土木结构的安全性检测一直备受人们关注, 尤其是结构的损伤检测, 结构损伤会导致结构局部刚度的下降和模态参数发生变化, 同时, 也会引起结构的动力学响应发生改变。因此, 目前国内外学者主要是基于结构的模态参数或者动力学响应的变化进行结构的损伤识别分析。Koh等^[1]利用模态相关性对悬索桥进行了损伤检测; Shi Z Y等^[2]利用结构损伤前后的不完全模态位移形状改变, 进行损伤定位以及损伤程度的分析; Stubbs等^[3]将结构频率用结构的刚度和质量来表示, 并利用结构损伤前后频率敏感性矩阵和刚度敏感性矩阵的广义逆构造损伤识别指标, 进行了损伤的定位和定量识别; Seyedpoor^[4]提出了一种两阶段的损伤检测方法; 郭惠勇等^[5]提出一种基于证据理论和模态应变能的损伤识别方法; 姜绍飞等^[6]将BP神经网络与D-S证据理论结合起来对结构进行损伤识别, 并验证了该方法的有效性; 王乐等^[7]提出了一种基于互相关函数幅值向量的结构损伤定位研究方法, 但其抗噪能力有待提高。笔者拟采用互相关函数构造出加速度内积向量, 并利用灰云模型进行隶属度的匹配和损伤识别研究, 以解决损伤不确定性问题。

1 云模型和云发生器 1.1 云模型

云模型是李德毅院士于1995年提出的一种处理不确定问题的转换模型^[8], 反映了模糊性和随机性之间的联系。假定U是一个用精确数值表示的定量论域, C为论域上的定性概念, 对于论域中任一的元素x, 且x为定性概念C的一次随机实现, 就有x对C的确定度μ(x)∈[0, 1]。对于每一个这样的x, 称为一个云滴, 表示为drop(x, μ(x)), x在论域U上的分布就称为云^[9]。在云模型中, 使用期望Ex, 熵En, 以及超熵He 3个数字特征来描述信息的不确定性。期望描述的就是云重心所在的位置, 熵反映了云滴的离散程度, 超熵是对熵不确定性的度量, 也即熵的熵, 这一数字特征体现了在定量论域U上对该定性概念C有贡献的所有点的不确定性聚集程度, 反映了确定度随机性的大小。云的3个数字特征如图 1所示。

1.2 云发生器

云发生器按照需要实现的功能可以将其划分为正向云发生器和逆向云发生器。通过在正向云发生器中输入云模型的3个数字特征(Ex、En、He)以及需要生成的云滴数量, 就可以输出每个云滴在定量论域空间中的位置坐标以及每个云滴能够代表该定性概念的程度^[10-13]。而逆向云发生器可以看作是正向云发生器的逆过程。

正向云发生器的具体算法为:

1) 根据云的3个数字特征(Ex, En, He)生成以Ex为期望, En为标准差的正态随机数Xr;

2) 生成以En为期望值、He为标准差的正态随机数En′;

3) 计算μ_r=exp[-(x₀-Ex)²/(2En′²)], (x_r, μ_r)即为云滴;

4) 重复以上步骤, 直至生成N个云滴为止。

正向云发生器可扩充为前件云发生器和后件云发生器。当已知云模型的3个数字特征以及特定的x₀时, 可以通过云发生器产生云滴drop(x₀, μ), 这样的发生器称为前件云发生器或X条件云, 其确定度计算公式为

$ {\mu _r} = {\rm{exp}}[ - {({x_0} - Ex)^2}/(2En{\prime ^2})]。$

(1)

当已知云模型的3个数字特征以及定性概念C上特定的确定度μ₀, 可以得出满足条件的云滴drop(x_r, μ₀), 这样的发生器称为后件云发生器或Y条件云。其生成值计算公式为

$ {x_r} = Ex \pm En\prime \sqrt { - 2{\rm{ln}}{\mu _0}}。$

(2)

前件云发生器与后件云发生器是基于云模型的不确定性推理的基础, 比如, 将前件云与后件云相连接就构成了一个单条件规则发生器, 该规则发生器也是文中研究的基础。该发生器首先通过云的3个数字特征以及论域U上特定值, 生成确定度μ_r, 再生成以En为期望值、He为标准差的正态随机数En′, 并基于μ_r和正态随机数En′计算出相应生成值x_r, 从而产生相应的云滴drop(x_r, μ_r)。

2 加速度内积向量

在结构的损伤检测中, 基于动力的损伤分析是一类重要的检测方法, 它避免了对结构频率以及振型识别度不准确引起的误差, 具有良好的研究价值与发展前景。在目前的损伤识别测量中, 加速度响应数据的采集相对较为容易, 文中利用结构的加速度响应作为内积向量的互相关函数值来构造结构损伤指标。

通常情况下, 2个随机过程, 如结构上任意2个测点在激励荷载激励下的动力响应, 其互相关函数值定义为

$ {R_{xy}}\left( T \right) = E\left[ {x\left( {t + T} \right)y\left( t \right)} \right] = \int_{ - \infty }^\infty {\int_{ - \infty }^\infty {xyp} } \left( {x,y} \right){\rm{d}}x{\rm{d}}y, $

(3)

式中, p(x, y)为随机过程x(t)和y(t)的联合分布密度。文中采取白噪声作为外部荷载激励, 而结构动力响应互相关函数在理想白噪声激励下是1组随着时间衰减的正弦波, 并且结构任意两点动力响应之间的互相关函数仅为时间的函数。对于长度为N的2组随机离散数据x=[x₀, x₁, …, x_N-1]^T以及y=[y₀, y₁, …, y_N-1]^T, 其互相关函数的无偏估计量为^[14]

$ {{\hat R}_{xy}}(m) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{N - m}}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1 - m} {{x_{n + m}}{y_n}} ,m \ge 0,\\ \;\;\;\;\;\;{{\hat R}_{yx}}( - m),m < 0; \end{array} \right. $

(4)

式中, -N-1≤m≤N-1, 延时为零时互相关函数值为

$ {{\hat R}_{xy}}(0) = \frac{1}{N}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{x_n}{y_n} = \frac{1}{N}(x,y)}。$

(5)

式中, (x, y)表示向量x和向量y的内积。由该式可知2组随机离散数据的内积和数据长度N的比值, 即为这2组随机离散数据的互相关函数在延时为零的值。

取结构在白噪声激励下的结构动力响应互相关函数的幅值(T=0时)构造内积向量。结合杜哈梅积分以及互相关函数定义可以推出内积向量:

$ {R_{{\rm{ipv}}}} = {\alpha _k}\sum\limits_{r = 1}^n {{\gamma _r}{\varphi ^r}} , $

(6)

式中:φ^r=[Φ_i1^r, Φ_i2^r, …Φ_ip^r]^T表示结构的第r阶模态振型; γ_r仅与结构的模态参数(振型、固有频率、阻尼)有关; α_k是与白噪声激励的统计特性有关的常数。内积向量R_ipv为P维向量:

$ {R_{{\rm{ipv}}}} = {[{R_{{i_1}{j_k}}}\left( 0 \right),{R_{{i_2}{j_k}}}\left( 0 \right), \cdots ,{R_{{i_p}{j_k}}}\left( 0 \right)]^{\rm{T}}}, $

(7)

式中, 下标i₁, i₂, …i_p表示有P个测点。

在文中假设待测结构上有一系列的测点, 在某一点上施加一个外部白噪声激励, 可以得到各测点i₁, i₂, …i_p的加速度响应, 随机选取j为参考点, 由上文中可知, 加速度内积向量R_ipv的计算公式为

$ {{\hat R}_{{\rm{ipv}}}} = \frac{1}{N}{\left[ {{x_{{i_1}}},{x_j},{x_{{i_2}}},{x_j}, \cdots ,{x_{{i_p}}},{x_j}} \right]^{\rm{T}}}。$

(8)

为了消除激励荷载大小对内积向量的影响, 对内积向量按最大值为1进行归一化处理:

$ {R_{{\rm{ipv}}}} = \frac{{{{\hat R}_{{\rm{ipv}}}}}}{{{\rm{max}}({{\hat R}_{{\rm{ipv}}}})}}。$

(9)

在结构发生损伤后, 结构的模态参数(如频率)等将发生变化, 使得内积向量也发生改变, 因此, 可以通过结构损伤前后内积向量的差值来构建损伤指标D_ipv。

$ {D_{{\rm{ipv}}}} = {R_{{\rm{ipv}}}}^{损伤} - {R_{{\rm{ipv}}}}^{完好}, $

(10)

式中, R_ipv^损伤和R_ipv^完好分别为结构损伤前与损伤后的加速度内积向量。当损伤程度较小时, 为了使损伤的位置得到凸显, 采用二阶差分法对D_ipv进行处理, 得到新的损伤指标:

$ D{\prime _{{\rm{ipv}}}} = {D_{{\rm{ipv}}}}\left( {i + 1} \right) + {D_{{\rm{ipv}}}}\left( {i - 1} \right) - 2{D_{{\rm{ipv}}}}\left( i \right)。$

(11)

在经过二阶差分处理之后, 对于未损伤单元, D′_ipv等于0或者为接近于0的极小值, 而损伤单元的D′_ipv值则很大, 并以此进行结构损伤识别。

3 基于灰云模型的损伤识别 3.1 灰云模型

设U是一个定量论域, Q是与U相联系的灰概念。如果定量值x∈U, 并且x对Q所表达的灰概念的白化权GL(x)∈[0, 1]是具有稳定倾向的随机数GL(x):U→[0, 1], x∈U, x→GL(x), 那么白化权在论域上的分布就称为白化权灰云模型^[15]。灰云的数字特征包括:峰值Cs、左界限值Ls、右界限值Rs、熵En、超熵He, 记为GL(Cs, Ls, Rs, En, He)。灰云模型的峰值、熵以及超熵如下所示:

$ Cs = \frac{{{L_s} + {R_s}}}{2}, $

(12)

$ En = \frac{{{R_s} - {L_s}}}{6}，$

(13)

$ He = k，$

(14)

式中, k为灰云熵的离散程度。

3.2 基于灰云模型的损伤识别

基于加速度內积向量和单条件规则发生器, 并由灰云模型生成云规则库, 根据测量输入值, 通过云发生器推导出损伤预测值。从而建立了从內积向量到损伤系数的关联关系, 就可以得到基于灰云模型的损伤识别方法。具体步骤如下:

1) 设立结构的损伤程度区间确立多个损伤模式, 可设立[c₁, c₂]、[c₂, c₃]、……、[c_s, c_s+1]共s个损伤模式, 其中c_i(i=1, 2, ......, s+1)为损伤模式界限值。基于损伤模式的界限值, 利用结构有限元模型和损伤界限值对应的內积向量值可建立前件云规则库。利用损伤模式界限值可建立后件云规则库, 2种规则库均采用白化权灰云模型^[15]计算相应的峰值、熵以及超熵。

2) 利用实际损伤后含随机噪声干扰的多次测量数据, 结合前件云发生器生成不同损伤模式下的多个云滴的确定度数值, 再结合后件云发生器生成不同损伤模式下的多个云滴的损伤生成值, 从而构成许多不同的(x_r, μ_r)组成的云滴。

3) 进行s种模式下云滴的加权计算, 每个单元均可以计算出加权值, 第j个单元的加权为

$ {w_j} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^s {{{({\mu _r})}_{ji}}{{({x_r})}_{ji}}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^s {{{({\mu _r})}_{ji}}} }}。$

(15)

(4) 最后通过均化过程将不确定性云滴数据转化为损伤信息, 如果u测量每次生成v个云滴, 会有u×v个值, 可生成第j个单元的均化指标为

$ {{\bar x}_j} = \frac{{\sum\limits_{p = 1}^u {\sum\limits_{l = 1}^v {{{({w_j})}_{pl}}} } }}{{uv}}。$

(16)

可通过依次计算每个单元的均化指标进行损伤识别研究。

4 数值计算

考虑如图 2所示的1个Euler-Bernoulli简支梁。该模型包括20个单元, 梁总长为6 m, 梁的横截面积A为0.005 m², 惯性矩I=1.67 m⁴, 弹性模量E=32 GPa, 密度ρ=2 500 kg/m³。结构的损伤采用刚度降低来模拟, 考虑2种多损伤工况, 第1种工况, 单元2和13发生损伤, 刚度分别降低35%和30%;第2种工况, 在单元3、9、15发生损伤, 刚度分别降低30%, 20%和30%。云推理的相关参数是:选取s=7种损伤模式, 界限值分别为0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8, 基于界限值和灰云模型可构建前件云和后件云规则库; 测量次数u=20;每条件生成云滴数v=100;灰云离散度k=0.1。选取一段白噪声作为结构外部激励, 对结构施加激励荷载之后, 采用Wilson-θ法可得到结构的加速度响应。同时, 采用附加随机高斯白噪声模拟受噪声干扰的实验测量数据, 噪声水平为3%。为了获取相应的灰云推理数据, 采用20次随机测量模拟试验数据识别结构的损伤。

4.1 多损伤工况 1

单元2和13发生损伤, 刚度降低35%和30%, 为了进行对比, 也采用单纯的内积向量损伤识别指标对含噪数据进行了计算。单纯的内积向量指标的计算结果如图 3所示。由图 3可知, 内积向量损伤指标受到测量噪声的干扰, 产生了部分误识别现象。因该图纵坐标为内积向量值, 故内积向量损伤指标无法表示损伤的程度问题, 例如, 单元2损伤程度高, 而指标值却不高, 单元13损伤程度较低, 但指标值相对较高。基于内积向量和灰云模型的损伤识别结果如图 4所示。由图 4可观察到, 灰云模型可以较好地识别结构的损伤问题, 而且识别出的损伤程度高低趋势与真实情况一致, 其纵坐标为损伤系数, 相对于单纯的内积向量指标可以更有效和更直观地表示损伤问题。

4.2 多损伤工况 2

单元3、9、15发生损伤, 刚度降低30%, 20%和30%。采用了单纯的内积向量损伤识别方法进行计算。单纯的内积向量指标的计算结果如图 5所示。由图 5可知, 单纯内积向量损伤指标受到了测量噪声的干扰, 同样也产生了部分误识别现象, 而且, 内积向量损伤指标无法表示损伤的程度问题。如单元3损伤程度高, 而指标值却不高, 单元9损伤程度较低, 但指标值相对较高。灰云模型的损伤识别结果如图 6所示。由图 6可发现, 灰云推理可以较好地识别损伤问题, 而且, 识别出的损伤程度高低趋势与真实情况一致, 接近真实的损伤系数, 其相对于单纯的内积向量指标更为直观和有效。

由以上2个例子可以发现, 在考虑测量噪声情况下, 单纯的内积向量损伤指标具有一定的损伤定位能力, 但易受到测量噪声的部分干扰, 由于其纵坐标为加速度的内积, 无法表示损伤的程度。而将內积向量和灰云模型相结合, 产生的基于灰云模型的损伤识别方法, 可以解决损伤程度的表示问题, 还可以处理测量噪声引起的不确定性问题, 识别效果相对较好。由损伤指标的量纲分析可知, 内积向量损伤指标是利用损伤前后归一化的内积向量差值构建损伤指标, 归一化的内积向量进行了无量纲化处理, 只具有损伤定位能力, 而灰云模型方法将内积向量转化为损伤程度的度量, 从而使损伤识别具有了定位和量化判断功能。

5 结论

提出基于加速度内积向量和灰云模型相结合的损伤识别方法。通过对结构的时程响应分析建立了加速度内积向量损伤指标, 考虑随机测量噪声等引起的不确定性问题, 采用灰云模型和单条件规则发生器相结合来处理相应的不确定性问题和内积向量向损伤系数转化问题, 利用多模式加权计算和均化方法进行了损伤识别研究。通过数值计算和理论分析, 可以得出以下结论:1)单纯的内积向量损伤指标具有一定的损伤定位能力, 但易受到噪声的干扰, 由于其指标值并非损伤系数, 故不具有损伤定量的能力。2)基于灰云模型的损伤识别方法, 实现了內积向量向损伤系数的转化, 该方法可以同时进行损伤的定位和定量识别, 且抗噪能力较好, 识别结果优于单纯的内积向量损伤指标。现实的工程结构往往更为复杂, 采用基于灰云模型的损伤推理技术对于大型复杂结构的损伤识别研究仍需进一步探索。