随着电力需求的不断增加和人们对环境问题的日益关注，利用可再生清洁能源的分布式电源研发投入逐渐增加，相关技术和配套设备基本成型，分布式发电一定会成未来智能电网和微型电网发展的一个重要组成部分。具有高供电可靠性的自动化智能配电网都要设计成可多路供电的多环网结构，可以在多种开环方式下运行，在负荷变化或出现故障时，配电网能根据预先设定的运行指标最优化自动地断开、关合相应线路联络形成新的开环运行结构^[1-3]。分布式电源的接入会使配电网的节点电压、网络损耗等发生较大变化，使得稳态电压、有功损耗不仅与节点负荷大小有关，还与DG的接入位置以及容量有关，因此有必要对DG的选址定容问题进行深入研究。

文献[4]利用改进多组织粒子群进行变电站选址定容优化得到较好的效果。文献[5]在这一算法基础上，提出利用混合模拟退火算法来改进算法。文献[6]提出将DG作为可调度设备，通过粒子群算法优化调度DG注入配电网功率。文献[7]对输出不稳定的分布式风力发电采用植物生长模拟算法(PGSA)进行优化规划。文献[8]对有新增负荷节点的配网拓扑结构固定的配电网，利用遗传算法对分布式电源的位置和容量进行初步优化，再对每个分布式电源位置和容量方案，利用基于支路交换的模拟退火算法进行经济性评估来衡量每个方案的优劣。

以上文献中研究DG的选址定容问题都是在固定的配电网结构下选取DG地址和容量，具有一定的片面性，只能搜索到该结构下的最优解^[9]，而不能得到全局最优解，笔者提出了DG的选址定容和配电网结构协同进行优化规划，利用Prüfer数对配电网结构进行编码，对DG地址和容量整数编码，将两者在同一染色体基因中协同进化以找到全局最优解，同时较好地解决了遗传算法计算量大、收敛速度慢的问题。

1 分布式电源的优化模型 1.1 优化指标

配电网规划要从全局上综合均衡多种相互制约的指标，并且受各种条件约束使得问题相当复杂^[10-12]，数学模型中可选择各种最佳指标，如线路有功损耗最小，运行费用最省，投资建设费用最小，供电电压质量，负荷均衡及综合目标函数^[13]等。笔者基于已有配电网结构的研究^[14-15]，假设分布式电站与配电网母线节点间线路距离为零；假设各处建设同等容量分布式电站建设费用相同；结合实际计划接入DG数量有限，并且不允许弧岛运行，所以选取线损减小和电压质量为目标函数^[16]，即

$\begin{split} f=α\sum^b_jR_j\frac{P^2_j+Q^2_j}{U^2_j}+β\sum^n_{i=1}{(U_{i\text{m}}-U_{i\text{mset}})}^2，\end{split}$

(1)

式中：α，β为相应指标所占权重，满足α+β=1；b为在运线路总数；n为负荷节点总数；R_j为线路j电阻；P_j，Q_j，U_j分别为线路j末端有功、无功、电压；U_imset为节点i额定电压标幺值；U_im为节点i运行时实际电压标幺值。

1.2 条件约束

1) 线路输送容量约束I_j < I_jmax，I_jmax为线路j最大长期允许电流。

2) 线路各节点电压约束：U_imix < U_i < U_imax，U_imix，U_imax分别为节点i运行中允许的最低、最高电压值。

3) 配电网可接入分布式电站的额定容量和实际建站数量在数学模型中作为等式约束。

2 Prüfer数编码改进的遗传算法 2.1 遗传算法

遗传算法已成为一种最常用的进化算法^[17]，在各个领域都有研究和应用，选择算子的择优概率保证算法向着适应度最大(指标最佳)有向搜索，交叉、变异算子的随机性保证算法的随机搜索性能，使其能逃离局部最优^[18]。算法最终收敛于全局最优解的前提是对解空间进行深度搜索和广度搜索中维持两者平衡，所以要慎重考虑遗传算法的编码方式、原始种群、算子参数等各组成部分^[19-20]。

将实际问题抽象建模，编码方式是最影响遗传算法性能的关键，其目标是实现表现型空间到基因型空间的完美映射，非法解问题是遗传算法中普遍存在的一个难题。处于正常运行状态的配电网呈辐射结构，配电网设计为闭环结构，当所有分段开关和联络开关闭合，支路用弧来表示，节点用顶点表示时所形成的结构就是图型结构^[21]。通过十进制编码^[22]启发，将图论中求解最小生成树问题的十进制节点号Prüfer数编码方式用于染色体编码，很好地解决了非法解问题。

2.2 编码、解码规则

对于一个顶点数为n无向安全连通图，其弧数为n(n-1)/2，可生成树的总数为n^n-2，可以用1到n的任意n-2个数的排列(Prüfer数^[23])唯一表示。由树到Prüfer数的编码方式如下：

1) 找出树T上编号最小的叶子结点i。

2) 把与结点i相连的结点j作为第一个编码数字，编码按从左到右的顺序进行。

3) 删除结点i和结点i到j的边，得到少一树支的新树。

4) 重复以上3个步骤直到剩下一条边，便完成了对该树的编码，即n-2个1到n之间的数字的排列。

同理，由一组Prüfer数可以解码产生唯一树，其过程如下：

1)A是一组Prüfer数，B是所有不包括在A的结点的集合，称为构造树的合格端点。

2) 从B中找出标号最小的合格端点i，j为A的最左边的数字，将i到j的边加到树上。将结点i从B中删除，并将Prüfer数中最左边的j删除，若A的剩余排列数中不再出现j，则j变为合格节点，加入到B中。

3) 重复第2步骤直到A中排列数为空。

4) 当A为空时，B中刚好有两个合格端点r，s，其中一结点已在形成的树上，最后将r到s的边加到树上，便解码完成得到的原始Prüfer数所表示的一棵n-1条边的树。

根据上述编码和解码规则可得图 1和图 2中树结构所对应的Prüfer数编码分别为{5，10，11，12，11，21，20，23，22，2，30，29，28，27，26，25，5，4，3，2，1，18，19，20，7，8，14，15，16，17}，{8，7，6，5，11，26，25，5，4，3，2，30，29，28，24，23，22，2，1，18，19，20，21，11，12，13，14，15，16，17}。读者可以验证上述编码和解码过程(此编码去除0节点)。这种编码方法与二进制编码方法相比，减少的基因位数为联络开关数(独立闭环总数)，故越复杂的配电网越能体现出Prüfer数编码的优势。

根据本文的假设和研究方向，对于给定的某个配电网，由于自然环境、能源分布及电网稳定等方面的约束，规划中不可能所有的负荷节点都适合建设分布式电站，所以只对假设规划可建站接入电网的节点进行编码。

对于配电网闭环图中不在环中的节点不进行编码，如IEEE33系统中的0节点，综上所述染色体基因长度为配电网所有开关闭合时处在环中的节点数量和可建分布式电站的节点数之和再减2。

2.3 选择、变异、交叉算子

为适应遗传算法的数学模型，将目标函数做如下处理变为适应度函数：

$g(x)=f_{\text{max}}-f(x)。$

(2)

对选择算子，按种群规模选择适应度最好的h(1~3) 个个体不进行杂交而直接成为下一代，为防止这种保优方法使进化算法陷入这些最优个体基因的局部最优，已选择的保优个体不再参与选择操作。选择算子能保证适应度g_i越好的个体被选中参与杂交遗传的概率P_i越大，选择概率如式(3)，M是种群规模，即

$\begin{split} P_i=g_i/\sum^{M-h}_{j=1}g_j。\end{split}$

(3)

杂交即将父代个体以概率P_c(取值范围为[0.40~0.99])互换部分基因形成两个新个体。本文交叉算子采用适合处理组合优化问题的一致交叉(均匀交叉)。通过屏蔽字来实现基因段一致交叉：根据交叉概率产生一个和基因位数相同的0、1字符串，1的个数表示进行交叉的基因位数，其数值跟据进化代数和群体适应度情况在迭代过程中适当选取，只有当基因位屏蔽字为1时，父代个体互换该位基因。

变异是为了保证算法不陷入局部最优而对杂交产生的新个体，以概率P_m(取值范围为[0.001~0.1])随机改变某少部分基因位上的基因。为保证变异操作不易产生非法解，根据Prüfer数编码的特点，对变异可采用如下3种改进算子，算法实现中以等概率形式选择。

1) 插入操作：任意选取一个基因位，将其移动到另一个同样是随机选取的基因位之后。

2) 变换操作：任意选取两个基因位，互换其基因值。

3) 逆向操作：任意选取一小段基因，将其值反置。

为适应算法在进化的不同阶段种群整体适应度的变化，维持合理的收敛速度和逃离局部最优的能力，算子参数采用适应能力随进化代数而变化的交叉概率P_c和变异概率P_m，其取值如式(4)、式(5)(t为进化代数，K为最大迭代次数)：

$P_\text{c}=0.6-0.2\frac{t}{K}，$

(4)

$ P_\text{m}=0.1-0.08\frac{t}{K}。$

(5)

2.4 非法解修复

非法解修复可分以下3个步骤进行。

1) 配电网的闭环结构并不是理想的完全图，因此，1到n之间任意n-2个数字的排列，就肯定存在非法解(包含实际不存在的支路)，如标准IEEE33节点系统为不完全图，可生成的树结构为50 751种，然而33个节点的完全图生成树总数为33³¹棵，两者之差即为非法解数量，占用大部分空间^[24-25]。Prüfer数编码的优势之一就是其有一种简单的判断非法解方法：在Prüfer数排列中带有端点的度的信息，在与编码一一对应的树中度为k的端点编码中刚好出现k-1次，而图和其生成树中结点的度只有少数几个不同。故首先进行度检查，用还没有达到度约束值的节点把不合格的节点以等概率方式替换掉。

2) 标准IEEE33节点系统闭环结构如图 3所示。根据Prüfer数编码、解码总是从最小标号开始的原则，如果一个所有节点度都为2的简单支路的各节点为自然数依次编号时，那么当此支路有一个节点成为叶子结点，其他节点的Prüfer数编码基因段就唯一确定。例如17和32节点间支路断开，则(16，15，14)，(28，29，30，31) 便为唯一确定的编码顺序；如27和28间的支路断开，那么(26，25，5) 为唯一确定的编码段。如果简单支路节点没有产生叶子结点则该简单支路对应的基因编码段唯有两种可能，如2和28支路无断开点，则(23，24，28) 或(23，22，2) 为两种可能的基因段。Prüfer数编码又一特点就是树中所有叶子结点都不出现在排列中，再按这一特点进一步对非法解做简单的调整修复。

3) 经过度检查修复和确定基因段修复之后非法支路数已经很少，Prüfer数解码后得到的一定是树型结构图，所以可通过初级树变换方式完成最终修复：初级树变换是用一条新支路c_j∈G\T替换树T₁⊂G中的一条旧支路c_i形成树T₂⊂G，可替换的新支路是一个集合(基本割集)。T₁，T₂是图G的生成树，定义d(T₁，T₂)=k为T₁，T₂的距离，其值为属于树T₁但不属于树T₂的支路总数，根据图论T₁可以经过k次初级树变换得到T₂。所以最后一步修复是将剩下的少数非法支路用相对应的基本割集中合法的支路通过初级树变换随机替换掉，得到可行解。

3 算法流程

1) 随机生成初始种群P(0)，并进行非法解检查修复。设置种群进化最大迭代次数K。进化代数t置零。

2) 评价种群P(t)个体适应度，新代种群个体数m置零。

3) 判断是否满足算法收敛条件，如满足退出循环输出结果，否则执行保优策略，令m=h，转第4步。

4) 利用选择算子从其他父代中选取两个个体按杂交算子产生两个新代个体。

5) 对4步中的两个新个体进行变异算子操作。

6) 4，5步产生的两个已经进行过可行解检查修复新个体成为下一代，m=m+2。

7) 如果m < M，转到第4步，否则t=t+1，返回第2步。

4 验证分析

采用标准IEEE33节点系统验证分析本文算法，分布式电源注入功率一般不得超过配网容量的20%^[2-3]。假设通过可行性研究适合建分布式电站的节点有10个(6、9、11、14、16、20、24、26、29、31)，规划建设3到5个分布式电站；这里只考虑恒功率的分布式电源以方便简化计算、验证算法，如燃汽轮机，以PQ节点处理，功率因数为0.9；假设每组分布式发电机的额定容量为100 kV·A，可建机组总数为12组。

由本文编码方法，染色体基因位数为40，前30位为由配电网开环树结构的Prüfer数编码，后10位为10个适合建站的节点对应的整数编码位，由于各种因素限制，分布式电源容量不可能太大，计算中假设最大容量为400 kV·A。0表示不建电站，2表示建200 kV·A额定容量的电站，3表示建300 kV·A额定容量的电站^[26]。潮流计算采用前推回代计算方法^[27]。

算法中初始种群规模M=100，保优数h=2，最大进化代数设置为K=100，目标函数中网损和电压质量的权重系数设置为α=0.8，β=0.2。表 1为几种不同编码遗传算法优化结果的比较。

表 2是与其他编码的遗传算法进化稳定时的代数比较，图 4是迭代过程中目标函数的收敛曲线。结果表明以节点号进行Prüfer数编码的遗传算法由于不可行解容易修复使行计算速度得以提高，搜索空间的缩小和改进的遗传算子使收敛速度快，进化代数少，并能搜索到最优的解。因此，本文算法能够为分布式电源选址定容问题提供更加优良的候选方案。

5 结论

1) Prüfer数编码的染色体基因位比开关二进制编码长度短，染色体基因相同段清晰明了，对交叉、变异操作的禁忌原则容易控制非法解的产生和修复，保证算法始终在可行解空间内搜索，充分结合并有效利用遗传算法的优势，提高了其计算和收敛速度。

2) 笔者提出的编码方法在很好地完成了分布式电源的优化规划的同时综合解决了配电网结构的优化问题。算法完善了以往文献中遗传算法由于编码方式的局限性只从单方面进行寻优，从而只得到固定条件下的局部最优方案的不足，本文方法可搜索到全局最优方案。