随着先进电力电子技术在智能电网中的广泛使用，非线性负荷(例如常用的有电弧炉、电气化铁路等)在电网中所占比重越来越大。非线性负荷的等值阻抗随电量变化而变化，因此可能会产生严重的谐波危害，例如谐波造成电气设备过热，降低设备使用寿命，导致继电保护和自动装置误动作，威胁电力系统的安全稳定运行、干扰通讯线路，甚至对通信设备和人员安全造成影响^[1-3]。

谐波对电力系统危害极大，因此有必要对非线性负荷的负荷特性进行研究。目前对非线性负荷特性的分析主要是利用快速傅里叶变换、prony算法、小波变换等谐波分析法分解谐波成份^[4-5]，结合国家标准，研究非线性负荷所造成的谐波污染程度。谐波分析法能够定性地研究非线性负荷所能造成的谐波污染程度，目前发展十分成熟，在工程中得到了大量应用，但不能从本质上研究非线性负荷的负荷特性。

非线性负荷产生谐波的本质原因是非线性负荷等值阻抗随电量变化，而线性负荷等值阻抗与电量变化无关。因此，通过求取非线性负荷的等值阻抗能够从本质上提取非线性负荷的负荷特征。对非线性负荷特征的提取，对电力系统的调度、运行、维护有很大作用，能够用于负荷分解、负荷预测、设备检查等诸多方面。

2000年，Ahmed从定位谐波源的目的出发，提出了一种可以实时求取非线性负荷等值阻抗参数的辨识方法^[6]。该方法以戴维南定律为基础，将负荷等值为一个电阻与电感串联的电路，并假设负荷的等值阻抗参数在一个很小的时间微元上保持不变，得到电路方程。利用最小二乘法解电路方程，得到负荷的实时等值阻抗参数，用以表征负荷特性。该方法简单易行，当负荷本身电路结构简单，且非线性变化缓慢时能够得到较好的效果，能够简单直接地判断非线性负荷的位置、划分谐波责任^[7-10]。但由于非线性负荷电路结构往往比较复杂，因而一个简单的电阻与电感串联的电路模型无法包含所有的暂态信息，由于模型的不对等，会造成负荷特性呈现很大的跳变。此外，该方法所采用的近似线性化手段不适用于所有非线性负荷，当负荷的非线性特性变化剧烈时，该方法失去准确性。

为此，提出一种基于高阶微分方程和信号拟合，通过实时求取非线性负荷的等值阻抗来获取非线性负荷特性的方法。首先建立高阶微分方程，使端口电压电流信号约束于该微分方程。然后利用改进的矩阵束方法拟合端口电压电流信号，将电压电流信号代入到约束端口电压电流的高阶微分方程中，最后通过数学变换，得到负荷的等值电抗参数。依据负荷的等值参数的变化特点，可获取非线性负荷的特性。本方法较之Ahmed等所提出的方法，其有效性更高，能够提取非线性负荷的负荷特性，区别线性负荷与非线性负荷。

1 信号拟合

非线性负荷产生的谐波信号可以表示为时域形式，其中A_n、φ_n、α_n和ω_n可由矩阵束方法^[11-15]获取。

$ y\left( t \right) = \sum\limits_{n = 1}^M {{A_n}{{\rm{e}}^{ - ant}}\cos \left( {{\omega _n}t + {\varphi _n}} \right)} , $

(1)

令

$ {A_n}\left( t \right) = {A_n}{{\rm{e}}^{ - ant}}, $

(2)

$ {\varphi _n} = \left( {{\omega _n} - {\omega _0}} \right)t + {\varphi _n}, $

(3)

将式(1)变形，可以得到

$ y\left( t \right) = \sum\limits_{n = 1}^M {{A_n}\left( t \right)\cos {\varphi _n}\cos {\omega _0}t} - \sum\limits_{n = 1}^M {{A_n}\left( t \right)\sin {\varphi _n}\sin {\omega _0}t} . $

(4)

现在令

$ A\left( t \right) = \sum\limits_{n = 1}^M {{A_n}\left( t \right)\cos \left[ {\left( {{\omega _n} - {\omega _0}} \right)t + {\varphi _n}} \right]} , $

(5)

$ B\left( t \right) = - \sum\limits_{n = 1}^M {{A_n}\left( t \right)\sin \left[ {\left( {{\omega _n} - {\omega _0}} \right)t + {\varphi _n}} \right]} , $

(6)

故

$ y\left( t \right) = A\left( t \right)\cos {\omega _0}t + B\left( t \right)\sin {\omega _0}t, $

(7)

或

$ y\left( t \right) = C\left( t \right)\sin \left( {{\omega _0}t + \varphi \left( t \right)} \right), $

(8)

式中

$ C\left( t \right) = \sqrt {A{{\left( t \right)}^2} + B{{\left( t \right)}^2}} , $

(9)

$ \varphi \left( t \right) = \arctan \frac{{A\left( t \right)}}{{B\left( t \right)}}. $

(10)

根据上述推导，将电压电流可以表示为正弦函数形式

$ u\left( t \right) = {A_u}\left( t \right)\sin \left( {{\omega _0}t + {\varphi _u}\left( t \right)} \right), $

(11)

$ i\left( t \right) = {A_i}\left( t \right)\sin \left( {{\omega _0}t + {\varphi _i}\left( t \right)} \right), $

(12)

或

$ u\left( t \right) = {A_u}\left( t \right)\cos {\omega _0}t + {B_u}\left( t \right)\sin {\omega _0}t, $

(13)

$ i\left( t \right) = {A_i}\left( t \right)\cos {\omega _0}t + {B_i}\left( t \right)\sin {\omega _0}t. $

(14)

矩阵束方法能够提取电压、电流信号中的主要谐波成份，首先利用矩阵束将电压电流信号分解为多个谐波相加的形式，再通过等式变换，将其等效为正弦函数的形式，与原有信号进行对比如果存在误差较大，则对误差信号再次分解、变换、比较，直至误差在5%以内。

2 非线性负荷阻抗参数的辨识求取方法

在电力系统中，任何电路的电压电流都约束于高阶微分方程

$ \sum\limits_{k = 0}^K {{a_k}u{{\left( t \right)}^{\left( k \right)}}} = \sum\limits_{k = 0}^K {{b_k}i{{\left( t \right)}^{\left( k \right)}}} . $

(15)

利用奇异值分解方法和最小二乘法，可以对上述高阶微分方程求解，解出其中的常系数a₀，a₁，…，a_k和b₀，b₁，…，b_k^[16]。将式(11)和式(12)代入式(15)中，通过化简和归纳可以得到

$ M\left( t \right)\cos {\omega _0}t + N\left( t \right)\sin {\omega _0}t = P\left( t \right)\cos {\omega _0}t + Q\left( t \right)\sin {\omega _0}t $

(16)

式中：M(t)，N(t)，P(t)，Q(t)分别为等式两边正弦分量与余弦分量的系数和；ω₀为f=50 Hz对应的角频率；

$ M\left( t \right) = \sum\limits_{r = 1}^n {{a_r}{A_{ur}}\left( t \right)} , $

(17)

$ N\left( t \right) = \sum\limits_{r = 1}^n {{a_r}{B_{ur}}\left( t \right)} , $

(18)

$ P\left( t \right) = \sum\limits_{r = 1}^n {{b_r}{A_{ir}}\left( t \right)} , $

(19)

$ Q\left( t \right) = \sum\limits_{r = 1}^n {{b_r}{B_{ir}}\left( t \right)} , $

(20)

$ {A_{ur}}\left( t \right) = {{A'}_{u\left( {r - 1} \right)}}\left( t \right) + {\omega _0}{B_{u\left( {r - 1} \right)}}\left( t \right), $

(21)

$ {B_{ur}}\left( t \right) = {{B'}_{u\left( {r - 1} \right)}}\left( t \right) - {\omega _0}{A_{u\left( {r - 1} \right)}}\left( t \right), $

(22)

$ {A_{ir}}\left( t \right) = {{A'}_{i\left( {r - 1} \right)}}\left( t \right) + {\omega _0}{B_{i\left( {r - 1} \right)}}\left( t \right), $

(23)

$ {B_{ir}}\left( t \right) = {{B'}_{i\left( {r - 1} \right)}}\left( t \right) - {\omega _0}{A_{i\left( {r - 1} \right)}}\left( t \right), $

(24)

$ {A_{u0}}\left( t \right) = {A_u}\left( t \right), $

(25)

$ {A_{i0}}\left( t \right) = {A_i}\left( t \right)。 $

(26)

2.1 感性负荷参数辨识

如图 1所示，为系统的时域等值模型。对于感性负载，负荷可以等值为一个电阻与电感串联的电路。u(t)为负荷端口电压，i(t)为端口电流。

基于上述等值网络，可以得到端口的电路方程

$ u\left( t \right) = R\left( t \right)i\left( t \right) + L\left( t \right)\frac{{{\rm{d}}i\left( t \right)}}{{{\rm{d}}t}}, $

(27)

将(14)化简、合并，并令

$ {\eta _1} = \frac{{P\left( t \right)M\left( t \right) + Q\left( t \right)N\left( t \right)}}{{{M^2}\left( t \right) + {N^2}\left( t \right)}}, $

(28)

$ {\eta _2} = \frac{{P\left( t \right)N\left( t \right) - Q\left( t \right)M\left( t \right)}}{{{M^2}\left( t \right) + {N^2}\left( t \right)}}, $

(29)

再由式(25)，可以得到

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_i}\left( t \right)}&{{{A'}_i}\left( t \right)}\\ 0&{{A_i}\left[ {{\omega _0} + {{\varphi '}_i}\left( t \right)} \right]} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {R\left( t \right)}\\ {L\left( t \right)} \end{array}} \right] = {A_u}\left( t \right)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\eta _1}\cos {\varphi _\Delta }\left( t \right) - {\eta _2}\sin {\varphi _\Delta }\left( t \right)}\\ {{\eta _1}\sin {\varphi _\Delta }\left( t \right) + {\eta _2}\cos {\varphi _\Delta }\left( t \right)} \end{array}} \right], $

(30)

式中φ_Δ(t)=φ_u(t)-φ_i(t)为阻抗角。解(30)即可得出负荷的等值阻抗参数R(t)，L(t)值。

2.2 容性负荷参数辨识

如图 2所示，对于容性负荷，可以等效为电阻与电容串联的电路。

对于该电路，有如下电路方程

$ \frac{{{\rm{d}}u\left( t \right)}}{{{\rm{d}}t}} = R\left( t \right)\frac{{{\rm{d}}i\left( t \right)}}{{{\rm{d}}t}} + \frac{1}{{C\left( t \right)}}i\left( t \right), $

(31)

同样将电压电流代入式(13)中，再令

$ \xi = P\left( t \right) - M\left( t \right) + {A_u}\left( t \right)\left[ {{\omega _0} + {{\varphi '}_i}\left( t \right)} \right], $

(32)

$ \eta = Q\left( t \right) - N\left( t \right) + {{A'}_u}\left( t \right), $

(33)

通过化简与归纳可得

$ {A_u}\left( t \right)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_i}\left[ {{\omega _0} + {{\varphi '}_i}\left( t \right)} \right]}&0\\ {{{A'}_i}\left( t \right)}&{{A_i}\left( t \right)} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {R\left( t \right)}\\ {\frac{1}{{C\left( t \right)}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\xi \cos \Delta \varphi + \eta \sin \Delta \varphi }\\ { - \xi \sin \Delta \varphi + \eta \cos \Delta \varphi } \end{array}} \right]。$

(34)

利用数学方法解式(34)即可求得负荷的等值阻抗参数R(t)，C(t)。若求出的等值阻抗参数随电量变化而变化，则负荷为非线性负荷；反之，负荷为线性负荷。需要说明的是，非线性负荷计算出的R(t)，L(t)，C(t)值，不完全代表负荷的实际参数，而是体现出负荷电压和电流间的数学关系。

研究来用高阶微分方程作为数学模型，代表端口电压电流之间的关系，利用最小二乘法确定模型的阶数，该模型具有较好的准确性，能够包含系统中大部分的暂态特性。此外，本方法避免使用分段线性化手段计算等值阻抗，提高了辨识的准确性，能够辨识短时剧烈的非线性特性，适用于分析非线性负荷的负荷特性。由于电力系统中负荷大多呈感性，因此采用式(30)对负荷特性进行分析。

3 算例分析

为了验证方法的准确性，文中对下述仿真算例进行分析。如图 3所示，其中f₁为感性线性负荷R₁=1 kΩ，L₁=0.01 H。f₂为纯阻性非线性负荷，其阻抗值随电流变化，当电流为正时，电阻为500 Ω，否则为100 Ω。f₃为纯阻性非线性负荷，其电阻值为i₃(t)+1000，单位为Ω。f₄为容性线性负荷。f₅为单相桥式全控整流负荷，其上所接负载为R_d=1 kΩ，L_d=0.07 H，触发角为90°。

由于非线性负荷等值阻抗参数随电量变化而变化。当系统所提供的正弦电压加在负荷f₂，f₃，f₅上时，将会产生畸变的电流，该电流在系统阻抗上产生非正弦的电压降，最终在公共母线处引起电压畸变，即产生谐波电压。110 kV母线电压如图 4所示，采样频率为10 kHz。

3.1 谐波干扰下的线性负荷参数辨识

为了验证方法的准确性，首先对线性负荷的等值参数进行辨识。图 5给出了最小二乘法和文中方法辨识结果。

可以看出，当系统中存在谐波污染时，利用最小二乘法得出的辨识结果存在较大跳变，等值电阻参数波动较大，且等值电感参数约为0.005 H，与设定参数差距很大。文中方法参数辨识较为理想，与实际值较为接近。

3.2 非线性负荷参数辨识

为了进一步验证方法的可行性，文中利用所提方法辨识算例中的非线性负荷等值阻抗(图 6)。

可以看出，负荷2的等值电阻参数在500 Ω和1 kΩ之间周期性变换。当电流为正时，电阻为500 Ω，电阻为负时，电阻为1 kΩ，辨识精度较高，误差在0.1%以内。负荷3的等值阻抗参数基本符合理论值(图 7)。

对整流负荷的分析以35 kV母线电压采样值为端口电压，变压器低压侧电流为电流采样值。所采样得到的电压信号如图 8所示。

整流负荷的特性与其开关状态有关。当VT₁，VT₄或VT₂，VT₃导通时，该电路相当于1 kΩ电阻与0.07 H电感串联，此时的等值电阻参数应为1 kΩ，等值电感参数应为0.07 H；由于系统中各个负荷综合作用，整流负荷端口电压存在一段采样值很小(小于5 V)的时间段，此时整流负荷等值电阻与电感参数应接近0。从仿真结果(图 9)可以看出，整流负荷的等值阻抗参数R在0~1 kΩ、L在0~0.07 H之间周期性变化，与理论分析结果一致。

从上述例子可以看出，文中所提出的方法可以准确提取非线性负荷等值阻抗，辨识精度较高，能准确提取突变且剧烈的非线性变化。整流负荷在受到系统中各个负荷综合作用的情况下，端口电压为零的时间较长，因此其等值阻抗在0~Z之间变换。本方法适用于系统中多个非线性同时作用时的负荷等值阻抗参数辨识。

4 结论

非线性负荷在电力系统中容易造成大量谐波，影响电能质量。非线性负荷从本质上说，是等值阻抗参数随电量变化而变化。利用高阶微分方程求取非线性负荷的等值阻抗参数，能够有效获取非线性负荷的特性，从而达到治理污染、探测非线性负荷、设备检查的目的。提出了一个辨识负荷等值阻抗的方法，并通过EMTDC/PSCAD平台搭建仿真模型，利用Matlab编程实现算法，并对算例进行分析。实验证明，该方法在辨识负荷等值阻抗参数时精度较高，可有效获取非线性负荷的特性。