超声波电机是近些年发展起来的一种利用压电陶瓷逆压电效应的新型电机。超声电机运行包含诸如压电能量转换、摩擦能量传递等非线性过程，其也被认为是一种非线性、时变和强耦合的被控对象^[1]，对超声波电机本体模型的研究具有重要意义。

最早对超声电机定、转子接触模型进行定量分析的是上羽贞行和黑泽实^[2]。1995年J Maas等^[3]对超声电机赫兹理论模型做了详细的研究与分析，提出赫兹理论模型下压力分布函数的边界条件，但没有对驱动区间和制动区间的关系做深入的讨论。文献[4]设计了一种微小旋转型超声电机并建立了其瞬态过程的动力学方程，分析了瞬态特性。文献[5]将空间域分析与预压力结合在一起讨论了预压力对超声电机输出性能的影响。文献[6]建立了旋转行波超声电机的多变量非线性Hammerstein模型，并分析证明了采用两步法广义预测控制策略的可行性。文献[7]的研究重点在超声电机数学模型，分析了预压力对电机机械性能的影响。但相关文献并没有针对超声电机数学模型本身所体现出来的不稳定性进行讨论^[8-15]。

文章是在行波型超声波电机的赫兹数学模型基础上，基于李雅普诺夫平衡条件，对行波型超声波电机的稳定性开展研究，针对定转子接触模型空间域的3种情况进行讨论，并结合预压力、负载转矩和速度3者之间的关系对超声波电机的稳定运行进行定性分析，研究成果有助于为超声波电机的设计和控制提供借鉴。

1 行波型超声电机定转子接触模型

超声波电机的运行是通过定转子之间的摩擦来传递动力，1882年物理学家赫兹研究的两圆柱体接触面的应力、应变场、位移场的分布情况及特点^[16]，为超声波电机定转子的接触模型发展奠定了基础。

尽管超声波电机定、转子的接触模型与一般的赫兹接触模型不完全相同，但赫兹接触理论能较好地解决超声电机定、转子接触模型中遇到的问题。根据电机实际运行的情况，假设定、转子在运行的过程中均不产生接触形变，只有摩擦材料层产生形变，定、转子表面不完全紧密结合且无相对滑动。简化出刚性定子和弹性转子接触模型，图 1为刚性定子和弹性转子的接触摩擦机理图^[1]。

根据行波超声电机的理论^[3]，定子上的行波是由分别作用在A、B两相上的驻波叠加而来，行波的波动过程为

$ w\left( x \right) = {w_{\rm{A}}} \cdot \cos \left( {kx} \right), $

(1)

$ {v_{\rm h}}\left( x \right) = - k{w_{\rm{A}}}a\omega \cdot \cos \left( {kx} \right), $

(2)

式中：w(x)为定子表面质点的纵向振动位移；v_h(x)定子表面质点的切向速度；w_A为A、B两相上施加信号的振幅。

根据赫兹接触模型理论转子的转速为

$ {v_{\rm{R}}} = {\omega _{\rm{R}}} \cdot R = k{w_{\rm{A}}}a\omega \cos \left( {k{x_1}} \right)。$

(3)

图 2为摩擦力、压力分布图，v_R为转子转速，x₁在定子坐标系(x，z)上为定子和转子的等速点，v_h=v_R，x₀为定子和转子接触的临界点。所以定、转子在(x，z)中的接触区间可以划分为3个部分，(-x₁，x₁)区间内v_h>v_R为驱动区间，定子在这段区间内给转子提供驱动力F_T1。(-x₀，-x₁)和(x₁，x₀)区间内v_h＜v_R为制动区间，存在反向阻力F_T2和F_T3。

图 2中压力分布为

$ \tau \left( x \right) = {\mathop{\rm sgn}} \left( {\left| {{v_{\rm{h}}}\left( x \right)} \right| - \left| {{v_{\rm{R}}}} \right|} \right) \cdot \mu p\left( x \right), $

(4)

$ p\left( x \right) = {C_{\rm{N}}} \cdot {w_{\rm{A}}}\left( {\cos kx - \cos k{x_0}} \right), $

(5)

式中：p(x)为压力分布函数；C_N为C_N=Eb/h_r；E为定子金属弹性材料的杨氏模量；b为摩擦层接触面的宽度；w为定子振动幅值；h_r为摩擦层的厚度。

转子受到的作用力为

$ {F_{\rm{T}}} = {F_{{\rm{T1}}}} - {F_{{\rm{T2}}}} - {F_{{\rm{T3}}}} = \int_{ - x}^x {\tau \left( x \right){\rm{d}}x} , $

(6)

定子波峰对转子的轴向压力为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{F_z} = n\int_{ - x}^x {p\left( x \right){\rm{d}}x} = }\\ {2{C_{\rm{N}}}n{w_{\rm{A}}}\left( {\frac{1}{k}\sin kx - x\cos kx} \right)。} \end{array} $

(7)

行波型超声电机转子的运动主要分为轴向和周向，轴向主要是预压力和定子对转子轴向的作用力，周向主要是驱动力、摩擦阻力和负载的作用，可以分别表示为

$ {m_{\rm{R}}}{{w''}_{\rm{A}}} + {d_{\rm{z}}}{{w'}_{\rm{A}}} = {F_{\rm{Z}}} - {F_{\rm{N}}}, $

(8)

$ J{{\omega '}_{\rm{R}}} + {D_{\rm{R}}}{\omega _{\rm{R}}} = n{F_{\rm{T}}}R - {M_{\rm{L}}}。$

(9)

2 行波型超声电机稳定性研究

文献[3]针对行波型超声波电机引入了超声波电机制动区间和驱动区间相对位置的讨论，但并没有对区间的变换交替所引起的行波型超声波电机的稳定性进行研究分析。根据李雅普诺夫对平衡状态的判定^[17]，对于时间t，如果满足

$ x' = f\left( {x,t} \right) = 0, $

该状态x称为平衡状态。平衡状态的各分量相对于时间不再发生变化。若已知状态方程，令x′=0所求得的解x，便是一种平衡状态。

线性定常系统x′=Ax，其平衡状态满足Ax=0，当A为非奇异矩阵时，系统只有唯一的解，只存在一个平衡状态，若A为奇异矩阵，系统则存在无穷多个平衡状态。式(9)可以看作是李雅普诺夫对平衡状态的定义在超声波电机上的直接应用。

2.1 超声电机运行区间

1) 当x₀>x₁时

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{F_{\rm{T}}} = 2\int_0^{{x_0}} {{\mathop{\rm sgn}} \left( {\left| {{v_{\rm{h}}}\left( x \right)} \right| - \left| {{v_{\rm{R}}}} \right|} \right) \cdot \mu p\left( x \right)} = }\\ {2\mu \left[ {\int_0^{{x_1}} {p\left( x \right){\rm{d}}x} - \int_{{x_1}}^{{x_0}} {p\left( x \right){\rm{d}}x} } \right] = }\\ {2\mu {C_{\rm{N}}}{w_{\rm{A}}}\left[ {2\left( {\frac{1}{k}\sin k{x_1} - {x_1}\cos k{x_0}} \right) - } \right.}\\ {\left. {\left( {\frac{1}{k}\sin k{x_0} - {x_0}\cos k{x_0}} \right)} \right],} \end{array} $

(10)

此时的李雅普诺夫平衡方程为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {2\left( {\frac{1}{k}\sin k{x_1} - {x_1}\cos k{x_0}} \right) - }\\ {\left( {\frac{1}{k}\sin k{x_0} - {x_0}\cos k{x_0}} \right) - }\\ {\frac{{{D_{\rm{R}}}ka{W_{\rm{A}}}\omega }}{{2\mu {C_{\rm{N}}}{W_{\rm{A}}}n{R^2}}} \cdot \cos k{x_1} = \frac{{{M_{\rm{L}}}}}{{2\mu {C_{\rm{N}}}{W_{\rm{A}}}nR}}。} \end{array} $

(11)

在式(11)中，如果负载M_L、接触层的等效弹性系数C_N、定子振幅W_A、振动模态阶数n和有效接触半径R为已知的情况下，就可以得到李雅普诺夫稳定情况下x₀和x₁的关系。

2) 当x₀＜x₁时

此时的压力分布函数为

$ p\left( x \right) = {C_{\rm{N}}} \cdot {w_{\rm{A}}}\left( {\cos kx - \cos k{x_1}} \right), $

(12)

转子受到的作用力为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{F_{\rm{T}}} = {F_{{\rm{T1}}}} - {F_{{\rm{T2}}}} - {F_{{\rm{T3}}}} = }\\ {2\mu \left[ {\int_{{x_0}}^{{x_1}} {p\left( x \right){\rm{d}}x} - \int_0^{{x_0}} {p\left( x \right){\rm{d}}x} } \right],} \end{array} $

(13)

化解后的作用力为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{F_{\rm{T}}} = 2\mu {C_{\rm{N}}}{w_{\rm{A}}}\left[ {\left( {\frac{1}{k}\sin k{x_1} - {x_1}\cos k{x_1}} \right) - } \right.}\\ {\left. {2\left( {\frac{1}{k}\sin k{x_0} - {x_0}\cos k{x_1}} \right)} \right]。} \end{array} $

(14)

对比当x₀>x₁和x₀＜x₁时的作用力F_T可以得到

$ {F_{\rm{T}}}\left( {{x_0} < {x_1}} \right) = - {F_{\rm{T}}}\left( {{x_0} > {x_1}} \right), $

表明，当分别满足x₀>x₁和x₀＜x₁ 2种情况下的x₀和x₁对等时，所求得的作用力在数值相等符号相反，并且上式成立的前提条件是在定转子接触的区间内依然存在一点x₁使得转子的转速与定子表面切向分量的转速相等，从式(3)可以看到转子转速的表达式是一个余弦函数，即当x₀＜x₁时：

$ k\mathit{\boldsymbol{A}}a\omega \cos \left( {k{x_0}} \right) > k\mathit{\boldsymbol{A}}a\omega \cos \left( {k{x_1}} \right)。$

根据x₀和x₁物理意义上划分x₀为制动区间x₁为驱动区间，认为制动区间的转速是小于驱动区间的，即

$ k\mathit{\boldsymbol{A}}a\omega \cos \left( {k{x_0}} \right) < k\mathit{\boldsymbol{A}}a\omega \cos \left( {k{x_1}} \right), $

由此可以认定行波型超声电机在稳定运行时不会出现x₀＜x₁的情况。

3) 当x₀=x₁时

此时转子受到的作用力为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{F_{\rm{T}}} = 2\mu \int_0^{{x_1}} {p\left( x \right){\rm{d}}x} = }\\ {2\mu {C_{\rm{N}}}{w_{\rm{A}}}\left( {\frac{1}{k}\sin k{x_0} - {x_0}\cos k{x_0}} \right)。} \end{array} $

(15)

此时，在整个[0，x₀]区间内摩擦力提供转子驱动力，转子的速度与定子切线速度在x₀=x₁出相等，即v_R=v_h(x₀)。因为此时认定摩擦力没有阻碍作用，所以，此时的定转子能量的传递效率最高，定子传递给转子的能量将用在克服转子轴向阻尼损耗D_RωR和提供给负载M_L上。

根据式(3)、(6)和(9)可以得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{M_{\rm{L}}} = nR \cdot 2\mu {C_{\rm{N}}}{w_{\rm{A}}}\left\{ {\frac{1}{k}\sin \left[ {\arccos \left( {{\omega _R} \cdot \frac{R}{{k{w_{\rm{A}}}\omega a}}} \right)} \right] - } \right.}\\ {\left. {{\omega _R} \cdot \frac{R}{{k{w_{\rm{A}}}\omega a}} \cdot \arccos \left( {{\omega _R} \cdot \frac{R}{{k{w_{\rm{A}}}\omega a}}} \right)} \right\} - {D_R}{\omega _R}。} \end{array} $

(16)

在理论上是存在x₀=x₁这一点，且x₀的值由预压力F_N确定，此时因为x₁=x₀，角速度ω_R和驱动力F_T可以确定，再根据式(9)可以确定超声电机在运行时转子轴向上的阻尼损耗和对应的负载输出，即一个预压力对应一个转速和负载输出。由式(3)可以知道x₁的最大驱动区间为λ/4，当速度为λ/4时所对应的速度为0，可以得到x₁=λ/4为定子驱动转子驱动区间的极限状态。

从式(9)中可以看到转子的轴向阻尼D_RωR是跟速度成正比的，输出负载为

$ {M_{\rm{L}}} = n{F_{\rm{T}}}R - {D_{\rm{R}}}{\omega _{\rm{R}}}。$

(17)

从式(17)中可以得到，当转速越快的时候在转子轴向上的阻尼消耗就越大。图 3为当x₀=x₁时转速和输出转矩的关系曲线。

2.2 李雅普诺夫稳定条件下F_N、ω_R、M_L 3者的关系

前文从理论上讨论了行波型超声电机在满足李雅普诺夫稳定性条件下制动区间与驱动区间的相对关系，得到了行波型超声电机稳定运行时的区间。

负载转矩经过变化可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{M_{\rm{L}}} = nR \cdot 2\mu {C_{\rm{N}}}{w_{\rm{A}}}\left[ {2\left( {\frac{1}{k}\sin k{x_1} - {x_1}\cos k{x_0}} \right) - } \right.}\\ {\left. {\left( {\frac{1}{k}\sin k{x_0} - {x_0}\cos k{x_0}} \right)} \right] - {D_{\rm{R}}}{\omega _{\rm{R}}}。} \end{array} $

(18)

将式(18)表示成ω_R为自变量，并将式(6)代入式(18)中，有：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{M_{\rm{L}}} = nR \cdot 2\mu {C_{\rm{N}}}{w_{\rm{A}}}\left\{ {\frac{2}{k}\sin \left[ {\arccos \left( {\frac{{{\omega _{\rm{R}}}R}}{{k{w_{\rm{A}}}\omega a}}} \right)} \right] - } \right.}\\ {\left. {\frac{2}{k}\arccos \left( {\frac{{{\omega _{\rm{R}}}R}}{{k{w_{\rm{A}}}\omega a}}} \right) \cdot \cos k{x_0}} \right\} - \mu R{F_{\rm{N}}} - {D_{\rm{R}}}{\omega _{\rm{r}}},} \end{array} $

(19)

可以得到行波型超声电机稳定运行时设计参数之间的关系，当预压力F_N已知时可以由公式(8)直接求出x₀，此时式(19)就只剩下ω_R和M_L 2个变量，当接触层的等效弹性系数C_N、定子振幅W_A、振动模态阶数n和有效接触半径R为已知的情况下，就可以得到李雅普诺夫稳定情况下ω_R和M_L的关系。反过来也可以在定ω_R或M_L的情况下确定其他2个参数的关系。

3 讨论

超声波电机数学模型的仿真参数见表 1^[18-19]所示。

3.1 预压力参数的讨论

图 4为负载M_L=0.120 0 N·m时x₀和x₁的关系曲线。

图 4中x₀和x₁临界点在x₀=x₁=2.129 mm时，即在[2.892，5.365]区间，每个x₀都对应一个稳定的x₁和一个不稳定的x₁。

当预压力F_N=55 N时，由式(8)或仿真波形图 4可以得到x₀=3.332 mm。此x₀对应图 4上的x₁=2.376 mm和x₁=5.164 mm。

此时，根据前文描述，当超声电机稳定运行时是不可能出现x₀＜x₁的情况，所以认为x₁=5.164 mm不满足实际的运行条件，x₁=2.376 mm满足超声电机的运行理论。

由式(7)、(8)和(9)可以推出，x₀的位置只由预压力F_N决定，而负载的影响是对驱动区间的影响即x₁的大小。图 5是电机启动时x₀的波动过程，图 6是预压力不变的情况下负载增加时x₀和x₁变化曲线，可以看到x₁是随着负载的增大而增大，而x₀由于预压力没有变化稳定在一个定值。

图 7为预压力F_N=55 N时x₀=3.332 mm，负载由0.210 0 N·m增加到0.210 6 N·m时x₀和x₁变化曲线，负载在0.210 0~0.210 4 N·m时x₁经过阻尼振荡稳定下来的值都小于x₀，而当负载为0.210 6 N·m时，经过一段时间的波动x₁上升到x₁=λ/2，此时仿真系统认定超声电机在外接负载的作用力下做反向运动，速度为负，而对应实际的情况为不可启动状态。根据计算可以得到当x₁=x₀=3.332 mm时，输出转矩M_L的值是0.299 0 N·m，理论上当x₁=x₀时电机也能稳定运行，但在仿真中却始终找不到这一点，其原因可能是截断误差造成的。而在实际电机控制中对稳定要求必须要有一定的裕量，也不会运行在x₁=x₀状况下。

当预压力为125.6 N时x₀=4.573 mm，如果此时的负载转矩M_L=0.987 2 N·m，经过计算可以得到的x₁=4.573 mm，转速为0，这是前文所描述的满足x₁=x₀=λ/4的临界状态。图 8和图 9是对这个参数状态的仿真波形。

从图 8和图 9可以看到，在这种情况下仿真得到的x₀=4.569 3 mm，x₁=4.571 2 mm，x₁≈x₀且速度稳定的时候为0.057 7 r/min。所以可以认为从仿真的角度验证了x₁=x₀情况的存在。

图 10为负载转矩为0.120 0 N·m时不同预压力所对应的不同速度曲线，从图中可知预压力为55 N时，速度在达到稳定之前的波动较大，并且稳定时的速度为117.3 r/min，当预压力为95 N时，速度在上升的过程中较为稳定，且稳定时的速度为125.3 r/min。

由以上实验可以得到，预压力决定了x₀的值，进而决定了x₁的极限值，所以在对行波型超声电机进行设计时，预压力参数的选取直接决定了输出转矩极限。并且在设计电机预压力时可以根据转速和负载转矩的指标做折中选择。

3.2 控制参数的讨论

由式(18)可以知道x₀和x₁的关系曲线跟负载有一定的关系，当负载M_L变化时曲线的位置将会发生如图 11所示的移动。

对于出厂后的超声波电机，在运行当中预压力是一个定值。当预压力确定时x₀的稳定值可以通过式(7)和式(8)计算得到。

表 2为不同预压力下所对应的超声电机运行参数，图 12为不同预压力时转速对应输出转矩的曲线，即转速相对转矩变化的曲线。

这里的nF_RR和M_L的单位都是N·m。当预压力增加时，如果负载转矩M_L不变，x₀将增大，同时x₁的值减小，转速随着x₁的减小而增大，根据式(9)可以知道当转速增加的时候转子获得的转矩增加，摩擦损耗增加。

图 12是满足李雅普诺夫平衡方程时不同预压力时转速对应输出转矩的曲线，当转速为0或者无限接近0的时候可以求得最大输出转矩即最大负载，但在实际的过程中由于转子阻尼系数的存在，在接近最大的负载的一段区域内所需要的驱动区间在很长的一段时间内都大于制动区间，即x₁>x₀，而当x₁>x₀时实际电机是停机的。超声电机在启动的一瞬间所需要的静摩擦力成倍于滑动摩擦力，所以实际运行超声电机所能带动的极限负载是小于理论值的。并且从图 12中可以看到，当预压力越大的时候速度相对于转矩变化的稳定性越好。

在对速度或者负载进行控制的时候就应该考虑到负载的变化与速度变化的相对影响，充分考虑到速度、负载和预压力3者之间的关系。

根据x₀和x₁随负载的变化的关系曲线(见图 6)和不同预压力时转速对应输出转矩的曲线(见图 12)来对实际电机的参数设计提供一定的方案：

1) 在提供了准确的预压力基础之上设计合适的运行速度和负载转矩范围；

2) 根据转速要求来设计合适的负载、预压力；

3) 根据需要的负载大小来设计合适的转速和预压力。

4 结论

在研究数学模型基础上完成了超声电机的模型仿真并对速度满足李雅普诺夫平衡方程时的电机运行特性进行了讨论，根据李雅普诺夫平衡条件，讨论了驱动区间x₁和制动区间x₀的3种关系：

1) 当x₀>x₁时得到的满足李雅普诺夫平衡方程的实际解在x₀和x₁的关系曲线下半部分；

2) x₀=x₁在理论上存在，且并不是孤立的点，与确定的预压力、转速和负载转矩有着唯一固定的关系；

3) x₀＜x₁在稳定运行的情况是不存在的。

驱动区间和制动区间的大小与超声波电机的预压力、驱动转矩、运行转速之间存在紧密关系。文中的研究结果为超声波电机的设计和运行控制提供参考价值。在运行时，要保证制动区间大于驱动区间，并留有一定的裕量。