中：a为颗粒半径；χ为颗粒磁化率；μ₀为真空磁导率；μ₁为MRE磁导率；H为颗粒所处位置的磁场。当MRE中颗粒链相对于外加磁场$ \vec{H} $具有任意取向角度时，同一链中任意相邻颗粒m_i与m_j之间的位置关系如图 1所示，其中θ为颗粒链取向角，r为颗粒间距离。相邻颗粒间的相互作用能可表示为^[24]

$ E_{i j}=-\frac{m_{i} m_{j}}{4 \pi \mu_{0} \mu_{1} r 3}\left[3 \cos ^{2} \theta-1\right], $

(2)

磁化颗粒之间的相互作用力$ \vec{F}=-\nabla\left(E_{i j}\right) $，其中：$ \nabla=\frac{\partial}{\partial r} \widehat{\boldsymbol{r}}+\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \hat{\boldsymbol{\theta}} $，得到

$ \vec{F}=\frac{3 m_{i} m_{j}}{4 \pi \mu_{0} \mu_{1} r^{4}}\left[\left(1-3 \cos ^{2} \theta\right) \widehat{\boldsymbol{r}}-(2 \cos \theta \sin \theta) \hat{\boldsymbol{\theta}}\right] \circ $

(3)

其中：$ \widehat{\boldsymbol{r}} $代表径向方向单位向量；$ \hat{\boldsymbol{\theta}} $代表角向方向单位向量，其系数正负代表力的方向。从式(3)中可以看出，磁化颗粒间相互作用力具有沿径向和角向的分量，这表明颗粒间相互作用力不仅与其距离有关，还与相对于外加磁场的取向角度θ有关^[22]。相邻颗粒间相互作用力如图 2(a)所示。当取向角在0~90°之间变化时，径向分力和角向分力随取向角θ的变化如图 2(b)所示。其中径向分力先表现为吸引力，在θ≈54.74°时变为排斥力。

剪切受力是MRE的常见工作模式之一。MRE受剪切时产生变形，变形前后颗粒链与相邻颗粒间几何关系如图 3所示，假设变形前颗粒间沿磁场方向的距离为r₀^[22]，变形前后颗粒间距离分别为r₁和r₂，颗粒链取向角为θ，应变角为δ，剪切力均匀分布在每个颗粒上。

当MRE剪切变形时，在外加磁场作用下，内部磁化颗粒间的相互作用力$ \vec{F} $将抵抗变形。假设颗粒大小均匀，则m_i=m_j=m，考虑同一链中所有颗粒之间的相互作用，将$ \vec{F} $沿水平剪切力方向投影，可得颗粒间抵抗剪切变形的力^[25]

$ F=\frac{3 C m^{2}}{2 \pi \mu_{0} \mu_{1} r^{4}}\left[5 \cos ^{2} \theta \sin \theta-\sin \theta\right], $

(4)

其中，$ C = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{r^4}}}} \approx 1.082 $。

磁致剪切模量表达式为^[19]

$ \Delta G = \frac{{nF}}{{\gamma ', }} $

(5)

其中：n为单位截面中粒子链的数量，$ n = \frac{{3\varphi {r_0}}}{{4\pi {a^3}}} $；斜链的剪应变γ′与MRE整体剪应变γ之间关系为^[26]：γ′=γcos²θ，从而求得MRE的磁致剪切模量为

$ \Delta G=\frac{9 \varphi C r_{0}\left[5 \cos ^{2}(\theta+\delta) \sin (\theta+\delta)-\sin (\theta+\delta)\right]}{8 \pi^{2} a^{3} \mu_{0} \mu_{1} r_{2}^{4} \gamma \cos ^{2} \theta} m^{2}, $

(6)

从图 4中可知：$ \cos (\theta+\delta)=\frac{r_{0}}{r_{2}}, \cos \theta=\frac{r_{0}}{r_{1}} $，令

$ K=\frac{\left[5 \cos ^{2}(\theta+\delta)-1\right] \cdot \sin (\theta+\delta) \cdot \cos ^{4}(\theta+\delta)}{\cos ^{2} \theta} 。$

(7)

则磁致剪切模量可表示为

$ \Delta G=\frac{9 \varphi C K}{8 \pi^{2} a^{3} \mu_{0} \mu_{1} r_{0}^{3} \gamma} m^{2} 。$

(8)

在(8)中，K与颗粒链取向角相关，在相同磁场下，取其他参数为定值，可得磁致模量随颗粒链取向角度的变化规律如图 4所示。

从图 4可以看出，磁致模量随颗粒链取向角度的增大先增大后减小，在26°附近达到最大值。当取向角大于63°时，出现负磁致模量。在几个特殊的取向角度情况下，磁致模量的绝对值表现出90° < 75° < 0° < 60° < 45° < 30°。从磁化颗粒间的相互作用来看，当MRE受外力剪切发生变形时，因为取向角度的存在，在外加磁场作用下，磁化颗粒间会在剪切方向产生一个相互作用力以抵抗变形^[22]。当颗粒链与外加磁场的取向角度增大时，抵抗剪切变形的力先增大后减小，在26°附近达到最大值，直至方向发生改变。因此，磁致模量也随取向角度先增大后减小，并在较大角度表现出负磁致模量。从基体的角度看，磁化颗粒倾向于向外加磁场方向运动。由于固定在基体中的颗粒链与外加磁场方向存在取向夹角，使得这种趋势更加明显，受界面处基体的限制，颗粒产生的位移将使基体产生应力集中，MRE表现出磁致模量的变化^[22]。

基于磁偶极子理论的微观磁致模型只考虑了颗粒间相互作用，未考虑基体与颗粒之间的磁场耦合对MRE磁致特性的影响，因此不能准确预测磁致模量大小。在实际应用中，为便于控制，需要准确预测不同磁场下MRE的磁致模量，因此基于参数的磁致模型更具工程应用价值^[22]。通过实测值对简化微观模型中的参数进行逆向识别，可得MRE磁致模量的参数模型。将式(1)代入式(8)得

$ \Delta G = \frac{{2\varphi CK{\mu _0}{\mu _1}}}{\gamma }{\left( {\frac{a}{{{r_0}}}} \right)^3}, {\left[ {\chi \cdot H} \right]^2} 。$

(9)

令$ A=\frac{2 \varphi C \mu_{0} \mu_{1}}{\gamma}\left(\frac{a}{r_{0}}\right)^{3}, M=\chi \cdot H $，可得简化公式

$ \Delta G = A \cdot K \cdot {M^2}, $

(10)

其中A与颗粒粒径、应变、体积分数等参数相关，可视为常数；K与颗粒链取向角度相关；M为磁化强度，M=χ·H，与颗粒的磁化过程相关^[22]。在羰基铁粉磁化过程中，颗粒磁化率与磁感应强度之间存在非线性特性^[27]，根据磁化曲线可拟合得到磁化强度与外加磁场之间的经验公式：M²=αB²+βB，代入式(10)得到磁致模量参数模型

$ \Delta G = a{B^2} + bB , $

(11)

该磁致模量参数模型较为简明，仅包含a和b 2个参数，其中a=AKα，b=AKβ，都与颗粒链的取向角度有关。

2 MRE试样制备及磁致模量测试

为验证以上规律的准确性，制备了具有不同颗粒链取向角度的MRE试样并进行动态剪切力学性能测试。制备原料包括聚二甲基硅氧烷、硅油、铂催化剂和粒径分别为38 μm，75 μm，150 μm的羰基铁粉。将相同配比的羰基铁粉(质量分数33.3%)、聚二甲基硅氧烷(质量分数66.1%)以及硅油在真空状态下同铂催化剂混合搅拌均匀，将混合物倒入铝制模具中并放置在匀强磁场中，通过调整模具与磁场间的夹角，制备得到3种不同粒径，颗粒链具有6种不同取向角度的MRE试样，MRE试样的颗粒链取向角度分别为0°、30°、45°、60°、75°和90°。制备流程如图 5所示。

对制备的试样进行磁场扫描测试，采用的仪器为Physica MCR301流变仪，其内置的励磁线圈可产生变化的均匀磁场。将试样裁成直径为20 mm，厚度为2 mm的圆片。测试时流变仪平行板与MRE表面接触并产生一个预压力(5 N)；将流变仪设置为振荡剪切模式，测试频率为10Hz；当平行板旋转时，试样受到水平剪切，为保证MRE处于线性粘弹性区域内，设置剪切应变为0.1%^[22]；通过控制电流改变磁场大小，MRE内部的颗粒链取向角度为磁场方向和粒子链方向的夹角。

3 实验结果分析

测试结果如图 6所示，测试磁场的变化范围约为0~1 100 mT，磁致剪切模量随磁场的增大呈非线性增大，这是由于颗粒磁化过程是非线性的。随外加磁场增大，MRE表现出明显的磁流变效应。3种不同粒径下MRE的磁致模量均表现出相同的规律，即90° < 75° < 0° < 60° < 45° < 30°，这与基于磁偶极子理论所推导的微观模型所表现的趋势一致，验证了该微观模型的准确性。

根据实测的磁致剪切模量值，利用最小二乘法对式(11)中的参数进行识别，可得到不同粒径和取向角度下MRE的磁致模量参数模型中a，b的数值，如表 1所示。

在磁致模量参数模型中，从参数a，b的数值变化上可以看出，其绝对值都随取向角度的增大先增大后减小，并在30°时取得最大值，且在0~30°之间变化较大，这表明磁致模量对取向角度在0~30°之间的变化较为敏感，这与微观模型中的趋势符合^[22]。参数模型预测值如图 6中实线所示，从图中可以看出，在不同的磁场大小下，基于参数的磁致模量模型可较为准确的预测MRE的磁致模量值，并且通过控制磁场大小可以改变取模量。为基于MRE的器件研究提供了理论参考。

4 结论

基于磁偶极子理论，分析了磁化颗粒之间的相互作用，建立了虑及颗粒链取向角度的MRE磁致模量微观模型，通过分析颗粒间相互作用机理，预测了磁致模量随颗粒链取向角的变化趋势。制备了具有不同颗粒链取向角度的MRE试样，并测试了不同MRE试样的磁致模量。将所提出的磁致模量微观模型简化为含有未知参数的参数模型，并通过测试数据对模型中的参数进行识别，得到具有不同颗粒链取向角度MRE的磁致模量参数模型。主要结论如下：

1) MRE的力学性能不仅依赖于基体材料和颗粒含量，还取决于磁性颗粒在基体中的排列方式。基于磁偶极子理论建立的具有不同颗粒链取向角度的MRE的磁致剪切模量微观模型可以较好的解释和预测颗粒链取向角度对MRE磁致特性的影响。

2) MRE的磁致剪切模量与颗粒链取向角度有关。测试结果显示，在3种不同粒径(38 μm、75 μm和150 μm)下，MRE的磁致剪切模量均随颗粒链取向角度的增大先增大后减小。颗粒链取向角度为30°、45°和60°的MRE的磁致剪切模量大于传统的直链MRE的磁致剪切模型。因此，通过改变颗粒链取向角度可以提高MRE的磁致剪切模量。

3) 具有不同颗粒链取向角度MRE的磁致模量参数模型可以较准确的描述颗粒链取向角度和磁场对MRE磁致模量的影响。通过对相关参数的讨论可得，MRE的磁致模量在30°达到最大值，在0°~30°之间变化较快，与微观模型预测相符合。