在塑性成形过程中，模具的优化设计十分重要，它影响着材料的流动、变形程度、应力、应变及模具磨损等诸多方面^[1]。所以，合理的模具轮廓不仅有利于工件形状的成形，也有利于模具本身服役期限的提高^[2]。近年来，模具设计人员结合经验和有限元模拟技术，可以比较准确地对模具的轮廓进行设计和优化，但是很难建立起控制模具结构的几何参数与优化目标之间的非线性关系，因此很难保证所给出的模具设计已经是最优或者较优方案，限制了模具设计技术的发展。

BP(Back Propagation)神经网络是1986年由Rumelhart和McCelland为首的科学家小组提出，是一种按误差逆传播算法训练的多层前馈网络。它能学习和存贮大量的输入与输出之间的映射关系，而无需事前揭示描述这种映射关系的数学方程，是目前应用最广泛的神经网络模型之一^[3-5]。Kim等^[6]将人工神经网络用于金属成形过程，采用3层神经网络，训练网络采用BP算法，利用神经网络函数逼近能力来决定初始工件使得模具型腔不填充体积最小，得到了优化的产品初始工件尺寸和模具型腔轮廊形状。人工神经网络的应用减少了有限元分析的计算量，但得到的优化轮廓只是局部最优解。

序列二次规划(SQP)算法是主要处理有约束非线性问题的一种常用优化方法，最早起源于20世纪60年代，它的思路是把复杂的优化问题变换为相关的简单子问题进行求解，这些子问题能够得到求解并且作为算法迭代计算过程中的基础，在当今随着计算机软硬件的不断创新得到了飞速的发展和应用^[7-8]。1973年，Zienkiewiez等^[9]发表了形状优化的第1篇文章“形状优化和序列线性规划”，首先提出了利用有限元模型来建立优化问题的近似模型，以有限元模型中的节点坐标为设计变量，采用序列线性规划法进行形状优化设计，打开了形状优化的新局面。但是在建立优化问题的近似模型时需要进行大量的有限元模拟，工作量比较大。

笔者针对轮毂锻模的上模芯磨损剧烈的问题，运用3次样条插值曲线描述上模芯成形部位的轮廓形状，并利用MATLAB编写了BP神经网络和SQP算法的程序分别用于建模和优化，最终获得了上模芯磨损情况最均匀时，上模芯成形部位的轮廓形状。

1 优化问题的描述

热锻模具处在温度高、承受工作压力大、摩擦剧烈等复杂的工作环境中^[10]，对于热锻模具磨损失效来说，模具的型面是一个重要的影响因素。本文针对某轿车轮毂锻模的上模芯磨损严重，导致模具寿命很短的问题，对上模芯的形状进行了优化，该轮毂终锻成形时的有限元模型如下图 1所示。

1.1 上模芯优化数学模型的确定 1.1.1 目标函数的确定

根据生产实践的统计，热模锻模具失效70%是由于模具磨损造成的^[11-12]。所以，在热锻生产过程中，如何降低磨损提高模具服役期限是模具设计人员最关心的问题之一。在生产现场，笔者观察到报废的轮毂锻模只是上模芯圆角处磨损严重，其他部位磨损较少。因此以降低模具局部磨损量过大为出发点，对上模芯的轮廓形状进行基于等磨损的优化设计。等磨损数学模型可以表示为

$ f=\min \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{w}_{i}}-\bar{w})}^{2}}}}, $

(1)

式中：i为节点号；w_i为第i个节点的磨损量；n为总的节点数；w为平均磨损量，$ \bar w=\ln \sum\limits_{i=1}^{n}{{{w}_{i}}} $。

1.1.2 设计变量的确定

由于磨损最严重的区域为成形上模芯的圆角部分，所以研究时，采用19个控制点的3次样条插值函数来描述该部位的轮廓形状^[13]，如图 2所示。建立该3次样条插值曲线时的边界条件取第一类边界条件，已知上模芯优化轮廓两端的一阶导数值分别为0和8.144 3，x₀=5.500 0 mm，x₁₈=8.926 6 mm，A₁=2 mm，A=10 mm。

根据该轮毂锻模上模芯的形状特点，在进行3次样条插值函数控制点的选取时在曲率半径大的部分取点密集些，即图 2中A₁部分均匀取11个控制点，其余部分均匀取8个控制点，且5.500 0 mm≤x_i≤x_i+1≤8.926 6 mm(注：A₁部分，y_i+1-y_i=0.2 mm；其余部分，y_i+1-y_i=1 mm)。

对得到的3次样条插值曲线运用有限元软件进行建模和数值模拟，结合BP神经网络和SQP算法，就可以对该轮毂锻模上模芯主要磨损部位的轮廓形状进行优化，具体的优化流程如图 3所示。

1.2 传统Archard磨损模型的修正

Archard磨损理论已经被广泛地应用到有关模具磨损的计算当中，传统的Archard理论模型认为：模具的磨损量与模具的硬度成反比，与模具和工件的相对滑移速度、模具受到的表面正压力以及磨损系数成正比，其数学表达式为^[14-16]

$ \text{d}w=K\frac{pv}{H}\text{d}t, $

(2)

式中：w为磨损量；K为磨损系数；p为表面正压力；v为相对滑移速度；H为模具硬度；t为滑移时间。

Lee和Jou假定对热锻和温锻Archard磨损理论依旧适用，但认为磨损系数和材料硬度是关于温度的函数，在这个基础上提出了修正的Archard磨损模型：

$ \text{d}w=K\left( T \right)\frac{pv}{H\left( T \right)}\text{d}t, $

(3)

对于模具材料为H13时，模具材料的硬度与温度的关系为

$ H\left( T \right)=9216.4{{T}^{-0.505}}, $

(4)

磨损系数与温度的关系为

$ K\left( T \right)=(29.29\ln T-168.73)\times {{10}^{-6}}, $

(5)

式中T为绝对温度。

结合有限元模拟中导出的温度、接触压力和滑移速度，运用修正的Archard磨损模型可以更精确地计算出3次样条插值曲线中各控制点处的磨损值，为接下来的BP神经网络建模作数据准备。

2 BP神经网络建模

对于针对目标函数的设计变量优化问题，必须建立起设计变量和目标函数直接的映射关系，但本文中设计变量(19个控制点的横坐标值)和目标函数(等磨损模型计算值f)之间很难写出具体显式的数学表达式，然而BP神经网络能够以暗箱的形式建立起它们之间的联系，因此这里就以BP神经网络来构建设计变量和目标函数之间的映射关系。

BP神经网络由输入层、隐含层和输出层构成，层与层之间采用不同的连接函数连接。理论证明，3层的BP神经网络能够以任意精度逼近任意非线性函数。因此，笔者通过3层的BP神经网络来构建19个控制点的横坐标值与等磨损模型计算值之间的映射关系。网络输入层为x₀~x₁₈这19个决定模具形状的控制点的横坐标值，即取19个神经元；网络输出层为等磨损模型计算值，即取1个神经元；隐含层取20个神经元。输入层和隐含层采用双曲正切S型tansig函数连接，隐含层和输出层采用线性purelin函数连接，建立的BP神经网络结构如图 4所示。

2.1 神经网络样本数据的生成

在MATLAB中随机生成25条3次样条插值曲线，然后在UG中建立各插值曲线所描述的模具模型，通过之前修正的Archard磨损模型可以计算出3次样条插值曲线中各控制点处的磨损量。MATLAB中生成的25条3次样条插值曲线以及任选其中一条曲线(例如第18号曲线)在UG中的建模如图 5所示。将每条曲线控制点处的磨损量运用等磨损数学模型进行计算，得到相对应的等磨损值，从而组成一个样本集, 样本集中各曲线对应的等磨损值如表 1所示。从样本集中选取20个样本作为训练样本，剩下的5个作为测试样本(4，8，12, 16, 20号曲线对应的等磨损值)。

2.2 BP神经网络的训练和测试

BP神经网络中训练参数的设置：网络学习速率为0.001，最大循环次数为2 000次, 最小期望误差为1×10^-5。神经网络经过69次训练后达到最小期望误差，此时网络收敛，图 6表示了BP神经网络的训练收敛过程。

为测试网络的泛化精度，将选取的5组测试样本输入训练好的BP神经网络模型中，将网络的输出结果与修正Archard磨损模型计算结果对比，两者的误差如表 2所示。可以看出网络输出与修正Archard模型计算结果的相对误差基本都控制在5%以内，说明经过训练的BP神经网络能够较好地反映输入与输出之间的关系，因此它可以作为后续优化的知识源。

3 SQP算法优化 3.1 上模芯轮廓形状的寻优

利用BP神经网络建立了成形上模芯外形轮廓控制点与模具等磨损目标函数之间的函数映射关系，进而可以采用SQP算法对问题进行寻优处理。SQP算法对问题优化的基本步骤如下。

1) 选定一个初始3次样条插值曲线作为算法迭代的开始计算点。本次研究选用的初始3次样条插值曲线为样本曲线中的第6号曲线，该曲线19个设计变量坐标组合是[x₀，x₁，…，x₁₈]=[5.500 0 6.504 2 6.854 4 7.097 4 7.285 2 7.438 0 7.566 0 7.675 3 7.770 1 7.853 0 7.926 2 8.190 6 8.354 5 8.475 2 8.572 9 8.654 9 8.732 2 8.818 4 8.926 6]mm。

2) 相关约束条件的确定。19个设计变量满足：5.500 0 mm≤x_i≤x_i+1≤8.926 6 mm(i=0，1，…，18)。

3) 设置相关计算参数。最大迭代步数1 000步，目标函数方程的最大收敛误差1×10^-6。

4) 算法开始迭代，根据迭代点不断更新Hessian矩阵，求解二次规划子问题，获得一个搜索方向d_k，并利用一维线搜索确定步长a_k，从而形成一个新的迭代点P_k+1=P_k+a_kd_k。

5) 判断结果的收敛情况。若收敛迭代终止，当前迭代结果即为目标函数最优解；若结果不收敛，则返回步骤4更新出迭代点算法继续运行直到计算结果收敛。

3.2 优化结果分析

以BP神经网络构建的函数映射作为寻优适应度函数，采用SQP算法进行优化设计。经过迭代运算后适应度函数值收敛，此时的设计变量值为[x₀，x₁，…，x₁₈]=[5.500 0 6.466 1 6.851 1 7.097 4 7.285 3 7.437 1 7.561 1 7.670 3 7.764 3 7.848 4 7.933 4 8.189 4 8.352 3 8.471 2 8.565 2 8.648 7 8.731 5 8.818 6 8.926 6]mm。

将优化后的设计变量作为之前训练好的BP神经网络的输入，得到此时网络输出的等磨损值为1.596 3×10^-4 mm，优化前后上模芯成形部位轮廓对比如图 7所示。

4 数值模拟验证

将优化后的设计变量进行3次样条插值，在UG中建立其所描述的模具轮廓模型然后利用DEFORM-2D进行有限元仿真计算，得到优化轮廓曲线中各控制点处的温度、相对滑移速度和接触压力，如图 8所示。

将其导入修正的Archard磨损模型可以计算出此时模具的等磨损为1.609 1×10^-4 mm，与神经网络输出的结果对比，误差约为0.8%，说明基于BP神经网络模型和SQP算法寻优得到的结果与修正的Archard磨损模型计算结果具有良好的一致性。并且与优化前的模具对比，最大磨损下降了12.5%，等磨损值下降了38.4%，磨损值减小且变得更均匀，有利于提高模具的寿命，优化前后上模芯成型部位磨损对比情况如表 3所示。

5 结论

1) 基于MATLAB平台，针对轮毂锻模磨损严重的上模芯成形部位，提出了19个控制点的3次样条插值函数的方法来描述其轮廓形状。

2) 建立了BP神经网络模型，以数值模拟和修正的Archard磨损模型得到的计算结果作为训练样本，网络训练后，经测试：网络输出与计算结果的相对误差基本都控制在5%以内，说明训练得到的BP神经网络模型能够较好地反映输入与输出之间的关系。

3) 采用SQP算法优化BP神经网络模型，最终得到最优的上模芯成型部位的轮廓形状，并与优化前的模型作对比，最大磨损值下降了12.5%, 等磨损值下降了38.4%，磨损量减小且更加均匀。经过数值模拟，验证了优化结果的正确性。