在高速PCB(print circuit board)中，电源分配网络负责为芯片提供稳定可靠的电源供应。由于芯片供电电压的降低，电流增大，为保证更低的电源噪声，设计时PDN阻抗在一定的频段内要足够小^[1-2]。

电源板建模是PDN阻抗分析中最重要的部分。文献^[3-4]采用谐振腔模型得到电源板阻抗的解析式，这种方法精度高、计算快，但仅适用于矩形的电源板。对于任意形状的电源板，文献^[5-7]采用了数值方法，如时域有限差分法、矩量法、有限元法等，计算精度很高，但计算过程复杂。等效电路模型也较为常见，但也存在计算量巨大的问题。文献^[8-9]将电源板分割成多个矩形部分以及较小的任意结构，其中矩形部分通过解析式求解，从而有效地减小剖分区域，提高计算效率。然而对于电源板存在过孔或细缝的情况，分割法并不适用。因此，笔者将带有过孔等的电源板缝补回完整的矩形，结合解析式与有限差分法形成其互补模型，进而求得电源板的节点阻抗矩阵。

电源板的PDN阻抗较大且存在多个谐振点，工程中通常在电源板间添加去耦电容以降低PDN阻抗。文献^[10-11]根据经验公式确定去耦电容的数目，而电容的安装位置主要依赖于设计者的经验。文献^[12-13]则采用遗传算法、粒子群算法等自动选取电容及安装位置，使单电源端口PDN满足要求。比较两种算法，PSO较为简单且全局寻优能力更强。实际PCB存在多个受电电源端口，而这种单端口的设计没有考虑各端口间的相互影响，因此，笔者以多输入阻抗作为优化目标，通过PSO自动选取去耦电容及其位置，从而达到目标值要求。

1 电源分配网络阻抗分析

目标阻抗法指出，要将电源噪声限制在系统的噪声容限内，芯片受电电源端口的输入阻抗必须在一定频率范围内小于目标阻抗，而目标阻抗

${{Z}_{target}}=\frac{{{V}_{dd}}\times {{C}_{ripple}}}{{{I}_{t}}},$

(1)

式中：V_dd为工作电压，I_t是最坏情况下的瞬变电流的平均值，C_ripple指可容许纹波系数，一般取5%。受电电源端口的输入阻抗是电源EMI的关键参数。图 1是典型PDN的构成，其中，稳压器、电容器的模型分别是RL串联支路、RLC串联支路，而电源板的建模最为复杂。

1.1 谐振腔模型

当电源板为图 2所示的长方体结构时，采用谐振腔理论得到板上任意两个端口i和j间互阻抗Z_ij的表达式，即

$\begin{align} & {{Z}_{ij}}=j\omega \mu d\sum\limits_{m=0}^{\infty }{\sum\limits_{m=0}^{\infty }{\frac{{{C}_{m}}{{C}_{n}}}{ab({{k}^{2}}_{xm}+{{k}^{2}}_{yn}-{{k}^{2}})}}}\times cos({{k}_{xm}}{{x}_{i}})cos({{k}_{yn}}{{y}_{i}})cos({{k}_{xm}}{{x}_{j}})\times \\ & cos({{k}_{yn}}{{y}_{j}})sin~c\left( \frac{{{k}_{xm}}d{{x}_{i}}}{2} \right)sin~c\left( \frac{{{k}_{yn}}d{{y}_{i}}}{2} \right)\times sin~c\left( \frac{{{k}_{xm}}d{{x}_{j}}}{2} \right)sin~c\left( \frac{{{k}_{yn}}d{{y}_{j}}}{2} \right), \\ \end{align}$

(2)

式中：k_xm=mπ/a，k_yn=nπ/b，(x_i，y_i)，(x_j，y_j)分别为是端口i和j的坐标，(dx_i，dy_i)，(dx_j，dy_j)则为端口i、j的尺寸，数值远小于波长。当m=n=0时，C_mC_n=1；当m，n中有且仅有一个等于0时，C_mC_n=2；当m，n均大于0时，C_mC_n=4。复波数k=ω$\sqrt{\varepsilon \mu }$(1-j(tan δ+d_i/d)/2)，而d₁和d分别为金属板的趋肤深度和厚度。μ为基板的磁导率，ε是基板的介电常数。解析法计算快速且精度很高，但实际电源板常常存在通孔、狭缝、分割等结构，此时解析式不再适用，而数值方法如有限差分法能很好地解决这一问题。

1.2 等效电路模型

由于电源板间电位差分布满足二维赫姆赫兹方程

$({{\nabla }^{2}}+{{k}^{2}})\varphi \left( x,y \right)=j\omega \mu d{{J}_{z}}\left( x,y \right),$

(3)

式中：φ为电源板的电位差；J₀为注入电源板的电流。电源板边界满足

$\partial \varphi /\partial n=0。$

(4)

因此，求解电源板的阻抗转换为式(3)和(4)的定解问题。采用有限差分法求解时，首先对场域进行网格划分，形成正方形子块，如图 3(a)，由于子块的边长远小于λ，因此每个子块等效为一个节点。其次将式(3)离散成差分方程，根据差分方程构造图 3(b)的等效电路，其中，内部子块0的参数

${{R}_{1}}=0,{{L}_{1}}=\mu d,C=\varepsilon {{h}^{2}}/d,{{G}_{d}}=\omega Ctan~\delta ,$

(5)

式中：R₂=R₃=R₄=R₁，L₂=L₃=L₄=L₁。而紧邻边界的子块5，由于p,q为小于1的正数，等效电路的电感参数发生变化，即

$\begin{align} & {{L}_{1}}=p\left( p+1 \right)\mu d/2,{{L}_{2}}=q\left( q+1 \right)\mu d/2, \\ & {{L}_{3}}=\left( p+1 \right)\mu d/2,{{L}_{4}}=\left( q+1 \right)\mu d/2。 \\ \end{align}$

(6)

此外，等效电路中边界上的节点6和7做悬空处理。最后将所有子块的等效电路根据位置关系进行相应的电气连接，形成分布参数电路，进而求得任意节点的阻抗。

1.3 互补模型

在不规则的电源板中，为实现解析式的应用，尽可能地构造矩形部分的场域。如分割方法将电源板分割为若干矩形部分，与之类似，互补模型则寻找某电源板1的互补结构2，通过设置虚拟节点将两者连接成完整的矩形电源板3，如图 4所示。假设电源板1上有m个待求端口，记为p类，在1、2边界上设置n个虚拟节点，记为r类，与之对应电源板2上虚拟节点记为s类，如图 5所示。

电源板1和2的节点电压电流

$\left[ \begin{matrix} {{V}_{p}} \\ {{V}_{r}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{Z}_{pp}} & {{Z}_{pr}} \\ {{Z}_{rp}} & {{Z}_{rr}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{I}_{p}} \\ {{I}_{r}} \\ \end{matrix} \right],$

(7)

${{V}_{s}}={{Z}_{s}}{{I}_{s}},$

(8)

式中：Z_pp、Z_pr、Z_rp及Z_rr是未知量，Z_s采用解析式或路模型求解，即为已知量。由于r类端口和s类端口连接后形成端口q，显然q类端口的数目也为n，电压电流存在如下关系：

${{V}_{q}}={{V}_{r}}={{V}_{s}},{{I}_{q}}={{I}_{r}}+{{I}_{s}}。$

(9)

联立式(7)、(8)和(9)得电源板3的Z参数矩阵

$\left[ \begin{matrix} Z{{\prime }_{pp}} & Z{{\prime }_{pq}} \\ Z{{\prime }_{qp}} & Z{{\prime }_{qq}} \\ \end{matrix} \right]={{\left[ \begin{matrix} {{E}_{m\times m}} & {{Z}_{pr}}{{Z}^{-1}}_{s} \\ 0 & {{E}_{n\times n}}+{{Z}_{rr}}{{Z}^{-1}}_{s} \\ \end{matrix} \right]}^{-1}}\left[ \begin{matrix} {{Z}_{pp}} & {{Z}_{pr}} \\ {{Z}_{rp}} & {{Z}_{rr}} \\ \end{matrix} \right]。$

(10)

对式(10)进行代数变换得到电源板1的待求量

${{Z}_{pp}}=Z{{\prime }_{pp}}+Z{{\prime }_{pq}}{{({{Z}_{s}}-Z{{\prime }_{qq}})}^{-1}}Z{{\prime }_{qp}}。$

(11)

与数值方法相比，互补模型的剖分区域从较大的电源板1转化成较小的电源板2，在保证精度的同时可以极大地减少计算量，尤其适用于带有孔缝等细小结构的电源板。

最后将电源板模型与电容器、稳压器等其他元件的模型相连，并将电压源置0，形成新的节点阻抗矩阵。电源板1上某电源端口j的输入阻抗

${{Z}_{j}}=\frac{{{V}_{j}}}{{{I}_{j}}}=\frac{1}{{{I}_{j}}}\sum\limits_{l=1}^{n}{{{Z}_{jl}}{{I}_{l}}}。$

(12)

式中：n为电源端口的数目，V_j、I_j分别为端口j的电压、电流。Z_j考虑了其他受电电源端口的影响，又称为多输入阻抗。

2 电源去耦网络的优化

当电源端口的输入阻抗不满足目标阻抗时，需要为PDN设计合适的去耦网络以获得平坦的低输入阻抗，从而降低电源噪声。PDN去耦网络设计的关键是确定去耦电容的种类及其安装位置。由于去耦电容种类繁多，各电容去耦性能各异，选用不同电容，安装在不同位置都会得到不同的PDN阻抗。设计时，在允许安装去耦电容的区域上设置若干电容端口，用于表征位置信息。假设某PDN有a个电源端口，b个电容端口，Z参数矩阵根据电源端口、电容端口进行分块

$\left[ \begin{matrix} {{V}_{ic}} \\ {{V}_{cap}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{I}_{ic}} \\ {{I}_{cap}} \\ \end{matrix} \right]。$

(13)

1个电容端口只能安装1个电容，当电容端口k(k=a+1,a+2,…,a+b)有去耦电容时，电压V_k与电流I_k关系

$-{{\dot{I}}_{k}}={{Y}_{k}}{{\dot{V}}_{k}},$

(14)

式中Y_k是并联电容的导纳值，而该端口悬空时，Y_k数值为0。如果去耦电容及对应的端口均已知，那么b个电容端口的电压电流

${{I}_{cap}}={{Y}_{C}}{{V}_{cap}},$

(15)

式中Y_C=-diag(Y_a+1,Y_a+2, ^…,Y_a+b)。结合式(13)和式(15)可以消去所有的电容端口，从而得到添加电容后a个电源端口的Z参数矩阵

$Z=A+B{{(I-{{Y}_{C}}D)}^{-1}}{{Y}_{C}}C。$

(16)

当电容种类或位置发生改变时，Y_C发生变化，而Z与Y_C存在复杂的非线性关系。此外，工程可选用的电容种类繁多，如表贴电容就达到几千种，因此，去耦电容的选取是一个复杂非线性的全局寻优问题。针对这类工程问题，粒子群算法具有实现容易、精度较高、收敛快速的优点。PSO模拟鸟群飞行觅食的行为，从随机解出发，通过适应值来评价解的品质，追随当前搜索到的最优值来寻找全局最优。

PSO确定去耦电容时，根据自谐振频率对可选电容器进行排序并组成电容库C={c₁，c₂，…，c_r}，对可安装端口进行编号并组成端口库P={p₁，p₂，…，p_s}。设m个粒子组成种群X={x₁，x₂，…，x_m}，其中，每个粒子所处的位置x_i={c₁，p₁，c₂，p₂，…，c_n，p_n}表示电容c₁~c_n分别安装在端口p₁~p_n上。迭代时，粒子不断地调整自己的位置x_i，可以表示搜索新的电容安装方案。粒子能记住自己找到的最优解x_l及整个种群的最优解x_g。此外粒子都有一个速度v_i={v₁，v₂，…，v_m}，每次迭代后，粒子的速度、位置会得到更新^[14-15]：

$\begin{align} & {{v}_{id}}\left( t+1 \right)=\omega \left( t \right){{v}_{id}}\left( t \right)+{{p}_{1}}{{r}_{1}}\left( {{x}_{ld}}-{{x}_{id}} \right)+{{p}_{2}}{{r}_{2}}\left( {{x}_{gd}}-{{x}_{id}} \right){{x}_{id}}\left( t+1 \right)= \\ & {{x}_{id}}\left( t \right)+{{v}_{id}}\left( t+1 \right)\omega \left( t \right)=({{\omega }_{i}}-{{\omega }_{f}})\frac{{{t}_{max}}-t}{{{t}_{max}}}+{{\omega }_{f}}。 \\ \end{align}$

(17)

式中：x_id(t+1)、v_id(t+1)分别表示粒子i在t+1次迭代中第d维上的位置和速度，r₁和r₂是0~1之间的随机数，ω_i和ω_f分别是权重ω的起始值和最终值，p₁和p₂为加速系数，t_max是迭代的最大次数。

电容个数的减少不仅可以降低设计的成本，而且占用更少的空间，从而增加其他元件布局布线的灵活性。因此，将电容个数作为适应度函数的重要部分。优化过程存在约束条件，即每个电源端口均要满足目标阻抗的要求

$max({{Z}_{i}}\left( f \right))\le {{Z}_{itarget}},i=1,2,\ldots ,m,$

(18)

式中：Z_i(f)为频域下电源端口i的输入阻抗幅值，Z_itarget是电源端口i的目标值，m为电源端口数目。此时适应值

${{V}_{fit}}={{N}_{C}}+\sum\limits_{i=1}^{m}{(m}ax({{Z}_{i}}\left( f \right))-{{Z}_{itarget}}),$

(19)

式中，N_C为去耦使用的电容数，右端第2项不大于0，因此V_fit≤N_C。当约束条件不成立时，适应值

${{V}_{fit}}={{N}_{C}}+\sum\limits_{i=1}^{m}{(m}ax({{Z}_{i}}\left( f \right))-{{Z}_{itarget}})+50\sum\limits_{i=1}^{m}{max}({{Z}_{i}}\left( f \right))。$

(20)

式中，右端第3项是罚函数，V_fitN_C。整个过程进行最小值搜索，计算流程图如图 6所示，最后采用最少的去耦电容达到目标阻抗要求。

3 实例分析 3.1 电源板阻抗分析

为验证互补模型的正确性，选择某2层电源板作为分析实例。电源板外轮廓为圆角矩形，内部有一条长30 mm、宽2 mm的长方体孔缝，设置某端口P₁的位置为(10,15)，如图 7所示。计算频带为1~5 GHz，扫频点数为1 000。图 8对互补模型、ANSYS SIwave、HFSS的结果进行了对比，可以发现，互补模型的结果在大部分频段内与HFSS的基本吻合，而SIwave仿真值在频率较高时存在较大的误差。这是因为HFSS采用的是三维有限元法，在细小孔缝的附近进行精细的剖分以保证精度，而SIwave采用的是二维有限元法，计算时忽略了细小孔缝。在计算时间上，HFSS用了2 338 s，互补模型则只需75 s，因此，对于存在孔缝的不规则电源板的计算，互补模型能在保证精度的同时大幅地缩减计算时间。

3.2 基于多输入阻抗的去耦网络设计

实验设计了一块4层PCB，如图 9所示，该板顶层、底层是布线层，中间的电源平面和地平面构成电源板，其中铜皮厚0.036 mm，基板厚度为0.486 6 mm。

在底层设置电容端口P₄~P₁₉，在顶层设置电源端口P₁、P₂和P₃，工作电压为3.3 V，可容许纹波为5%，汲取的最大电流分别为60，50，40 mA，因此，P₁、P₂和P₃的目标阻抗分别为2.750，3.300，4.125 Ω。

仿真模型中，稳压器等效参数R_vrm=50 mΩ，L_vrm=5 nH，计算PDN的节点阻抗矩阵，并根据式(12)求得端口P₁、P₂和P₃的多输入阻抗。实验采用E5061B网络分析仪测量端口阻抗，同样地，将测量值转换成多输入阻抗。图 10中对仿真、实验结果进行对比，可以发现，两者在趋势上基本一致，数值较为接近。然而，3个受电端口的输入阻抗在很宽的频域范围内大于目标值。

为此，采用PSO确定去耦电容种类及安装端口，如表 1所示。图 11(a)、(b)分别为电容安装位置的示意图及焊接图。

图 12(a)为安装电容后各电源端口多输入阻抗的仿真曲线，与图 10(a)比较，去耦后超标频段的阻抗值有了很大的下降，曲线较为平坦并满足目标阻抗要求，而图 12(b)的实验曲线，其趋势与图 12(a)大致相同，谐振点有些偏移，基本满足各自的目标值，这说明该电容方案是有效的。

4 结 论

对于电源板的建模，通过设置其互补部分及虚拟节点，使解析表达式得以应用。当互补部分形状不规则时，应用有限差分法获得其阻抗特性。在互补部分较小时，与三维有限元法相比，互补模型在保证精度的同时大幅减少计算量，提高计算效率。

在此基础上将节点阻抗矩阵的求解过程嵌入到粒子群算法中，为PDN多个电源端口进行去耦电容的优化，同时，以实验板的3个受电电源端口为例，验证了这种方法在电源分配网络去耦设计中的有效性。