铁水包周转频率和铁水包使用个数合理化研究是铁水包多功能集成技术包的重要研究内容^[1]，首钢京唐^[2]、重钢新区^[3]已经在实际生产过程中采用多功能铁水包集成技术，显示出良好的经济技术效果，然而其生产运行中均存在铁水包周转个数较多、铁水包理论周转个数不明确等问题，影响炼铁炼钢界面动态稳定运行。

铁水包周转个数归属于运输设备运行过程控制范畴^[4]，以往学者对于运输设备的运行过程控制方面的研究主要集中在天车和台车调度^[5]、钢包周转运行控制方面^[6-7], 对于铁水包理论周转个数及其运行控制方面的研究则较少。铁水包周转过程受到多重因素的约束，必须要考虑备包生产组织模式及空包配罐制度，其周转过程的控制必须要满足高炉出铁安全以及连铸连浇。以往学者对铁水装载容器数量如铁水包或者鱼雷罐周转个数的研究主要采用数学建模^[9-11]和仿真模拟^[12-13]的方法，以下阐述研究现状：基于供需平衡的方法^[9]由于受到鱼雷罐实际周转时间的影响，而鱼雷罐周转时间本身就受到在线鱼雷罐数量的影响，因此，该方法只能作为现场鱼雷罐在线个数的核算；基于排队论的方法^[10]将排队系统的容量设定为无限，且未考虑铁水包备包因素^[14]，所建排队论系统要素构建亦不合理；基于生产计划的方法^[11]侧重于设计层面，未考虑生产运行过程中备包空包配罐制度的影响；仿真方法^[12-13]亦未考虑铁水包备包生产及配罐制度对铁水包周转运行的影响。由于“一包到底”模式下铁水包周转过程较为复杂，以往鱼雷罐模式下依据转炉兑铁次数及铁水包周转时间来计算铁水包在线个数的传统方法已不适用，目前尚没有一种合适的方法用来计算铁水包理论周转个数^[15]。

笔者在充分考虑铁水包备包及配罐制度等约束条件的基础上，提出基于有限系统容量排队论的铁水包理论周转个数计算模型，应用模型对重钢新区铁水包理论周转个数进行计算，并对铁水包理论周转个数进行优化。研究结果对减少“一包到底”模式下铁水包在线个数、提高铁水运转效率等具有重要的指导意义。

1 铁水包周转过程排队系统

“一包到底”模式是指高炉出铁、铁水运输、铁水预处理及向转炉兑铁均使用同一个铁水包，中途不倒包。“一包到底”模式下的铁水包周转过程可以认为是铁水包在“铁钢界面”排队等待服务及完成服务的过程，即铁水包周转过程可视为典型的排队问题。针对该问题，韩伟刚等^[10]将铁水包周转过程分为高炉出铁、重包运输、铁水脱硫、转炉兑铁以及空包运输排队系统，而实际生产表明，铁水包周转运行主要受到生产计划约束，若将铁水包周转过程分为重包周转过程和空包周转过程，可知重包在脱硫以及转炉前的等待过程主要受炼钢生产计划约束；空包在高炉出铁口前等待时间主要受到高炉出铁计划约束。因此，考虑实际生产过程，应将铁水包周转过程缩减为3个串联的排队系统，即高炉出铁、铁水脱硫、转炉兑铁排队系统，表 1为基于改进排队论下铁水包周转过程各排队系统要素。此外，韩伟刚等^[10]所建排队论系统将系统容量设定为无限，而在实际生产过程中，为避免铁水温降过大以及保证连浇，铁水包备包个数有最大个数限定，超过限定个数后，现场会采取铸铁或者连铸机提前开浇等措施，从而使备包个数恢复正常，基于此，铁水包周转排队系统应有系统容量限制。

分析铁水包周转过程可知，铁水包热修寿命一般为15~20次，而其周转率一般在2.5~5次/d，即某一铁水包一旦进入在线循环，一般历经3~8 d才需要热修，因此，可以认为铁水包周转过程的3个串联排队系统接近闭环^[16-17]，而在闭环的串联排队网络中，前后工序相互影响^[18]，为实现3个排队系统动态平衡，需结合生产实际设定合理的容量值，以保证生产运行稳定。

2 基于有限容量排队论的铁水包理论周转个数计算模型

基于上述分析，铁水包周转过程中各个排队系统可以认定为各个系统容量有限地接近闭合的串联排队系统。针对该类排队系统，做出如下假设：1) 假定铁水包在时间t内到达n个顾客并服从泊松分布，则铁水包到达间隔时间服从负指数分布，平均达到率为λ；2) 排队规则设定为混合制，服务台为c个；3) 服务时间服从负指数分布，平均服务率为μ；4) 系统容量有限，最大容量为N；5) 服务规则设定为先到先服务(FCFS)。依据排队模型的表达方式，结合以上假设，系统容量有限的排队模型可以表示为M/M/c/N，其中M表示负指数分布。

对于系统容量有限的排队模型M/M/c/N(N≥c)，其状态平衡方程^[18]如下：

$ \left\{ \begin{array}{l} \lambda {P_0} = \mu {P_1},\\ \lambda {P_{n - 1}} + \left( {n + 1} \right)\mu {P_{n + 1}} = \left( {\lambda + n\mu } \right){P_n}\left( {1 \le n < c} \right),\\ c\mu {P_{n + 1}} + \lambda {P_{n - 1}} = \left( {\lambda + c\mu } \right){P_n}\left( {c \le n \le N} \right),\\ c\mu {P_N} = \lambda {P_{N - 1}}; \end{array} \right. $

(1)

式中：P₀、P₁、P_n－1、P_n、P_n+1、P_N－1、P_N为排队系统中分别有0、1、n－1、n、n+1、N－1、N个顾客的概率。其中$ \sum\limits_{n=0}^{N}{{{P}_{n}}=1} $，令$ \rho =\frac{\lambda }{c\mu } $为系统的服务强度，由式(1) 可得到当系统达到统计平衡时的状态概率^[18]为

$ \left\{ \begin{array}{l} {P_0} = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{\sum\limits_{k = 0}^c {\frac{{{{\left( {c\rho } \right)}^k}}}{{k!}} + \frac{{{c^c}}}{{c!}} \cdot \frac{{\rho \left( {{\rho ^c} - {\rho ^N}} \right)}}{{1 - \rho }}} }}\left( {\rho \ne 1} \right),\\ \sum\limits_{k = 0}^c {\frac{{{{\left( c \right)}^k}}}{{k!}} + \frac{{{c^c}}}{{c!}} \cdot \left( {N - c + 1} \right)\left( {\rho = 1} \right)} , \end{array} \right.\\ {P_n} = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{{\left( {c\rho } \right)}^n}}}{{n!}}{P_0}\left( {0 \le n \le c} \right),\left( {0 < n \le c} \right),\\ \frac{{{c^c}}}{{c!}}{\rho ^n}{P_0}\left( {c \le n \le N} \right),\left( {0 < n \le N} \right)。\end{array} \right. \end{array} \right. $

(2)

由式(2) 及Little公式，可得系统的运行指标^[18]如下：

$ {L_{\rm{q}}} = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{{\left( {c\rho } \right)}^c}\rho }}{{c!{{\left( {1 - \rho } \right)}^2}}}{P_0}\left[ {1 - {\rho ^{N - c}} - \left( {N - c} \right)\left( {1 - \rho } \right){\rho ^{N - c}}} \right]\left( {\rho \ne 1} \right),\\ \frac{{{{\left( c \right)}^c}}}{{2c!}}{P_0}\left( {N - c} \right)\left( {N - c + 1} \right),\left( {\rho = 1} \right), \end{array} \right. $

(3)

$ {L_{\rm{s}}} = {L_{\rm{q}}} + c\rho \left( {1 - {P_N}} \right), $

(4)

$ {W_{\rm{q}}} = \frac{{{L_{\rm{q}}}}}{{\lambda \left( {1 - {P_N}} \right)}}, $

(5)

$ {W_{\rm{s}}} = {W_{\rm{q}}} + \frac{1}{\mu }。$

(6)

式中：L_q为平均排队长，包；L_s为平均队长，包；W_q为平均逗留时间，min；W_s为平均等待时间，min。

基于铁水包周转过程M/M/c/N排队模型，给出铁水包理论周转个数计算模型：

$ {T_{{\rm{ladle}}}} = \sum\limits_{i = 1}^e {{W_{{\rm{s,i}}}}} + \sum\limits_{j = 1}^f {{S_{{\rm{f,}}j}}} , $

(7)

$ {n_{{\rm{lable}}}} = \frac{{{P_{{\rm{BF}}}} \cdot {T_{{\rm{ladle}}}}}}{{1440 \cdot {q_{{\rm{lable}}}}}}, $

(8)

式中：T_ladle为铁水包周转时间，min；W_{s, i}为第i个排队系统平均等待时间，min；e为排队系统总数；S_{f, j}为铁水包周转过程第j个辅助工序时间，min；f为辅助操作总数；n_ladle为铁水包在线个数，包；P_BF为高炉产能，t；q_ladle为铁水包每包铁水量，t。

该模型是一个有系统容量限制的排队模型，模型的关键在于确定铁水包周转过程各个排队系统容量值及到达间隔时间等参数，相关参数的确定需综合考虑工序运行参数、“铁钢界面”铁水包备包生产及配罐制度等实际生产因素，最后依据上述模型便可计算铁水包的理论周转个数。

3 案例应用与分析

下面以重钢新区“铁钢界面”为案例，应用所建的基于有限系统容量铁水包排队模型对重钢新区的铁水包理论周转个数进行计算，并对计算结果展开分析与讨论。

3.1 计算参数确定

重钢新区“铁钢界面”设备配置如下：3座2 500 m³高炉、3座预处理站(采用机械搅拌法脱硫，即KR法)、3座公称容量为210 t的转炉。主体工序运行参数如下：高炉按设计利用系数2.3t/(d·m³)生产，3座高炉每天产铁17 250 t，平均出铁量210 t，共82包，平均17.6 min一包；KR脱硫时间35 min，3个脱硫工位平均11.7 min一包；每座转炉冶炼周期为42 min/炉，3座转炉平均每14.0 min炼完一炉；重钢铁水包周转运行辅助时间如表 2所示，其中表 2的运行时间考虑天车干扰、尾包处理等因素。

依据提出的有限系统容量排队论模型，其关键在于确定各个排队系统的铁水包到达平均间隔时间及系统容量值，以下讨论其确定方法。

到达平均间隔时间确定方法：由于铁水包周转过程中3个排队系统串联且接近闭合，根据Burke定理^[19]，铁水包到达以及离开3个排队系统的时间相同，且由于高炉连续生产，转炉所需铁水完全取决于高炉铁水供应，因此，3个排队系统的铁水包到达平均间隔时间均取决于高炉出铁节奏，即为17.6 min。

系统容量值确定方法：对于高炉排队系统而言，考虑重钢新区当前高炉炉下配罐制度为“3+1+X”，其中“3”指3个铁水包空包，“1”为尾包个数，X为依据实际铁水量波动需投入的个数，即在相邻出铁口打开之前需保证有3个空包等待，鉴于正在出铁的出铁口至少有1个尾包，根据此制度可知，在某一时刻每个高炉炉下至多5个空包，因此，确定高炉排队系统容量值为15包；对于脱硫排队系统，由于每个脱硫处理站至多只有1个在处理，2个在等待，因此，设定其系统容量为6包；对于转炉排队系统，依据现场铁水包运行管理方案，炼钢厂积压铁水超过12包必须安排3条线同时生产，若超过13包必须安排铸铁机铸铁，据此设定其系统容量设定为12包。综上，给出高炉-转炉区段铁水包周转过程3个排队系统的计算参数如表 3所示。

3.2 模型计算及分析

将表 3中设定的计算参数带入式(2)-(6)，可得重钢新区高炉-转炉区段3个排队系统的相关指标如表 4所示。

由表 4可知，高炉出铁系统、铁水脱硫系统、转炉兑铁系统平均等待时间分别为92.20、7.16、31.23 min，可知由本排队论模型计算的参数基本符合生产实际，因此，本文建立的有限容量排队模型可以很好地描述铁水包实际周转过程。对于铁水包而言，转炉兑铁完毕后即运往高炉，其处理时间为转炉兑铁时间而非冶炼时间，因此，其逗留时间需修正。将表 2和表 4中相关参数及转炉兑铁时间(3 min)带入式(7), 可知重钢高炉-转炉区段铁水包周转时间为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{T_{{\rm{ladle}}}} = \sum\limits_{i = 1}^e {{W_{s,i}}} + \sum\limits_{j = 1}^f {{S_{f,j}}} = \left\{ {145.00 + 42.16 + \left( {31.23 + 3} \right)} \right\} + }\\ {\left( {10 + 5 + 8 + 5 + 5 + 40} \right) = 294\min 。} \end{array} $

(9)

依据统计数值, 三高炉三转炉生产模式下，重钢新区每天高炉日产铁量为17 250 t，铁水包每包装铁量为210t，且由式(9) 得到铁水包周转时间为294 min，将以上参数带入式(8), 得到三高炉三转炉生产模式下，重钢高炉-转炉区段铁水包理论周转个数为

$ {n_{{\rm{lable}}}} = \frac{{{P_{{\rm{BF}}}} \cdot {T_{{\rm{ladle}}}}}}{{1440 \cdot {q_{{\rm{lable}}}}}} = \frac{{17250 \times 294}}{{1440 \times 210}} = 16.77 \approx 17。$

(10)

由于重钢铁钢配置为2 500 m³高炉-230 t转炉，即中等高炉对应大型转炉，导致其“一包到底”模式运行中存在的最大问题即是高炉出铁速度与炼钢厂铁水消化速度不均衡，加之生产运行管理存在问题，导致现场铁水包周转个数多达28个，而由有限系统容量排队论计算的铁水包理论周转个数为17个，可见重钢新区铁水包周转个数还有较大的缩减潜力。

统计显示，重钢现场铁水包重包周转时间为176 min，空包周转时间为338 min，铁水包周转总时间为514 min，三高炉三转炉模式下铁水包在线个数约为28个，铁水包周转率约为2.9次/d，通过有限容量排队论模型计算出铁水包重包理论周转时间为157 min，空包理论周转时间为137 min，铁水包理论周转时间为294 min，铁水包理论周转个数为17个，铁水包周转率为4.8次/d。对比分析可知，铁水包重包实际周转时间(176 min)与理论重包时间(157 min)比较接近，说明重包运行控制水平较高，这主要是由于重包周转过程直接关系到生产运行稳定，现场人员对重包管理较为重视，但重包时间依然偏长，表明炼铁炼钢工序协调还有待加强；铁水包空包实际时间(338 min)则远大于理论空包时间(137 min), 主要原因为高炉炉下空包配罐过于富裕，表明现场人员对空包管理有待加强。综合以上分析，欲缩短铁水包周转时间，重钢应主要从改进空包配罐制度，减少高炉炉下多余空包个数，加强炼铁炼钢工序协调等方面采取措施。

3.3 铁水包理论周转个数优化

依据本文建立的有限容量排队论模型，在设备配置无法改变的情况下，减少铁水包周转个数的关键在于优化系统容量值，而优化系统容量值可通过改进高炉炉下空包配罐制度及加强炼铁炼钢工序协调等措施实现。通过对当前高炉配罐制度进行分析，可以将当前高炉炉下配罐制度改进为“2+1+X”以进一步减少高炉排队系统容量，其中“2”指2个铁水包空包，“1”为尾包个数，X为依据实际铁水量波动需投入的个数，即在相邻出铁口打开之前需保证有2个空包等待，鉴于正在出铁的出铁口至少有1个尾包，根据此制度可知，在某一时刻每个高炉炉下至多4个空包, 因此，可以确定改进的配罐制度下高炉排队系统容量值为12包。通过对重钢当前炼铁炼钢工序协调现状进行分析，可以合理制定生产计划，综合选择合理的连铸机浇注周期和连浇炉数，加强生产组织等方式以进一步减少转炉排队系统容量。现场当前控制目标为保证三高炉三转炉模式下铁水包备包个数不得多于10包，因此，将优化的转炉排队系统容量值确定为10包。基于以上分析，给出配罐制度改进及加强炼铁炼钢协调下有限系统容量排队系统计算参数和相关指标计算结果分别如表 5和表 6所示。

依据表 3和表 6中相关参数，计算得到优化的铁水包周转时间为

$ \begin{align} & T_{\text{ladle}}^{\text{optimized}}=\sum\limits_{i=1}^{e}{{{W}_{s,i}}}+\sum\limits_{j=1}^{f}{{{S}_{\text{f},j}}}=\left\{ 116.72+42.16+\left( 24.71+3 \right) \right\} \\ & +\left( 10+5+8+5+5+40 \right)=260\min , \\ \end{align} $

(11)

优化的铁水包理论周转个数为

$ n_{{\rm{ladle}}}^{{\rm{optimized}}} = \frac{{{P_{{\rm{BF}}}} \cdot {T_{{\rm{ladle}}}}}}{{1440 \cdot {q_{{\rm{lable}}}}}} = \frac{{17250 \times 260}}{{1440 \times 210}} = 14.83 \approx 15。$

(12)

优化后铁水包重包理论周转时间为151 min，空包时间为109 min，优化前后空包时间减少了28 min，重包时间减少了6 min。在铁水包周转辅助时间不变的情况下，配罐制度优化及加强生产调度后，重包等待时间减少了6 min，高炉炉下空包等待时间减少了28 min。由此计算得到优化的铁水包理论周转个数为15个，优化的铁水包周转率为5.4次/d。因此，在改进空包配罐制度和加强炼铁炼钢生产协调后，铁水包理论周转个数可从17个减少到15个。

4 结论

1) 将“一包到底”模式下的铁水包周转过程抽象为3个串联且接近闭环的排队系统，即高炉出铁、铁水脱硫、转炉兑铁排队系统，考虑铁水包备包生产及配罐制度等因素，将铁水包周转过程的3个排队系统归结为有系统容量限制的排队系统。

2) 建立了基于有限系统容量排队论的铁水包理论周转个数计算模型，并应用所建立的有限容量排队论模型计算了重钢新区三高炉三高炉模式下的铁水包理论周转个数，结果显示，达到统计平衡的铁水包周转时间为294 min，铁水包的合理理论周转个数为17个，周转率为4.8次/d。

3) 研究表明，减少铁水包在线个数应主要从改进空包配罐制度，加强炼铁炼钢协调等方面采取措施，以减少系统容量值，并依据模型计算出到达统计平衡的优化的铁水包周转时间为260 min，铁水包理论周转个数为15个，周转率为5.4次/d。