2023, Vol. 46
表1(Table 1)
2. 中国航发湖南动力机械研究所, 湖南 株洲 412002
2. AVIC Hunan Power Machinery Research Institute, Zhuzhou, Hunan 412002, P. R. China
直升机高速化是未来的发展趋势之一，俄罗斯、美国等陆续推出了高速直升机计划[1]，其中，刚性共轴双旋翼+推进尾桨直升机(共轴直升机)得到了大力发展。以美国西科斯基的X-2为例，其巡航速度高达463 km/h[2]，远远超过传统的单旋翼直升机。共轴直升机利用上下2副共轴反转旋翼实现扭矩平衡，2根旋翼输出轴采用内轴穿过外轴的布置方式，由于输出轴特殊的布置和运动方式，使其主减速器结构更为复杂；并且共轴反转主减速器的构型种类丰富，按共轴部分的结构可分为复合轮系共轴构型[3]、简单齿轮共轴构型[4-6]和定轴轮系共轴构型[7-8]。
国内对共轴减速器构型的设计研究尚处于起步阶段，国内外公开的资料都较为有限。其中，严岳胜、倪德等[9-10]对差动轮系、圆柱齿轮、锥齿轮等为主干的减速器构型的特点、现状进行了分析；石万凯、徐步德、张世飞等[11-13]对差动轮系共轴减速器构型的功率流向特点和分析方法进行了研究。单旋翼直升机主减速器的设计方法对共轴主减速器有着借鉴意义。对现有直升机传动系统的轮系结构、轴承布置、齿轮参数等进行的改进和优化[14-16]是一大主流设计方法，但其创新性不足。唐岁迎等[17]建立了基于图论的直升机传动系统方案设计方法，创新性好，但设计流程不完善。Pi等[18]利用汽车功率分流变速器的设计方法，通过比较可靠性、质量等指标来选择直升机减速器的可行方案，可操作性强。
笔者提出了一种基于图论的共轴反转主减速器设计方法。首先，根据现有构型资料提取齿轮单元、连接规律和边界条件，并对三者进行推导；其次，建立设计对象的邻接矩阵集合，生成改进的图论表达模型；随后建立筛选规则，得到可行方案集合, 利用序列二次规划算法，以齿轮强度为约束条件, 以齿轮质量为目标，优化并筛选得到质量最小的构型方案。最后，给出了三级传动方案的设计算例，验证此方法的合理性。
1 图论模型的建立图论模型元素包括节点和边，文中节点主要指轴，边主要指齿轮传动单元(啮合关系)。为了更好地表示模型元素之间的关系，需要改进图论模型的表示方法。
1) 为了表示减速器功率的流向，采用带有箭头的有向图[19]表示；2)为了模型的直观和简洁，模型还应具有平面图，具有无交叉边、简单图，无重复边的特点，该类图对应邻接矩阵的非零元素为1；3)由于2根输出轴在空间上高度重合，将其视为1个同轴节点。
1.1 信息归纳根据现有共轴反转主减速器的结构，提取轴数目的边界范围、轴的连接关系、齿轮单元种类。将结构简图转换为图论模型，以单动力源的2级传动运动简图，如图 1所示。将轴视为节点，并编号1，2，…，7。按照轴的连接关系，将节点用边进行连接，形成1个图论模型，并将图分为1~5层。照此处理，可获得现有主减速器的分层图论模型。通过分层的图论模型可以观察到每层的节点数目，根据调研，每层节点数目一般为2x个，x为非负整数，从而确定节点数目的边界。
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图 1 运动简图转换过程 Fig. 1 Transforming process of kinematic diagram |
连接规律即指节点和节点如何连接。节点间的连接规律通过现有共轴反转主减速器资料获得，也可对连接规律适当推导。提取规律的步骤如下：
1) 将节点的连接关系用矩阵进行表达。如图 1所示，第1层节点1和第2层节点2连接，邻接矩阵节点1所在第1行与节点2所在第2列交叉位置的元素为1，表示有连接；同理，第2层节点2和第3层节点3和4有连接，邻接矩阵节点2所在第2行与节点3、4所在第3、4列交叉位置的元素为1；以此类推，可得到完整的矩阵。
2) 将第1层节点1所在行与第2层节点2所在列交叉位置的元素提取，以矩阵形式保存，定义该矩阵为特征矩阵C；将第2层节点2所在行与第3层节点3、4所在列交叉位置的元素提取，以矩阵形式保存；重复以上操作，将每层节点所在行与一层节点所在列交叉位置的元素提取出来。该图例的节点连接规律则提取完毕，如图 2所示。
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图 2 提取连接规律 Fig. 2 Extracting connection laws |
此外，以齿轮传动的方向作为分类依据，齿轮单元可分为平行单元、换向单元和共轴单元，如表 1所示。共轴单元是传动轴与旋翼输出轴的连接单元；刚性连接用于旋翼与输出轴，动力源与输入轴的连接。
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表 1 齿轮单元信息 Table 1 Information of gear units |
图论表达模型的建立主要分为2步：1)建立设计对象的邻接矩阵, 实现邻接矩阵的自动生成；2)将邻接矩阵转换为图论模型，并标注。邻接矩阵是图论中的重要工具，用于表示节点与节点之间的连接关系，第i个节点对应矩阵中的第i行和第i列，如果第i个节点功率流向第j个节点，那么第i行第j列则会出现元素1，表示i和j节点连接。
文中邻接矩阵按层数建立。假设，每个图层仅有1个节点，k级传动意味着有k条动连接的边(节点之间用边连接，轴之间通过齿轮单元啮合进行连接)，节点应有k+1个，即图层k+1个，考虑动力源节点和旋翼节点，节点还要+2，图层应为k+3个。于是1个k级传动方案对应图层数目为k+3层，则邻接矩阵的维数为k+3，预先生成1个维数也为k+3的零矩阵A。随后确定每层节点数量。根据调研, 每层节点数目一般为2x的指数关系, 利用随机组合的方法确定每层可能的节点数目；将每层节点可能的数目与其他层节点可能的数目进行组合，从而形成1个k+3层图论模型所可能的节点数目矩阵N，其层数等于图层数，每层元素代表该层的节点数目。其次，判断N相邻层节点数目，确定节点的连接关系，找到对应的特征矩阵C，将矩阵A相应位置的元素用C置换，最终得到邻接矩阵A。这些步骤可以自动实现，从而实现邻接矩阵的自动生成。利用MATLAB中digraph函数即可将邻接矩阵转换为图论模型。
共轴直升机多采用1个或者2个动力源，以2个动力源为例。主减速器为了确保安全冗余度，2个动力源到输出端的传动结构都是一致的(对称性)，并且单个动力源在传动过程中由于分扭而出现多个运动链时，这些运动链的结构也一致(不含惰轮结构时)；仅需标注一条运动链的节点和边，完成图论模型的生成工作。
2 方案生成和筛选以对称的主减速器方案为例，只需对其图论模型的边指定相应的齿轮单元，利用表 1中各个齿轮单元进行随机标注，即可生成对应的传动方案。为保证模型和方案的合理性，在已知传动单元和节点的连接情况下对图和方案进行筛选，得到可行方案集合。这里的边是带有箭头的，表示功率的流向，指向某一节点边的数量即为入度。文中所用入度指的是箭头指向同轴节点(2根旋翼轴)的关联边的数量，用来表示方案的功率分支数目，以便区分各个方案。比如，只有1条边指向同轴节点时(入度为1)，表示方案为1条单支路方案，以此类推。
筛选规则如下：
1) 确保与动力端(旋翼、动力源)节点关联的边为刚性连接，确保与同轴节点关联的边为同轴单元。
2) 根据模型中同轴节点的入度确定同轴单元，确定该图模型对应的构型种类。如，入度为2时，排除共轴复合轮系单元10和11；入度为1时，排除共轴圆柱齿轮单元。
3) 确定同轴单元之后，进行轴线的判定，依据方案中的传动单元，观察是否匹配给定的输出轴和输入轴的轴向。
4) 若动力轴向垂直于输出轴向，则在传动路径中必然存在换向单元。由于一些同轴结构本身具有换向功能，需要判定同轴结构是否具备换向功能，将不满足此条件的传动方案删除。
5) 若相邻层节点数目均不相等，则连接2个节点的传动单元不能为行星轮系。
6) 保证传动方案的传动比等于给定传动比。
7) 若上层节点数大于2，下层尾端节点仅与上层2个节点连接时，考虑到需要分给尾端较大功率，此种连接使得尾端仅分得部分功率, 需排除不合理连接，如图 3所示。
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图 3 不合理的尾端连接结构 Fig. 3 Irrational connection structure of tail end |
通过图论设计和相关的筛选可以得到连接合理的可行方案集合，但符合设计要求的主减速器方案还需要进一步筛选。利用基于齿轮强度约束的优化算法对可行方案的齿轮质量进行单目标优化，齿轮质量的优化是一个非线性问题，采用二次规划算法进行优化筛选，即通过比较各个方案的齿轮质量来选择构型。
3.1 目标函数根据调研，齿轮单元以圆柱齿轮、螺旋锥齿轮和行星轮系为基础。假设，齿轮采用的材料一致，由于质量与体积成比例关系，以方案中所有齿轮副体积和作为目标函数。文中给出了基本的齿轮副体积公式。
圆柱齿轮副体积采用以分度圆为底，齿宽为高的圆柱体积公式为
| Vcylindrical =0.25πφd(mz)3(1+i2) 。 | (1) |
螺旋锥齿轮副体积以中点齿顶圆为直径、齿宽为高的圆柱体[20]进行计算：
| Vspiral =0.78539b(RmRe)2(D2za1 +D2za2cos(0.5βm))。 | (2) |
行星齿轮体积由太阳轮、行星轮、齿圈体积[21]组成：
| Vplanetary =0.25πb(mzs)2+0.25nπb(0.5m(zr−zs))2+0.25πb(16m2zs+64m2), | (3) |
其中，m为齿轮模数；z为齿数；zs为太阳轮齿数；zr为齿圈齿数；i为速比；b为齿宽；φd为齿宽系数；n为行星轮个数；Rm为中点锥距；Re为大端锥距；βm为中点螺旋角；Dza1为小锥齿轮轮齿顶圆直径；Dza2为大锥齿轮齿顶圆直径。
3.2 约束条件优化筛选的约束条件分为2种类型，一是线性不等式约束，例如，变量的上下界范围；二是非线性不等式约束，其主要的约束包括齿轮齿面接触强度、齿根弯曲强度、齿轮齿面胶合温度、重合度、速比误差等。
各优化变量的上下界范围如表 2所示。
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表 2 优化变量范围 Table 2 Scope of optimized variables |
为了确保平稳性，圆柱齿轮端面重合度应大于1.2；螺旋锥齿轮端面重合度应大于1.3, 并且节线速度不应超过110 m/s。为了保证齿轮具有足够的强度，参考AGMA标准，建立了圆柱齿轮和螺旋锥齿轮在接触、弯曲、胶合3个方面的强度约束条件，其强度计算值应小于许用值，如表 3所示。
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表 3 各项约束的计算公式和许用安全系数 Table 3 Calculation formulas of each constraints and allowable safety coefficient |
由于篇幅所限，表中各系数的定义和取值详见AGMA制定的圆柱齿轮[22-23]和螺旋锥齿轮[24-25]相关标准。
3.3 优化方法考虑强度等的齿轮参数优化是一个非线性问题，利用MATLAB优化工具箱中的Fmincon求解器调用序列二次规划算法进行求解。基本求解格式为
| [x,fval]=fmincon(@ objfun ,X0,A,b,Aeq,beq,bl,bu,@noncon) |
其中：x为优化后的齿轮参数向量；fval为优化后的齿轮体积；objfun为体积目标函数文件；X0为初始迭代值向量；A，b，Aeq, ，beq为线性约束矩阵，A·x≤b和Aeq·x=beq的系数矩阵和向量，bl，bu分别为优化参数的上、下界向量，noncon为非线性优化约束条件文件。
4 算例验证给出由圆柱齿轮和锥齿轮组成的圆柱齿轮共轴构型主减速器方案(不含惰轮)从建模到筛选的设计过程。设计的主要参数条件，如表 4所示。
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表 4 主要设计参数和要求 Table 4 Partial design parameters and requirements |
根据文中设计方法利用MATLAB编程可以自动生成36个图论模型，部分模型和相应的邻接矩阵，如图 4所示。
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图 4 生成的部分邻接矩阵和图论模型 Fig. 4 Sectional adjacent matrixes and models of generated graph theory |
经过筛选，得到3个圆柱齿轮构型的图论模型和其对应的主减速器简图，如图 5所示。
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图 5 可行方案集合及其图论模型 Fig. 5 Feasible schemes set and models of graph theory |
利用序列二次规划算法对上述3种构型进行优化，得到优化后的质量如表 5所示。由表可知，四支路圆柱齿轮构型二的质量最小，为最佳方案。
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表 5 构型方案和优化后齿轮总重 Table 5 Configuration schemes and corresponding optimized total gear weight |
文中提出了一种基于图论的直升机共轴减速器设计方法。根据现有资料，进行信息归纳总结得到齿轮单元、连接关系和节点数目；给出了主减速器图论模型对应的邻接矩阵自动生成方法，并利用该矩阵生成改进的图论模型；通过提出的传动方案的生成方法、筛选规则，得到了可行方案集合；随后利用序列二次规划算法对可行方案集合进行基于齿轮强度约束的质量筛选得到齿轮质量最小的方案。为了验证设计方法的合理性，给出了以三级圆柱齿轮构型方案为例的简要设计流程，得到了一种齿轮质量最小的主减速器方案。
此方法可以实现共轴主减速器方案的快速生成和筛选，得到齿轮质量最小的主减速器方案，以提高方案的创新性和设计效率，对于以减重等为目标的直升机主减速器设计和选择具有一定的指导意义。
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