系统与外界的信息交互，很大程度依赖于模电信号的采集、传输、滤波、放大、转换等过程。作为这些过程的实施主体，模拟电路是许多复杂系统的基本构件，其可靠性直接影响着系统能否稳定、安全的运行。因此，对模拟电路进行的故障诊断一直是电子工业的研究重点。

鉴于故障模型匮乏、电路元件非线性等因素的影响，模拟电路被视为最不稳定的可测系统^[1-3]，其故障诊断依然存在诸多难题。例如外界噪声的随机干扰、无故障元件偏离其容限允许程度的未知性以及软故障的不确定性等问题，给准确地诊断模拟电路故障带来很大困难。

经过十多年的发展，国内外众多专家学者针对芯片级、板级、系统级的模拟电路，开展了大量富有成效的研究^[4-13]。其中的大部分研究聚焦于利用小波分析作等信号处理技术进行故障特征提取，并通过神经网络等智能方法进行故障分类器设计。文献[3, 5-7]将模拟电路输出响应直接作为神经网络的输入，使得网络结构复杂，训练时间过长，诊断准确率较低。文献[8]依据模拟电路不同的故障类型，将其划分为不同的子模块，每个子模块采用相同类型的神经网络实现故障诊断，并使用主元分析减少各个神经网络的输入维数，在降低网络复杂性的同时，也使诊断准确率有所提高。在文献[2, 6]中，作者从故障电路响应中抽取低频小波系数作为故障特征，在采用主元分析降维后提交给神经网络，使网络的复杂性在一定程度上有所降低。文献[13]将小波系数的能量值作为故障特征，极大降低神经网络的复杂性，但能量数值很小，造成故障特征的类间距离较小，类内距离较大，故障分类效果并不理想。而文献[12]的诊断结果虽然很好，但未给出具体的能量算式。此外，综观上述诊断方法，依然有以下值得探讨的问题：

1) 上述方法在采用小波系数(或能量值)作为故障特征时，考虑到随后故障分类中神经网络的复杂性，通常舍弃故障响应的细节信息而选取表征其基本结构的近似小波系数(或能量值)作为故障特征。从信息完整的角度来看，遗弃的高频系数对特征信息的完整表达是有价值的，因而在故障特征提取过程中有必要将其考虑在内。

2) 上述方法通常采用诸如BP、RBF等前馈网络作为故障分类器。这些网络并不具备动态特性，仅完成从输入空间到输出空间的固定权值映射，在一定程度上使网络对个别器件的软故障不灵敏，造成故障漏报。.而动态递归网络依据统计力学原理，通过反馈方法在非线性单元中对网络初始态和终态进行一系列处理，使网络在权值调整过程中，除显示稳定状态外，还产生并存储时空模式，因而在模式识别的故障分类中能取得良好效果。

针对上述问题，提出一种采用小波包分解和Hopfield网络分别作为故障特征提取和故障分类器的模拟电路故障诊断方法。该方法通过数据采集板与SPICE仿真分别获得模拟电路的实际输出响应和理想输出响应，将两类信号在小波包机制下完整分解。为使故障特征具有良好可分性，定义一种新的能量函数来计算各小波系数的能量值，并将这些能量值合并成向量以作为故障特征。在完成对各故障特征向量的能量编码后，将故障编码提交给Hopfield网络以实现准确的故障分类。以线性电路和非线性电路的软、硬故障为例的数值实验表明：模拟电路的故障响应与正常响应特征之间，以及各故障响应特征之间可分性良好，特征向量充分涵盖了各类故障本质信息；对各故障特征的Hopfield编码使得通过Hopfield网络所进行的故障诊断，具有快速、准确的效果。

1 故障诊断方法

基于小波包分析和Hopfield网络的模拟电路故障诊断方法如图 1所示。该方法的体系结构分为数据获取、特征提取与故障分类3部分。

在数据获取模块中，模拟电路的输出响应分别通过SPICE仿真与连接在实际电路终端的数据采集板进行数据采样，以获得理想输出响应数据集和实测输出响应数据集；在特征提取模块中，理想与实测的电路输出响应分别作为训练与测试数据集进行小波包分解，在进行能量计算获得的能量值的基础上，将这些能量值构成相应故障的特征向量；在故障分类模块中，各样本的特征向量经过Hopfield编码后提交给Hopfield网络以实现准确、迅速的故障分类。

1.1 能量计算与能量编码

作为小波分析的延伸，小波包分析^[14-15]通过尺度变换，将电路输出响应分解为以近似系数表征的低频成分和以细节系数表征的高频成分。小波变换可描述为母小波的尺度变换与平移变换，即

$ {\mathit{\boldsymbol{\psi }}_{a,b}}\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt a }}\mathit{\boldsymbol{\psi }}\left( {\frac{{x - b}}{a}} \right), $

(1)

这里：ψ_{a, b}(x)表示母小波函数；a与b分别代表变换的尺度和平移因子。电路响应I(x)的对应小波系数可表示为

$ \mathit{\boldsymbol{C}}\left( {a, b} \right) = \left\langle {{\mathit{\boldsymbol{\psi }}_{\mathit{a, b}}}\left( x \right), \mathit{\boldsymbol{I}}\left( x \right)} \right\rangle = \frac{1}{{\sqrt a }}\int {\mathit{\boldsymbol{I}}\left( x \right)\mathit{\boldsymbol{\psi }}\left( {\frac{{x - b}}{a}} \right)} \;{\rm{d}}x, $

(2)

在实际的工程应用中，通常使用离散二进制小波变换，以实现计算机中的高效运算。为此，需将式(2)中的尺度因子与平移因子分别设置为a=2^j和b=k2^j。根据多分辨思想，电路响应I(x)在各个尺度上被小波包分解为低频的近似系数和高频的细节系数。

通过分析电路响应的小波系数，可获得统计直方图、均方差、协方差矩阵、能量值等统计信息^[16]，用以描述故障特征。其中，通过对小波系数实施能量计算所获得的能量值是一种高效的故障特征描述方式。借助小波能量值，可在能量空间中对具有不同频率的故障特征进行更加细致的区分。在利用离散小波变换分析时间序列的报告中，Morchen^[17]将小波系数的能量值定义为

$ {\mathit{\boldsymbol{E}}_{m, n}}\left( x \right) = \sum\limits_{i = 1}^N {{{\left| {{\mathit{\boldsymbol{C}}_i}^{m, n}\left( x \right)} \right|}^2}} = \left\| {{\mathit{\boldsymbol{C}}_i}^{m, n}\left( x \right)} \right\|_2^2, $

(3)

此处，m为小波分解的尺度，n为在尺度m下的小波树节点个数，在小波节点(m, n)处的小波系数长度用N表示。Ekici等^[20]对式(3)的定义进行了推广

$ {\mathit{\boldsymbol{E}}_{m, n}}\left( x \right) = \sum\limits_{i = 1}^N {{{\left| {{\mathit{\boldsymbol{C}}_i}^{m, n}\left( x \right)} \right|}^p}} = \left\| {{\mathit{\boldsymbol{C}}_i}^{m, n}\left( x \right)} \right\|_p^p, $

(4)

其中，1≤p≤∞。实际上，上述研究^{[12-13, 16, 18-19]}大多采用式(3)进行能量计算。然而，采用该定义得到的能量特征可分性较差，使得同一类别的能量特征相距较远，不同类别的能量特征相距较近。虽然式(4)表示的能量可通过改变p值提高特征的可分性，但p值的确定在很大程度上取决于研究者的经验，且当故障对象改变时，当前的p值也需随之更改，通用性较差。为此，给出一种新的小波系数能量定义

$ {\mathit{\boldsymbol{E}}_{m, n}}\left( x \right) = \left\| {{\mathit{\boldsymbol{C}}_i}^{m, n}\left( x \right)} \right\|_2^2{N^{ - 1}}\sum\limits_{i = 1}^N {\exp \left| {\mathit{\boldsymbol{ - }}\frac{{{\mathit{\boldsymbol{C}}_i}^{m, n}{{\left( x \right)}^2}}}{2}} \right|, } $

(5)

通过式(5)计算得到的各小波系数能量值组合在一起便构成相应的电路响应特征向量。为提高诊断的快速性，这些特征向量还需按照如图 2所示的规则进行能量编码。

在图 2中，向量A∈R^m×1由特定实测故障响应的能量值构成，矩阵B∈R^m×n由所有理想故障响应的能量值构成(n表示已知的故障种类数，m表示在特定故障下，相应电路响应的所有小波系数能量值拼接构成的向量维数)，C∈R^m×n表示最终获得的实测故障所对应的编码矩阵。该编码过程是一个全局搜索的过程，准确地刻画了不同故障特征能量值所对应的编码状态。

1.2 离散Hopfield神经网络

Hopfield神经网络是一种异步非线性动态系统，系统的相空间由表示网络原型状态的稳定点(吸引子)构成，通过系统局部单元之间的相互作用，网络的整体动态特性得以体现(集体涌现)^[21]。在网络运作过程中，提交给网络的响应为相空间的起始点，若起始点“接近”记忆检索的稳定点，则动态系统将随时间演化到该记忆状态，即系统状态的相空间流转换到该记忆状态。因此，Hopfield网络可执行在动态稳定环境中模式识别的功能^[22-23]。图 3给出典型的离散Hopfield神经网络结构，其神经元在架构上采用McMulloch-P_itts模型^[24]，激活函数为硬限幅函数，任意时刻的神经元状态只能是“+1”或“?1”。

对于图 3中的每一神经元，线性组合器的输出可表示为

$\begin{array}{*{20}{l}} {{v_i}\left( k \right) = \sum\limits_{j = 1}^n {{\mathit{\boldsymbol{w}}_{ij}}{x_j}\left( k \right)} - {\theta _i}\left( k \right) = }\\ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{w}}_i^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{x}}\left( k \right) - {\theta _i}\left( k \right),} \end{array} $

(6)

其中：x(k)=[x₁(k), x₂(k), …x_n(k)]^T是网络的状态(提交给网络的故障特征编码)；θ_i(k)是外部应用阈值。对于i=1, 2, …, n，每一线性组合器输出传给对称硬限幅激活函数与单元延迟单元。任意神经元的单元延迟输出x_j(k)作为反馈给其他神经元的输入，但并不反馈给自己。也就是当i=j时，w_ij=0，而其他神经元的状态可表示为

$ {x_i}\left( {k + 1} \right) = {\mathop{\rm sgn}} \left( {{v_i}\left( k \right)} \right) = \left\{ \begin{array}{l} + 1\;\;{v_i}\left( k \right) > 0\\ - 1\;\;{v_i}\left( k \right) < 0 \end{array} \right., $

(7)

因此，网络输出的矢量形式为

$ {x_i}\left( {k + 1} \right) = {\mathop{\rm sgn}} \left( {\mathit{\boldsymbol{Wx}}\left( k \right) - \theta \left( k \right)} \right), $

(8)

此处，θ(k)=[θ₁(k), θ₂(k), …, θ_n(k)]^T，W∈R^n×n。在存储阶段，网络的联想记忆由相关矩阵记忆的外积规则建立。假定r个原型记忆的集合{${\varphi _1}$,${\varphi _2}$，$ \cdots $,${\varphi _r}$}，则网络权值可由下式计算

$ \mathit{\boldsymbol{W = }}\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^r {{\varphi _h}\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_h^{\rm{T}}} - \frac{r}{n}\mathit{\boldsymbol{I}}\mathit{, } $

(9)

其中，I为同型的单位矩阵。在回忆阶段, 提交测试输入向量x′∈R^n×1给网络，初始化具有未知输入值的网络状态x(k)|_k=0=x(0)=x′。运用式(8)，状态向量x(k)异步更新，直到向量元素没有变化为止。此时，稳定状态x_e就是网络输出。

2 案例电路与方法应用

本节以Sallen-Key带通滤波器和非线性整流电路为例，应用提出的方法进行故障诊断。其中，前者主要考察软故障模式，后者主要考察硬故障模式。

2.1 故障电路

案例1  故障电路如图 4所示，为一个中心频率在25 kHz的Sallen-Key带通滤波器。假定该电路中各个电容与电阻的容限分别为10%和5%。若R₂、R₃、C₁、C₂中的任一器件低于/高于其正常值的50%，而其他电阻和电容都在其允许的容限范围内工作，则Sallen-Key滤波器输出相应的8种故障响应：R₂⇓、R₃⇓、C₁⇓、C₂⇓、R₂⇑、R₃⇑、C₁⇑、C₂⇑之一。这里，⇓和⇑分别表示低于正常值的50%与高于正常值的50%。

案例2  故障电如图 5所示，为一个将AC电源转化为DC电源的非线性整流电路。若电路中D₁、C₁、C₂、C₃任一器件断路/短路，且其他器件正常工作，则该电路输出相应8种硬故障：D₁^°、D₁·、C₁^°、C₁·、C₂^°、C₂·、C₃^°、C₃·之一。这里，符号^°和·分别表示相关器件处于断路和短路状态。

2.2 数据采集

针对Sallen-Key滤波器和非线性整流电路，分别施加脉冲激励(周期10 μs，幅值5 V)和正弦波激励(频率，幅值10 V)。在不同故障模式下，2种电路的理想输出响应由SPICE仿真得到，实际输出响应通过位于电路终端的数据采集卡采样获取。数据采集卡的采样率为500 Ks/s，采样时间为10 ms。

2种电路在不同故障模式下的理想与实测输出响应由图 6给出(NF表示正常的输出响应)。从图 6(a)和(a)式(3)定义下的实测响应能量分布(b)式(5)定义下的理想响应能量分布(c)式(5)定义下的实测响应能量分布(a)式(3)定义下的实测响应能量分布(b)式(5)定义下的理想响应能量分布(c)式(5)定义下的实测响应能量分布(b)可明显看出，在软故障情形下，正常输出响应与故障输出响应之间差异并不明显，需采用有效方法提取出相关的故障特征以实现准确的故障诊断。

2.3 特征提取

在得到上述电路的输出响应后，采用Haar小波基对其进行层数为3的小波包分解。籍此得到的高频和低频小波系数，并按照式(5)给出的定义进行能量计算。需要说明的是，为验证新能量定义的有效性，上述小波系数根据式(3)同样也进行了能量计算，以此获得相应的对比结果。图 7和图 8分别给出由此得到的Sallen-Key带通滤波器和非线性整流电路的能量值分布。其中，图 7(a)~(c)中的F₁，…，F₈分别表示C₁⇓、C₂⇓、R₂⇓、R₃⇓、C₁⇑、C₂⇑、R₂⇑、R₃⇑；图 8(a)~(c)中的F₁，…，F₈分别表示C₁·、C₂·、C₃·、D₁·、C₁^°、C₂^°、C₃^°、D₁^°；NF均表示无故障。图 7(a)所示的能量特征子空间中，能量值集中分布在小波树节点(3，0)处，而其他位置的能量幅值都很小，且彼此相对差值较小，不易区分。类似地，在图 8(a)所示的能量特征子空间中，除第6种故障在各个尺度的能量特征存在较为明显的差别外，其他故障的能量值分布均无明显差别。

众所周知，不同故障之间或故障与正常状态之间的特征数值差别越大，不同故障之间或故障与正常状态之间的模式分类就越明显，这样的故障特征就越有利于故障诊断。从这一点来说，式(3)描述的能量计算在故障特征提取的过程中是失效的。相反，按提出的能量算子而得到的能量特征，在各个小波树节点的能量值区分较为明显。此外，该能量算子的性能也较为稳定，图 7(a)和图 8(a)中能量值的数量级分别为10³和10⁵，而图 7(b)~(c)和图 8(b)~(c)中能量值的数量级均为10¹。

2.4 故障分类

由于离散Hopfield神经网络中神经元的状态只能为“?1”或“+1”，要实现快速准确地故障诊断，还需要对故障特征空间中的各元素进行编码，此过程可理解为在“编码准则”下的数据“归一化”。图 9和图 10分别给出Sallen-Key滤波器和非线性整流电路在1.1节描述的编码准则下的实测故障特征编码。图中红色棱形部分表示“+1”，其余蓝色部分表示“-1”。值得指出的是，图 9中F₁，…，F₈分别表示C₁⇓、C₂⇓、R₂⇓、R₃⇓、C₁⇑、C₂⇑、R₂⇑、R₃⇑；图 10中的F₁，…，F₈分别表示C₁·、C₂·、C₃·、D₁·、C₁^°、C₂^°、C₃^°、D₁^°；(3，7)分别表示相应小波节点的状态。

图 9和图 10中所示的实测故障特征编码被当作“记忆初始点”(网络输入)提交给Hopfield神经网络，而2种电路在SPICE仿真下(理想情形)的故障特征编码则被当作“记忆稳态”(网络目标向量)提交给Hopfield网络。

在设定好合适的时间步长后故障空间中的实测故障特征编码在Hopfield网络自联想记忆驱动下，朝预定的记忆稳态(故障记忆原型)演化，最终使得网络输出为记忆原型中的某个稳定状态，进而实现快速准确的故障分类。具有软故障的Sallen-Key滤波器和具有硬故障的非线性整流电路，通过应用本文所提方法所得到的诊断结果分别显示在图 11和图 12中。需要说明的是，在图 11所示的诊断结果中，F₁，…，F₈分别表示C₁⇓、C₂⇓、R₂⇓、R₃⇓、C₁⇑、C₂⇑、R₂⇑、R₃⇑。当待诊断的Sallen-Key带通滤波器发生其中某种故障时，F₁，…，F₈所对应的列元素被激活，并被设置为“+1”，由图 11中的绿色方块表示；而未被激活的其余元素依然保持为“-1”，由图 11中的红色方块表示。类似地，图 12中的F₁，…，F₈分别表示C₁·、C₂·、C₃·、D₁·、C₁^°、C₂^°、C₃^°、D₁^°8种故障。当非线性电路发生其中的某种故障时，在图 12中相应的故障位置上，处于小波树节点(3，0)，…，(3，7)的能量值被激活为“+1”，其余未发生的故障位置处的能量值被设置为“-1”。

从图 11和图 12可清晰地看出，Sallen-Key带通滤波器软故障的诊断结果和非线性电路硬故障的诊断结果与其各自提交给Hopfield神经网络的故障编码类型是一致的。也就是说，2种电路的不同故障能量特征在Hopfield神经网络中得到了准确的分类。

3 结果分析

事实上，故障特征提取的有效性对于故障诊断结果的准确性有着重要影响。当不同种类故障的特征数值之间差异较大，并且这些故障的特征数值与正常状态的特征数值之间也存在较大差异时，所提取到的故障特征对于准确地实现故障诊断就越有利。就故障特征提取而言，图 7和图 8所示的能量特征分布清晰地显示出，能量函数能较好地刻画两种电路的软/硬故障特征。

对于故障分类，通过将上述两种电路的理想故障特征和实测故障特征分别定义为联想记忆中的记忆原型与记忆的起始点。在Hopfield神经网络的驱动下，这些起始点随时间收敛到记忆原型，从而实现故障分类。此外，由于Hopfield神经网络并不需要训练，只要确定网络的记忆原型(稳定点)便可实现故障诊断。从这一点来说，在同样的能量特征描述下，采用Hopfield神经网络的故障诊断方法在时间花销上远远低于采用前馈类型的神经网络。更为重要的是，Hopfield神经网络中记忆原型的确定，仅需根据故障能量特征维数设置为“+1”或“-1”，相比于前馈神经网络选择合适的目标函数更为方便。从这一点来说，Hopfield神经网络无需考虑网络输入的复杂性。而在采用前馈神经网络的故障诊断中，当输入数据维数过高，为降低网络的复杂性，必须考虑采用诸如PCA这类方法进行降维。

从实际的2种电路的故障诊断结果来看，对于Sallen-Key滤波器的软故障和非线性整流电路的硬故障，故障诊断的准确率都达到100%，为进一步说明方法的有效性，对上述2种电路按文献[2]、文献[3]、文献[12]、文献[13]所提方法进行了故障诊断。相关的故障诊断结果由表 1给出。

4 结论

将小波包分析和Hopfield神经网络应用于模拟电路的故障诊断之中，并通过定义新的能量函数及其能量编码规则，有效提高故障诊断的准确性。在所提诊断方法中，通过SPICE仿真和电路终端的数据采集板分别获取理想和实际情形的故障响应；通过3层的小波包分解提取故障响应的完整小波系数，并利用新定义的能量函数计算各小波系数的能量值，以构成故障输出响应的故障特征向量；在对故障能量特征实施能量编码后，理想和实测的故障编码分别作为记忆原型和记忆起始点提交给Hopfield神经网络；最终借助自联想记忆快速准确地诊断出故障。在具有软故障的Sallen-Key滤波器和具有硬故障的非线性整流电路的实际案例分析中，新定义的能量函数合理有效，对软故障和具有微弱信号的硬故障模式所提取的特征区别明显，以Hopfield神经网络为诊断器所进行的故障诊断具有较高的准确率。