直线滚动导轨是由轨道、滑块、保持架及滚珠等构成的一个复杂的组合系统。作为数控机床的重要功能部件，其动态特性直接影响着数控机床的加工精度、加工效率。因此，对直线滚动导轨的动力学特性的测试和分析已经成为数控机床设计研究中的一个重要组成部分^[1-2]。

目前，多数研究者在对直线滚动导轨动力学特性建模时，往往高度依赖于实验。例如，文献[3]将导轨结合部简化为8根等效弹簧组成的动力学模型，弹簧的刚度及阻尼均需要通过实验来获得。文献[4]采用自创有限元单元的方法模拟导轨结合部的动态特性，这种方法同样需要实验确定单元刚度矩阵所需参数。文献[5]同样需要对导轨进行实验模态测试，来确认有限元建模时所需的刚度参数。上述研究是面向某个特定导轨系统从宏观上对导轨系统的建模，模型往往缺乏通用性，导致模型的预测能力受限。

现代机床动力学设计需要建立导轨系统通用模型，以完成对数控机床部件及整机系统的动力学预估。为此，笔者提出一种创建具有通用性的导轨有限元模型的方法。该建模方法可以在少做甚至不做实验的基础上完成较精确的导轨动力学模型创建。因为其考虑了每个滚珠对导轨系统动力学特性的贡献，因而命名为精细有限元模型。

具体建模思路为：从分析单个滚珠-沟槽的接触特性出发，确定在不同预紧力作用下单个滚珠的接触刚度；进一步用弹簧质量单元模拟单个滚珠-沟槽的接触，在充分考虑滚珠分布性的基础上完成了导轨系统的精细有限元建模。详细描述了创建该有限元模型的具体流程以及关键步骤，并以THK公司生产的SHS-35R型导轨为例进行了实例研究，并与解析模型分析结果相比较，对所创建模型的正确性进行了校验。

1 滚珠-沟槽接触有限元建模 1.1 滚珠-沟槽接触有限元建模方法

在直线滚动导轨系统中，滚珠同滑块及轨道的沟槽之间存在一种非线性的接触行为。对直线滚动导轨进行动力学建模，首先要确定滚珠-沟槽之间的接触刚度这一关键参数。

研究采用ANSYS软件分析单个滚珠-沟槽接触特性，从而获得滚珠-沟槽之间的接触刚度。下面以SHS-35R型导轨的滚珠为例，说明滚珠-沟槽接触有限元建模方法。表 1为用于接触建模的滚珠-沟槽的基本参数，这里用两个质量块模拟滚珠同滑块及导轨的接触。

所创建的滚珠-沟槽接触有限元模型如图 1所示。采用SOLID92单元模拟滚珠及沟槽的机械本体，分别采用接触单元CONTA174以及目标单元TARGE170模拟滚珠-沟槽之间的接触。整个模型中共有103 108个节点，76 579个单元，其中接触单元4 796个，目标单元316个。为了排除网格密度对分析结果的影响，对接触部分采用了网格局部细化。

ANSYS接触分析中需要给定初始接触刚度因子，通过刚度测试，选取初始接触刚度因子为0.8。约束非接触方向的自由度，同时在上质量块表面施加P=F/A的均布载荷，F为滚珠预紧力，A为作用面的面积。通过施加不同大小的均布载荷来模拟滚珠所承受的不同的预紧力。采用ANSYS接触分析可获得总变形Δz，进一步，按式(1)至式(3)计算滚珠-沟槽接触刚度。

$ \Delta z = \Delta {z_1} + \Delta {z_2}, $

(1)

$ \Delta {z_1} = \Delta {z_2}, $

(2)

$ {K_{n1}} = {K_{n2}} = \frac{F}{{\Delta {z_1}}}, $

(3)

式中：Δz为滚珠-沟槽在预紧力作用下的总变形量；Δz₁为滚珠与导轨沟槽之间的变形量；Δz₂为滚珠与滑块沟槽之间的变形量；K_n1为滚珠与导轨沟槽之间的接触刚度；K_n2为滚珠与滑块沟槽之间的刚度。

应用Hertzian接触理论也可以计算滚珠-沟槽之间的接触刚度^[6-7]，其计算公式为

$ F = {k_h}{\alpha ^{3/2}}, $

(4)

$ {K_n} = \frac{{{\rm{d}}F}}{{{\rm{d}}\alpha }} \approx \frac{F}{\alpha }。$

(5)

可将有限元接触分析的结果与Hertzian接触解析计算相对照，来校验滚珠-沟槽接触有限元建模的正确性。

1.2 预紧力对滚珠-沟槽接触刚度的影响

预紧力对滚珠-沟槽接触刚度有着重要的影响^[8-10]，以下分别采用所创建的接触有限元模型以及Hertzian接触解析公式，来求解不同预紧力水平下的接触刚度值。

图 2和图 3分别为不同预紧力水平下，单个滚珠-沟槽的接触变形以及接触刚度的变化规律。从图中可以看出，随着预紧力的增加接触变形量以及接触刚度均在增大，但变化趋势不是线性的；另外，接触变形量以及接触刚度增长率逐渐降低。对比有限元模型与Hertzian接触模型可以看出：有限元模型分析计算的接触刚度略小于根据Hertzian接触理论计算的接触刚度，但变化趋势是一致的。从而，可说明用接触有限元模型计算的接触刚度是正确的。

接触有限元模型充分考虑滚珠与沟槽接触的各个影响因素，其精度应高于Hertzian接触模型计算的精度，因此，主要采纳接触有限元模型计算的结果。按照所绘制的图形，给定一个预紧力，可从图 3中读取滚珠-沟槽的接触刚度值，用于后续导轨系统的有限元建模。

2 直线滚动导轨精细有限元建模方法

面向动力学分析需要，创建直线滚动导轨精细有限元模型可参照如下3个关键步骤：

1) 确定单个滚珠-沟槽接触刚度。参照第1节所述的方法，可从厂商所提供的导轨技术手册中查到预紧力以及接触有限元建模分析所需的各种参数。进一步，应用ANSYS软件计算在该预紧力下单个滚珠-沟槽的接触变形量Δz，并根据式(1)至式(3)确定相应的接触刚度值。

2) 滚珠-沟槽弹簧质量单元建模。在直线滚动导轨动力学分析中，用弹簧阻尼单元模拟滚珠同沟槽的接触，具有较高的计算效率和精度，因而被广泛采用^[11-12]。这里，对原有弹簧单元进行了修正(见图 4(a))，在考虑滚珠质量的前提下完成了滚珠-沟槽弹簧质量单元的建模，见图 4(b)。图中m为滚珠的质量，K为滚珠-沟槽等效刚度，K_R、K_C分别为滚珠与导轨以及滑块接触的等效弹簧的刚度系数，且有K_R=K_n1，K_C=K_n2，β为接触角。可见，所创建的弹簧质量单元模型同第1节的接触有限元分析有很好的对应关系，与传统的弹簧单元相比更加细致。

3) 直线滚动导轨整体有限元建模。以具有4排滚珠的直线滚动导轨系统为例，说明直线滚动导轨整体有限元建模方法。将每一个滚珠与沟槽之间的接触模型都等效为弹簧质量单元(如图 5所示)，按滚珠同沟槽的接触角β确定弹簧的方向，进一步用实体单元模拟滑块及轨道，从而完成了直线滚动导轨系统整体有限元模型的创建。该模型充分考虑了滚珠的分布性，与真实导轨结构更加接近。

也可以采用拉格朗日方程完成导轨系统的解析建模^[13-14]，对于上述导轨，其固有频率的求解公式为^[15]

$ {f_{\rm{v}}} = \frac{{2\sin \beta }}{\rm {\mathsf{ π}}}\sqrt {\frac{{3K}}{M}} , $

(6)

$ {f_{\rm{ \mathsf{ θ} }}} = \frac{{L\sin \beta }}{{{\rm{12 \mathsf{ π} }}}}\sqrt {\frac{{143K}}{{{J_y}}}} , $

(7)

$ {f_{\rm{ \mathsf{ ψ} }}} = \frac{{L\cos \beta }}{{{\rm{12 \mathsf{ π} }}}}\sqrt {\frac{{143K}}{{{J_z}}}} , $

(8)

$ {f_{\rm{u}}} = \frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\sqrt {\frac{{M{c_{22}} + {J_x}{c_{11}} + \sqrt {{{\left( {M{c_{22}} + {J_x}{c_{11}}} \right)}^2} - 4M{J_x}\left( {{c_{11}}{c_{22}} - c_{12}^2} \right)} }}{{2M{J_x}}}} , $

(9)

$ {f_{\rm{ \mathsf{ φ} }}} = \frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\sqrt {\frac{{M{c_{22}} + {J_x}{c_{11}} - \sqrt {{{\left( {M{c_{22}} + {J_x}{c_{11}}} \right)}^2} - 4M{J_x}\left( {{c_{11}}{c_{22}} - c_{12}^2} \right)} }}{{2M{J_x}}}} 。$

(10)

其中：f_v、f_θ、f_ψ、f_u、f_φ分别为对应垂直、俯仰、偏航、低阶侧翻及高阶侧翻运动的固有频率；L为滚珠受力区长度；J_x、J_y、J_z为滑块绕x, y, z轴转动惯量；M为滑块质量，c₁₁、c₁₂、c₂₂分别为与导轨几何形状及滚珠刚度相关的系数。

可以将拉格朗日方程解析建模与所提出的精细有限元建模方法进行对照，以说明所提出的建模方法的合理性。

3 研究实例

采用提出的精细有限元建模方法对THK公司生产的SHS-35R型导轨系统进行固有特性分析并与解析计算结果进行对照。

3.1 直线滚动导轨的整体有限元建模

按照THK公司提供的导轨技术手册，查找SHS-35R型导轨导轨主要参数见表 2。由图 3可知在轻度及中度预紧力作用下，滚珠-沟槽的接触刚度分别为54.70 N/μm和79.32 N/μm。

进一步，按照第2节所述方法，可完成导轨系统整体有限元模型创建，见图 6。这里，导轨与滑块之间的每个滚珠都用弹簧单元COMBIN14及质量单元MASS21来代替。该模型节点总数为13 136个，单元总数为10 383个，其中COMBIN14单元96个，MASS21单元48个。

需要说明的是，这里导轨建模略去了滑块两端的端盖以及滚珠之间的保持架。在整个导轨系统中，相对于轨道、滑块和滚珠等导轨质量的主要组成部分，端盖及保持架的质量很小，忽略这些部件将不会对整个导轨系统的动力学建模精度造成明显的影响。

3.2 导轨系统固有特性分析

应用ANSYS软件进行模态分析，最终得到导轨系统的前5阶固有频率(见表 5)及振型(见图 7)。轻度预紧与中度预紧的固有频率不同，中度预紧的刚度大，因此，固有频率也较轻度预紧高；但两者的模态振型是一致的，模态振型如图 7所示。

进一步，采用式(6)至式(10)所示的解析法求解该导轨系统的固有频率，结果也列在表 5中。从两者的对比可以看出：应用有限元法分析与应用拉格朗日方程计算结果基本一致，可以说明所采用的有限元建模方法的合理性。

4 结论

笔者面向直线滚动导轨，提出了一种具有通用性的有限元建模方法，具体内容包括：

1) 创建了滚珠-沟槽接触有限元模型，由此可确定不同预紧力条件下滚珠-沟槽接触的接触刚度。

2) 提出了创建直线滚动导轨精细有限元模型可参照如下3个关键步骤，包括：确定单个滚珠-沟槽接触刚度、滚珠-沟槽弹簧质量单元建模、直线滚动导轨整体建模等。

3) 以THK公司的SHS-35R型直线滚动导轨为例，应用提出的建模方法对其固有特性进行了分析，获得前5阶固有频率及对应的振型，并与解析计算结果进行了比较。通过对比，发现两种方法获得的直线滚动导轨的固有频率基本一致，由此说明了提出的直线滚动导轨精细有限元建模方法的正确性。

笔者重点研究了导轨-滑块法向动力学特性，在机床的工作过程中，导轨-滑块运动方向的动力学特性也至关重要。研究导轨运动方向的动力学特性，需要考虑滚珠与沟槽之间摩擦阻尼，动力学模型将更加复杂，可作为今后导轨动力学建模研究的重要发展方向。