预应力FRP (fiber reinforced polymer，FRP)增强混凝土结构技术具有显著的优点：限制被加固构件裂缝宽度，延缓构件开裂，增大被加固构件的刚度，改善正常使用性能^[1-12]。预应力的施加方法有3种，即反拱法、先张法和后张法^[13]。反拱法有效预应力较低，且对被加固构件的力学性能要求较高，因此很难在实际工程中推广应用。先张法设备相对复杂，需要有专门的抬升和张拉装置。后张法是将张拉和锚固装置锚固在被加固构件上，张拉FRP后，使用环氧树脂粘结在被加固构件表面上的一种方法。

一些学者采用后张法技术对预应力CFRP (carbon fiber reinforced polymer)加固混凝土梁的抗弯性能进行了研究，其中一项重要的研究内容是观测预应力损失。El-Hacha等进行了9根后张预应力碳纤维布加固T型预应力混凝土梁短期和长期的预应力损失试验。由于试验梁混凝土的养护龄期较短，且作用有外加的持续荷载，观测到短期预应力损失大约为CFRP布极限强度的16%，而长期预应力损失为CFRP布极限强度的11.3%^[14]。Diab等^[15]对锚固区的应力分布进行了短期和长期的观测，发现胶层的徐变显著影响锚固长度，是FRP-混凝土界面剥离的主要原因。Kim等^[16]考虑界面针对后张法CFRP补强预应力混凝土梁的短期预应力损失，提出了一个闭合解。经过计算，发现短期预应力损失大约为初始应力的10%。

预应力损失可以分为瞬时损失和时间依存损失。瞬时损失^[2]是指后张法预应力FRP放张后即刻产生的损失，可以分为预应力FRP回缩引起的损失(锚固损失σ_A)及预应力FRP合力作用点处混凝土弹性压缩引起的损失σ_ES。在时间依存损失中，混凝土的收缩徐变引起的损失是相互影响的。对于预应力FRP加固的钢筋混凝土梁，胶层的徐变及界面的滑移将进一步增大预应力损失。文中考虑胶层的徐变、界面的滑移及混凝土收缩徐变的相互影响，建立了预应力FRP加固钢筋混凝土梁预应力长期损失的增量微分法，将计算结果与试验结果进行了比较分析。

1 分析模型

时间依存损失是指后张法预应力FRP放张后随时间增加的损失，包括预应力FRP应力松弛引起的损失和混凝土收缩徐变引起的损失。

1.1 FRP松弛引起的损失σ_R

该项预应力损失可下式计算^[2]：

$ {\sigma _R} = \frac{{1 - \beta }}{{100}}{f_{{\rm{pi}}}}, $

(1)

$ \beta = 0.275\frac{{{f_{{\rm{pi}}}}}}{{{f_{\rm{u}}}}} - 0.083, $

(2)

式中：f_pi为FRP初始预应力；f_u为FRP极限抗拉强度。

1.2 混凝土收缩徐变及胶层徐变引起的损失σ_CR

在计算混凝土收缩徐变及胶层徐变引起的预应力损失时，可以认为钢筋混凝土梁是未开裂构件，如图 1所示。图 1中各项符号的下角标是一种通用表示方法，即“c”、“f”、“s”分别表示混凝土、FRP和界面剪应力。文中后面各节中公式下角标“t”、“t_n-1”、“t_n”分别表示t、t_n-1、t_n时刻。在任意时刻t时，根据截面内外力及微元体平衡可得：

$ {M_t} = {M_{{\rm{ct}}}} - {N_{{\rm{ct}}}}d + {F_t}\left( {d - z} \right), $

(3)

$ {F_t} = {N_{{\rm{ct}}}} + {N_{{\rm{ft}}}}, $

(4)

$ N{'_{{\rm{ct}}}} = - {K_t}{s_t}, $

(5)

$ {s_t} = {u_{{\rm{ft}}}} - {u_{{\rm{ct}}}} + w{'_t}d, $

(6)

式中：M_t为t时刻作用在截面上的外弯矩；M_ct为t时刻作用在截面混凝土部分的弯矩；N_ct为t时刻作用在截面混凝土部分的轴向力；F_t为t时刻作用在加固梁组合截面上的预应力；d为截面混凝土中性轴至FRP中性轴之间的距离；z为截面混凝土中性轴至加固梁组合截面中性轴距离；K_t是t时刻胶层的剪切刚度；s_t、u_ct、u_ft、w_t分别是t时刻FRP-混凝土界面滑移、截面上混凝土部分轴向位移、截面上FRP部分轴向位移及加固梁竖向挠度。

将方程(3)~(6)改写为关于某一时间段[Δt_n=t_n-t_n-1]内的增量形式：

$ \Delta {M_n} = \Delta {M_{{\rm{c}}n}} - \Delta {N_{{\rm{c}}n}}d + \Delta {F_n}(d - z), $

(7)

$ \Delta {F_n} = \Delta {N_{{\rm{c}}n}} + \Delta {N_{{\rm{f}}n}}, $

(8)

$ \Delta N{'_{{\rm{c}}n}} = - {K_{{{\rm{t}}_{n - 1}}}}\Delta {s_n}, $

(9)

$ \Delta {s_n} = \Delta {u_{{\rm{f}}n}} - \Delta {u_{{\rm{c}}n}} + \left( {\Delta {w_n}} \right)'d, $

(10)

$ z = \frac{{{E_{\rm{f}}}{A_{\rm{f}}}}}{{E{A_0}}}d, $

(11)

式中：A_f为FRP截面面积；EA₀=E_{c, tn}A_c·E_fA_f；E_{c, tn}是t_n时刻混凝土有效弹性模量；E_f为FRP的弹性模量；A_c是混凝土截面面积；ΔM_n为Δt_n内外弯矩的增量，ΔM_n=M_tn-M_tn-1；ΔM_cn为作用在截面上混凝土部分弯矩增量，ΔM_cn=M_{c, tn}-M_{c, tn-1}；ΔN_cn为作用在截面上混凝土部分轴向力增量，ΔN_cn=N_{c, tn}-N_{c, tn-1}；ΔN_fn为作用在截面上FRP部分轴向力增量，ΔN_fn=N_{f, tn}-N_{f, tn-1}；ΔF_n为预应力增量；ΔS_n为FRP-混凝土界面滑移增量；Δu_cn为截面上混凝土部分轴向位移增量；Δu_fn为截面上FRP部分轴向位移增量；Δw_n为加固梁竖向挠度增量；K_tn-1为t_n-1时刻胶层的剪切刚度。

在t_n时刻，加固梁竖向挠度w_tn与截面混凝土部分弯矩M_{c, tn}的关系为

$ w'{'_{tn}} = - \frac{{{M_{{\rm{c}},{t_n}}}}}{{{E_{{\rm{c}},{t_n}}}{I_c}}} = - \frac{{{M_{{\rm{c}},{t_{n - 1}}}}}}{{{E_{{\rm{c}},{t_n}}}{I_c}}} - \frac{{\Delta {M_{{\rm{c}}n}}}}{{{E_{{\rm{c}},{t_n}}}{I_c}}}, $

(12)

式中：I_c为混凝土部分截面惯性矩；M_{c, tn-1}为t_n-1时刻作用在截面上混凝土部分的弯矩；t_n时刻混凝土的弹性模量可以采用有效模量法计算

$ {E_{{\rm{c}},{t_n}}} = \frac{{{E_{{\rm{c}},{t_{n - 1}}}}}}{{1 + \chi \left( {{t_0},{t_n}} \right) \cdot \varphi \left( {{t_{n - 1}},{t_n}} \right)}}, $

(13)

$ {E_{{\rm{c}},{t_n}}} = \frac{{{E_{{\rm{c}},{{\rm{t}}_0}}}}}{{1 + \chi \left( {{t_0},{t_n}} \right) \cdot \varphi \left( {{t_0},{t_n}} \right)}}, $

(14)

式中：E_{c, t0}为混凝土的初始弹性模量，即t₀时刻的弹性模量；E_{c, tn-1}为t_n-1时刻混凝土弹性模量；χ(t_n-1, t_n)为Δt_n时间段内混凝土的老化系数，按照式(15)计算；φ(t_n-1, t_n)为Δt_n时间段内混凝土的徐变系数，φ(t_n-1, t_n)=φ(t₀, t_n)-φ(t₀, t_n-1)；φ(t₀, t_n)、φ(t₀, t_n-1)分别为t_n、t_n-1时刻混凝土的徐变系数；t₀为考虑混凝土徐变时的混凝土龄期。

应用Dischinger方法^[17]，老化系数χ(t_n-1, t_n)为

$ \chi \left( {{t_{n - 1}},{t_n}} \right) = \frac{1}{{1 - {e^{\varphi \left( {{t_{n - 1}},{t_n}} \right)}}}} - \frac{1}{{\varphi \left( {{t_{n - 1}},{t_n}} \right)}}, $

(15)

将式(13)和式(15)代入式(12)，并注意到w″_tn=w″_tn-1+Δw″_n，w″_tn-1=$ - \frac{{{M_{{\rm{c}},{t_{n - 1}}}}}}{{{E_{{\rm{c}},{t_{n - 1}}}}{I_{\rm{c}}}}}$，可以得到：

$ \Delta w'{'_n} = - \frac{{{M_{{\rm{c}},{t_{n - 1}}}}\chi \left( {{t_{n - 1}},{t_n}} \right) \cdot \varphi \left( {{t_{n - 1}},{t_n}} \right)}}{{{E_{{\rm{c}},{t_{n - 1}}}}{I_c}}} - \frac{{\Delta {M_{{\rm{c}}n}}}}{{{E_{{\rm{c}},{t_n}}}{I_c}}}, $

(16)

联立式(7)和(16)可得：

$ \Delta w'{'_n} = \frac{{\Delta {M_n} - \Delta {F_n}\left( {d - z} \right) + \Delta {N_{{\rm{c}}n}}d + {M_{{\rm{c}},{t_{n - 1}}}}\frac{{\chi \left( {{t_{n - 1}},{t_n}} \right) \cdot \varphi \left( {{t_{n - 1}},{t_n}} \right)}}{{1 + \chi \left( {{t_{n - 1}},{t_n}} \right) \cdot \varphi \left( {{t_{n - 1}},{t_n}} \right)}}}}{{{E_{{\rm{c}},{t_{n - 1}}}}{I_c}}}, $

(17)

对式(10)微分一次，可得：

$ \Delta s{'_n} = \Delta u{'_{{\rm{f}}n}} - \Delta u{'_{{\rm{c}}n}} + \Delta w'{'_n}d, $

(18)

$ \Delta u{'_{{\rm{f}}n}} = {\varepsilon _{{\rm{f}},{t_n}}} - {\varepsilon _{{\rm{f}},{t_{n - 1}}}} = \frac{{\Delta {N_{{\rm{f}}n}}}}{{{E_{\rm{f}}}{A_{\rm{f}}}}}, $

(19)

式中：ε_{f, tn}、ε_{f, tn-1}分别为t_n及t_n-1时刻FRP的轴向应变。

$ \Delta u{'_{{\rm{f}}n}} = {\varepsilon _{{\rm{f}},{t_n}}} - {\varepsilon _{{\rm{f}},{t_{n - 1}}}} = \frac{{\Delta {N_{{\rm{c}}n}}}}{{{E_{{\rm{c}},{t_n}}}{A_{\rm{c}}}}} + \frac{{{N_{{\rm{c}},{t_{n - 1}}}}}}{{{E_{{\rm{c}},{t_{n - 1}}}}{A_{\rm{c}}}}}\chi \left( {{t_{n - 1}},{t_n}} \right) \cdot \varphi \left( {{t_{n - 1}},{t_n}} \right) - {\varepsilon _{{\rm{sh}}}}, $

(20)

式中：ε_{c, tn}、ε_{c, tn-1}分别为t_n及t_n-1时刻混凝土部分的轴向应变。

将式(17)、(19)和(20)代入式(18)并联立式(9)可得关于ΔN_cn的微分控制方程：

$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta N'{'_{{\rm{c}}n}} - {{\bar \alpha }^2}\Delta {N_{{\rm{c}}n}} = \bar \beta \Delta {M_n} - \bar \gamma \Delta {F_n} - {K_{{t_{n - 1}}}}{\varepsilon _{{\rm{sh}}}} + \\ {K_{{t_{n - 1}}}}\frac{{{N_{{\rm{c}},{t_{n - 1}}}}}}{{{E_{{\rm{c}},{t_{n - 1}}}}{A_{\rm{c}}}}}\chi \left( {{t_{n - 1}},{t_n}} \right) \cdot \varphi \left( {{t_{n - 1}},{t_n}} \right) + \bar \beta \Delta {M_{{\rm{c}},{t_{n - 1}}}}\frac{{\chi \left( {{t_{n - 1}},{t_n}} \right) \cdot \varphi \left( {{t_{n - 1}},{t_n}} \right)}}{{1 + \chi \left( {{t_{n - 1}},{t_n}} \right) \cdot \varphi \left( {{t_{n - 1}},{t_n}} \right)}}, \end{array} $

(21)

式中：α²=K_tn-1${K_{{t_{n - 1}}}}\left( {\frac{1}{{{E_{\rm{f}}}{A_{\rm{f}}}}} + \frac{1}{{{E_{{\rm{c}},{t_n}}}{A_{\rm{c}}}}} + \frac{{{d^2}}}{{{E_{{\rm{c}},{t_n}}}{I_c}}}} \right)$，β=$\frac{{{K_{{t_{n - 1}}}}d}}{{{E_{{\rm{c}},{t_n}}}{I_c}}}$，γ=K_tn-1$\left[ {\frac{1}{{{E_{{\rm{c}},{t_n}}}{A_{\rm{c}}}}} + \frac{{d\left( {d - {z_t}} \right)}}{{{E_{{\rm{c}},{t_n}}}{I_c}}}} \right]$；N_{c, tn-1}是作用在截面混凝土部分t_n-1时刻的轴向力；ε_sh是混凝土收缩应变；K_tn-1是t_n-1时刻胶层的剪切刚度，按照式(22)计算。

文献[15]中认为胶层的徐变性能与混凝土类似，故胶层的剪切刚度为

$ {K_{{t_{n - 1}}}} = \frac{{{b_{\rm{a}}}{G_{\rm{a}}}}}{{{t_{\rm{a}}}\left( {1 + {\chi _{\rm{a}}}{\varphi _{\rm{a}}}} \right)}}, $

(22)

式中：b_a胶层的宽度；G_a胶层的剪切模量；t_a胶层的厚度；χ_a为t_n-1时刻胶层的老化系数，φ_a为t_n-1时刻胶层的徐变系数。胶层的徐变系数和老化系数可参照混凝土相应系数的计算方法计算。

在均布荷载q作用下，加固梁跨中截面，作用在混凝土部分的轴向力增量最大值为

$ \begin{array}{l} \Delta {N_{{\rm{cn,max}}}} = \lambda \frac{{q{L^2}}}{8}\frac{{{E_{{\rm{c}},{t_n}}}{I_c}}}{{E{I_{{t_n}}}}} + \frac{{q\lambda }}{{{{\bar \alpha }^2}d}}\left( {1 - \frac{{{E_{{\rm{c}},{t_n}}}{I_c}}}{{E{I_{{t_n}}}}}} \right)\left[ {1 - \frac{1}{{\cos \left( {\frac{{\bar \alpha L}}{2}} \right)}}} \right] + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{{K_{{t_{n - 1}}}}{\varepsilon _{{\rm{sh}}}}}}{{{{\bar \alpha }^2}}}\left[ {1 - \frac{1}{{\cos \left( {\frac{{\bar \alpha L}}{2}} \right)}}} \right] - \lambda \frac{{{M_{{\rm{c}}{t_{n - 1,{\rm{msx}}}}}}}}{d}, \end{array} $

(23)

式中：EI_tn=E_{c, tn}I_c+$\frac{{{E_{{\rm{c}},{t_n}}}{A_{\rm{c}}} \cdot {E_{\rm{f}}}{A_{\rm{f}}}{d^2}}}{{{E_{{\rm{c}},{t_n}}}{A_{\rm{c}}} + {E_{\rm{f}}}{A_{\rm{f}}}}}$；λ=$\frac{{\chi \left( {{t_{n - 1}},{t_n}} \right) \cdot \varphi \left( {{t_{n - 1}},{t_n}} \right)}}{{1 + \chi \left( {{t_{n - 1}},{t_n}} \right) \cdot \varphi \left( {{t_{n - 1}},{t_n}} \right)}}$；L为加固梁跨度；M_{ctn-1, max}为t_n-1时作用在刻混凝土部分的弯矩。

$ \begin{array}{l} \Delta {N_{{\rm{cn,max}}}} = \lambda \frac{{q{L^2}}}{8}\frac{{{E_{{\rm{c}},{t_n}}}{I_c}}}{{E{I_{{t_n}}}}} + \frac{{q\lambda }}{{{{\bar \alpha }^2}d}}\left( {1 - \frac{{{E_{{\rm{c}},{t_n}}}{I_c}}}{{E{I_{{t_n}}}}}} \right)\left[ {1 - \frac{1}{{\cos \left( {\frac{{\bar \alpha L}}{2}} \right)}}} \right] + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{{K_{{t_{n - 1}}}}{\varepsilon _{{\rm{sh}}}}}}{{{{\bar \alpha }^2}}}\left[ {1 - \frac{1}{{\cos \left( {\frac{{\bar \alpha L}}{2}} \right)}}} \right] - \lambda \frac{{{M_{{\rm{c}}{t_{n - 1,{\rm{msx}}}}}}}}{d}, \end{array} $

对于没有发生端部锚固破坏的预应力CFRP布加固的钢筋混凝土梁，界面滑移较小，可以忽略不计。因此，认为胶层的剪切刚度很大，即K_tn-1→∞，公式(23)可以改写为

$ \Delta {N_{{\rm{cn,max}}}} = \lambda \frac{{q{L^2}}}{8}\frac{{{E_{{\rm{c}},{t_n}}}{I_c}}}{{E{I_{{t_n}}}}} + \frac{{{\varepsilon _{{\rm{sh}}}}}}{{\frac{{E{A_{{t_n}}}}}{{E{A_0}}} + \frac{{{d^2}}}{{{E_{{\rm{c}},{t_n}}}{I_c}}}}} - \lambda \frac{{{M_{{\rm{c}}{t_{n - 1,{\rm{msx}}}}}}}}{d}, $

(24)

式中：EA_tn=E_{c, tn}A_c+E_fA_f。

假设ΔM_n=0，ΔF_n=0，则跨中截面混凝土部分在t_n时刻的最大弯矩为

$ {M_{{\rm{c}}{t_{n{\rm{,max}}}}}} = {M_{{\rm{c}}{t_{n - 1,{\rm{msx}}}}}} + \Delta {N_{{\rm{c}}n{\rm{ - 1,max}}}}d, $

(25)

在划分的每一个时间段内，重复公式(24)和(25)可得

$ \Delta {N_{\rm{f}}} = - \Delta {N_{\rm{c}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\Delta {N_{{\rm{c}}n{\rm{,max}}}}} , $

(26)

则由混凝土收缩徐变和胶层徐变引起的预应力损失为

$ {\sigma _{{\rm{CR}}}} = \frac{{\Delta {N_{\rm{f}}}}}{{{A_{\rm{f}}}}}, $

(27)

2 模型验证

文献[2]进行了4根预应力CFRP布加固的钢筋混凝土梁预应力损失试验如图 2所示。试验梁为矩形截面钢筋混凝土梁，截面宽150 mm，高300 mm。受拉和受压区分别配置2根直径为14 mm的HRB335级钢筋，箍筋为直径8 mm的R235级钢筋，间距50 mm。试验梁长2 000 mm，净跨径为1 800 mm。使用的CFRP布宽度为140 mm，厚度为0.167 mm。粘贴的层数分别为1层、2层，施加的初始预应力大小为0.28~0.40倍CFRP布的极限抗拉强度。试验梁BPC-30-1、BPC-40-1及BPC-30-2预应力CFRP布在胶层胶体养护3 d后放张，而试验梁BPC-30-2a为张拉到设计初始预应力后即刻放张。

表 1给出了瞬时预应力损失、短期和长期预应力损失预测值与试验值的比较，表 2为材料力学性能。可以看出，对于文献[2]中的试验梁，瞬时预应力损失预测值与试验值最大差值仅为6.3 MPa，长期损失预测值与试验值最大差值为39.6 MPa，总损失预测值与试验值最大差值为45.9 MPa，占总损失实测值的20.3%。虽然出现一定的误差，但是在可接受的范围内，因此文中建立的模型可以用于预应力长期损失的预测。

3 结论

建立了考虑混凝土收缩徐变、胶层徐变及界面滑移的预应力CFPR布加固钢筋混凝土梁预应力长期损失微分增量方法。该方法将时间划分为有限个时间段，每个时间段内采用有效模量法，在给定的边界条件及荷载形式下，得到了预应力长期损失的闭合解。为验证建立的微分增量法的有效性，对相关文献中的试验梁进行了计算分析。计算结果表明，长期预应力损失计算值与试验值有差异，但是在可接受的范围之内，建立的微分增量模型可以用于预应力长期损失的预测。