风电增速齿轮箱是风力发电机组的关键部件，它受无规律变向载荷的风力作用，在强阵风冲击的变载荷条件下工作，这使各路行星轮传递的功率分配更加不均匀，而均载是行星齿轮传动系统中需要解决的首要问题。人字齿轮因具有重合度高、轴向载荷小、承载能力高、工作平稳性好等优点，在船舶等重型机械传动系统中得到广泛应用，但风电增速齿轮箱常采用直齿行星传动，人字行星传动还鲜有报道。

国内、外许多学者对行星传动行星轮均载分析做了较深入的研究。朱增宝等^[1-10]对行星传动的动态和静态均载特性进行了理论和实验研究，考虑不同误差种类对系统均载特性的影响。Sondkar Prashant等^[11-14]将人字齿轮当成2个斜齿轮来处理，分析了其动力学特性，考虑了左右端斜齿轮交错角的影响。对于均载特性的研究，主要集中在直齿、单斜齿行星传动等方面；而对人字齿轮的研究，主要是把人字齿轮当做直齿轮来处理，也有将其处理成2个斜齿轮来计算，但未对均载特性分析。

笔者把人字齿轮当作左右2斜齿轮耦合而成，由于在斜齿轮传动过程中，轮齿的啮合会产生轴向的动态啮合分力，因此系统具有扭转振动和横向振动外，还会引起轴向振动，从而形成了人字齿轮系统的啮合型弯-扭-轴耦合振动模型。通过分析左右端交错角和耦合扭转刚度对均载特性的影响，从而为进一步对风电增速齿轮的传动设计提供依据。

1 齿轮传动系统的动力学模型

典型的风电增速齿轮箱的传动系统如图 1所示，输入扭矩通过行星架C传递给太阳轮S。基于集中质量参数法建立人字行星传动系统的动力学模型，模型中还考虑各个齿轮副的时变啮合刚度、啮合阻尼和啮合误差的影响。

图 2是太阳轮左右端斜齿轮耦合关系，行星轮与内齿圈的耦合关系相似于太阳轮，图 3是传动系统以行星架转速w_c为动坐标的动力学模型，其中K_spi、C_spi和e_spi分别为太阳轮与行星轮的啮合刚度、啮合阻尼和啮合误差，K_rpi、C_rpi和e_rpi分别为内齿圈与行星轮的啮合刚度、啮合阻尼和啮合误差。在图中，K_s12、K_p12和K_r12分别为太阳轮、行星轮和内齿圈左右2端斜齿轮之间的轴向刚度，K_ct和K_rt分别为行星架和内齿圈的切线支撑刚度，K_s、K_p和K_r分别为太阳轮、行星轮和内齿圈的径向支撑刚度，K_sa、K_pa和K_ra分别为太阳轮、行星轮和内齿圈的轴向支撑刚度，K_1t、K_2t和K_3t分别为太阳轮、行星轮和内齿圈之间的耦合扭转刚度。

此时，该人字行星传动系统共有17+8N个自由度，N为行星轮的个数，系统广义坐标X为

$\boldsymbol{X} = \left[ \begin{array}{l} {x_{{\rm{s}}1}},{y_{{\rm{s}}1}},{z_{{\rm{s}}1}},{\theta _{{\rm{zs}}1}},{x_{{\rm{s2}}}},{y_{{\rm{s2}}}},{z_{{\rm{s2}}}},{\theta _{{\rm{zs2}}}},{x_{{\rm{p}}i1}}\\ {y_{{\rm{p}}i1}},{z_{{\rm{p}}i1}},{\theta _{{\rm{zp}}i1}},{x_{{\rm{p}}i2}},{y_{{\rm{p}}i2}},{z_{{\rm{p}}i2}},{\theta _{{\rm{zp}}i2}},{x_{{\rm{r1}}}}\\ {y_{{\rm{r1}}}},{z_{{\rm{r1}}}},{\theta _{{\rm{zr1}}}},{x_{{\rm{r2}}}},{y_{{\rm{r2}}}},{z_{{\rm{r2}}}},{\theta _{{\rm{zr2}}}},{\theta _{{\rm{zc}}}} \end{array} \right],$

(1)

在广义坐标中，x_s、y_s和z_s分别表示行星传动太阳轮的横向微位移、纵向微位移和轴向微位移，θ_zs表示太阳轮沿轴向的转动角度；x_pi、y_pi和z_pi分别表示行星传动行星轮i的横向微位移、纵向微位移和轴向微位移，θ_zpi表示行星轮i沿轴向的转动角度；x_r、y_r和z_r分别表示行星传动内齿圈的横向微位移、纵向微位移和轴向微位移，θ_zr表示内齿圈沿轴向的转动角度；θ_zc表示行星架沿轴向的转动角度；下标1和2分别代表人字齿轮的左端和右端。

2 系统的动力学方程

设δ_spi1、δ_spi2和δ_rpi1、δ_rpi2为传动系统第i个行星轮与太阳轮和内齿圈沿啮合线的等效左右端的微位移，则

$\left\{ \begin{array}{l} {\delta _{{\rm{sp}}i1}} = \left[ {{x_{{\rm{s}}1}}\sin {\psi _{{\rm{sp}}i}} - {x_{{\rm{p}}i1}}\sin {\alpha _{{\rm{sn}}}} + {y_{{\rm{s}}1}}\cos {\psi _{{\rm{sp}}i}} - {y_{{\rm{p}}i1}}\cos {\alpha _{{\rm{sn}}}} + {r_{\rm{s}}}{\theta _{{\rm{zs1}}}} + {r_{{\rm{p}}i}}{\theta _{{\rm{zp}}i1}}} \right] \\ \cos {\beta _{\rm{b}}} + \left( { - {z_{{\rm{s1}}}} + {z_{{\rm{p}}i1}}} \right)\sin {\beta _{\rm{b}}} + e_{{\rm{sp}}i}^{\left( 1 \right)}\left( t \right)\\ {\delta _{{\rm{sp}}i2}} = \left[ {{x_{{\rm{s2}}}}\sin {\psi _{{\rm{sp}}i}} - {x_{{\rm{p}}i2}}\sin {\alpha _{{\rm{sn}}}} + {y_{{\rm{s2}}}}\cos {\psi _{{\rm{sp}}i}} - {y_{{\rm{p}}i2}}\cos {\alpha _{{\rm{sn}}}} + {r_{\rm{s}}}{\theta _{{\rm{zs2}}}} + {r_{{\rm{p}}i}}{\theta _{{\rm{zp}}i2}}} \right] \\\cos {\beta _{\rm{b}}} + \left( {{z_{{\rm{s2}}}} + {z_{{\rm{p}}i2}}} \right)\sin {\beta _{\rm{b}}} + e_{{\rm{sp}}i}^{\left( 2 \right)}\left( t \right)\\ {\delta _{{\rm{rp}}i1}} = - {x_{{\rm{r1}}}}\sin {\psi _{{\rm{rp}}i}} + {x_{{\rm{p}}i1}}\sin {\alpha _{{\rm{rn}}}} + {y_{{\rm{r1}}}}\cos {\psi _{{\rm{rp}}i}} - {y_{{\rm{p}}i1}}\cos {\alpha _{{\rm{rn}}}} + {r_{\rm{r}}}{\theta _{{\rm{zr1}}}} - \\ {r_{{\rm{p}}i}}{\theta _{{\rm{zp}}i1}}\cos {\beta _{\rm{b}}} + \left( {{z_{{\rm{r1}}}} + {z_{{\rm{p}}i1}}} \right)\sin {\beta _{\rm{b}}} + e_{{\rm{rp}}i}^{\left( 1 \right)}\left( t \right)\\ {\delta _{{\rm{rp}}i2}} = - {x_{{\rm{r2}}}}\sin {\psi _{{\rm{rp}}i}} + {x_{{\rm{p}}i2}}\sin {\alpha _{{\rm{rn}}}} + {y_{{\rm{r2}}}}\cos {\psi _{{\rm{rp}}i}} - {y_{{\rm{p}}i2}}\cos {\alpha _{{\rm{rn}}}} + {r_{\rm{r}}}{\theta _{{\rm{zr2}}}} - \\ {r_{{\rm{p}}i}}{\theta _{{\rm{zp}}i2}}\cos {\beta _{\rm{b}}} + \left( { - {z_{{\rm{r2}}}} + {z_{{\rm{p}}i2}}} \right)\sin {\beta _{\rm{b}}} + e_{{\rm{rp}}i}^{\left( 2 \right)}\left( t \right) \end{array} \right.,$

(2)

根据式(2)中的所求得微位移，乘以各自的啮合刚度可以得到每对齿轮副之间的啮合力，同理可以得到齿轮副的啮合阻尼力。设F_spi1、D_spi1和F_rpi1、D_rpi1分别为人字行星传动系统左端行星轮与太阳轮和内齿圈的啮合力和啮合阻尼，F_spi2、D_spi2和F_rpi2、D_rpi2分别为人字行星传动系统又端行星轮与太阳轮和内齿圈的啮合力和啮合阻尼

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {F_{{\rm{sp}}i1}} = {K_{{\rm{sp}}i}} \times {\delta _{{\rm{sp}}i1}},\\ {F_{{\rm{sp}}i2}} = {K_{{\rm{sp}}i}} \times {\delta _{{\rm{sp}}i2}}, \end{array} \right.\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l} {D_{{\rm{sp}}i1}} = {C_{{\rm{sp}}i}} \times {{\dot \delta }_{{\rm{sp}}i1}},\\ {D_{{\rm{sp}}i2}} = {C_{{\rm{sp}}i}} \times {{\dot \delta }_{{\rm{sp}}i2}}, \end{array} \right.\;\;\;\;\\ \left\{ \begin{array}{l} {F_{{\rm{rp}}i1}} = {K_{{\rm{rp}}i}} \times {\delta _{{\rm{rp}}i1}},\\ {F_{{\rm{rp}}i2}} = {K_{{\rm{rp}}i}} \times {\delta _{{\rm{rp}}i2}}, \end{array} \right.\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l} {D_{{\rm{rp}}i1}} = {C_{{\rm{rp}}i}} \times {{\dot \delta }_{{\rm{rp}}i1}},\\ {D_{{\rm{rp}}i2}} = {C_{{\rm{rp}}i}} \times {{\dot \delta }_{{\rm{rp}}i2}}, \end{array} \right. \end{array}$

(3)

根据Lagrange方程，将作用在各个构件上的惯性力、阻尼力与外部激励力组成平衡力系，可以推导出行星系统各个自由度的振动微分方程。

太阳轮的平衡方程

$\left\{ \begin{array}{l} {m_{\rm{s}}}x{{\ddot x}_{{\rm{s1}}}} + \sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{F_{{\rm{sp}}i1}} + {D_{{\rm{sp}}i1}}} \right)\sin {\psi _{{\rm{sp}}i}}\cos {\beta _{\rm{b}}} + {K_{\rm{s}}}{x_{{\rm{s1}}}} = 0} \\ {m_{\rm{s}}}{{\ddot y}_{{\rm{s1}}}} + \sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{F_{{\rm{sp}}i1}} + {D_{{\rm{sp}}i1}}} \right)\cos {\psi _{{\rm{sp}}i}}\cos {\beta _{\rm{b}}} + {K_{\rm{s}}}{y_{{\rm{s1}}}} = 0} \\ {m_{\rm{s}}}{{\ddot z}_{{\rm{s1}}}} + \sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{F_{{\rm{sp}}i1}} + {D_{{\rm{sp}}i1}}} \right)\sin {\beta _{\rm{b}}} + {K_{{\rm{s12}}}}\left( {{z_{{\rm{s1}}}} - {z_{{\rm{s2}}}}} \right) + {K_{{\rm{sa}}}}{z_{{\rm{s1}}}} = 0} \\ {J_{\rm{s}}}{{\ddot \theta }_{{\rm{zs1}}}} + \sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{F_{{\rm{sp}}i1}} + {D_{{\rm{sp}}i1}}} \right){r_{\rm{s}}}\cos {\beta _{\rm{b}}} + {K_{{\rm{1t}}}}\left( {{u_{{\rm{s1}}}} - {u_{{\rm{s2}}}}} \right) = - \frac{{{\boldsymbol{T}_{{\rm{out}}}}}}{2}} \end{array} \right.,$

(4)

$\left\{ \begin{array}{l} {m_{\rm{s}}}{{\ddot x}_{{\rm{s2}}}} + \sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{F_{{\rm{sp}}i2}} + {D_{{\rm{sp}}i2}}} \right)\sin {\psi _{{\rm{sp}}i}}\cos {\beta _{\rm{b}}} + {K_{\rm{s}}}{x_{{\rm{s2}}}} = 0} \\ {m_{\rm{s}}}{{\ddot y}_{{\rm{s2}}}} + \sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{F_{{\rm{sp}}i2}} + {D_{{\rm{sp}}i2}}} \right)\cos {\psi _{{\rm{sp}}i}}\cos {\beta _{\rm{b}}} + {K_{\rm{s}}}{y_{{\rm{y2}}}} = 0} \\ {m_{\rm{s}}}{{\ddot z}_{{\rm{s2}}}} + \sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{F_{{\rm{sp}}i2}} + {D_{{\rm{sp}}i2}}} \right)\sin {\beta _{\rm{b}}} + {K_{{\rm{s12}}}}\left( {{z_{{\rm{s2}}}} - {z_{{\rm{s1}}}}} \right) + {K_{{\rm{sa}}}}{z_{{\rm{s2}}}} = 0} \\ {J_{\rm{s}}}{{\ddot \theta }_{{\rm{zs2}}}} + \sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{F_{{\rm{sp}}i2}} + {D_{{\rm{sp}}i2}}} \right){r_{\rm{s}}}\cos {\beta _{\rm{b}}} + {K_{{\rm{1t}}}}\left( {{u_{{\rm{s2}}}} - {u_{{\rm{s1}}}}} \right) = - \frac{{{\boldsymbol{T}_{{\rm{out}}}}}}{2}} \end{array} \right.,$

(5)

行星轮的平衡方程

$\left\{ \begin{array}{l} {m_{\rm{p}}}{{\ddot x}_{{\rm{p}}i1}} - \left( {{F_{{\rm{sp}}i1}} + {D_{{\rm{sp}}i1}}} \right)\sin {\alpha _{{\rm{sn}}}}\cos {\beta _{\rm{b}}} + \left( {{F_{{\rm{rp}}i1}} + {D_{{\rm{rp}}i1}}} \right)\sin {\alpha _{{\rm{rn}}}}\cos {\beta _{\rm{b}}} + \\ {K_{\rm{p}}}{x_{{\rm{p}}i1}} = 0\\ {m_{\rm{p}}}{{\ddot y}_{{\rm{p}}i1}} - \left( {{F_{{\rm{sp}}i1}} + {D_{{\rm{sp}}i1}}} \right)\cos {\alpha _{{\rm{sn}}}}\cos {\beta _{\rm{b}}} - \left( {{F_{{\rm{rp}}i1}} + {D_{{\rm{rp}}i1}}} \right)\cos {\alpha _{{\rm{rn}}}}\cos {\beta _{\rm{b}}} + \\ {K_{\rm{p}}}\left( {{y_{{\rm{p}}i1}} - {r_{\rm{c}}}{u_{\rm{c}}}} \right) = 0\\ {m_{\rm{p}}}{{\ddot z}_{{\rm{p}}i1}} + \left( {{F_{{\rm{sp}}i1}} + {D_{{\rm{sp}}i1}}} \right)\sin {\beta _{\rm{b}}} + \left( {{F_{{\rm{rp}}i1}} + {D_{{\rm{rp}}i1}}} \right)\sin {\beta _{\rm{b}}} + {K_{{\rm{p12}}}}\left( {{z_{{\rm{p}}i1}} - {z_{{\rm{p}}i2}}} \right) + \\ {K_{{\rm{pa}}}}{z_{{\rm{p}}i1}} = 0\\ {J_{\rm{p}}}{{\ddot \theta }_{{\rm{zp}}i1}} + \left( {{F_{{\rm{sp}}i1}} + {D_{{\rm{sp}}i1}}} \right){r_{{\rm{pi}}}}\cos {\beta _{\rm{b}}} - \left( {{F_{{\rm{rp}}i1}} + {D_{{\rm{rp}}i1}}} \right){r_{{\rm{pi}}}}\cos {\beta _{\rm{b}}} + \\ {K_{{\rm{2t}}}}\left( {{u_{{\rm{p}}i1}} - {u_{{\rm{p}}i2}}} \right) = 0 \end{array} \right.,$

(6)

$\left\{ \begin{array}{l} {m_{\rm{p}}}{{\ddot x}_{{\rm{p}}i2}} - \left( {{F_{{\rm{sp}}i2}} + {D_{{\rm{sp}}i2}}} \right)\sin {\alpha _{{\rm{sn}}}}\cos {\beta _{\rm{b}}} + \left( {{F_{{\rm{rp}}i2}} + {D_{{\rm{rp}}i2}}} \right)\sin {\alpha _{{\rm{rn}}}}\cos {\beta _{\rm{b}}} + \\ {K_{\rm{p}}}{x_{{\rm{p}}i2}} = 0\\ {m_{\rm{p}}}{{\ddot y}_{{\rm{p}}i2}} - \left( {{F_{{\rm{sp}}i2}} + {D_{{\rm{sp}}i2}}} \right)\cos {\alpha _{{\rm{sn}}}}\cos {\beta _{\rm{b}}} - \left( {{F_{{\rm{rp}}i2}} + {D_{{\rm{rp}}i2}}} \right)\cos {\alpha _{{\rm{rn}}}}\cos {\beta _{\rm{b}}} + \\ {K_{\rm{p}}}\left( {{y_{{\rm{p}}i2}} - {r_{\rm{c}}}{u_{\rm{c}}}} \right) = 0\\ {m_{\rm{p}}}{{\ddot z}_{{\rm{p}}i2}} + \left( {{F_{{\rm{sp}}i2}} + {D_{{\rm{sp}}i2}}} \right)cos{\beta _b} + \left( {{{\rm{F}}_{rp{\rm{i}}2}} + {{\rm{D}}_{rpi2}}} \right)\cos {\beta _{\rm{b}}} + {K_{{\rm{p12}}}}\left( {{z_{{\rm{p}}i2}} - {z_{{\rm{p}}i2}}} \right) + \\{K_{{\rm{pa}}}}{z_{{\rm{p}}i2}} = 0\\ {J_{\rm{p}}}{{\ddot \theta }_{{\rm{zp}}i2}} + \left( {{F_{{\rm{sp}}i2}} + {D_{{\rm{sp}}i2}}} \right){r_{{\rm{pi}}}}\cos {\beta _{\rm{b}}} - \left( {{F_{{\rm{rp}}i2}} + {D_{{\rm{rp}}i2}}} \right){r_{{\rm{pi}}}}\cos {\beta _{\rm{b}}} + \\ {K_{{\rm{2t}}}}\left( {{u_{{\rm{p}}i2}} - {u_{{\rm{p}}i1}}} \right) = 0 \end{array} \right.,$

(7)

内齿圈的平衡方程

$\left\{ \begin{array}{l} {m_{\rm{r}}}{{\ddot x}_{{\rm{r1}}}} - \sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{F_{{\rm{rp}}i1}} + {D_{{\rm{rp}}i1}}} \right)\sin {\psi _{{\rm{rp}}i}}\cos {\beta _{\rm{b}}} + {K_{\rm{r}}}{x_{{\rm{r1}}}} = 0} \\ {m_{\rm{r}}}{{\ddot y}_{{\rm{r1}}}} + \sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{F_{{\rm{rp}}i1}} + {D_{{\rm{rp}}i1}}} \right)\cos {\psi _{{\rm{rp}}i}}\cos {\beta _{\rm{b}}} + {K_{\rm{r}}}{y_{{\rm{r1}}}} = 0} \\ {m_{\rm{r}}}{{\ddot z}_{{\rm{r1}}}} + \sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{F_{{\rm{rp}}i1}} + {D_{{\rm{rpi}}1}}} \right)\sin {\beta _{\rm{b}}} + {K_{{\rm{r12}}}}\left( {{z_{{\rm{r1}}}} - {z_{{\rm{r2}}}}} \right) + {K_{{\rm{ra}}}}{z_{{\rm{r1}}}} = 0} \\ {J_{\rm{r}}}{{\ddot \theta }_{{\rm{zr1}}}} + \sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{F_{{\rm{rp}}i1}} + {D_{{\rm{rp}}i1}}} \right){r_{\rm{r}}}\cos {\beta _{\rm{b}}} + {K_{{\rm{rt}}}}{\theta _{{\rm{zr1}}}} + {K_{3{\rm{t}}}}\left( {{u_{{\rm{r1}}}} - {u_{{\rm{r2}}}}} \right) = 0} \end{array} \right.,$

(8)

$\left\{ \begin{array}{l} {m_{\rm{r}}}{{\ddot x}_{{\rm{r2}}}} - \sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{F_{{\rm{rp}}i2}} + {D_{{\rm{rp}}i2}}} \right)\sin {\psi _{{\rm{rp}}i}}\cos {\beta _{\rm{b}}} + {K_{\rm{r}}}{x_{{\rm{r2}}}} = 0} \\ {m_{\rm{r}}}{{\ddot y}_{{\rm{r2}}}} + \sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{F_{{\rm{rp}}i2}} + {D_{{\rm{rp}}i2}}} \right)\cos {\psi _{{\rm{rpi}}}}\cos {\beta _{\rm{b}}} + {K_{\rm{r}}}{y_{{\rm{r2}}}} = 0} \\ {m_{\rm{r}}}{{\ddot z}_{{\rm{r2}}}} + \sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{F_{{\rm{rp}}i2}} + {D_{{\rm{rpi2}}}}} \right)\sin {\beta _{\rm{b}}} + {K_{{\rm{r12}}}}\left( {{z_{{\rm{r2}}}} - {z_{{\rm{r1}}}}} \right) + {K_{{\rm{ra}}}}{z_{{\rm{r2}}}} = 0} \\ {J_{\rm{r}}}{{\ddot \theta }_{{\rm{zr2}}}} + \sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{F_{{\rm{rp}}i2}} + {D_{{\rm{rp}}i2}}} \right){r_{\rm{r}}}\cos {\beta _{\rm{b}}} + {K_{{\rm{rt}}}}{\theta _{{\rm{zr2}}}} + {K_{3{\rm{t}}}}\left( {{u_{{\rm{r2}}}} - {u_{{\rm{r1}}}}} \right) = 0} \end{array} \right.,$

(9)

行星架的平衡方程

${J_{\rm{c}}}{{\ddot \theta }_{{\rm{zc}}}} + \sum\limits_{i = 1}^N {{K_{\rm{p}}}{r_{\rm{c}}}\left( {{\theta _{{\rm{zc}}}}{r_c} - {y_{{\rm{p}}i1}} + {\theta _{{\rm{zc}}}}{r_{\rm{c}}} - {y_{{\rm{p}}i2}}} \right) + {K_{{\rm{ct}}}}{\theta _{{\rm{zc}}}} = - {\boldsymbol{T}_{{\rm{in}}}}} ,$

(10)

式中：m为各个构件的等效质量和平移质量；J为各构件的转动惯量。T_in为传动系统行星架的输入扭矩，T_out为传动系统太阳轮的输出扭矩。

将方程(4)-(10)整理成如下的矩阵形式

$\left[ \mathit{\boldsymbol{M}} \right]\left\{ {\mathit{\boldsymbol{\dot X}}} \right\} + \left[ \mathit{\boldsymbol{C}} \right]\left\{ {\mathit{\boldsymbol{\dot X}}} \right\} + \left[ {\mathit{\boldsymbol{K}}\left( t \right)} \right]\left\{ \mathit{\boldsymbol{X}} \right\} = \left[ {\mathit{\boldsymbol{F}}\left( t \right)} \right],$

(11)

式中：M，X-广义质量矩阵，广义坐标位移列阵；C，F-阻尼矩阵，外载荷列阵；K(t)-时变刚度矩阵。

3 综合啮合误差激励

齿轮的制造误差和安装误差是齿轮传动系统产生振动的主要因素。各齿轮的偏心误差对齿轮啮合的激励是表现在啮合线方向上的位移激励，研究时把以上误差转化到齿轮副啮合线上。

将误差的变化规律表示成Fourier级数的形式，总共有4N个周期激励，其基频均为齿轮啮合频率

$\left\{ \begin{array}{l} e_{{\rm{sp}}i}^{\left( 1 \right)}\left( t \right) = \sum\limits_{l = 1}^L {{{\hat e}_{{\rm{spl}}}}\cos \left( {l{w_{\rm{m}}}t + {\sigma _{{\rm{spl}}}} - l{z_{\rm{s}}}{\psi _{\rm{i}}}} \right)} \\ e_{{\rm{sp}}i}^{\left( 2 \right)}\left( t \right) = \sum\limits_{l = 1}^L {{{\hat e}_{{\rm{spl}}}}\cos \left( {l{w_{\rm{m}}}t + {\sigma _{{\rm{spl}}}} - l{z_{\rm{s}}}{\psi _{\rm{i}}} + l{\gamma _{{\rm{stg}}}}} \right)} \\ e_{{\rm{rp}}i}^{\left( 1 \right)}\left( t \right) = \sum\limits_{l = 1}^L {{{\hat e}_{{\rm{rpl}}}}\cos \left( {l{w_{\rm{m}}}t + {\sigma _{{\rm{rpl}}}} + l{\gamma _{{\rm{rs}}}} + l{z_{\rm{r}}}{\psi _{\rm{i}}}} \right)} \\ e_{{\rm{rp}}i}^{\left( 2 \right)}\left( t \right) = \sum\limits_{l = 1}^L {{{\hat e}_{{\rm{rpl}}}}\cos \left( {l{w_{\rm{m}}}t + {\sigma _{{\rm{rpl}}}} + l{\gamma _{{\rm{rs}}}} + l{z_{\rm{r}}}{\psi _{\rm{i}}} + l{\gamma _{{\rm{stg}}}}} \right)} \end{array} \right.,$

(12)

式中：${{{\hat e}_{{\rm{spl}}}}}$和${{{\hat e}_{{\rm{rpl}}}}}$为太阳轮与行星轮和内齿圈与行星轮啮合综合传递误差l阶幅值；σ_spl和σ_rpl为其初相位；γ_rs为内齿圈与行星轮啮合相对于太阳轮与行星轮啮合的相位差，其值可通过R. G. Parker^[12]中的方法求得；γ_stg为左右端斜齿轮故意交错而形成的交错角，根据Sondkar P^[11]所提出的方法，图 4(a)所示为左右端斜齿轮完全对称的情况，即γ_stg=0；图 4(b)所示为左右端斜齿轮交错50%的情况，即左端斜齿轮的齿顶位于右端的齿根附近，其γ_stg=π。

4 均载系数计算

对于传动系统多自由度微分方程组(11)，求其解析解是比较困难的，一般均采用数值解法来求解。采用四阶Runge-Kutta法求解方程组。将式(11)中得到的位移响应代到式(3)中，得到弹性啮合力F_spi1、F_rpi1、F_rpi2和F_rpi2。令b_spi1、b_rpi1和b_rpi2、b_rpi2分别为人字行星系统左右端的在一个啮频周期内外啮合与内啮合的均载系数

$\left\{ \begin{array}{l} {b_{{\rm{spij}}}} = \frac{{N{{\left( {{F_{{\rm{spij}}}}} \right)}_{\max }}}}{{\sum\limits_{j = 1}^N {{{\left( {{F_{{\rm{spij}}}}} \right)}_{\max }}} }}\\ {b_{{\rm{rpij}}}} = \frac{{N{{\left( {{F_{{\rm{rpij}}}}} \right)}_{\max }}}}{{\sum\limits_{j = 1}^N {{{\left( {{F_{{\rm{rpij}}}}} \right)}_{\max }}} }}\\ {b_{{\rm{spik}}}} = \frac{{N{{\left( {{F_{{\rm{spik}}}}} \right)}_{\max }}}}{{\sum\limits_{k = 1}^N {{{\left( {{F_{{\rm{spik}}}}} \right)}_{\max }}} }}\\ {b_{{\rm{rpik}}}} = \frac{{N{{\left( {{F_{{\rm{rpik}}}}} \right)}_{\max }}}}{{\sum\limits_{k = 1}^N {{{\left( {{F_{{\rm{rpik}}}}} \right)}_{\max }}} }} \end{array} \right.,$

(13)

式中：j=1, 2, …, n₁；k=1, 2, …, n₂，j和k分别为啮频周期数。

定义系统在一个啮频周期中的均载系数为

$\left\{ \begin{array}{l} {B_{{\rm{sp}}i1}} = {\left| {{b_{{\rm{spij}}}} - 1} \right|_{\max }} + 1\\ {B_{{\rm{rp}}i1}} = {\left| {{b_{{\rm{rpij}}}} - 1} \right|_{\max }} + 1\\ {B_{{\rm{sp}}i2}} = {\left| {{b_{{\rm{spik}}}} - 1} \right|_{\max }} + 1\\ {B_{{\rm{rp}}i2}} = {\left| {{b_{{\rm{rpij}}}} - 1} \right|_{\max }} + 1 \end{array} \right.,$

(14)

定义B_sp1和B_rp1分别为系统左端啮频周期内外啮合的均载系数；令B_sp2和B_rp2分别为系统右端啮频周期内外啮合的均载系数。则左右端系统啮频周期内外啮合均载系数为

$\left\{ \begin{array}{l} {B_{{\rm{sp}}1}} = \max \left( {{B_{{\rm{sp}}i1}}} \right)\\ {B_{{\rm{rp}}1}} = \max \left( {{B_{{\rm{rp}}i1}}} \right)\\ {B_{{\rm{sp2}}}} = \max \left( {{B_{{\rm{sp}}i2}}} \right)\\ {B_{{\rm{rp2}}}} = \max \left( {{B_{{\rm{rp}}i2}}} \right) \end{array} \right.。$

(15)

5 均载特性分析

取自某风电增速齿轮箱的已有算例，其主要技术参数为：取行星架输入转速为17 r/min，输入扭矩T_in=9.33×10⁵ Nm；行星轮个数3；太阳轮与行星轮的等效啮合刚度为3.06×10⁹ N/m，行星轮与内齿圈的等效啮合刚度3.70×10⁹ N/m；太阳轮、行星轮与内齿圈的径向支承刚度为1×10¹⁰ N/m，轴向支承刚度为8.54×10⁹ N/m。

齿轮传动主要参数如下：太阳轮z_s=19，行星轮z_p=33，内齿轮z_r=86；模数m_n=8.4667；压力角α=20°；螺旋角β=24.5°。在KISSsoft中可以计算得到齿轮传递误差的初始幅值和相位。由于这里高于3次谐波的幅值很小，所以只取前三阶谐波，其值如表 1所示。

5.1 交错角对动态均载特性的影响分析

为研究齿轮交错角对各行星轮均载特性影响，采用式(13)计算每一啮频周期系统各行星轮内外啮合均载系数，得到γ_stg=0时左右端各行星轮内外啮合均载系数随啮频周期数变化曲线如图 5所示。由于人字齿左右端存在耦合关系，所以左右端均载系数变化不相同。

当左右端斜齿轮之间的交错角γ_stg=0、π/4、π/2、3π/4和π时，分别采用式(14)、(15)计算左右端系统周期内外均载系数。获得左右端内外啮合一个啮频周期内的均载系数分别随交错角的变化曲线如图 6所示。

可以看出，交错角对左端系统啮频周期内的均载性能影响较大，而对右端均载性能影响较小。在交错角为0~π/2时，左端外啮合均载系数随着交错角的增大而减小，内啮合均载系数随着交错角的增大而增大。左端系统综合均载系数是随着交错角的增大先减小后增大，在γ_stg=π/2时，其达到最小值为1.0369；而右端均载系数随着交错角的增大先增大后减小，在γ_stg=π/2时，其均载系数达到最大值1.0404。由于右端均载系数基本未发生变化，而左端均载系数在交错角为π/2时均载性能最好，可以得出人字齿传动系统综合均载效果在交错角为π/2时最好。

5.2 耦合扭转刚度对动态均载特性的影响分析

上述的分析仅考虑了交错角对系统均载特性的影响。假设交错角为0，分析此时左右端斜齿轮的耦合扭转刚度对动态均载特性的影响。

为研究耦合扭转刚度对系统均载性能的影响，行星轮和内齿圈扭转刚度不变，均取10⁸ Nm/rad，太阳轮左右端耦合扭转刚度分别取10⁷、5×10⁷、10⁸、5×10⁸和10⁹ Nm/rad，获得系统周期内均载系数变化曲线如图 7所示。

当行星轮左右端耦合扭转刚度取10⁷、5×10⁷、10⁸、5×10⁸和10⁹ Nm/rad，太阳轮和内齿圈耦合扭转刚度均取10⁸ Nm/rad，获得系统周期内均载系数变化曲线如图 8所示。

当内齿圈左右端耦合扭转刚度取10⁷、5×10⁷、10⁸、5×10⁸和10⁹Nm/rad，太阳轮和行星轮耦合扭转刚度均取10⁸Nm/rad，获得系统周期内均载系数变化曲线如图 9所示。

通过分析可以得出：太阳轮、行星轮和内齿圈左右端的耦合扭转刚度对系统均载系数影响不大。

6 总结

1) 基于Lagrange方程采用集中参数法建立了人字齿行星传动系统的动力学方程，考虑了交错角和耦合扭转刚度对均载特性的影响。

2) 人字齿左右端斜齿轮之间的交错角对左端均载性能有较大的影响，而右端均载性能对其不敏感。在交错角为π/2时，左端的均载性能达到最优，而右端均载性能最差；综合分析得出此时左右端的综合均载性能最好。

3) 在交错角为0的情况下，太阳轮、行星轮和内齿圈左右端耦合扭转刚度对系统的均载性能影响不大。