在现行材料力学教材中，较少讲解逐段刚化法，只在用叠加法求解外伸梁变形时简单提及。逐段刚化法实质为材料力学常用方法——叠加法的一种特例，但在材料力学教材中，其原理及应用较少阐述，因此，对该问题进行深入研究，对于完善材料力学教学内容十分必要。

一、逐段刚化法的基本原理

构件在受到外力作用下处于平衡状态，假想用m-m截面把构件分成Ⅰ、Ⅱ两部分(如图 1)，则构件的变形由这两部分组成，即δ_sum=δ_Ⅰ+δ_Ⅱ，δ为广义变形。

将Ⅰ、Ⅱ段刚化得到图 1(b)、图 1(c)所示部分。将这两部分叠加，则得到图 1(d)所示构件。此时，构件相当于两个构件放在一起，载荷加倍。但由于两个构件中有一个为刚体，根据刚化原理：“如果变形体在某一力系作用下处于平衡，若将此变形体刚化为刚体，其平衡状态不变”，将原构件刚化后其平衡状态不变；再根据减平衡力系原理，减去作用在刚体上的一组平衡力，则变形体只受到一组平衡力作用，即得到初始变形体状态，如图 1(a)所示。通过逐段刚化法后，所求的变形与原始状态一致，从而说明了逐段刚化法具有可行性，其实质是叠加法的一种特例。传统的叠加法是构件不变，载荷叠加；而逐段刚化法，是载荷不变，构件叠加。

在应用逐段刚化法时要注意4点：(1)构件的变形为小变形，须满足虎克定律；(2)刚化部分的外力对变形体段的作用必须合成到变形段末端；(3)变形量为广义变形，可以为轴向变形、扭转角或梁弯曲时的转角和挠度；(4)由刚化所引起的刚体变形需考虑总变形，比如梁变形段末端转角会引起“刚化段”的刚体位移。

二、逐段刚化法应用

逐段刚化法在材料力学中应用广泛，尤其是用来求解材料力学中较为复杂的问题比较简便，下面列举其应用。

(一) 逐段刚化法在轴向拉压中的应用

如图 2所示超静定杆AB，在1/3处受集中力P作用，求A、B两端约束反力，杆件抗拉刚度EA已知。

(1) 解题思路：此题可用变形协调条件补充一个几何学方程，再联立物理学方程和静力学平衡方程，求两端约束力，但此过程较为繁琐，如用逐段刚化法则较为简单。将杆件AB分为AC段和CB段进行刚化，如图 2(b)所示。AC段刚化后为刚体，无变形，CB段的变形由R_B产生；而CB段刚化后，CB为刚体，无变形，AC段的变形由R_A产生。由于杆件两端固定，所以它们的变形总和为零。

(2) 具体求解：AC段刚化，BC段变形：Δl_BC=(－R_B)· $\frac 23 $l/EA，CB段刚化，AC段变形：Δl_AC=R_A·$\frac 13 $l/EA，Δl_AB=Δl_AC+Δl_BC=R_A·$\frac 13 $l/EA+(－R_B)·$\frac 23 $l/EA=0⇒R_A=2R_B。

又根据静力学平衡方程：R_A+R_B=P，可得出R_A=2P/3，R_B=P/3。

(二) 逐段刚化法在圆轴扭转中的应用

变截面轴受力如图 2(a)所示，A端固定。M₁=1 500 Nm，M₂=1 000 Nm，d₁=70 mm，d₂=50 mm，材料的切变模量G=80.4 GPa。试求轴内最大相对扭转角。

(1) 解题思路：将变截面轴AC分为AB段和BC段进行刚化，如图 3(b)所示。AB段刚化后为刚体，无变形，CB段的扭转角由M₂产生；而BC段刚化后为刚体，无变形，AB段的扭转角由M产生，从而求出AB段、BC段相对扭转角，也可确定最大相对扭转角。

(2) 具体求解：AB段刚化，BC段扭转角：$ {\varpi _{{\rm{BC}}}}$= T₂l₂/GI_P2 =1 000×600×10^-3/80.4×10⁹×$ \frac{3.14}{32}$×50⁴×10^-12 = 0.012 2 rad，

BC段刚化，AB段扭转角：$ {\varpi _{{\rm{AB}}}}$= T₁l₁GI_P1 =2 500×500×10^-3/80.4×10⁹×$ \frac{3.14}{32}$×70⁴×10^-12 = 0.006 6 rad。

最大相对扭转角为AC段相对扭转角：φ_max=φ_AC=φ_AB+φ_BC=0.018 8 rad。

(三) 逐段刚化法在梁变形中的应用

计算图 4(a)所示阶梯梁的最大挠度，已知EI₁、EI₂为常量。

(1) 解题思路：由图可知，最大挠度发生于B截面处。将变截面梁分为AC段和CB段进行刚化，如图 4(b)、(c)所示。AC段刚化后，则CB段相当于C截面固定的悬臂梁；而CB段刚化后，CB为刚体，AC段为悬臂梁，根据“静力等效原则”，C处受到的载荷为F和M，并且此时CB附在C截面上，B截面处的挠度由两部分组成：一为C点的挠度，二为由转角引起刚化段CB的刚性位移。

(2) 具体求解：

在图 4(b)中f₁= $ - \frac{{Fl_2^3}}{{3E{I_2}}} $。在图 4(c)中f_2C= $ - \frac{{Fl_1^3}}{{3E{I_1}}} - \frac{{F{l_2}l_1^2}}{{2E{I_1}}} $，f_2CB=θ₂·l₂= $\left( { - \frac{{Fl_1^2}}{{2E{I_1}}} - \frac{{F{l_2}{l_1}}}{{E{I_1}}}} \right) $·l₂。故图 4(a)中梁的自由端B的总挠度为f_B=f₁+f₂=f₁+f_2C+f_2CB= $ - \frac{F}{{3E}}\left( {\frac{{l_2^3}}{{{I_2}}} + \frac{{l_1^3}}{{{I_1}}}} \right) - \frac{{F{l_1}{l_2}}}{{E{I_1}}} $(l₁+l₂)。

(四) 逐段刚化法在刚架中的应用

如图 5(a)所示刚架，试画出其内力图。其已知各段抗弯刚度均为EI，不计轴力和剪力的影响，试求A截面的垂直位移。

(1) 解题思路：将刚架分为CB段和BA段进行刚化，如图 5(b)、(c)所示。CB段刚化后，则BA段相当于B截面固定的悬臂梁，可在BA段画出内力图；而BA段刚化后，BA为刚体，根据“静力等效原则”，CB段B处受到的载荷为F和M，则CB段的内力图很容易画出。弯矩图得出后，用图乘法就可求出A点垂直位移。

(2) 具体求解：

CB段刚化，BA段为悬臂梁，其内力图如图 5(d)中BA段所示。BA段刚化，CB段受载荷为F和M作用，其内力图如图 5(d)中CB段所示。计算A点垂直位移采用图乘法，如果不计轴向拉压，在A点施加单位力，则刚架内力图和单位力图如图 5(e)所示。

$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;EI{\mathit{\Delta} _A} = \frac{1}{2}Fl \cdot l \cdot \frac{2}{3}l + Fl \cdot h \cdot l = \frac{1}{3}F{l^3} + F{l^2}h,\\ {\mathit{\Delta} _A} = \frac{{F{l^2}\left( {l + 3h} \right)}}{{3EI}}。\end{array} $

三、结语

对于材料力学中变截面梁问题和平面刚架等问题，一般叠加法难以求解，因为常用的叠加法都是载荷的叠加，不涉及变截面的问题。而通过上面的讨论可以看出，应用逐段刚化法求解超静定拉压杆、变截面梁、轴和平面刚架问题，其原理明了，易于理解，计算简单，是一种简单有效的方法。