对于工程中的非平稳信号，采用经典的傅里叶变换已经不能得到信号中的有用信息，而时频分析是分析此类信号有力工具。常用的有短时傅里叶变换、Gabor变换和Wigner-Ville，WVD，维格纳时频分步等。对于短时傅里叶变换和Gabor变换，由于采用固定窗，使得其时间和频率分辨率难以同时得到保证，此外Gabor变换的时频聚集性不佳；WVD是一种重要的时频分析方法，具有理论上的最高时频分辨率和许多优良的数学性质；但对于多分量信号，WVD是双线性变换，不满足叠加原理，因此存在严重的交叉项干扰。目前许多学者对WVD消除交叉项干扰做了大量的研究。

笔者介绍了信号处理的基本方法^[1]。PACHORI等^[2]提出了采用Fourier-Besse展开先将多分量信号分解为单分量信号，再对各单分量信号分别计算WVD后合并，以达到去除交叉项的目的，纪跃波等^[3]给出了CWD具体的算法实现。陈端等^[4]，刘文彬等^[5]和MIRELA等^[6]通过对多分量信号进行Gabor展开，并对各分量信号做WVD后再合成的方法避免了WVD的交叉项。PEI等^[7]和KHAN等^[8]提出了GWT以及改进算法，GWT结合了Gabor变换和WVD的优点。CHEN^[9]，MOREAU^[10]和HE等^[11]采用盲源分离方法对维格纳时频分布进行分解，并利用分解系数重构时频图来抑制WVD交叉项。KHANDAN等^[12]使用中心仿射滤波器对信号的维格纳时频分布进行分解，并利用分解系数重构时频图来抑制WVD交叉项。

分析对比了WVD、STFT、GT以及WVD交叉项消除方法，改进了文献[13]中基于STFT的WVD的交叉项抑制方法，可以得到较GWT更好的结果。对WVD产生交叉项部分，用STFT谱幂调节项和WVD幂调节项乘积替代，通过这样的处理以达到消除交叉项的目的。

1 时频分析方法比较 1.1 WVD

WVD是适用于非稳态信号处理的时频分析方法之一，与Gabor变换相比，具有更好的时频聚集性。

WVD定义为

$ {W_x}\left( {t,f} \right) = \int_{ - \infty }^\infty {x\left( {t + \frac{\tau }{2}} \right){x^ * }\left( {t - \frac{\tau }{2}} \right){{\rm{e}}^{ - j2{\rm{ \mathsf{ π} }}f\tau }}} {\rm{d}}\tau 。$

(1)

WVD是一种双线性变换，不满足叠加原理。对于2个分量的信号：x(t)=x₁(t)+x₂(t)，其WVD的结果为

$ {W_x} = {W_{x1}} + {W_{x2}} + {W_{x1x2}} + {W_{x2x1}}。$

(2)

W_x1、W_x2为分量x₁(t)、x₂(t)的WVD，W_x1x2、W_x2x1是交叉项。WVD的交叉项是不可避免的，会严重影响区分信号项和交叉项。

如图 1(a)所示为一时域信号，由2个不同时刻出现的非同频高斯调制信号组成，图 1(b)为该信号的WVD分布。可以看出变换结果具有明显的交叉项，并且无法分辨原分量信号和交叉项。

1.2 短时傅里叶变换(STFT)与短时傅里叶变换谱

STFT变换定义为

$ {\rm{SYF}}{{\rm{T}}_s}\left( {t,f} \right)\int_{ - \infty }^\infty {s\left( \tau \right){g^ * }\left( {\tau - t} \right){{\rm{e}}^{ - j2{\rm{ \mathsf{ π} }}f\tau }}} {\rm{d}}\tau , $

(3)

其中g(t)是一个沿时间轴滑动的时间宽度很短的函数。短时傅里叶变换可以看作是信号s(t)在分析时间t附近的傅里叶变换，通常称之为局部频谱。短时傅里叶变换信号的一种线性时频分析方法，对于多分量信号来说，它不具有交叉项。

WVD是一种二次型的变换，为了与WVD对比，在文中均使用短时傅里叶变换谱和Gabor变换谱^[9]。短时傅里叶变换谱定义为STFT模的平方

$ {S_{{\rm{STFT}}}}\left( {t,f} \right) = {\left| {\int_{ - \infty }^\infty {s\left( \tau \right){g^ * }\left( {\tau - t} \right){{\rm{e}}^{ - j2{\rm{ \mathsf{ π} }}f\tau }}} {\rm{d}}\tau } \right|^2}。$

(4)

图 1(c)为图 1(a)所示信号的短时傅里叶变换谱。与图 1(b)相比，可以看出短时傅里叶变换谱没有交叉项，但时频分辨率较WVD要低。

1.3 Gabor变换与Gabor变换谱

Gabor变换也是信号的一种线性时频分析方法，它把时域的一维信号映射为对应的时频域二维信号，能够同时在时间和频率上表示信号的密度或强度，进而确定在某一特定的时间哪些频率存在。其处理方法是对信号x(τ)施加一个滑动窗φ(τ-t)(t是移位因子，反映滑动窗的位置)后，再作Fourier变换

$ {G_x}\left( {t,f} \right) = \int_{ - \infty }^\infty {x\left( \tau \right)\overline {{\varphi _{t,f}}\left( \tau \right)} {\rm{d}}\tau } , $

(5)

其中

$ {\varphi _{t,f}}\left( \tau \right) = \varphi \left( {\tau - t} \right){{\rm{e}}^{j2{\rm{ \mathsf{ π} }}f\tau }}, $

若滑动窗为高斯函数，则Gabor变换为

$ {G_x}\left( {t,f} \right) = \int_{ - \infty }^\infty {x\left( \tau \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{ \mathsf{ π} }}{{\left( {\tau - t} \right)}^2}}}{{\rm{e}}^{ - j2{\rm{ \mathsf{ π} }}f\tau }}{\rm{d}}\tau } 。$

(6)

由式(6)可以看出，Gabor变换实际是短时傅里叶变换的一种特殊形式。Gabor变换对多分量信号进行分析时，没有交叉项。

Gabor变换谱定义为

$ {S_G}\left( {t,f} \right) = {\left| {\int_{ - \infty }^\infty {x\left( \tau \right)\overline {{\varphi _{t,f}}\left( \tau \right)} {\rm{d}}\tau } } \right|^2}。$

(7)

如图 1(d)所示为利用Gabor变换谱对图 1(a)所示信号进行分析，其中Gabor高斯窗长度为128。

1.4 Gabor-Wigner变换(GWT)

GWT定义为2个变量G_x(t，f)、W_x(t，f)的任意函数式，表达式为

$ {C_x}\left( {t,f} \right) = p\left( {{G_x}\left( {t,f} \right),{W_x}\left( {t,f} \right)} \right), $

(8)

其中p(x，y)为任意函数。例如：p(x，y)=xy，则C_x(t，f)=G_x(t，f)W_x(t，f)；p(x，y)=x+y，则C_x(t，f)=G_x(t，f)+W_x(t，f)。文献[14]中定义了如下GWT变换

$ {C_x}\left( {t,f} \right) = {G_x}\left( {t,f} \right){W_x}\left( {t,f} \right), $

(9)

$ {C_x}\left( {t,f} \right) = \min \left\{ {{{\left| {{G_x}\left( {t,f} \right)} \right|}^2},\left| {{W_x}\left( {t,f} \right)} \right|} \right\}, $

(10)

$ {C_x}\left( {t,f} \right) = {W_x}\left( {t,f} \right)\left\{ {\left| {{G_x}\left( {t,f} \right)} \right| > \left. {0.25} \right|} \right\}, $

(11)

$ {C_x}\left( {t,f} \right) = G_x^{2.6}\left( {t,f} \right)W_x^{0.6}\left( {t,f} \right)。$

(12)

GWT的基本思想是通过运算，增强Gabor变换与WVD重叠部分而消弱交叉部分，这样就能够保证GWT没有交叉项的同时具有良好的时频聚集性。需注意的是GWT的计算结果只能显示时频变换后相对的大小，其幅值不能反映信号时频变换的绝对值。

图 1(e)为具有图 1(a)所示2个高斯调制分量信号的GWT变换，变换采用了公式(12)。可以看出GWT变换克服了WVD交叉项干扰，并且具有良好的时频聚集性。

Gabor变换中基函数为了保证完备性，往往采用过采样^[15]，过采样同时也能够提高信号Gabor展开的稳健性，但这样处理会导致Gabor变换的时频聚集性不好(ΩT＜2π)，当多分量信号中频率接近时，经过Gabor变换后相互干扰，此时的GWT就不能获得理想的结果。

如图 2(a)所示为一仿真升降速调制信号，该信号包含3个主频率，且为2倍关系；主频率附近有调制频率。如图 2(b)所示该信号经过Gabor变换(高斯窗长度为512)后，一倍频附近的调制信号由于时频分辨率原因，完全不能分辨出主频率和调制频率；如图 2(d)所示为信号的GWT变换，由于受Gabor变换的影响，GWT也会产生同样的结果，在一倍频附近主频率和调制频率相互混叠，分辨不出主频率和调制频率。

2 STFT-Wigner变换

为了避免GWT的缺点，这里由STFT和Wigner变换给出了STFT-Wigner变换。参照式(8)GWT的定义，STFT-Wigner变换定义为

$ S{W_x}\left( {t,f} \right) = \min \left\{ {{S_{{\rm{STF}}{{\rm{T}}_x}}},\left| {{W_x}\left( {t,f} \right)} \right|} \right\}, $

(13)

$ S{W_x}\left( {t,f} \right) = {W_x}\left( {t,f} \right)\left\{ {\left| {{S_{{\rm{STF}}{{\rm{T}}_x}}}\left( {t,f} \right)} \right| > \left. c \right|} \right\}, $

(14)

$ S{W_x}\left( {t,f} \right) = {S_{{\rm{STFT}}_x^a}}\left( {t,f} \right)W_x^b\left( {t,f} \right)。$

(15)

式(13)为取STFT谱和WVD中数值较小者，通过这样的处理将WVD中有交叉项部分用相应STFT谱中的数值代替，以达到消除交叉项的目的。

式(14)中c为STFT谱的交叉项消除阈值。当STFT谱的值小于该阈值时，返回0；如果大于该阈值，则返回1。WVD中有交叉项对应STFT谱部分的数值肯定小于该阈值，用数字0与WVD相乘以消除交叉项。

式(15)中a、b称为幂调节系数。该式的作用是增强两变换数值较大部分而消弱有交叉项部分。随着a、b的增大，STFT-Wigner变换的时频聚集性提高。通过实验证实，a、b不易取值过高，a取值范围在1.5~3.5之间，b取值范围在0.3~1之间。

与GWT相同，STFT-Wigner变换只能显示时频变换后相对的大小，其幅值不能反映信号时频变换的绝对值。通过对仿真信号进行对比分析，式(15)所示方法较式(13)(14)结果更加理想，使用更为灵活。

如图 2(c)所示为图 2(a)中信号的STFT谱(窗函数为高斯窗，窗长度为512)，图 2(c)为该信号的STFT-Wigner变换，其中a取2，b取0.5。可以看出STFT-Wigner变换能够避免交叉项干扰，并且克服了GWT中时频聚集性的问题，准确地分辨出一倍频和附近的调制频率。

3 实测实验

为进一步验证算法的有效性，对一转子振动试验台进行了测试。

试验台的转子人为加了不平衡质量，使转子处于不平衡状态。ICP压电传感器布置在轴承座垂直方向，采集卡采样频率设置为5 K。调节电机转速使转子转速从0上升到3 000 r/min，记录下整个升速过程，见图 3(a)。

图 3(b)为采用公式(12)对信号做GWT分析结果，其中Gabor变换窗函数长度为512；图 3(c)采用公式(15)对信号做STFT-Wigner变换，窗函数为长度512的高斯窗，幂调节系数a=2，b=0.5。结果显示GWT时频分辨率明显不如STFT-Wigner变换：GWT变换中，不能够分辨出由转子不平衡引起的振动频率和50 Hz工频干扰，而STFT-Wigner变换能够准确的区分2个频率。

4 结论

在计算多分量非平稳信号的时频谱时，Wigner变换存在交叉项干扰而不能得到正确的结果；并且由于Gabor变换的时频聚集性不好，同样带来分析的困难；此外Gabor-Wigner变换虽然能够避免WVD交叉项干扰问题，但不能避免Gabor变换所带来的时频聚集性差的问题。STFT-Wigner变换克服了上述问题，选择合适的窗函数以及时窗长度，通过改变幂调节系数，得到高分辨率无交叉项的时频变换。

通过仿真以及实测实验验证了STFT-Wigner变换。但STFT-Wigner变换中幂调节系数的确定没有理论基础，如何根据待分析信号的特征确定幂调节系数有待进一步研究。