近些年来，随着同步技术和微弱目标检测技术的发展，基于外辐射源信号的雷达组网系统引起了国内外研究人员的广泛重视。基于外辐射源信号的雷达组网系统是一种特殊的多基地雷达，它可以利用电视台^[1]、通用移动通信(UMTS)基站^[2-3]、调频(FM)广播电台^[4-5]、全球定位系统(GPS)卫星^[6]及WiFi信号^[7]等第三方辐射源经目标散射后的回波来获取目标信息。由于外辐射源雷达组网可以直接利用已存在的大量民用信号源作为发射站，而不需要额外提供发射机，因此，系统具有抗截获、抗干扰、抗低空突防、反隐身、研制和维护成本低、机动性强等诸多优势^[8-10]。

相比于其他外辐射源信号，UMTS信号和FM信号资源充足且分布广泛，具有良好的多普勒分辨率，利用这些信号作为无源雷达组网系统的外辐射源信号能够对目标提供持续的照射，从而进一步提高目标的参数估计性能。文献[2-3]分别推导了基于UMTS信号的无源多基地雷达系统的克拉美罗下界(CRLB)和模糊函数，并对影响目标参数估计性能和分辨性能的因素进行了分析。文献[5]则采用FM广播信号作为外辐射源信号，并利用无源相干定位(PCL)对目标进行跟踪。文献[11]研究了无源多输入多输出(MIMO)雷达组网系统中的目标检测问题，并推导了一种新的广义似然比检验准则。文献[12]针对基于全球移动通信系统(GSM)信号的多基地无源雷达系统，推导了目标位置和速度的最大联合似然估计(MLE)和期望CRLB，仿真结果表明，利用多部外辐射源发射机和无源接收机，可以有效提升目标的估计精度。

然而，在实际应用中，雷达组网系统中包含的雷达数目越多，所需的传输带宽和数据量就越大，融合中心的信息处理负荷也就越高，这就要求在系统资源有限的情况下，尽可能地达到更好的性能。因此，多传感器选择问题就成为工程应用中的一个重要问题。文献[13]在考虑实际中传输带宽和融合中心信息处理能力的前提下，研究了分布式多雷达系统的传感器选择问题，作者提出了2种优化模型：一种是在达到预先设定的目标定位精度的条件下，使用最少数目的发射机和接收机；另一种是在系统中选择给定数目的发射机和接收机，以达到最优的目标定位精度。针对非线性量测模型，文献[14]提出了一种基于稀疏表示的传感器选择算法，目的是在满足目标参数估计精度需求的前提下，使用最少数目的传感器。而文献[15]则研究了无线通信中的传感器选择问题，并分别采用半正定规划算法和贪婪算法对优化模型进行了求解。Greco和Stinco等^[16-17]首次将传感器选择问题应用于无源雷达系统中，该算法通过选择最优的发射机接收机对，提升了目标的跟踪性能，并用实测数据对所提算法进行了验证。针对基于外辐射源的多基地合成孔径雷达(SAR)成像问题，文献[18]提出了最优发射机子集选择模型。总的来说，上述算法提出了优化分配多传感器系统资源的思想，为后续研究奠定了坚实的基础。

研究针对目标参数估计性能，提出了一种基于FM信号的外辐射源雷达组网多传感器选择算法。首先，推导了目标参数估计的相干CRLB。然后，在给定FM信号接收机数目的条件下，以最小化目标参数估计误差的CRLB为目标，建立了基于FM信号的外辐射源雷达组网系统最优接收机选择模型，并用贪婪启发式算法对此优化问题进行了求解。仿真结果表明，所提算法不仅可以在系统资源有限的情况下提升目标的参数估计性能，而且可以大大减小计算量，具有很强的实用性。

1 信号模型

考虑一个具有N_t部FM信号发射机和N_r多信道接收机的外辐射源雷达组网系统。假设第i部FM信号发射机和第j部接收机分别位于p_i^t=[x_i^t, y_i^t]和p_j^r=[x_j^r, y_j^r]。目标的位置和速度是确定未知的，分别为p=[x, y]和v=[v_x, v_y]。

第i部FM发射机的信号复包络为$\sqrt {{E_i}} si\left( t \right)$，其中，E_i为发射功率，发射信号s_i(t)可以表示为

$ {s_i}\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{\sqrt T }}{{\rm{e}}^{j\beta \sin \left( {2{\rm{\pi }}ft + \varphi } \right)}},\left| t \right| \le \frac{T}{2},\\ 0,{\rm{else}},{\rm{ }} \end{array} \right. $

(1)

式中：T为信号发射时长；β为调制指数；f为瞬时频率；φ为信号相位。假设所有接收机都能对直达波和多径杂波进行抑制，并能接收和处理从目标散射的所有FM发射信号波形。

根据文献[19-20]，第ij条路径的时延τ_ij是目标位置p=[x, y]的函数，可以表示为

$ {\tau _{ij}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {x_i^t - x} \right)}^2} + {{\left( {y_i^t - y} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x_j^r - x} \right)}^2} + {{\left( {y_j^r - y} \right)}^2}} }}{c}{\rm{ }} = \frac{{d_i^t + d_j^r}}{c},{\rm{ }} $

(2)

式中：c是光速；d_i^t表示从目标到第i部FM发射机的距离；d_j^r表示从目标到第j部接收机的距离。由于目标的运动，使得目标相对于发射机和接收机产生多普勒频率，则第ij条路径的多普勒频率f_ij可表示为

$ \begin{gathered} {f_{ij}} = \frac{{{f_{ci}}}}{c}\;\frac{{{v_x}\left( {x_i^t-x} \right) + {v_y}\left( {y_i^t-y} \right)}}{{d_i^t}} \hfill \\ + \frac{{{f_{ci}}}}{c}\;\frac{{{v_x}\left( {x_i^r-x} \right) + {v_y}\left( {y_i^r - y} \right)}}{{d_i^r}} \hfill \\ \end{gathered} $

(3)

式中：f_ci为第i部发射机的载频。由式可以看出，在p_i^t=[x_i^t, y_i^t]、p_j^r=[x_j^r, y_j^r]和f_ci确定的情况下，目标的多普勒频率为目标位置p=[x, y]和速度$\vec v = \left[{{v_x}, {v_y}} \right]$的函数。

2 算法描述 2.1 目标参数估计性能的相干CRLB

CRLB表征无偏估计量所能达到的最小误差协方差矩阵，这就为任何无偏估计量的方差确定了一个下限。笔者通过推导Fisher信息矩阵(FIM)来计算表征目标联合参数估计误差的相干CRLB。根据文献[2]可知，相干处理模式需要系统中的各发射机和接收机保持空间、时间和相位同步。在这种模式下，将目标看作单点散射源，可以用一个确定未知的复散射系数来表示目标的散射特性，即

$ \zeta {\rm{ = }}\zeta {\rm{Re}} + j{\zeta _{{\rm{lm}}}}\;\;\;\;\;。 $

(4)

因此，目标状态向量定义为

$ \Theta = {\left[ {x,y,{v_x},{v_y},\zeta {\mathop{\rm Re}\nolimits} ,{\zeta _{{\rm{lm}}}}} \right]^*}, $

(5)

式中，上标^*表示矩阵转置。于是，第j部接收机接收到的关于第i部FM发射机的信号为

$ \begin{gathered} {r_{ij}}\left( t \right) = \sqrt {{E_i}} \zeta {s_i}\left( {t-{\tau _{ij}}} \right){{\text{e}}^{-j2\pi fci\tau ij}}{{\text{e}}^{j2\pi fijt}} \hfill \\ + {n_{ij}}\left( t \right) \hfill \\ \end{gathered} $

(6)

式中：n_ij(t)是第ij条路径上的加性噪声，且符合方差为σ_n²的零均值高斯分布。

目标状态向量Θ的似然函数可以表示为

$ {\Lambda _{ij}}\left( {\Theta ;{r_{ij}}\left( t \right)} \right) = \exp \left\{ { - \frac{{{E_i}}}{{\sigma _n^2}}\int_{ - \infty }^\infty {{{\left| {{r_{ij}}\left( t \right) - \zeta {s_i}\left( {t - {\tau _{ij}}} \right)\exp \left[ {j2\pi \left( {{f_{ij}}t - {f_{ci}}{\tau _{ij}}} \right)} \right]} \right|}^2}{\rm{d}}t} } \right\} $

(7)

则对数似然函数可以写成

$ {L_{ij}}\left( {\Theta ;{r_{ij}}\left( t \right)} \right) = - \frac{{{E_i}}}{{\sigma _n^2}}\int_{ - \infty }^\infty {{{\left| {{r_{ij}}\left( t \right) - \zeta {s_i}\left( {t - {\tau _{ij}}} \right)\exp \left[ {j2{\rm{\pi }}\left( {{f_{ij}}t - {f_{ci}}{\tau _{ij}}} \right)} \right]} \right|}^2}{\rm{d}}t} {\rm{ + }}{C_{ij}},{\rm{ }} $

(8)

式中：C_ij为与目标状态向量Θ无关的常数。由于基于FM信号的外辐射源雷达组网系统中各发射机和接收机是空间分开的，从而使得不同发射机-接收机对所接收到的信号r_ij(t)相互独立。因此，系统的联合对数似然函数为

$ \begin{gathered} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;L\left( {\Theta ;r\left( t \right)} \right) = \sum\limits_{i = 1}^{Nt} {\sum\limits_{j = 1}^{Nr} {{L_{ij}}\left( {\theta ;{r_{ij}}\left( t \right)} \right)} } = \hfill \\ \sum\limits_{i = 1}^{Nt} {\sum\limits_{j = 1}^{Nr} {\frac{{2{E_i}}}{{\sigma _n^2}}} } \int_{- \infty }^\infty {\operatorname{Re} \left\{ {{\zeta ^*}{r_{ij}}\left( t \right)s_i^*\left( {t- {\tau _{ij}}} \right)\exp \left[{-j2\pi \left( {{f_{ij}}t-{f_{ci}}{\tau _{ij}}} \right)} \right]} \right\}} dt -\hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{i = 1}^{Nt} {\sum\limits_{j = 1}^{Nr} {\frac{{{E_i}}}{{\sigma _n^2}}{{\left| \zeta \right|}^2} + C, } } \hfill \\ \end{gathered} $

(9)

式中：r(t)=[r₁₁(t), r₁₂(t), …, r_NtNr(t)]^*表示所有接收机接收到的信号集合，$C = \sum\limits_{i = 1}^{{N_t}} {\sum\limits_{j = 1}^{{N_r}} {{C_{ij}}} } $为与目标状态向量Θ无关的常数。由此得到目标参数估计的FIM为

$ \begin{gathered} {J_{coh}}\left( \Theta \right) = {E_{r\left( t \right);\Theta }}\left\{ {{\nabla _\Theta }\ln \Lambda \left( {\Theta ;r\left( t \right)} \right){{\left[{{\nabla _\Theta }\ln \Lambda \left( {\Theta ;r\left( t \right)} \right)} \right]}^*}} \right\} = \hfill \\ - {E_{r\left( t \right);\Theta }}\left\{ {{\nabla _\Theta }{{\left[{{\nabla _\Theta }\ln \Lambda \left( {\Theta ;r\left( t \right)} \right)} \right]}^*}} \right\} \hfill \\ \end{gathered} 。 $

(10)

为了式计算的简便，在此定义一个未知的目标参数向量

$ \Psi = {\left[ {{\tau _{11}},{\tau _{12}}, \cdots {\tau _{{N_t}{N_r}}},{f_{11}},{f_{12}}, \cdots {f_{{N_t}{N_r}}},\zeta {\mathop{\rm Re}\nolimits} ,\zeta {\rm{lm}}} \right]^*}。 $

(11)

根据文献[19]中的推导，由链式法则，FIM的解析表达式可以重新写成

$ \begin{array}{l} {J_{coh}}\left( \Theta \right) = \left( {{\nabla _\Theta }{\Psi ^*}} \right)J\left( \Psi \right){\left( {{\nabla _\Theta }{\Psi ^*}} \right)^*} = \;\\ \sum\limits_{i = 1}^{Nt} {\sum\limits_{j = 1}^{Nr} {\frac{{8{{\rm{\pi }}^2}{{\left| \zeta \right|}^2}{E_i}}}{{\sigma _n^2}}{J_{ij}}\left( \Theta \right)} } , \end{array} $

(12)

式中：J_ij(Θ)为第ij条路径所对应的相干FIM，可分别表示为

$ \begin{array}{l} J_{ij}^{11}\left( \Theta \right) = \left\{ {\frac{{2{\rm{\pi }}f{\beta ^2}}}{T}\left[ {2{\rm{\pi }}fT + \sin \left( {2{\rm{\pi }}fT} \right)\cos \left( {2\varphi } \right)} \right] + f_{ci}^2} \right\}{\left( {\frac{{\partial {\tau _{ij}}}}{{\partial x}}} \right)^2} + \\ 2\frac{{\beta \sin \left( \varphi \right)}}{{{\rm{\pi }}fT}}\left[ {{\rm{\pi }}fT\cos \left( {{\rm{\pi }}fT} \right) - \sin \left( {{\rm{\pi }}fT} \right)} \right]\left( {\frac{{\partial {\tau _{ij}}}}{{\partial x}}} \right)\left( {\frac{{\partial {f_{ij}}}}{{\partial x}}} \right) + \frac{{{T^2}}}{{12}}{\left( {\frac{{\partial {f_{ij}}}}{{\partial x}}} \right)^2};{\rm{ }} \end{array} $

(13)

$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;J_{ij}^{12}\left( \Theta \right) = J_{ij}^{21}\left( \Theta \right) = \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\frac{{2{\rm{\pi }}f{\beta ^2}}}{T}\left[ {2{\rm{\pi }}fT + \sin \left( {2{\rm{\pi }}fT} \right)\cos \left( {2\varphi } \right)} \right] + f_{ci}^2} \right\}\left( {\frac{{\partial {\tau _{ij}}}}{{\partial x}}} \right) + }\\ {\frac{{\beta \sin \left( \varphi \right)}}{{{\rm{\pi }}fT}}\left[ {{\rm{\pi }}fT\cos \left( {{\rm{\pi }}fT} \right) - \sin \left( {{\rm{\pi }}fT} \right)} \right]\left( {\frac{{\partial {\tau _{ij}}}}{{\partial x}}} \right)} \end{array}} \right]\left( {\frac{{\partial {\tau _{ij}}}}{{\partial y}}} \right) + \\ \left\{ {\frac{{\beta \sin \left( \varphi \right)}}{{{\rm{\pi }}fT}}\left[ {{\rm{\pi }}fT\cos \left( {{\rm{\pi }}fT} \right) - \sin \left( {{\rm{\pi }}fT} \right)} \right]\left( {\frac{{\partial {\tau _{ij}}}}{{\partial x}}} \right) + \frac{{{T^2}}}{{12}}\left( {\frac{{\partial {f_{ij}}}}{{\partial x}}} \right)} \right\}\left( {\frac{{\partial {f_{ij}}}}{{\partial x}}} \right);{\rm{ }} \end{array} $

(14)

$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;J_{ij}^{13}\left( \Theta \right) = J_{ij}^{31}\left( \Theta \right) = \\ \left\{ {\frac{{\beta \sin \left( \varphi \right)}}{{{\rm{\pi }}fT}}\left[ {{\rm{\pi }}fT\cos \left( {{\rm{\pi }}fT} \right) - \sin \left( {{\rm{\pi }}fT} \right)} \right]\left( {\frac{{\partial {\tau _{ij}}}}{{\partial x}}} \right) + \frac{{{T^2}}}{{12}}\left( {\frac{{\partial {f_{ij}}}}{{\partial x}}} \right)} \right\}\left( {\frac{{\partial {f_{ij}}}}{{\partial x}}} \right);{\rm{ }} \end{array} $

(15)

$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;J_{ij}^{13}\left( \Theta \right) = J_{ij}^{31}\left( \Theta \right) = \\ \left\{ {\frac{{\beta \sin \left( \varphi \right)}}{{{\rm{\pi }}fT}}\left[ {{\rm{\pi }}fT\cos \left( {{\rm{\pi }}fT} \right) - \sin \left( {{\rm{\pi }}fT} \right)} \right]\left( {\frac{{\partial {\tau _{ij}}}}{{\partial x}}} \right) + \frac{{{T^2}}}{{12}}\left( {\frac{{\partial {f_{ij}}}}{{\partial x}}} \right)} \right\}\left( {\frac{{\partial {f_{ij}}}}{{\partial x}}} \right);{\rm{ }} \end{array} $

(16)

$ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;J_{ij}^{15}\left( \Theta \right) = J_{ij}^{51}\left( \Theta \right) = \frac{{\zeta {\rm{lm}}}}{{2{\rm{\pi }}{{\left| \zeta \right|}^2}}}{f_{ci}}\left( {\frac{{\partial {\tau _{ij}}}}{{\partial x}}} \right); $

(17)

$ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;J_{ij}^{16}\left( \Theta \right) = J_{ij}^{61}\left( \Theta \right) = - \frac{{\zeta {\mathop{\rm Re}\nolimits} }}{{2{\rm{\pi }}{{\left| \zeta \right|}^2}}}{f_{ci}}\left( {\frac{{\partial {\tau _{ij}}}}{{\partial x}}} \right); $

(18)

$ \begin{array}{l} J_{ij}^{22}\left( \Theta \right) = \left\{ {\frac{{2{\rm{\pi }}f{\beta ^2}}}{T}\left[ {2{\rm{\pi }}fT + \sin \left( {2{\rm{\pi }}fT} \right)\cos \left( {2\varphi } \right)} \right] + f_{ci}^2} \right\}{\left( {\frac{{\partial {\tau _{ij}}}}{{\partial y}}} \right)^2} + \\ 2\frac{{\beta \sin \left( \varphi \right)}}{{{\rm{\pi }}fT}}\left[ {{\rm{\pi }}fT\cos \left( {{\rm{\pi }}fT} \right) - \sin \left( {{\rm{\pi }}fT} \right)} \right]\left( {\frac{{\partial {\tau _{ij}}}}{{\partial y}}} \right)\left( {\frac{{\partial {f_{ij}}}}{{\partial y}}} \right) + \frac{{{T^2}}}{{12}}{\left( {\frac{{\partial {f_{ij}}}}{{\partial y}}} \right)^2};{\rm{ }} \end{array} $

(19)

$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;J_{ij}^{23}\left( \Theta \right) = J_{ij}^{32}\left( \Theta \right) = \\ {\rm{ }}\left\{ {\frac{{\beta \sin \left( \varphi \right)}}{{{\rm{\pi }}fT}}\left[ {{\rm{\pi }}fT\cos \left( {{\rm{\pi }}fT} \right) - \sin \left( {{\rm{\pi }}fT} \right)} \right]\left( {\frac{{\partial {\tau _{ij}}}}{{\partial y}}} \right) + \frac{{{T^2}}}{{12}}\left( {\frac{{\partial {f_{ij}}}}{{\partial y}}} \right)} \right\}\left( {\frac{{\partial {f_{ij}}}}{{\partial {v_x}}}} \right);{\rm{ }} \end{array} $

(20)

$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;J_{ij}^{24}\left( \Theta \right) = J_{ij}^{42}\left( \Theta \right) = \\ \left\{ {\frac{{\beta \sin \left( \varphi \right)}}{{{\rm{\pi }}fT}}\left[ {{\rm{\pi }}fT\cos \left( {{\rm{\pi }}fT} \right) - \sin \left( {{\rm{\pi }}fT} \right)} \right]\left( {\frac{{\partial {\tau _{ij}}}}{{\partial y}}} \right) + \frac{{{T^2}}}{{12}}\left( {\frac{{\partial {f_{ij}}}}{{\partial y}}} \right)} \right\}\left( {\frac{{\partial {f_{ij}}}}{{\partial {v_y}}}} \right);{\rm{ }} \end{array} $

(21)

$ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;J_{ij}^{25}\left( \Theta \right) = J_{ij}^{52}\left( \Theta \right) = \frac{{\zeta {\rm{lm}}}}{{2{\rm{\pi }}{{\left| \zeta \right|}^2}}}{f_{ci}}\left( {\frac{{\partial {\tau _{ij}}}}{{\partial y}}} \right); $

(22)

$ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;J_{ij}^{26}\left( \Theta \right) = J_{ij}^{62}\left( \Theta \right) = - \frac{{\zeta {\mathop{\rm Re}\nolimits} }}{{2{\rm{\pi }}{{\left| \zeta \right|}^2}}}{f_{ci}}\left( {\frac{{\partial {\tau _{ij}}}}{{\partial y}}} \right); $

(23)

$ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;J_{ij}^{33}\left( \Theta \right) = \frac{{{T^2}}}{{12}}{\left( {\frac{{\partial {f_{ij}}}}{{\partial {v_x}}}} \right)^2}; $

(24)

$ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;J_{ij}^{34}\left( \Theta \right) = J_{ij}^{43}\left( \Theta \right) = \frac{{{T^2}}}{{12}}\left( {\frac{{\partial {f_{ij}}}}{{\partial {v_x}}}} \right)\left( {\frac{{\partial {f_{ij}}}}{{\partial {v_y}}}} \right); $

(25)

$ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;J_{ij}^{35}\left( \Theta \right) = J_{ij}^{53}\left( \Theta \right) = 0; $

(26)

$ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;J_{ij}^{36}\left( \Theta \right) = J_{ij}^{63}\left( \Theta \right) = 0; $

(27)

$ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;J_{ij}^{44}\left( \Theta \right) = \frac{{{T^2}}}{{12}}{\left( {\frac{{\partial {f_{ij}}}}{{\partial {v_y}}}} \right)^2}; $

(28)

$ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;J_{ij}^{45}\left( \Theta \right) = J_{ij}^{54}\left( \Theta \right) = 0; $

(29)

$ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;J_{ij}^{46}\left( \Theta \right) = J_{ij}^{54}\left( \Theta \right) = 0; $

(30)

$ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;J_{ij}^{55}\left( \Theta \right) = \frac{1}{{4{\rm{\pi }}{{\left| \zeta \right|}^2}}}; $

(31)

$ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;J_{ij}^{56}\left( \Theta \right) = J_{ij}^{65}\left( \Theta \right) = 0; $

(32)

$ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;J_{ij}^{66}\left( \Theta \right) = \frac{1}{{4{\rm{\pi }}{{\left| \zeta \right|}^2}}}。 $

(33)

详细推导过程可参见文献[20]。

2.2 最优接收机选择算法

定义了一个二元接收机选择变量w_j∈{0, 1}，当w_j=1时，表示第j部接收机接收FM发射机所发射的信号以对目标进行参数估计，反之则不接收。在此基础上，相干FIM表达式可以进一步表示为

$ {J_{{\rm{coh}}}}\left( {\Theta ,w} \right) = \sum\limits_{i = 1}^{Nt} {\sum\limits_{j = 1}^{Nr} {\frac{{8{{\rm{\pi }}^2}{{\left| \zeta \right|}^2}{E_i}{\omega _j}}}{{\sigma _n^2}}} } {J_{ij}}\left( \Theta \right), $

(34)

式中：w=[w₁, …, w_Nr]^*。于是，可以得到相干CRLB

$ {\text{CRL}}{{\text{B}}_{{\text{coh}}}}\left( {\Theta, w} \right) = J_{{\text{coh}}}^{-1}\left( {\Theta, w} \right)。 $

(35)

采用相干CRLB的迹表征目标参数估计的均方误差，即

$ {\text{tr}}\left[{{\text{CRL}}{{\text{B}}_{{\text{coh}}}}\left( {\Theta, w} \right)} \right] = {\text{tr}}\left[{J_{{\text{coh}}}^{-1}\left( {\Theta, w} \right)} \right], $

(36)

式中：tr[·]表示求矩阵的迹，tr[CRLB_coh(Θ, w)]体现了目标的总体估计精度。目标的总体参数估计精度与FM信号的发射功率、发射时长、调制指数、所选择的FM信号接收机以及目标相对于雷达组网系统的空间位置关系等诸多因素有关。优化变量为FM信号接收机的选择方式，具体的优化模型可以表示为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\min }\limits_w \;{\text{tr}}\left[{{\text{CRL}}{{\text{B}}_{{\text{coh}}}}\left( {\Theta, w} \right)} \right], } \\ {{\text{s}}.{\text{t}}.\;:\;{{\left\| w \right\|}_0} = K, w \in {{\left\{ {0, 1} \right\}}^{Nr}}, } \end{array}} \right. $

(37)

该优化函数的目的可以描述为：在外辐射源雷达组网系统用于对目标进行参数估计的接收机数目k一定的情况下，通过对接收机组合进行优化选择，使目标的总体估计精度最高。

很明显，是一个非凸的优化问题。求解这类问题可以采用穷举法遍历系统中的所有接收机组合，然而随着组网中接收机数量的增加，计算量会显著增大，全遍历寻优方式存在组合爆炸问题。为了减小计算量，笔者提出一种贪婪启发式算法。定义目标函数

$ \begin{array}{l} f\left( {{S_t}} \right) \buildrel \Delta \over = {\rm{tr}}\left[ {{\rm{CRL}}{{\rm{B}}_{{\rm{coh}}}}\left( {\Theta ,w} \right)} \right] = \\ {\rm{tr}}{\left[ {\sum\limits_{i = 1}^{Nt} {\sum\limits_{j \in Sr} {\frac{{8{{\rm{\pi }}^2}{{\left| \zeta \right|}^2}{E_i}}}{{\sigma _n^2}}} } {J_{ij}}\left( \Theta \right)} \right]^{ - 1}},{\rm{ }} \end{array} $

式中：S_r表示所选择的接收机集合。每次迭代选取一个具有最小f(S_r)的接收机形成目标参数估计的接收机组合，通过贪婪选择当前状态下的最优选择，直到所选的接收机数目达到K为止，所得w即为模型的最优解。具体的算法步骤如下。

1) 初始化：$\alpha = 1, S_t^{\left( 1 \right)} = \phi, \overline {S_t^{\left( 1 \right)}} = \left\{ {\overrightarrow {p_1^r}, \cdots, \overline {p_{Nr}^r} } \right\}$；

2) 选择：选择系统中的最优接收机：$\overrightarrow {p_i^r} = \arg \;\mathop {\min }\limits_{j \in \overline {S_r^{\left( a \right)}} } f\left( {S_r^{\left( a \right)} \cup \overrightarrow {p_j^r} } \right)$；

3) 更新：将接收机$\overrightarrow {p_1^r} $加入到已选择的接收机集合中：$S_r^{\left( {a + 1} \right)} = S_r^{\left( a \right)} \cup \left\{ {\overrightarrow {p_i^r} } \right\}, \overline {S_r^{\left( {a + 1} \right)}} = \overline {S_r^{\left( a \right)}} \backslash \left\{ {\overrightarrow {p_i^r} } \right\};$；

4) 设$\alpha \leftarrow \alpha + 1$。如果α≤K，转Step2；否则，结束循环。

笔者所提算法不需要遍历所有接收机组合，当所选择的接收机数目为K且具有最小f(S_t)的组合即为模型的最优解，停止搜索。该算法不仅可以在系统资源有限的情况下提升目标的参数估计性能，而且可以大大减小计算量，具有很强的实用性。下面将用仿真实验来验证所提算法的可行性和有效性。

3 仿真结果与分析

为了验证提出的外辐射源雷达组网系统最优接收机选择算法的可行性和有效性，并进一步分析系统参数对接收机选择结果的影响，进行了如下仿真。考虑1个具有4部FM信号发射机和4部接收机所组成的外辐射源雷达组网系统，分别位于

$ \begin{gathered} \overrightarrow {p_1^t} = \left[{1\;500, 2\;000} \right]{\text{m}}, \overrightarrow {p_2^t} = \left[{3\;000, 2\;000} \right]{\text{m}}, \hfill \\ \overrightarrow {p_3^t} = \left[{2\;000, 1\;500} \right]{\text{m}}, \overrightarrow {p_4^t} = \left[{2\;500, 2\;500} \right]{\text{m}}, \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\overrightarrow {p_1^r} = \left[{2\;000, 0} \right]{\text{m}}, \overrightarrow {p_2^r} = \left[{4\;000, 0} \right]{\text{m}}, \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\overrightarrow {p_3^r} = \left[{0, 2\;000} \right]{\text{m}}, \overrightarrow {p_4^r} = \left[{0000, 4\;000} \right]{\text{m}} \hfill \\ \end{gathered} 。 $

假设目标位于[6 000, 5 000]m并以速度[50, 40]m/s运动，其中，目标的衰减系数为$\zeta {\rm{ = }}\frac{{\left( {1 + j} \right)}}{{\sqrt 2 }}$。图 1给出了目标相对于雷达组网系统的空间位置关系。假设各部发射机发射信号的参数都相同，FM信号发射时长为T₁=…=T_Nt=0.5 s，调制指数为β₁=…=β_Nt=5，瞬时频率为f₁=…=f_Nt=15 kHz，信号相位为${\varphi _1} = \cdots = {\varphi _{{N_t}}} = \frac{{\rm{\pi }}}{2}$，载频为f_c1=…=f_cNt=100 MHz。用于接收FM发射机所发射的信号并对目标进行参数估计的接收机数目K=3。

设定E₁=…=E_Nt=E，定义信噪比(SNR)为

$ {\text{SNR}} = 101{\text{g}}\left( {\frac{E}{{\sigma _n^2}}} \right)。 $

图 2给出了目标位置估计CRLB的平方根(RCRLB)与SNR的关系。其中，第2、3、4部接收机接收外辐射源所发射的信号并对目标进行参数估计，这是由于这3部接收机与目标的相对位置最好，具有最高的目标估计精度。从图 2中还可以看出，随着可选择接收机数目K的增大，RCRLB显著降低，这说明增加可选接收机的数目，能够有效地提高目标的参数估计性能。图 3、图 4分别给出了目标速度和衰减系数估计的RCRLB与SNR的关系。结果显示，随着SNR的增大，RCRLB得到明显降低，并迅速收敛。

为了更好地了解目标与雷达组网系统的位置关系对最优接收机选择结果的影响，将目标位置变为[4 000, 5 000]m，图 5、图 6和图 7分别给出了不同目标位置下，目标位置、速度和衰减系数RCRLB与SNR的关系。在这种情况下，选择第1、2、4部接收机接收经目标散射的FM信号并对其进行参数估计。将图 5、图 6、图 7分别与图 2、图 3、图 4进行对比可知，RCRLB随SNR的曲线发生明显变化，说明目标参数估计性能由于目标位置的改变受到了较大影响。这是因为目标位置的变化影响了式中目标参数向量Ψ的大小，从而使得相干CRLB也随之发生变化。另外，从图 5、图 6和图 7中还可以看出，目标估计精度随着SNR的改善显著提高，并随着可选择接收机数目K的增大迅速收敛。

4 结论

针对目标参数估计性能，提出了一种基于FM的外辐射源雷达组网最优接收机选择算法，目的是使系统能动态地协调各部FM信号接收机的使用，进而在资源有限的条件下达到更好的目标参数估计性能。该算法采用相干CRLB作为代价函数，并通过贪婪快速启发式算法对优化问题进行了求解。仿真结果表明，研究所提算法不仅可以在系统资源有限的情况下提升目标的参数估计性能，而且可以大大减小计算量，具有很强的实用性。