摆线针轮行星传动具有传动比大、传动精度高、结构紧凑、扭转刚度高和传动效率高等突出优点，被广泛应用于工业机器人、化工、冶金等领域^[1-3]。摆线齿廓的精度是影响其传动精度的主要因素，采用金刚石滚轮修整技术的成形磨削法不仅加工效率和精度高，而且可实现摆线齿廓的任意修形，已经成为摆线齿廓精加工的主流方法^[4-5]。

高精度复杂形面金刚石滚轮一般采用内电镀法制造^[6]，滚轮阴模基体形面是金刚石颗粒的定位基准面，其形面精度是影响滚轮最终制造精度的关键因素^[7-8]。金属阴模基体在数控精密磨床上加工，对于摆线金刚石滚轮阴模基体的数控磨削加工，由于基体形面曲线复杂，必须用直线或圆弧段逼近原曲线^[9]，为了提高其数控加工精度，插补算法的研究至关重要。

张敬东等^[10]提出了一种等误差直线插补算法用于摆线齿廓的数控加工; 姚必强等^[11]提出用等弧长圆弧拟合任意非圆曲线；CAD/CAM方法也广泛应用于复杂非圆曲线的数控加工，该方法的刀具路径由许多细小的直线或圆弧段组成^[12-13]。用上述方法拟合复杂非圆曲线，当需要较高的插补精度时，插补节点数量多，且刀具路径不具备G1连续性。采用双圆弧插补法能有效解决上述问题，刘涛等^[14-15]采用最优切向量双圆弧插补算法完成涡旋型线零件的数控加工，但该方法需要根据曲线能量极小条件计算最优切向量，计算量大，拟合效率较低。

笔者基于双圆弧插补法，求解出摆线滚轮阴模基体形面曲线方程，建立摆线滚轮阴模基体步长伸缩双圆弧插补数学模型，利用MATLAB软件求解插补节点数据，并进行误差分析，通过控制步长伸缩来调整插补误差。最后通过计算实例验证了该模型的可行性，在相同允差要求下可以提高加工效率，插补数据拟合的加工仿真曲线光滑平整，刀具路径具备G1连续性，插补节点数据导入数控机床即可用于数控程序编制。

1 摆线滚轮阴模基体形面曲线方程

摆线滚轮阴模基体加工坐标系如图 1所示，阴模基体加工坐标系为O₁-X₁Y₁，摆线齿廓坐标系为O-XY，O₁X₁轴线与OX轴线的距离为D。摆线滚轮阴模基体形面曲线除P₁O₂P₂段外皆为过渡圆弧及直线段，P₁O₂P₂段曲线与摆线齿廓曲线形状相同，且P₁O₂段曲线与O₂P₂段曲线关于Y₁轴左右对称，因此只需对阴模基体形面O₂P₂段曲线进行双圆弧插补计算。

O₂P₂段形面曲线在摆线齿廓坐标系中的曲线方程式为：

$\left\{\begin{array}{l} x=\left(R_{\rm{z}}+\Delta R_{\rm{z}}\right) \sin \theta-e \sin \left(z_{\mathrm{b}} \theta\right)+\left(r_{\rm{z}}+\Delta r_{\rm{z}}\right) \cos \gamma, \\ y=\left(R_{\rm{z}}+\Delta R_{\rm{z}}\right) \cos \theta-e \cos \left(z_{\mathrm{b}} \theta\right)+\left(r_{\rm{z}}+\Delta r_{\rm{z}}\right) \sin \gamma, \\ \sin \gamma=\frac{\cos \theta-K \cos \left(z_{\mathrm{b}} \theta\right)}{\sqrt{1+K^2-2 K \cos \left(z_{\mathrm{g}} \theta\right)}}, \\ \cos \gamma=\frac{K \sin \left(z_{\mathrm{b}} \theta\right)-\sin \theta}{\sqrt{1+K^2-2 K \cos \left(z_{\mathrm{g}} \theta\right)}}。\end{array}\right.$

(1)

式中：R_z为针轮中心圆半径；e为偏心距；z_b为针轮齿数；z_g为摆线轮齿数；r_z为针齿半径；ΔR_z为移距修形量；Δr_z为等距修形量；K=ez_b/(R_z+ΔR_z)；θ∈[0, θ_max]；θ_max=π/z_g。

对O₂P₂段形面曲线在摆线齿廓坐标系中的曲线方程式进行双圆弧插补计算后，通过简单的平移变换矩阵即可将插补节点数据转换到阴模基体加工坐标系中，再将数据导入数控机床便可完成数控加工程序的编制。

2 摆线滚轮阴模基体步长伸缩双圆弧插补数学模型 2.1 双圆弧插补原理

图 2为双圆弧插补原理图，在加工曲线上任取相邻2点t_i(x_i, y_i)、t_i+1(x_i+1, y_i+1)，T_i、T_i+1分别为曲线上点t_i、t_i+1的切矢，过t_i、t_i+1 2点沿切矢方向作两线段相交于点T得到△t_it_i+1T，△t_it_i+1T的内心是图 2中的M点。

过t_i、t_i+1点分别作线段t_iT、t_i+1T的垂线，同时过M点作线段t_it_i+1的垂线与上述2条垂线交于O₁、O₂点。以O₁点为圆心，O₁t_i为半径作圆弧，圆弧起点为t_i，终点为M；同理以O₂为圆心、O₂t_i+1为半径确定另一段起点为t_i+1、终点为M的圆弧，由此确定了复杂曲线上任意相邻2点间的插补双圆弧段^[16]。

两段圆弧均通过△t_it_i+1T内心M点只需证明$ \overline{O_1 t_i}=\overline{O_1 M}$和$ \overline{\mathrm{O}_2 t_{i+1}}=\overline{\mathrm{O}_2 M}$即可。证明如下。

由三角形内心性质可知，Mt_i为∠Tt_it_i+1的角平分线，同理Mt_i+1是∠Tt_i+1t_i的角平分线。过内心M点作线段t_it_i+1的平行线与线段t_iT、t_i+1T分别交于T₁、T₂点，由于T₁T₂//t_it_i+1，Mt_i平分∠Tt_it_i+1，所以∠T₁t_iM=∠T₁Mt_i，故$ \overline{T_1 t_i}=\overline{T_1 M}$，由三角形全等性质可得到△T₁t_iO₁$ \cong $△T₁MO₁，从而$ \overline{O_1 t_i}=\overline{O_1 M}$；同理可推出△T₂t_i+1O₂$ \cong $△T₂MO₂，从而$ \overline{O_2 t_{i+1}}=\overline{O_2 M}$。M点在2个圆心O₁、O₂的连心线上，故插补双圆弧段的公切点就是M点，由O₁t_i⊥Tt_i，得切矢T_i与左边圆弧相切于t_i点；同理切矢T_i+1与右边圆弧相切于t_i+1点。

当完成t_i与t_i+1 2点间双圆弧插补计算后，继续进行下一相邻2节点t_i+1、t_i+2间的计算，T_i+1、T_i+2分别为原加工曲线上点t_i+1、t_i+2的切矢，设t_i+1与t_i+2 2点间插补圆弧段对应的圆心分别为O₃、O₄。由以上双圆弧插补原理分析可知，圆心O₂对应的圆弧与切矢T_i+1相切于t_i+1点，圆心O₃对应的圆弧同样与切矢T_i+1相切于t_i+1点，故不仅相邻节点t_i、t_i+1间插补的双圆弧段具有公共切向量，而且同一节点t_i+1两侧的圆弧段在节点t_i+1处也具有公共切向量T_i+1。因此当采用双圆弧法插补摆线滚轮阴模基体形面曲线时，插补的圆弧段在任意连接点处均有公共切向量，刀具路径具有G1连续性。

2.2 双圆弧半径及公切点坐标参数计算

在图 2中，设整体坐标系为o-xy，o-xy是固定坐标系；局部坐标系为t_i-u_iv_i，t_i-u_iv_i是动坐标系。在o-xy坐标系中，设线段t_iT、t_i+1T与x轴的夹角为γ_i、γ_i+1，线段t_it_i+1与x轴的夹角为θ_i，线段t_it_i+1的弦长为L_i。

γ_i及γ_i+1的值可以通过切矢T_i、T_i+1求得，由阴模基体形面曲线方程式(1)可求得T_i、T_i+1，故有

$\gamma_i=\arctan \left[\frac{-\left(R_{\rm{z}}+\Delta R_{\rm{z}}\right) \sin \theta_i+e z_{\rm{b}} \sin \left(z_{\rm{b}} \theta_i\right)}{\left(R_{\rm{z}}+\Delta R_{\rm{z}}\right) \cos \theta_i-e z_{\rm{b}} \cos \left(z_{\rm{b}} \theta_i\right)}\right], $

(2)

$\gamma_{i+1}=\arctan \left[\frac{-\left(R_{\rm{z}}+\Delta R_{\rm{z}}\right) \sin \theta_{i+1}+e z_{\mathrm{b}} \sin \left(z_{\mathrm{b}} \theta_{i+1}\right)}{\left(R_{\mathrm{z}}+\Delta R_{\mathrm{z}}\right) \cos \theta_{i+1}-e z_{\mathrm{b}} \cos \left(z_{\mathrm{b}} \theta_{i+1}\right)}\right] 。$

(3)

线段t_it_i+1与x轴的夹角为

$\theta_i=\arctan \left(\frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}\right) 。$

(4)

线段t_it_i+1的弦长为

$L_i=\sqrt{\left(y_{i+1}-y_i\right)^2+\left(x_{i+1}-x_i\right)^2}。$

(5)

设点M在坐标系o-xy、t_i-u_iv_i中的坐标矢量分别为(x_M, y_M, 1)^T、(u_M, v_M, 1)^T，局部坐标系到整体坐标系的变换矩阵为M_{0 i}，可求得

$\boldsymbol{M}_{0 i}=\left[\begin{array}{ccc} \cos \theta_i & -\sin \theta_i & x_i \\ \sin \theta_i & \cos \theta_i & y_i \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]。$

(6)

局部坐标系中的坐标矢量可通过变换矩阵M_0i转换到整体坐标系中

$\left(x_M, y_M, 1\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{M}_{0 i}\left(u_M, v_M, 1\right)^{\mathrm{T}}。$

(7)

如图 3所示，局部坐标系t_i-u_iv_i中，由内心几何性质可知，Mt_i平分∠Tt_it_i+1(图中β₁)，Mt_i+1平分∠T t_i+1t_i (图中β₂)。

在△t_it_i+1T中，内角β₁、β₂为

$\beta_1=\gamma_i-\theta_i, $

(8)

$\beta_2=\pi-\left(\gamma_{i+1}-\theta_i\right)。$

(9)

在△t_it_i+1M中，由正弦定理可以推出

$l_{t i M}=\frac{\sin \left(\beta_2 / 2\right) L_i}{\sin \left[\left(\beta_1+\beta_2\right) / 2\right]}。$

(10)

由于∠MNt_i、∠Tt_iO₁均为90°，可以求出

$l_{t i N}=l_{t_i M} \cos \left(\beta_1 / 2\right), $

(11)

$l_{M N}=l_{t_i M} \sin \left(\beta_1 / 2\right) , $

(12)

$l_{N O_1}=\frac{l_{t i N}}{\tan \beta_1}, $

(13)

$l_{{NO} 2}=\frac{L_i-l_{t_i \mathrm{~N}}}{\tan \beta_2}。$

(14)

因此在局部坐标系下，可以求出公切点M坐标为

$\left\{ \begin{array}{l} {u_M} = \frac{{\sin \left( {{\beta _2}/2} \right)\cos \left( {{\beta _1}/2} \right){L_i}}}{{\sin \left[ {\left( {{\beta _1} + {\beta _2}} \right)/2} \right]}}, \\ {v_M} = \frac{{\sin \left( {{\beta _2}/2} \right)\sin \left( {{\beta _1}/2} \right){L_i}}}{{\sin \left[ {\left( {{\beta _1} + {\beta _2}} \right)/2} \right]}}。\end{array} \right.$

(15)

圆心O₁、O₂坐标分别为

$\left\{ \begin{array}{l} {u_{{O_1}}} = \frac{{\sin \left( {{\beta _2}/2} \right)\cos \left( {{\beta _1}/2} \right){L_i}}}{{\sin \left[ {\left( {{\beta _1} + {\beta _2}} \right)/2} \right]}}, \\ {v_{{O_1}}} = \frac{{\sin \left( {{\beta _2}/2} \right)\cos \left( {{\beta _1}/2} \right){L_i}}}{{\sin \left[ {\left( {{\beta _1} + {\beta _2}} \right)/2} \right]\tan {\beta _1}}}; \end{array} \right.$

(16)

$\left\{ \begin{array}{l} u_{O_2} =\frac{\sin \left(\beta_2 / 2\right) \cos \left(\beta_1 / 2\right) L_i}{\sin \left[\left(\beta_1+\beta_2\right) / 2\right]} ,\\ v_{O_2} =-\left[L_i-\frac{\sin \left(\beta_2 / 2\right) \cos \left(\beta_1 / 2\right) L_i}{\sin \left[\left(\beta_1+\beta_2\right) / 2\right]}\right] / \tan \beta_2 。\end{array} \right.$

(17)

两段圆弧半径R₁、R₂为

$\left\{\begin{array}{l} R_1=\frac{\sin \left(\beta_2 / 2\right) L_i}{\sin \left[\left(\beta_1+\beta_2\right) / 2\right]}\left[\sin \left(\beta_1 / 2\right)+\cos \left(\beta_1 / 2\right) / \tan \beta_1\right] ; \\ R_2=\frac{\sin \left(\beta_2 / 2\right) L_i}{\sin \left[\left(\beta_1+\beta_2\right) / 2\right]}\left[\sin \left(\beta_1 / 2\right)-\cos \left(\beta_1 / 2\right) / \tan \beta_2\right]+L_i / \tan \beta_2 。\end{array}\right.$

(18)

圆弧半径值R₁、R₂和公切点M及圆心O₁、O₂在局部坐标系中的坐标值均已计算完毕，通过坐标变换矩阵M_{0 i}即可得到公切点M及圆心O₁、O₂在整体坐标系中的坐标值。

2.3 摆线滚轮阴模基体双圆弧插补误差分析

完成两个节点间的插补计算后，需要对产生的插补误差进行分析控制。插补误差的理论值是原廓形曲线上任意点沿其法线方向上与插补圆弧曲线间距离的最大值，在实际应用中可简化计算，取原廓形曲线上任意一点到插补圆弧圆心的距离与两段圆弧半径(R₁或R₂)之差的最大值为插补误差。

上图中L_i为两节点t_i、t_i+1之间的直线距离，将L_i等分为N+1段，一般N+1取10到15，将等分点的横坐标转换到整体坐标系中求出摆线滚轮阴模基体形面曲线上的点p_j(x_j, y_j)(j=1, 2, …, N)，比较x_j与x_M(圆弧公切点横坐标值)的大小，当x_j≤x_M时，原形面曲线被拟合成第一段圆弧，此时的插补误差为

$\varepsilon_{1 j}=\left|\sqrt{\left(x_j-x_{O_1}\right)^2+\left(y_j-y_{O_1}\right)^2}-R_1\right|, \quad j=1, 2, \cdots, m 。$

(19)

式中m是第一段圆弧对应的最后一个等分点，且m＜N。

当x_j>x_M时，原形面曲线被拟合成第二段圆弧，此时的插补误差为

$\varepsilon_{2 j}=\left|\sqrt{\left(x_j-x_{O_2}\right)^2+\left(y_j-y_{\left.O_2\right)^2}\right.}-R_2\right|, \quad j=m+1, m+2, \cdots, N。$

(20)

ε_1j与ε_2j中的最大值即为这两个节点间的插补误差ε，即

$\varepsilon=\max \left(\varepsilon_{1 j}, \varepsilon_{2 j}\right)。$

(21)

判断任意相邻两节点间的插补误差ε与所允许的插补误差σ_ε的大小，如果ε＞σ_ε，缩小步长直至满足ε＜σ_ε的要求；而当ε远小于σ_ε时，可适当增大步长使得插补误差小于并接近于插补允差，这就是步长伸缩双圆弧插补算法的实质。

2.4 摆线滚轮阴模基体步长伸缩双圆弧插补算法

进行双圆弧插补时，如果插补段曲线凹凸性不一致，会出现S型拟合圆弧。因此曲线上若存在拐点应将曲线分段再进行插值计算。曲率计算公式为

$k=\frac{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} \theta} \times \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} \theta}-\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} \theta} \times \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{~d} \theta}}{\left[\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} \theta}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} \theta}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}} 。$

(22)

由曲率k=0求得O₂P₂段曲线拐点处参数角为

$\theta_1=\frac{\arccos \left[\left(1+z_{\mathrm{b}} K^2\right) /\left(K+K z_{\mathrm{b}}\right)\right]}{z_{\mathrm{g}}} 。$

(23)

因此O₂P₂段曲线需分为[0, θ₁]、[θ₁, θ_max]两段进行双圆弧插补计算。

O₂P₂段曲线的步长伸缩双圆弧插补算法计算步骤如下：

1) 给定初始参数角θ₀和初始步长角Δ，计算相邻2节点的坐标t_i(x_i, y_i)和t_i+1(x_i+1, y_i+1)及相应节点处的切矢T_i、T_i+1，由双圆弧插补计算原理求出公切点M、圆心O₁、O₂点坐标值及相应圆心半径R₁、R₂的值。

2) 将相邻2节点间的插补误差与插补允差σ_ε比较，同时为了提高加工效率，对插补允差设定一个下限值σ_εmin。若ε＞σ_ε，步长角减小一半调整曲线上节点t_i+1的位置重新进行插补计算直至满足误差要求；若ε＜σ_εmin，适当增大步长角使插补误差接近插补允差，当θ_i≥θ_max时，终止计算。

摆线滚轮阴模基体步长伸缩双圆弧插补算法流程如图 5所示。

3 计算实例分析及仿真

取40E摆线轮工件参数作为计算实例参数，其中e=1.3，z_b=40，z_g=39，r_z=2.5，R_z=63.7，ΔR_z=-0.1，Δr_z=0.075，θ∈[0, π/39]。将上述参数代入摆线滚轮阴模基体形面曲线方程式中，根据上节中的插补算法流程在MATLAB软件中编程进行数值计算。

初始参数角θ₀=0，初始步长角选取0.001 2 rad，插补允差σ_ε=0.01 μm。以初始步长角等分参数角取相同插补节点数，可以得到69个插补节点。分别采用双圆弧插补法与直线插补法对O₂P₂段曲线进行插补计算，在O₂P₂段曲线上随机连续选取8个插补节点，插补误差对比结果如表 1所示。

当节点数目相同时，表中结果显示直线插补只有最后2个节点之间的插补误差小于插补允差，其他节点间的误差远大于插补允差σ_ε，而双圆弧插补误差均小于插补允差σ_ε。直线插补最小误差为0.009 μm，双圆弧插补最大误差为2.176 nm，双圆弧插补最大误差比直线插补最小误差降低了75%，对比任意节点处得到的数据发现插补误差均降低75%以上。

等步长角得到的双圆弧插补误差曲线如图 6(a)所示，通过分析插补节点的坐标可知，在超过一定参数角后，继续以满足插补误差的步长角插补时，会导致插补节点过于集中，从而插补误差的最值出现数量级的差距，加工程序更加冗长，且加工零件表面质量不均匀。

采用图 5所示的步长伸缩双圆弧插补算法，对加工允许误差设定一个下限值σ_εmin=0.001 μm，当插补节点间的误差小于下限值时，适当增加步长角调整节点t_i+1在曲线上的位置，使得插补误差小于并接近插补允差。

图 6(b)是控制步长角伸缩后的插补误差曲线图，插补误差均小于插补允差σ_ε。在满足同一插补允差时，等步长角的插补节点数为69个，控制步长角伸缩后插补节点数为30个，节点数目减少了55%，插补的圆弧段也减少了55%。因此在相同插补允差要求下控制步长角伸缩可以提高摆线滚轮阴模基体工件的加工效率，同时可以保证加工表面质量均匀。

图 7曲线是由步长伸缩双圆弧插补节点数据拟合的O₂P₂段加工仿真曲线，由于拟合的圆弧段在每个离散点处都有公共切向量，因此拟合曲线一阶导数连续，拟合曲线表面光滑平整，刀具路径具有G1连续性，保证了工件的加工质量。

4 结论

以摆线金刚石滚轮阴模基体为加工对象，基于双圆弧插补法，建立了摆线滚轮阴模基体步长伸缩双圆弧插补数学模型，该模型插补点求解方便，控制步长伸缩可以调整插补误差。对该数学模型进行实例计算及仿真，得出结论如下：

1) 双圆弧插补误差小于0.01 μm，在节点数相同时其插补误差比直线插补误差降低75%，满足摆线滚轮阴模基体高精度加工要求。

2) 控制步长伸缩，在同精度允差下拟合圆弧段数减少55%，可以提高摆线滚轮阴模基体工件的加工效率。

3) 由插补算法原理及插补数据拟合的加工仿真曲线可知，插补的任意相邻圆弧段彼此相切，拟合曲线表面光滑连续，刀具路径具备G1连续性。