当结构物在软土地基上修建时，会产生相应的沉降和侧向变形，但在设计中人们常忽略侧向变形的各种影响，采用的沉降计算方法和所用参数大都建立在Terzaghi一维固结理论基础之上。这种假设地基土体侧向受到限制仅产生垂直沉降的变形机理与实际情况明显不符。当工程对沉降控制要求不严时其计算精度尚可满足工程需要，但随着高速铁路和高速公路对工后沉降控制非常严格的结构物的大量修建，地基侧向变形对路基沉降的影响以及对邻近建筑物的影响往往是导致工程失败的关键因素。国内外对于侧向变形的研究一直没有间断过，Loganathan^[1]分析了路基荷载下总沉降与侧向变形的关系，并初步给出了两者之间的对应关系。Giroud^[2]研究了可压缩层地基深度一定时，路基等梯形荷载下侧向变形引起的初始沉降。Steinbrenner^[3]在假设地基为各向同性的弹性半无限体情况下，研究了均布条形荷载下饱和粘性土地基由于土体侧向变形产生的初始沉降。Bjerrum研究了路基安全系数对总沉降的影响，提出当安全系数不大于1.2时，就得考虑土体侧向变形对沉降的影响，并指出侧向变形引发的沉降量可达到总沉降的1/4。Yamanouchi提出当安全系数大于1.5时，地基侧向变形较小。Appolonia^[4]研究了路基局部屈服情况下的不排水沉降，认为路基宽度与软土层厚度的比值大于2时，路基荷载超过地基极限承载力的一半时，侧向变形就会非常明显。周镜^[5]分析了软土地基沉降计算的困难以及存在的问题，并给出了影响侧向变形的主要因素为荷载的应力水平、荷载几何形状、前期固结压力以及荷载底宽与软土层厚的比值。殷宗泽^[6]初步分析了土体泊松比对侧向变形和沉降的影响，以及泊松比对土工结构物受力的影响，得出土体的泊松比是影响其侧向变形内在因素。王志亮^[7]、王峰等^[8]，借助数值模拟得出土体侧向变形与泊松比、空隙比、路基高宽比有关，并得出了侧向修正系数的计算式。曾国熙介绍了垂直荷载下软粘土地基的侧向变形，推导出泊松比μ为0.5时，弹性半无限体地基在线性荷载、带状均布荷载、三角形荷载下的侧向变形公式。不过文献[9]中公式没有建立统一坐标系，使得变形方向要进一步人为分析，并且计算方法也相对复杂，另外对于泊松比μ＜0.5的情况未予以讨论。笔者假设路基基底的应力分布横断面为梯形，纵断面均匀分布，同时考虑文献中所述的边坡坡度和路基高宽比对路基基底应力的影响，通过对布辛奈斯克集中力下侧向变形解进行积分，分别推导出泊松比μ=0.5与μ＜0.5两种情况下，地基在线性荷载、带状均布荷载以及带状三角形荷载下的侧向变形公式。在此基础上，建立统一的坐标系对其进行合并，进而推导出梯形路基荷载下的侧向变形公式。

1 泊松比为0.5时的情况

对于饱和粘土地基，土体的渗透性低，加荷载后，空隙水不能及时排出，可以认为地基没有发生体变，故泊松比μ=0.5。此时地基的瞬时沉降完全来自于地基的侧向变形^[6]。而且，布辛奈斯克解侧向变形解第2项为零。下面先从泊松比为0.5，坐标系不随计算点的位置而改变的原则进行推导，这也是文中研究不同于文献[9]的重点。

1.1 线状荷载下的侧向变形

当有一集中力作用于弹性半无限体表面时，地基中任意一点Q(x, y, z)在x方向的位移为布辛奈斯克的侧向变形解

$ u = \frac{{P\left( {1 + \mu } \right)}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}E}}\left[ {\frac{{xz}}{{{R^3}}} - \frac{{\left( {1 - 2\mu } \right)x}}{{R\left( {R + z} \right)}}} \right], $

(1)

式中：P为集中力；μ为泊松比；E为弹性模量；x, y, z为计算点在图 1(a)所示坐标系中的坐标值; R为计算点与荷载作用点距离，且$R = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} $。当泊松比μ=0.5，则布辛奈斯克侧向变形解得第2项为零。故此时布辛奈斯克解为

$ u = \frac{{1.5P}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}E}}\frac{{xz}}{{{R^3}}}。$

(2)

在图 1(b)所示的线性荷载p下，地基中任意点Q(x₀, y₀, z₀)的侧向变形可在式(2)的基础上，对y轴进行积分：

$ \begin{array}{l} u = \int_{ - \infty }^\infty {\frac{{1.5{x_0}{z_0}p}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}E{R^3}}}{\rm{d}}y} = \\ \;\;\int_{ - \infty }^\infty {\frac{{1.5{x_0}{z_0}p}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}E{{\left( {x_0^2 + {{\left( {y - {y_0}} \right)}^2} + z_0^2} \right)}^{3/2}}}}{\rm{d}}y} = \\ \;\;\frac{{1.5{x_0}{z_0}p}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}E}}\int_{ - \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}}^{\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}} {\frac{{k\frac{1}{{{{\cos }^2}\theta }}{\rm{d}}\theta }}{{{{\left( {{k^2}\frac{1}{{{{\cos }^2}\theta }}} \right)}^{3/2}}}}} = \\ \;\;\frac{{1.5{x_0}{z_0}p}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}E}} \times \frac{1}{{{k^2}}} \times \sin \theta \left| {_{ - \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}}^{\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}}} \right. = \\ \;\;\frac{{1.5{x_0}{z_0}p}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}E}} \times \frac{1}{{x_0^2 + z_0^2}}, \end{array} $

其中：x²+z²=k²，y-y₀=ktanθ。

由于Q(x₀, y₀, z₀)为坐标系下的任意一点，故得线性荷载下任意点Q(x, y, z)的侧向变形为

$ u = \frac{{1.5xzp}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}E}} \times \frac{1}{{{x^2} + {z^2}}}。$

(3)

1.2 带状均布荷载下的侧向变形

根据公式(3)，通过对横截面进行积分就可以求出带状均布荷载下的侧向变形，此处坐标原点设在横断面中心处，如图 2所示。在进行积分推导前首先要说明的是此时积分是对带状均布荷载的横截面积分，每个积分点为一个无限长线性荷载，并且被积分的式(2)中的x，现在转换为横截面上积分点到任意点坐标为Q(X, Z)之间在x轴向上的距离。

$ \begin{array}{l} u = \int_{ - \frac{{b'}}{2}}^{\frac{{b'}}{2}} {\frac{{1.5\left( {X - x} \right)Zp}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}E}} \times \frac{1}{{{{\left( {X - x} \right)}^2} + {Z^2}}}{\rm{d}}x} = \\ \;\;\;\int_{ - \frac{{b'}}{2}}^{\frac{{b'}}{2}} {\frac{{ - 1.5Zp}}{{{\rm{2 \mathsf{ π} }}E}} \times \frac{{d{{\left( {X - x} \right)}^2}}}{{{{\left( {X - x} \right)}^2} + {Z^2}}}} = \\ \;\;\;\frac{{1.5Zp}}{{{\rm{2 \mathsf{ π} }}E}}\ln \frac{{\left( {X + b'/2} \right) + {Z^2}}}{{\left( {X - b'/2} \right) + {Z^2}}}, \end{array} $

其中，b′为带状均布荷载的宽度。

当Q(x, z)为断面上的任意一点，图 2所示带状均布荷载下弹性土体中任意点Q(x, z)的侧向变形为

$ u = \frac{{1.5zp}}{{{\rm{2 \mathsf{ π} }}E}}\ln \frac{{{{\left( {x + b'/2} \right)}^2} + {z^2}}}{{{{\left( {x - b'/2} \right)}^2} + {z^2}}}。$

(4)

1.3 带状三角形荷载下的侧向变形

三角形荷载可分为如图 3所示的2种情况。

Ⅲ型三角形荷载如图 3(a)所示。三角形荷载p随x的增大而增加，且p(x)=px/a′; (0≤x≤a′)，把其代替式(3)中的荷载p，而任意点Q(X, Z)到积分点的距离为X-x，通过对横断面进行积分可得

$ \begin{array}{l} {u_{{\rm{III}}}} = \int_0^{a'} {\frac{{1.5\left( {X - x} \right)Zp\left( x \right)}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}E}} \times \frac{1}{{{{\left( {X - x} \right)}^2} + {Z^2}}}{\rm{d}}x} = \\ \;\;\frac{{1.5Zp}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}Ea'}}\int_0^{a'} {\frac{{x\left( {X - x} \right)}}{{{{\left( {X - x} \right)}^2} + {Z^2}}}{\rm{d}}x} = \\ \;\;\frac{{1.5Zp}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}Ea'}}\int_{\arctan \left( {\frac{X}{Z}} \right)}^{\arctan \left( {\frac{{X - a'}}{Z}} \right)} {\frac{{\left[ { - {Z^2}\tan \theta \left( {X - Z\tan \theta } \right)} \right]{\rm{d}}\theta }}{{\left[ {{{\left( {Z\tan \theta } \right)}^2} + {Z^2}} \right]}} = } \\ \;\;\frac{{ - 1.5XZp}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}Ea'}}\int_{\arctan \left( {\frac{X}{Z}} \right)}^{\arctan \left( {\frac{{X - a'}}{Z}} \right)} {\tan \theta {\rm{d}}\theta } + \\ \;\;\frac{{1.5{Z^2}p}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}Ea'}}\int_{\arctan \left( {\frac{X}{Z}} \right)}^{\arctan \left( {\frac{{X - a'}}{Z}} \right)} {\frac{{1 - {{\cos }^2}\theta }}{{{{\cos }^2}\theta }}{\rm{d}}\theta } = \\ \;\;\frac{{ - 1.5XZp}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}Ea'}}\ln \left[ {\left| {\cos \theta } \right|} \right]\left| {_{\arctan \left( {\frac{X}{Z}} \right)}^{\arctan \left( {\frac{{X - a'}}{Z}} \right)}} \right. + \\ \;\;\frac{{1.5{Z^2}p}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}Ea'}}\tan \theta \left| {_{\arctan \left( {\frac{X}{Z}} \right)}^{\arctan \left( {\frac{{X - a'}}{Z}} \right)}} \right. - \frac{{ - 1.5{Z^2}p}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}Ea'}}\theta \left| {_{\arctan \left( {\frac{X}{Z}} \right)}^{\arctan \left( {\frac{{X - a'}}{Z}} \right)}} \right. = \\ \;\;\frac{{1.5Zp}}{{{\rm{2 \mathsf{ π} }}E}}\left\{ \begin{array}{l} \frac{X}{{a'}}\ln \left[ {\frac{{{X^2} + {Z^2}}}{{{{\left( {X - a'} \right)}^2} + {Z^2}}}} \right] - 2 + \frac{{2Z}}{{a'}} \times \\ {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{X}{Z}} \right) - \frac{{2Z}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{X - a'}}{Z}} \right) \end{array} \right\}, \end{array} $

其中：X-x=Ztanθ; a′为三角形荷载的底宽。

Ⅱ型三角形荷载如图 3(b)所示。三角形荷载p随着x的增大而减小，满足p(x)=p(a′-x)/a′; (0≤x≤a′)；同样把其代人式(3)，通过对横断面进行积分可得

$\begin{array}{l} {u_{{\rm{II}}}} = \int_0^{a'} {\frac{{1.5\left( {X - x} \right)Zp\left( x \right)}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}E}} \times \frac{1}{{{{\left( {X - x} \right)}^2} + {Z^2}}}{\rm{d}}x} = \\ \quad \int_0^{a'} {\frac{{1.5Zp}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}Ea'}} \times \frac{{\left( {a' - x} \right)\left( {X - x} \right)}}{{{{\left( {X - x} \right)}^2} + {Z^2}}}{\rm{d}}x} = \\ \quad \int_0^{a'} {\frac{{1.5Zp}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}E}} \times \frac{{X - x}}{{{{\left( {X - x} \right)}^2} + {Z^2}}}{\rm{d}}x} - \\ \quad \int_0^{a'} {\frac{{1.5Zp}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}Ea'}} \times \frac{{x\left( {X - x} \right)}}{{{{\left( {X - x} \right)}^2} + {Z^2}}}{\rm{d}}x} = \\ \left. {\quad \frac{{ - 1.5Zp}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}E}} \times \ln \left( {{{\left( {X - x} \right)}^2} + {Z^2}} \right)} \right|_0^{a'} - \\ \quad \frac{{1.5Zp}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}Ea'}}\left\{ \begin{array}{l} - \frac{X}{2}\ln \left. {\left( {\frac{{{{\left( {x - X} \right)}^2}}}{{{Z^2}}} + 1} \right)} \right|_0^{a'}\\ - Z\tan \left. {\left( {\frac{{X - x}}{z}} \right)} \right|_0^{a'} - \left. x \right|_0^{a'} \end{array} \right\}\;\\ \quad = \frac{{1.5Zp}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}E}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{a' - X}}{{a'}}\ln \left[ {\frac{{{X^2} + {Z^2}}}{{{{\left( {X - a'} \right)}^2} + {Z^2}}}} \right] + }\\ {\frac{{2Z}}{{a'}}{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{X - a'}}{Z}} \right) + 2 - }\\ {\frac{{2Z}}{{a'}}{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{X}{Z}} \right)} \end{array}} \right\}。\end{array}$

同样由于点Q(x, z)为断面中任意一点，所以对于Ⅱ型、Ⅲ型三角形荷载下的侧向变形公式可表示如下：

Ⅲ型三角形荷载的侧向变形公式为

$ {u_{{\rm{III}}}} = \frac{{1.5zp}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}E}}\left\{ \begin{array}{l} \frac{x}{{a'}}\ln \left[ {\frac{{{x^2} + {z^2}}}{{{{\left( {a' - x} \right)}^2} + {z^2}}}} \right] - 2 + \frac{{2z}}{{a'}}\\ {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{z}} \right) - \frac{{2z}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{x - a'}}{z}} \right) \end{array} \right\}, $

(5)

Ⅱ型三角形荷载的侧向变形公式为

$ {u_{{\rm{II}}}} = \frac{{1.5zp}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}E}}\left\{ \begin{array}{l} \frac{{a' - x}}{{a'}}\ln \left( {\frac{{{x^2} + {z^2}}}{{{{\left( {x - a'} \right)}^2} + {z^2}}}} \right) + \\ \frac{{2z}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{x - a'}}{z}} \right) + 2 - \\ \frac{{2z}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{z}} \right) \end{array} \right\}。$

(6)

1.4 带状梯形荷载下的侧向变形

图 4中虚线所示为真实路基横断面形式，其坡度比m为1:1.5。实线为地基反力分布^[10-11]，即实线尺寸相当于为原横断面的等效荷载尺寸。在路基等效梯形荷载下地基的侧向变形等于Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型3部分等效荷载分别作用下的侧向变形之和。

在进行叠加前首先要进行坐标统一，梯形荷载的坐标原点设置在横断面对称轴与地面的交点处，如图 4所示。则Ⅲ型三角形荷载向左平移了a′+b′/2个单位，侧向变形公式(5)可转换为

$ {u_{{\rm{III}}}} = \frac{{1.5zp}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}E}}\left\{ \begin{array}{l} \frac{{x + a' + b'/2}}{{a'}} \times \\ \ln \left[ {\frac{{\left( {x + a' + b'/2} \right) + {z^2}}}{{{{\left( {x + b'/2} \right)}^2} + {z^2}}}} \right] + \\ \frac{{2z}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{x + a' + b'/2}}{z}} \right) - \\ \frac{{2z}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{x + b'/2}}{z}} \right) - 2 \end{array} \right\}。$

(7)

Ⅱ型三角形荷载向右平移了b′/2个单位，侧向变形公式(6)转换为

$ {u_{{\rm{II}}}} = \frac{{1.5zp}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}E}}\left\{ \begin{array}{l} \frac{{a' + b'/2 - x}}{{a'}} \times \\ \ln \left( {\frac{{{{\left( {x - b'/2} \right)}^2} + {z^2}}}{{{{\left( {x - a' - b'/2} \right)}^2} + {z^2}}}} \right) + \\ \frac{{2z}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{x - a' - b'/2}}{z}} \right) + 2 - \\ \frac{{2z}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{x - b'/2}}{z}} \right) \end{array} \right\}。$

(8)

均布矩形荷载下的侧向变形为

$ {u_{\rm{I}}} = \frac{{1.5zp}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}E}}\ln \frac{{{{\left( {x + b'/2} \right)}^2} + {z^2}}}{{{{\left( {x - b'/2} \right)}^2} + {z^2}}}。$

(9)

梯形荷载下土体的侧向变形u为式(7)、式(8)、式(9)的叠加：

$ u = {u_{\rm{I}}} + {u_{{\rm{II}}}} + {u_{{\rm{III}}}}。$

(10)

2 泊松比μ＜0.5时的情况 2.1 土体侧向变形的微观机理

如图 5所示，地基中饱和土体在初始加载瞬时，由于孔隙水来不及排出，垂直和水平方向的有效主应力分别为

$ \left. \begin{array}{l} {{\sigma '}_1} = {\sigma _1} + \Delta {\sigma _1} - \Delta u\\ {{\sigma '}_3} = {\sigma _3} + \Delta {\sigma _3} - \Delta u \end{array} \right\}。$

(11)

随着土体固结，孔隙水随时间逐渐排出，直到完全固结Δu=0，此时土体在垂直和水平方向的有效应力分别为

$ \left. \begin{array}{l} {{\sigma '}_1} = {\sigma _1} + \Delta {\sigma _1}\\ {{\sigma '}_3} = {\sigma _3} + \Delta {\sigma _3} \end{array} \right\}。$

(12)

从式(11)、(12)可以看出，从开始排水固结到固结完成这一过程中，土体在水平方向的有效应力增速相对于垂直方向更大，故土体在水平方向的变形过程理论上应该是先膨胀，后逐渐压缩，而在垂直方向则随固结进一步压缩^[12]，随着空隙水的排出，土体发生体变，相应的泊松比不可能是前面讨论的0.5现象；对于非饱和土体，在荷载加载瞬间也不存初始体变为零的现象。故对于土体泊松比μ＜0.5的情况下，土体侧向变形的理论解具有更加重要的实际意义。泊松比μ＜0.5时，各种荷载条件下对布辛奈斯克的侧向变形解第1项积分过程与前面μ=0.5的推导一样，只把1.5系数用1+μ代替就行，而第2项由于不为零，推导过程较为复杂，下面主要对布辛奈斯克侧向变形解的第2项进行推导。

2.2 线状荷载下的侧向变形

布辛奈斯克第2项解对y轴积分，为了简化推导过程，令$m = \frac{{\left( {1 + \mu } \right) \times \left( {1 - 2\mu } \right)p}}{{2{\rm{ \mathit{ π} }}E}}$，即得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\int_{ - \infty }^\infty {\frac{{mx{\rm{d}}y}}{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^{1/2}}\left[ {{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^{1/2}} + z} \right]}}} = }\\ {m\left\{ \begin{array}{l} - {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{yz}}{{x\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }}} \right)\\ + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right) \end{array} \right\}\left| {_{ - \infty }^\infty } \right.。} \end{array} $

(13)

由式(13)可知第2项积分结果中最后2项与x的正负有关，积分结果可表示为

$ u' = m\left[ {{{\left( { - 1} \right)}^i}{\rm{ \mathsf{ π} }} - 2{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{z}{x}} \right)} \right], $

(14)

其中$i=\left\{ \begin{matrix} 2, & x\ge 0; \\ 1, & x\le 0。\\ \end{matrix} \right.$

综上可知线性荷载下侧向变形解为

$ u = \frac{{\left( {1 + \mu } \right)xzp}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}E}} \times \frac{1}{{{x^2} + {z^2}}} - u'。$

(15)

由于μ＜0.5时，线性荷载对布辛奈斯克侧向变形解第2项积分公式与x值的正负有关，接下来的各种荷载形式，也需进行分类讨论。

2.3 带状均布荷载下的侧向变形

图 2所示的带状均布荷载，当任意点Q(X，Z)在均布荷载外侧，即X≥b′/2或X≤-b′/2时，可以保证任何情况下点Q(X，Z)都在荷载积分区间的右侧(坐标x轴正向)或左侧(坐标x轴负向)，进而保证每个积分点满足上面线性荷载条件下x≥0或x≤0侧向变形条件。故可进行连续积分：

$\begin{array}{l} {{u'}_{\rm{I}}} = m\int_{ - \frac{{b'}}{2}}^{\frac{{b'}}{2}} {\left[ {{{\left( { - 1} \right)}^i}{\rm{ \mathsf{ π} }} - 2{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - x}}} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \\ m\left\{ {{{\left( { - 1} \right)}^i}{\rm{ \mathsf{ π} }}b' - \left. {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { - Z\ln \left( {\frac{{{Z^2}}}{{{{\left( {X - x} \right)}^2}}} + 1} \right)}\\ { - 2Z\ln \left( {X - x} \right)}\\ { - 2X{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - x}}} \right)}\\ { + 2x{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - x}}} \right)} \end{array}} \right]} \right|_{ - \frac{{b'}}{2}}^{\frac{{b'}}{2}}} \right\} = \\ m\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( { - 1} \right)}^i}{\rm{ \mathsf{ π} }}b' - Z\ln \left[ {\frac{{{Z^2} + {{\left( {X + b'/2} \right)}^2}}}{{{Z^2} + {{\left( {X - b'/2} \right)}^2}}}} \right] + }\\ {2\left( {X - \frac{{b'}}{2}} \right){{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - b'/2}}} \right)}\\ { - 2\left( {X + \frac{{b'}}{2}} \right){{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X + b'/2}}} \right)} \end{array}} \right\}, \end{array}$

(16)

其中$i = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2,}&{X \ge b'/2;}\\ {1,}&{X \le - b'/2。} \end{array}} \right.$

除此之外当点Q(X，Z)落于荷载作用范围内时，此时积分区间位于点Q(X，Z)两侧，而两侧的积分函数不同，此时带状均布荷载下的侧向变形第2项解为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{u'}_{\rm{I}}} = \int_{ - \frac{{b'}}{2}}^X {m\left[ {{\rm{ \mathsf{ π} }} - 2{{\tan }^{ - 1}}\frac{Z}{{X - x}}} \right]{\rm{d}}x} + }\\ {\int_X^{\frac{{b'}}{2}} {m\left[ { - {\rm{ \mathsf{ π} }} - 2{{\tan }^{ - 1}}\frac{Z}{{X - x}}} \right]{\rm{d}}x} = }\\ {m\left\{ \begin{array}{l} 2{\rm{ \mathsf{ π} }}X - Z\ln \left[ {\frac{{{Z^2} + {{\left( {X + b'/2} \right)}^2}}}{{{Z^2} + {{\left( {X - b'/2} \right)}^2}}}} \right] + \\ 2\left( {X - b'/2} \right){\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - b'/2}}} \right) - \\ 2\left( {X + b'/2} \right){\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X + b'/2}}} \right) \end{array} \right\},} \end{array} $

(17)

其中，-b′/2＜X＜b′/2。

通过式(16)、式(17)，并结合泊松比为0.5时的带状均布荷载下的侧向变形公式，可得泊松比μ＜0.5时的带状均布荷载下的侧向变形为

$\begin{array}{*{20}{c}} {{u_Ⅰ} = \frac{{\left( {1 + \mu } \right)zp}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}E}}\ln \frac{{{{\left( {x + b'/2} \right)}^2} + {z^2}}}{{{{\left( {x - b'/2} \right)}^2} + {z^2}}} - }\\ {m\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2{\rm{ \mathsf{ π} }}x' - z\ln \left[ {\frac{{{z^2} + {{\left( {x + b'/2} \right)}^2}}}{{{z^2} + {{\left( {x - b'/2} \right)}^2}}}} \right] + }\\ {2\left( {x - b'/2} \right){{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{z}{{x - b'/2}}} \right) - }\\ {2\left( {x + b'/2} \right){{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{z}{{x + b'/2}}} \right)} \end{array}} \right\},} \end{array}$

(18)

其中：$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' = b'/2,}&{x \ge b'/2;}\\ {x' = x,}&{ - b'/2 ＜ x ＜ b'/2;}\\ {x' = - b'/2,}&{x \le - b'/2。} \end{array}} \right.$

2.4 带状三角形荷载下的侧向变形 2.4.1 Ⅲ型三角形

下面在式(15)的基础上对如图 3(a)所示的Ⅲ型三角形荷载的侧向变形进行探讨，当点Q(X，Z)在三角形荷载外侧(x≤0、x≥a′)时，侧向变形第2项的解析解为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{u'}_{{\rm{III}}}} = \frac{m}{{a'}}\int_0^{a'} {x\left[ {{{\left( { - 1} \right)}^i}{\rm{ \mathsf{ π} }} - 2{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - x}}} \right)} \right]{\rm{d}}x} = }\\ {\frac{m}{{a'}}\left\{ {{{\left( { - 1} \right)}^i}\frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{{a'}^2}}}{2} - \left[ \begin{array}{l} {x^2}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - x}}} \right) - \\ {X^2}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - x}}} \right) - \\ XZ\ln \left[ {\frac{{{Z^2}}}{{{{\left( {X - x} \right)}^2}}} + 1} \right] + \\ {Z^2}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - x}}} \right) - \\ 2XZ\ln \left( {X - x} \right) - xZ \end{array} \right]\left| {_0^{a'}} \right.} \right\} = }\\ {m\left\{ \begin{array}{l} {\left( { - 1} \right)^i}\frac{{\pi a'}}{2} - \frac{{\left( {{X^2} - {Z^2}} \right)}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{X}} \right) - \\ \frac{{\left( {{{a'}^2} + {Z^2} - {X^2}} \right)}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - a'}}} \right) - \\ \frac{{XZ}}{{a'}}\ln \left[ {\frac{{{Z^2} + {X^2}}}{{{Z^2} + {{\left( {X - a'} \right)}^2}}}} \right] + Z \end{array} \right\},} \end{array} $

(19)

其中$i = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2,}&{X \ge a';}\\ {1,}&{X \le 0。} \end{array}} \right.$

当点位于0＜x＜a′区间时，侧向变形第2项的解析解为

$ \begin{array}{l} {{u'}_{{\rm{III}}}} = \int_0^X {\frac{{\left( {1 + \mu } \right)\left( {1 - 2\mu } \right)p\left( x \right)}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}E}}\left[ \begin{array}{l} {\rm{ \mathsf{ π} }} - \\ 2{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - x}}} \right) \end{array} \right]{\rm{d}}x} + \\ \;\;\;\int_X^{a'} {\frac{{\left( {1 + \mu } \right)\left( {1 - 2\mu } \right)p\left( x \right)}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}E}}\left[ \begin{array}{l} {\rm{ \mathsf{ π} }} - \\ 2{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - x}}} \right) \end{array} \right]{\rm{d}}x} = \\ \;\;\;\frac{m}{{a'}}\int_0^X {x\left[ {{\rm{ \mathsf{ π} }} - 2{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - x}}} \right)} \right]{\rm{d}}x} + \\ \;\;\frac{m}{{a'}}\int_X^{a'} {x\left[ { - {\rm{ \mathsf{ π} }} - 2{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - x}}} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \\ m\left\{ \begin{array}{l} \frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{X^2}}}{{a'}} - \frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}a'}}{2} - \frac{{\left( {{X^2} - {Z^2}} \right)}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{X}} \right) - \\ \frac{{\left( {{{a'}^2} + {Z^2} - {X^2}} \right)}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - a'}}} \right) - \\ \frac{{XZ}}{{a'}}\ln \left[ {\frac{{{Z^2} + {X^2}}}{{{Z^2} + {{\left( {X - a'} \right)}^2}}}} \right] + Z \end{array} \right\}。\end{array} $

(20)

对式(19)、(20)的解析解进行统一，并结合泊松比为0.5时的Ⅲ型三角形荷载下的侧向变形公式，可得泊松比小于0.5时Ⅲ型三角形荷载下的侧向变形为

$ \begin{array}{l} {u_{{\rm{III}}}} = \frac{{\left( {1 + \mu } \right)zp}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}E}}\left\{ {\frac{x}{{a'}}\ln \left[ {\frac{{{x^2} + {z^2}}}{{{{\left( {a' - x} \right)}^2} + {z^2}}}} \right] - 2 + \frac{{2z}}{{a'}}} \right\} - \\ \;\;\;\;m\left\{ \begin{array}{l} \frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{{x'}^2}}}{{a'}} - \frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}a'}}{2} - \frac{{{x^2} - {z^2}}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\frac{z}{x}\\ - \frac{{\left( {{{a'}^2} + {z^2} - {x^2}} \right)}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\frac{z}{{x - a'}}\\ - \frac{{xz}}{{a'}}\ln \left[ {\frac{{{z^2} + {x^2}}}{{{z^2} + \left( {x - a'} \right)}}} \right] + z \end{array} \right\}, \end{array} $

(21)

其中$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' = a',}&{x \ge a';}\\ {x' = x,}&{0 ＜ x ＜ a';}\\ {x' = 0,}&{x \le 0。} \end{array}} \right.$

2.4.2 Ⅱ型三角形

如图 3(b)所示的Ⅱ型三角形荷载当点Q(X，Z)在三角形荷载外侧(x≤0、x≥a′)时，侧向变形第2项的解析解为

$ \begin{array}{l} {{u'}_{{\rm{II}}}} = m\int_0^{a'} {\frac{{\left( {a' - x} \right)}}{{a'}}\left[ {{{\left( { - 1} \right)}^i}{\rm{ \mathsf{ π} }} - 2{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - x}}} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \\ \;\;\;\;\;\;\;m\int_0^{a'} {\left[ {{{\left( { - 1} \right)}^i}{\rm{ \mathsf{ π} }} - 2{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - x}}} \right)} \right]{\rm{d}}x} - \\ \;\;\;\;\;\;\;\frac{m}{{a'}}\int_0^{a'} {x\left[ {{{\left( { - 1} \right)}^i}{\rm{ \mathsf{ π} }} - 2{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - x}}} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \\ \;\;\;\;\;\;\;m\left\{ \begin{array}{l} {\left( { - 1} \right)^i}{\rm{ \mathsf{ π} }}a' + \\ Z\ln \left( {\frac{{X - a'}}{X}} \right) - 2a'{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - a'}}} \right) + \\ 2Z\ln \left( {\frac{{X - a'}}{X}} \right) - 2a'{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - a'}}} \right) + \\ 2X{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - a'}}} \right) - 2X{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{X}} \right) \end{array} \right\} - \\ \;\;\;\;\;\;\;\frac{m}{{a'}}\left\{ \begin{array}{l} {\left( { - 1} \right)^i}\frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{{a'}^2}}}{2} - ZX\ln \left[ {\frac{{{Z^2} + {X^2}}}{{{Z^2} + {{\left( {X - a'} \right)}^2}}}} \right] - \\ \left( {{{a'}^2} + {Z^2} - {X^2}} \right){\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - a'}}} \right) - \\ \left( {{X^2} - {Z^2}} \right){\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{X}} \right) + a'Z \end{array} \right\} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;m\left\{ \begin{array}{l} {\left( { - 1} \right)^i}\frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{{a'}^2}}}{2} - Z + \\ \frac{{{X^2} - {Z^2} - 2Xa'}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{X}} \right)\\ \frac{{{Z^2} - {{\left( {X - a'} \right)}^2}}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - a'}}} \right) + \\ \frac{{\left( {X - a'} \right)Z}}{{a'}}\ln \left[ {\frac{{{Z^2} + {X^2}}}{{{Z^2} + {{\left( {X - a'} \right)}^2}}}} \right] \end{array} \right\}, \end{array} $

(22)

其中$i = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2,}&{X \ge a';}\\ {1,}&{X \le 0。} \end{array}} \right.$

当点位于0＜x＜a′区间时，侧向变形第2项的解析解为

$ \begin{array}{l} {{u'}_{{\rm{II}}}} = \int_0^X {\frac{{\left( {1 + \mu } \right)\left( {1 - 2\mu } \right)p\left( x \right)}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}E}}\left[ \begin{array}{l} {\rm{ \mathsf{ π} }} - \\ 2{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - x}}} \right) \end{array} \right]{\rm{d}}x} + \\ \;\;\;\int_X^{a'} {\frac{{\left( {1 + \mu } \right)\left( {1 - 2\mu } \right)p\left( x \right)}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}E}}\left[ \begin{array}{l} {\rm{ \mathsf{ π} }} - \\ 2{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - x}}} \right) \end{array} \right]{\rm{d}}x} = \\ \;\;\;\;\;\;\frac{m}{{a'}}\int_0^X {\left( {a' - x} \right)\left[ {\pi - 2{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - x}}} \right)} \right]{\rm{d}}x} + \\ \;\;\;\;\;\;\frac{m}{{a'}}\int_X^{a'} {\left( {a' - x} \right)\left[ { - \pi - 2{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - x}}} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;m\left\{ \begin{array}{l} - \frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}a'}}{2} - \frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{X^2}}}{{a'}} + 2{\rm{ \mathsf{ π} }}X - Z + \\ \frac{{{X^2} - {Z^2} - 2Xa'}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{X}} \right) + \\ \frac{{{Z^2} - {{\left( {X - a'} \right)}^2}}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{Z}{{X - a'}}} \right) + \\ \frac{{\left( {X - a'} \right)Z}}{{a'}}\ln \left[ {\frac{{{Z^2} + {X^2}}}{{{Z^2} + {{\left( {X - a'} \right)}^2}}}} \right] \end{array} \right\}, \end{array} $

(23)

对式(22)、式(23)的解析解进行统一，并结合泊松比为0.5时的Ⅱ型三角形荷载下的侧向变形公式，可得泊松比小于0.5时Ⅱ型三角形荷载下的侧向变形为

$ \begin{array}{l} {u_{{\rm{II}}}} = \frac{{\left( {1 + \mu } \right)zp}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}E}}\left\{ \begin{array}{l} \frac{{a' - x}}{{a'}}\ln \left( {\frac{{{x^2} + {z^2}}}{{{{\left( {x - a'} \right)}^2} + {z^2}}}} \right) + \\ \frac{{2z}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{x - a'}}{z}} \right) + 2 - \\ \frac{{2z}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{z}} \right) \end{array} \right\} - \\ \;\;\;\;\;m\left\{ \begin{array}{l} - \frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}a'}}{2} - \frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{{x'}^2}}}{{a'}} + 2{\rm{ \mathsf{ π} }}x' - z + \\ \frac{{{x^2} - {z^2} - 2xa'}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{z}{x}} \right) + \\ \frac{{{z^2} - {{\left( {x - a'} \right)}^2}}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{z}{{x - a'}}} \right) + \\ \frac{{\left( {x - a'} \right)z}}{{a'}}\ln \left[ {\frac{{{z^2} + {x^2}}}{{{z^2} + {{\left( {x - a'} \right)}^2}}}} \right] \end{array} \right\}, \end{array} $

(24)

其中$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' = a',}&{x \ge a';}\\ {x' = x,}&{0 ＜ x ＜ a';}\\ {x' = 0,}&{x \le 0。} \end{array}} \right.$

2.5 带状梯形荷载下的侧向变形

对于梯形荷载下的侧向变形解，原理与2.4节分析相似，可在式(18)、式(21)、式(24)的基础上进行平移然后叠加得出。如图 4所示的梯形荷载下，均布矩形荷载相对于坐标系没有变化，Ⅲ型三角形荷载相对于坐标系向左平移了a′+ b′/2个单位，Ⅱ型三角形荷载相对于坐标系向右平移了b′/2个单位，平移后2三角形荷载下的侧向变形公式如下：

$ \begin{array}{l} {u_{{\rm{III}}}} = \frac{{\left( {1 + \mu } \right)zp}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}E}}\left\{ \begin{array}{l} - 2 + \frac{{x + a' + b'/2}}{{a'}} \times \\ \ln \left[ {\frac{{{{\left( {x + a' + b'/2} \right)}^2} + {z^2}}}{{{{\left( {x + b'/2} \right)}^2} + {z^2}}}} \right] + \\ \frac{{2z}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{x + a' + b'/2}}{z}} \right) - \\ \frac{{2z}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{x + b'/2}}{z}} \right) \end{array} \right\} - m \times \\ \;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l} \frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{{\left( {x' + a' + b'/2} \right)}^2}}}{{a'}} - \frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}a'}}{2} + z - \\ \frac{{{{a'}^2} + {z^2} - {{\left( {x + a' + b'/2} \right)}^2}}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{z}{{x + b'/2}}} \right) - \\ \frac{{{{\left( {x + a' + b'/2} \right)}^2} - {z^2}}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{z}{{x + a' + b'/2}}} \right) - \\ \frac{{\left( {x + a' + b'/2} \right)z}}{{a'}}\ln \left[ {\frac{{{z^2} + {{\left( {x + a' + b'/2} \right)}^2}}}{{{z^2} + {{\left( {x + b'/2} \right)}^2}}}} \right] \end{array} \right\}, \end{array} $

(26)

其中$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' = - b'/2,}&{x \ge - b'/2;}\\ {x' = x,}&{ - \left( {a' + b'/2} \right) ＜ x ＜ - b'/2;}\\ {x' = - \left( {a' + b'/2} \right),}&{x \le - \left( {a' + b'/2} \right)。} \end{array}} \right.$

$ \begin{array}{l} {u_{{\rm{II}}}} = \frac{{\left( {1 + \mu } \right)zp}}{2}{\rm{ \mathsf{ π} }}E\left\{ \begin{array}{l} 2 + \frac{{a' + b'/2 - x}}{{a'}} \times \\ \ln \left( {\frac{{{{\left( {x - b'/2} \right)}^2} + {z^2}}}{{{{\left( {x - a' - b'/2} \right)}^2} + {z^2}}}} \right)\\ + \frac{{2z}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\frac{{x - a' - b'/2}}{z}\\ - \frac{{2z}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\frac{{x - b'/2}}{z} \end{array} \right\} - m \times \\ \;\;\left\{ \begin{array}{l} - \frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}a'}}{2} - \frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{{\left( {x' - b'/2} \right)}^2}}}{{a'}} + 2{\rm{ \mathsf{ π} }}\left( {x' - b'/2} \right) - z + \\ \frac{{{{\left( {x - a' - b'/2} \right)}^2} - {{a'}^2} - {z^2}}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{z}{{x - b'/2}}} \right)\\ + \frac{{{z^2} - {{\left( {x - a' - b'/} \right)}^2}}}{{a'}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{z}{{x - a' - b'/2}}} \right)\\ + \frac{{\left( {x - a' - b'/2} \right)z}}{{a'}}\ln \left[ {\frac{{{z^2} + {{\left( {x - b'/2} \right)}^2}}}{{{z^2} + \left( {x - a' - b'/2} \right)}}} \right] \end{array} \right\}, \end{array} $

(27)

其中$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' = b'/2 + a',}&{x \ge b'/2 + a';}\\ {x' = x,}&{b'/2 ＜ x ＜ b'/2 + a';}\\ {x' = b'/2,}&{x \le b'/2。} \end{array}} \right.$

讨论可得泊松比μ＜0.5时，带状梯形荷载下的侧向变形u为式(18)、式(26)、式(27)叠加之和

$ u = {u_I} + {u_{II}} + {u_{{\rm{III}}}}。$

(28)

上面3项进行平移后叠加使得表达式更加复杂，虽然表达式有利于在软件中编程使用，但实际操作中可以转换为uE/(zp)=k，其中k是与x/B, z/B有关的无因次量，其中B为不同荷载的底宽。对于梯形荷载下的无因次量，就是3部分荷载的无因次k值进行叠加。

3 侧向变形规律分析

主要讨论图 4中实线所示等效梯形荷载作用范围外地基的侧向变形规律，为了更直接的反应侧向变形与泊松比和荷载几何尺寸等变量间的关系，使用侧向系数uE/p来表示侧向变形。

3.1 侧向变形与泊松比的关系

如果假设地基为弹性体，外界荷载条件一定，那么从推导的侧向变形式(3)~式(28)可知，影响地基侧向变形大小的因素有弹性模量E和泊松比μ，但影响其侧向变形分布规律的只有泊松比μ。假定路基顶面等效宽度b′为13.4 m，路基等效高h′为6 m，路基荷载容重为20 kN/m³，采用式(28)分别计算泊松比为0.3、0.35、0.4、0.45、0.5时，坡脚处沿深度z的侧向变形。

从图 6可知，坡脚处沿深度z上各点的侧向变形随着泊松比的增加而增加，并且u_max所处的深度，随泊松比的增加而减小；在0.3~0.5的泊松比范围内，最大侧向变形的深度位置在0.85~0.5倍的荷载底面宽度B中变化。另一方面，当泊松比μ＜0.5时，地基表面一定范围内的侧向变形出现向内挤压的现象，出现内挤情况的原因是式(28)推导过程中把路基荷载简化成单一的竖向梯形荷载，并且把地基作为理想弹性体来计算。实际路基和地基两者都是柔性结构，路基填筑后，路基横断面中部的沉降大于两侧，当沉降差异到一定值后，产生土拱效应，除出现文献[13]中所述的竖向应力重分配外，也会产生水平推力，使得地表产生向外的水平位移；另外土体并非理想弹性体，当地基表层以下土体产生较大向外发展的侧向变形时，通过土颗粒之间的摩擦力和粘聚力可带动地表土体向外移动，所以在实际工程中，坡脚外地基表层土体的侧向变形很少出现向内发展的现象。这一点将在另文基于离心机模型试验和现场试验的结果的基础上予以进一步的讨论。

3.2 侧向变形与地基深度的关系

图 7所示是等效荷载高h′为6 m，等效顶面宽度b′为13.4 m，路基容重为20 kN/m³条件下，饱和土体(此时μ=0.5)加载瞬间，离坡脚外不同距离地基的侧向变形随深度的变化关系。从图 7可知，对于梯形荷载，如果弹性模量E为常数，那么各断面的u_max，随着与坡脚处距离的增加而向下移动，其值也有所增加，但u_max最后将趋于某个收敛值。

4 结论

1) 通过建立统一坐标系，分析得出地基泊松比μ为0.5时，天然均质地基在线性荷载、均布矩形荷载、三角形荷载及梯形荷载下内部各点的侧向变形解析解，在此基础上进一步推导出泊松比μ＜0.5时，上述荷载下的侧向变形解析解。该方法思路清晰，数学逻辑严密，最终的侧向变形解的计算式有利于计算机编程计算。

2) 在考虑路基边坡坡度和高宽比对地基反力影响下，采用文中的地基的侧向变形需与数值模拟以及现场的实测数据进行对比分析，以检验公式的适用性并进行适当的修正，此部分内容将在另文中进行探讨。