在现行的弹性力学本科教材^[1]中，各物理量间的相互关系主要采用展开形式的教学方式，这种展开的表达形式书写较为复杂且记忆困难，各物理量间的关系不能直观表现。虽然采用张量的指标记法可以达到书写简洁的目的^[2]，但对于初学者理解较为困难。为此，在弹性力学的本科教学中，采用矩阵表达是一种较为合适的形式。采用矩阵表达形式具有书写简洁、记忆容易，同时也便于与数值解法(如有限单元法)相衔接。

为检验矩阵表达形式在弹性力学本科教学中的效果，笔者曾在2年4个学期的教学中进行了矩阵表达形式与展开形式的对比实践，学生普遍认为矩阵表达形式简洁易懂、便于记忆。对于普通大学本科生而言，矩阵表达是一种较为理想的教学形式。为此，文章简要介绍在弹性力学本科教学中采用的矩阵形式表达。

一、弹性力学问题中物理量间的相互关系

在大学本科教材中，一般采用弹性力学问题的微分提法^[3]，即从研究弹性体内的微元入手，导出描述微元静力平衡、变形几何及物理关系的一组基本方程，加上相应的边界条件，把弹性力学问题归结为求解偏微分方程组的边值问题。图 1给出了弹性力学中各物理量间的相互关系，包括基本方程和边界条件。

二、以应力为基础的物理量间的矩阵表达

在直角坐标系x, y, z下，应力分量σ_x, σ_y, σ_z, τ_xy, τ_xz, τ_yz，体力分量f_x, f_y, f_z，面力分量f_x, f_y, f_z，全应力在坐标轴上的投影p_x, p_y, p_z，外法线的方向余弦l, m, n；在柱坐标ρ, φ, z下，应力分量σ_ρ, σ_φ, σ_z, τ_ρφ, τ_ρz, τ_φz，体力分量f_ρ, f_φ, f_z。为简便之，记：

$ {\left[ \sigma \right]^{\left( 1 \right)}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\sigma _x}}&{{\tau _{xy}}}&{{\tau _{xz}}}\\ {{\tau _{xy}}}&{{\sigma _y}}&{{\tau _{yz}}}\\ {{\tau _{xz}}}&{{\tau _{yz}}}&{{\sigma _z}} \end{array}} \right),{\left\{ f \right\}^{\left( 1 \right)}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_x}}\\ {{f_y}}\\ {{f_z}} \end{array}} \right\}, $

$ {\left\{ \nabla \right\}^{\left( 1 \right)}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\partial }{{\partial x}}}\\ {\frac{\partial }{{\partial y}}}\\ \vdots \\ {\frac{\partial }{{\partial z}}} \end{array}} \right\},{\left\{ {\bar f} \right\}^{\left( 1 \right)}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bar f}_x}}\\ {{{\bar f}_y}}\\ {{{\bar f}_z}} \end{array}} \right\}, $

$ {\left\{ p \right\}^{\left( 1 \right)}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_x}}\\ {{p_y}}\\ {{p_z}} \end{array}} \right\}.{\left\{ l \right\}^{\left( 1 \right)}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} l\\ m\\ n \end{array}} \right\}, $

$ {\left[ \sigma \right]^{\left( 2 \right)}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\sigma _\rho }}&{{\tau _{\rho \varphi }}}&{{\tau _{\rho z}}}\\ {{\tau _{\rho \varphi }}}&{{\sigma _\varphi }}&{{\tau _{\varphi z}}}\\ \vdots &{}&{}\\ {{\tau _{\rho z}}}&{{\tau _{\varphi z}}}&{{\sigma _z}} \end{array}} \right),{\left\{ f \right\}^{\left( 2 \right)}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_\rho }}\\ {{f_\varphi }}\\ {{f_z}} \end{array}} \right\}, $

$ {\left\{ \nabla \right\}^{\left( 2 \right)}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\partial }{{\partial \rho }}}\\ {\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{{\partial \varphi }}}\\ {\frac{\partial }{{\partial z}}} \end{array}} \right\},{\left\{ e \right\}^{\left( 2 \right)}} = \frac{1}{\rho }\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\sigma _\rho } - {\sigma _\varphi }}\\ {2{\tau _{\rho \varphi }}}\\ {{\tau _{\rho z}}} \end{array}} \right\} $

下面，给出以应力为基础的各物理量间的矩阵表达形式。

(一) 平衡微分方程的矩阵表达

在直角坐标系中，平衡微分方程的矩阵表达形式为：

$ {\left[ \sigma \right]^{\left( 1 \right)}}{\left\{ \nabla \right\}^{\left( 1 \right)}} + {\left\{ f \right\}^{\left( 1 \right)}} = \left\{ 0 \right\} $

(1)

这里，记号约定： ${\sigma _x} \times \frac{\partial }{{\partial x}} = \frac{{\partial {\sigma _x}}}{{\partial x}}$ ， ${\tau _{xy}} \times \frac{\partial }{{\partial y}} = \frac{{\partial {\tau _{xy}}}}{{\partial y}}$ ， ${\tau _{xz}} \times \frac{\partial }{{\partial z}} = \frac{{\partial {\tau _{xz}}}}{{\partial z}}$ ，依此类推。式(1)表明了应力状态随坐标的变化规律，即应力对坐标的一阶导数与体力所满足的平衡关系式。类似地，在柱坐标系中的平衡微分方程可写为：

$ {\left[ \sigma \right]^{\left( 2 \right)}}{\left\{ \nabla \right\}^{\left( 2 \right)}} + {\left\{ f \right\}^{\left( 2 \right)}} + {\left\{ e \right\}^{\left( 2 \right)}} = \left\{ 0 \right\} $

(2)

这里，记号约定： ${\sigma _p} \times \frac{\partial }{{\partial \rho }} = \frac{{\partial {\sigma _p}}}{{\partial \rho }}$ ， ${\sigma _{\rho \varphi }} \times \left({\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{{\partial \varphi }}} \right) = \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {\tau _{p\varphi }}}}{{\partial \varphi }}$ ， ${\sigma _{\rho z}} \times \frac{\partial }{{\partial z}} = \frac{{\partial {\tau _{\rho z}}}}{{\partial z}}$ ，依此类推。在式(2)中，增加的{e}⁽²⁾项是由于柱坐标系中φ的正面和负面不平行，以及ρ的正面和负面面积不等所引起的。

对于弹性力学平面问题，只需在式(1)和式(2)中分别去掉与z相关的所有元素，即可得到平面问题的直角坐标和极坐标中的平衡微分方程。

对于空间轴对称问题，由于对称性，有τ_ρφ=τ_φz=0，其他4个应力分量σ_ρ, σ_φ, σ_z, τ_ρz一般都是ρ和z的函数。因此，将式(2)中矩阵[σ]⁽²⁾的第二行和第二列去掉，同时将所有列向量的第二行去掉，得到空间轴对称问题的平衡微分方程：

$ \begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\sigma _\rho }}&{{\tau _{\rho z}}}\\ {{\tau _{\rho z}}}&{{\sigma _z}} \end{array}} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\partial }{{\partial \rho }}}\\ {\frac{\partial }{{\partial z}}} \end{array}} \right\} + \frac{1}{\rho }\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\sigma _\rho } - {\sigma _\varphi }}\\ {{\tau _{\rho z}}} \end{array}} \right\} + \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_\rho }}\\ {{f_z}} \end{array}} \right\} = \left\{ \begin{array}{l} 0\\ 0 \end{array} \right\} \end{array} $

(3)

(二) 斜截面应力的矩阵表达

已知某点的应力张量或应力矩阵[σ]后，此点的应力状态就被确定了。于是，过此点任意斜截面上的全应力在笛卡尔坐标轴上的投影可写为：

$ {\left\{ p \right\}^{\left( 1 \right)}} = {\left[ \sigma \right]^{\left( 1 \right)}}{\left\{ l \right\}^{\left( 1 \right)}} $

(4)

若将斜截面看作物体的边界面，且给定面力{f}⁽¹⁾，即可得到应力边界条件：

$ {\left\{ {\bar f} \right\}^{\left( 1 \right)}} = {\left[ \sigma \right]^{\left( 1 \right)}}{\left\{ l \right\}^{\left( 1 \right)}} $

(5)

同时，斜截面上的正应力的矩阵表达式为：

$ {\sigma _n} = {\left\{ l \right\}^{\left( 1 \right)T}}{\left\{ p \right\}^{\left( 1 \right)}} = {\left\{ l \right\}^{\left( 1 \right)T}}{\left[ \sigma \right]^{\left( 1 \right)}}{\left\{ l \right\}^{\left( 1 \right)}} $

(6)

(三) 主应力和主方向的矩阵表达

由于应力张量或矩阵[σ]是一个实对称的3×3阶方阵，因此，它的三个特征值都是实数，同时存在三个相互正交的特征向量。事实上，对于给定的应力张量或矩阵[σ]，此点的主应力和主方向即为应力矩阵[σ]的特征值和特征向量：

$ {\left[ \sigma \right]^{\left( 1 \right)}}{\left\{ l \right\}^{\left( 1 \right)}} = \sigma {\left\{ l \right\}^{\left( 1 \right)}} $

(7)

主应力是计算最大正应力和最大剪应力的基础，在工程强度校核中起到重要作用。

(四) 应力分量转换公式的矩阵表达

设x, y, z为原坐标系，x′, y′, z′为新坐标系，若令l_ij=cos x′_i, x_j，即x′_i轴与x_j轴夹角的余弦，对于同一点在不同坐标系下的应力分量转换公式的矩阵表达式为：

$ \left[ {\sigma '} \right] = \left[ \beta \right]{\left[ \sigma \right]^{\left( 1 \right)}}{\left[ \beta \right]^T} $

(8)

其中，新坐标系的应力矩阵[σ′]和转换矩阵[β]分别为：

$ \left[ {\sigma '} \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\sigma '}_x}}&{{{\tau '}_{xy}}}&{{{\tau '}_{xz}}}\\ {{{\tau '}_{xy}}}&{{{\sigma '}_y}}&{{{\tau '}_{yz}}}\\ {{{\tau '}_{xz}}}&{{{\tau '}_{yz}}}&{{{\sigma '}_z}} \end{array}} \right), $

$ \left[ \beta \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{l_{11}}}&{{l_{12}}}&{{l_{13}}}\\ {{l_{21}}}&{{l_{22}}}&{{l_{23}}}\\ {{l_{31}}}&{{l_{32}}}&{{l_{33}}} \end{array}} \right) $

特别地，对于直角坐标与柱坐标中的应力转换公式为：

$ {\left[ \sigma \right]^{\left( 2 \right)}} = \left[ \beta \right]{\left[ \sigma \right]^{\left( 1 \right)}}{\left[ \beta \right]^T} $

(9)

其中，转换矩阵变为：

$ \left[ \beta \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \varphi }&{\sin \varphi }&0\\ { - \sin \varphi }&{\cos \varphi }&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right) $

对于平面问题，直角坐标与极坐标中的应力分量转换关系则为：

$ \begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\sigma _\rho }}&{{\tau _{\rho \varphi }}}\\ {{\tau _{\rho \varphi }}}&{{\sigma _\varphi }} \end{array}} \right) = \\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \varphi }&{\sin \varphi }\\ { - \sin \varphi }&{\cos \varphi } \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\sigma _x}}&{{\tau _{xy}}}\\ {{\tau _{xy}}}&{{\sigma _y}} \end{array}} \right){\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \varphi }&{\sin \varphi }\\ { - \sin \varphi }&{\cos \varphi } \end{array}} \right)^T} \end{array} $

(10)

三、以应变和位移为基础的物理量间的矩阵表达

在直角坐标系x, y, z下，应变分量ε_x, ε_y, ε_z, γ_xy, γ_xz, γ_yz，位移分量u, v, w，给定的位移边界分量u, v, w；在柱坐标ρ, φ, z下，应变分量ε_ρ, ε_φ, ε_z, γ_ρφ, γ_ρz, γ_φz，位移分量u_ρ, u_φ, u_z。为简便之，记：

$ {\left[ \varepsilon \right]^{\left( 1 \right)}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varepsilon _x}}&{{\varepsilon _{xy}}}&{{\varepsilon _{xz}}}\\ {{\varepsilon _{xy}}}&{{\varepsilon _y}}&{{\varepsilon _{yz}}}\\ {{\varepsilon _{xz}}}&{{\varepsilon _{yz}}}&{{\varepsilon _z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varepsilon _x}}&{\frac{{{\gamma _{xy}}}}{2}}&{\frac{{{\gamma _{xz}}}}{2}}\\ {\frac{{{\gamma _{xy}}}}{2}}&{{\varepsilon _y}}&{\frac{{{\gamma _{yz}}}}{2}}\\ {\frac{{{\gamma _{xz}}}}{2}}&{\frac{{{\gamma _{yz}}}}{2}}&{{\varepsilon _z}} \end{array}} \right), $

$ {\left\{ u \right\}^{\left( 1 \right)}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} u\\ v\\ w \end{array}} \right),{\left\{ {\bar u} \right\}^{\left( 1 \right)}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\bar u}\\ {\bar v}\\ {\bar w} \end{array}} \right), $

$ {\left[ \varepsilon \right]^{\left( 2 \right)}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varepsilon _\rho }}&{{\varepsilon _{\rho \varphi }}}&{{\varepsilon _{\rho z}}}\\ {{\varepsilon _{\rho \varphi }}}&{{\varepsilon _\varphi }}&{{\varepsilon _{\varphi z}}}\\ {{\varepsilon _{\rho z}}}&{{\varepsilon _{\varphi z}}}&{{\varepsilon _z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varepsilon _\rho }}&{\frac{{{\gamma _{\rho \varphi }}}}{2}}&{\frac{{{\gamma _{\rho z}}}}{2}}\\ {\frac{{{\gamma _{\rho \varphi }}}}{2}}&{{\varepsilon _\varphi }}&{\frac{{{\gamma _{\varphi z}}}}{2}}\\ {\frac{{{\gamma _{\rho z}}}}{2}}&{\frac{{{\gamma _{\varphi z}}}}{2}}&{{\varepsilon _z}} \end{array}} \right), $

$ {\left\{ u \right\}^{\left( 2 \right)}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_\rho }}\\ {{u_\varphi }}\\ {{u_z}} \end{array}} \right),{\left[ \delta \right]^{\left( 2 \right)}} = \frac{1}{\rho }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - {u_\varphi }}&0\\ { - {u_\varphi }}&{{u_\rho }}&0\\ 0&0&0 \end{array}} \right) $

(一) 几何方程的矩阵表达

在直角坐标中，几何方程的矩阵表达形式为：

$ {\left[ \varepsilon \right]^{\left( 1 \right)}} = \frac{1}{2}\left( {{{\left\{ {\rm{u}} \right\}}^{\left( 1 \right)}}{{\left\{ \nabla \right\}}^{\left( 1 \right){\rm{T}}}} + {{\left\{ \nabla \right\}}^{\left( 1 \right)}}{{\left\{ {\rm{u}} \right\}}^{\left( 1 \right){\rm{T}}}}} \right) $

(11)

这里，记号约定： $u \times \frac{\partial }{{\partial x}} = \frac{\partial }{{\partial x}} \times u = \frac{{\partial u}}{{\partial x}}$ ， $u \times \frac{\partial }{{\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial y}} \times u = \frac{{\partial u}}{{\partial y}}$ ， $u \times \frac{\partial }{{\partial z}} = \frac{\partial }{{\partial z}} \times u = \frac{{\partial u}}{{\partial z}}$ ，依此类推。

在柱坐标中，几何方程的矩阵表达则为：

$ {\left[ \varepsilon \right]^{\left( 2 \right)}} = \frac{1}{2}\left( {{{\left\{ u \right\}}^{\left( 2 \right)}}{{\left\{ \nabla \right\}}^{\left( 2 \right)T}} + {{\left\{ \nabla \right\}}^{\left( 2 \right)}}{{\left\{ u \right\}}^{\left( 2 \right)T}}} \right) + {\left[ \delta \right]^{\left( 2 \right)}} $

(12)

其中，矩阵[δ]⁽²⁾为增加部分。同样地，记号约定： ${u_p} \times \frac{\partial }{{\partial \rho }} = \frac{\partial }{{\partial \rho }} \times {u_p} = \frac{{\partial {u_p}}}{{\partial \rho }}$ ， ${u_p} \times \left({\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{{\partial \varphi }}} \right) = \left({\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{{\partial \varphi }}} \right) \times {u_p} = \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {u_p}}}{{\partial \varphi }}$ ， ${u_p} \times \frac{\partial }{{\partial z}} = \frac{\partial }{{\partial z}} \times {u_p} = \frac{{\partial {u_p}}}{{\partial z}}$ ，依此类推。

显然，在式(12)中去掉所有与z坐标相关的元素，即可得到平面极坐标中的几何方程：

$ \begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varepsilon _\rho }}&{\frac{{{\gamma _{\rho \varphi }}}}{2}}\\ {\frac{{{\gamma _{\rho \varphi }}}}{2}}&{{\varepsilon _\varphi }} \end{array}} \right) = \frac{1}{2}\left[ \begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_\rho }}\\ {{u_\varphi }} \end{array}} \right\}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\partial }{{\partial \rho }}}&{\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{{\partial \varphi }}} \end{array}} \right) + \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\partial }{{\partial \rho }}}\\ {\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{{\partial \varphi }}} \end{array}} \right\}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_\rho }}&{{u_\varphi }} \end{array}} \right) \end{array} \right] + \\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - \frac{{{u_\varphi }}}{\rho }}\\ { - \frac{{{u_\varphi }}}{\rho }}&{\frac{{{u_\rho }}}{\rho }} \end{array}} \right) \end{array} $

(13)

(二) 主应变和主方向的矩阵表达

应变矩阵[ε]与应力矩阵[σ]一样都是3×3阶的实对称方阵，它们具有完全类似的性质。与主应力和应力主向的矩阵表达类似，主应变和应变主向的矩阵表达可写为：

$ {\left[ \varepsilon \right]^{\left( 1 \right)}}{\left\{ l \right\}^{\left( 1 \right)}} = \varepsilon {\left\{ l \right\}^{\left( 1 \right)}} $

(14)

对于理想弹性体，应力主向与应变主向重合，因此可统称为主方向。

(三) 位移边界条件的矩阵表达

在直角坐标中，位移边界条件的矩阵表达式为：

$ \left\{ u \right\}_{{S_u}}^{\left( 1 \right)} = {\left\{ {\bar u} \right\}^{\left( 1 \right)}} $

(15)

(四) 位移、应变转换关系的矩阵表达

直角坐标和柱坐标中的位移分量转换关系：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_\rho }}\\ {{u_\varphi }}\\ {{u_z}} \end{array}} \right\} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \varphi }&{\sin \varphi }&0\\ { - \sin \varphi }&{\cos \varphi }&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} u\\ v\\ w \end{array}} \right\} $

(16)

特别地，平面直角坐标与极坐标的位移分量转换公式为：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_\rho }}\\ {{u_\varphi }} \end{array}} \right\} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \varphi }&{\sin \varphi }\\ { - \sin \varphi }&{\cos \varphi } \end{array}} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} u\\ v \end{array}} \right\} $

(17)

把u_ρ, u_φ和u, v分别替换成f_ρ, f_φ和f_x, f_y，即为体力分量的转换关系。

与应力转换公式类似，平面直角坐标与极坐标的应变分量转换公式为：

$ \begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varepsilon _\rho }}&{{\varepsilon _{\rho \varphi }}}\\ {{\varepsilon _{\rho \varphi }}}&{{\varepsilon _\varphi }} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \varphi }&{\sin \varphi }\\ { - \sin \varphi }&{\cos \varphi } \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varepsilon _x}}&{{\varepsilon _{xy}}}\\ {{\varepsilon _{xy}}}&{{\varepsilon _y}} \end{array}} \right) \times \\ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \varphi }&{\sin \varphi }\\ { - \sin \varphi }&{\cos \varphi } \end{array}} \right)^T} \end{array} $

(18)

四、物理方程的矩阵表达

在物理方程的矩阵表达中，一般将应力分量和应变分量写成列向量的形式，即{σ}=(σ_x σ_y σ_z τ_xy τ_xz τ_yz)^T，{ε}=(ε_x ε_y ε_z γ_xy γ_xz γ_yz)^T。下面，仅以各向同性线弹性材料为例给出物理方程的矩阵表达形式：

$ \left\{ \varepsilon \right\} = \left[ D \right]\left\{ \sigma \right\} $

(19)

其中，矩阵[D]称为弹性柔度矩阵：

$ \left[ D \right] = \frac{1}{E}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - \mu }&{ - \mu }&0&0\\ { - \mu }&1&{ - \mu }&0&0\\ { - \mu }&{ - \mu }&1&0&0\\ 0&0&0&{2\left( {1 + \mu } \right)}&0\\ 0&0&0&0&{2\left( {1 + \mu } \right)}\\ 0&0&0&0&0 \end{array}} \right) $

由于柱坐标系和直角坐标系一样都为正交坐标系，对于各向同性弹性体，柱坐标系中的物理方程与直角坐标系中的物理方程具有同样的形式(弹性柔度矩阵[D]完全相同)，只需将应力分量和应变分量中的下角码x和y分别换成ρ和φ即可。

对于平面应力情况，仅需在式(19)中考虑σ_z=τ_xz=τ_yz=0，即可退化为平面应力问题的物理方程：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varepsilon _x}}\\ {{\varepsilon _y}}\\ {{\gamma _{xy}}} \end{array}} \right\} = \frac{1}{E}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - \mu }&0\\ { - \mu }&1&0\\ 0&0&{2\left( {1 + \mu } \right)} \end{array}} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\sigma _x}}\\ {{\sigma _y}}\\ {{\tau _{xy}}} \end{array}} \right\} $

(20)

在平面应力情况下，应变分量 ${\varepsilon _z} = -\frac{\mu }{E}\left({{\rho _x} + {\rho _y}} \right) = -\frac{\mu }{{1 -\mu }}\left({{\varepsilon _x} + {\varepsilon _y}} \right)$ ，而应变分量γ_xz=γ_yz=0。对于平面应变情况(ε_z=γ_xz=γ_yz=0)，则需将式(20)中的弹性模量E换成E/(1-μ²)，泊松比μ换成μ/(1-μ)，同时应力分量σ_z=μ(σ_x+σ_y)，τ_xz=τ_yz=0。

五、结语

在弹性力学的本科教学中，采用矩阵形式表达各物理量间的相互关系，既书写简洁，容易记忆，又可将已学的线性代数知识运用于弹性力学教学中，并为后续的有限单元法教学打下伏笔。教学实践表明，在弹性力学本科教学中采用矩阵形式表达可以获得良好的教学效果，对于普通院校的本科生而言，矩阵表达是一种较为合适的教学形式。