对于具有高阶、时变、非线性等特性的工业过程，传统的PID控制通常达不到理想的效果。近年来，模糊PID控制得到了越来越广泛的应用^[1]。通常来说，模糊PID控制对于复杂、非线性等系统具有更好的控制效果^[2]。由于模糊PID控制器解析复杂，参数整定主要依赖于经验，导致其在应用过程中存在不便性^[1]，这也限制了它的进一步推广。

对于传统PID控制的参数整定方法已经有非常多的研究，如内模整定方法^[3]、增益与相位裕度整定方法^[4]、PSO最优化整定方法^[5]等。对于模糊PID控制器而言，这些整定方法大多无法直接使用。模糊PID的参数整定一般需要同时调整比例因子和规则库的参数^[6-7]。但模糊PID是非线性控制器，其模型比较复杂，如果基于经验来同时调整模糊规则库和比例因子，其过程会非常繁琐，而且难以达到满意的效果。通常的做法是固定规则库的参数，整定比例因子^[8]。由于非线性模糊推理机制的存在，模糊PID难以进行有效的解析，所以，其比例因子整定一般采用定性的方法^[9-13]。在这种情况下，很难让模糊PID控制器真正达到满意的控制效果，特别是对于非线性系统。因此，采用有效的方法同时整定模糊PID控制器的比例因子与内部模糊隶属函数，对于非线性以及复杂过程的控制有重要的意义。

提出一种新型的模糊PID参数整定方法。控制器参数整定的过程分为2个部分。首先是控制器比例因子的整定：该过程中，先推导出模糊PID的解析模型。基于该解析模型与被控对象的二阶纯时滞模型，采用增益裕度整定算法，导出模糊PID控制器的比例因子。另一部分是模糊推理部分的参数整定，采用PSO，以系统响应的跟踪误差积分指标为优化目标，优化模糊隶属函数的参数，达到控制效果的最优化。仿真结果表明，该方法能够针对被控对象的动态特性，获得合适的模糊PID控制器控制参数。最后将研究方法应用在芯片固化炉的温度控制过程中，得到了满意的控制效果。

1 基于解析模型的比例因子整定

模糊PID控制器的结构如图 1所示。

在对输入量进行模糊化之后，通常采用如表 1的模糊规则库进行处理。

经过模糊规则库的推理之后，常用中心法^[1]、最大隶属度法^[14]等进行解模糊化，得到确切的控制输出。然而，在这样的模糊推理机制下，要基于其数学模型推导得到确切的比例因子是非常困难的，为了得到恰当的比例因子，研究采用了文献[15]所建立的模糊PID控制器解析模型，如式(1)和式(2)所示

$ {U^{{\rm{PID}}}} = {K_0}{u_0} + {K_1}\int {{u_0}}, $

(1)

其中

$ {u_o} = kB\left( {1 - \gamma } \right) + \frac{B}{A}\gamma \sigma, $

(2)

式中:A、B是规则库的固定参数；σ=E+R=K_e(e+$\alpha \dot e $)；K_e=1；E=iA+e^*; R=jA+r^*；k=i+j+1；K_d=αK_e；K₁=βK₀；γ为非线性时变参数。e^*和r^*为推理单元IC(i, j)中与输入相关的非线性参数。

K_e、K_d、K₁和K₀是底层的比例增益，由于控制过程涉及到各部分的耦合关系，K_e、K_d、K₁和K₀对控制性能的影响作用是模糊且耦合的，各参数均没有对控制响应的影响有特定规律。

被控对象的模型对于参数整定有重要的意义，然而实际的工业控制过程非常复杂，要确定其精确的模型是不现实的。控制器参数整定过程中常采用低阶加纯滞后的模型来近似模拟复杂的过程对象^[16]，基于增益裕度的参数整定采用的是二阶纯时滞模型，其表达式为

$ {G_p}\left( s \right) = \frac{{{k_t}{e^{ - Ls}}}}{{\left( {{T_1}s + 1} \right)\left( {{T_2}s + 1} \right)}}, $

(3)

式中:k_t为稳态增益；L为延时时间；T₁和T₂为时间常数。该模型可通过阶跃响应^[17]、继电器反馈^[18]、最小二乘^[19]等方法获得，具体做法不再赘述。

把k=i+j+1(其中i=(E-e^*)/A, j=(R-r^*)/A)代入式(2)，并把式(2)代入式(1)可以得到

$ {U^{{\rm{PID}}}} = \frac{B}{A}\left( {\sigma + \delta } \right)\left( {{K_0}\int {{\rm{d}}t} + {K_1}} \right), $

(4)

式中，δ=(1-γ)(A-e^*-r^*)。

再把$\sigma = E + R = {k_e}\left( {a + \alpha \;\dot e} \right)$代入式(4)，并定义β=K₁/K₀可得

$ {U^{{\rm{PID}}}} = {u^L} + {u^N}, $

(5)

$ \left\{ \begin{array}{l} {u^L} = {K_f}\left\{ {e + \frac{1}{{\alpha + \beta }}\int {e{\rm{d}}t} + \frac{{\alpha \beta }}{{\alpha + \beta }}\dot e} \right\}\\ {u^N} = {K_0}\frac{B}{A}\left( {\beta \delta + \int {\delta {\rm{d}}t} } \right) \end{array} \right., $

(6)

其中：K_f=K_eK₀(α+β)B/A，u^L和u^N分别定义为U^PID的线性部分和非线性补偿。可以看出，u^L与PID控制具有相同的形式，K_f是比例系数，α+β为积分时间常数，(α+β)/αβ为微分时间常数。

依据式(5)的关系，模糊PID控制可看作线性u^L的控制再加上u^N的补偿，如图 2所示。在比例因子的整定过程中，把非线性的补偿部分u^N看作系统扰动^[1]。那么，比例因子的整定则具备了解析的基础。

对u^L进行拉普拉斯变换可以得到

$ {u^L}\left( s \right) = \frac{{{K_f}\left( {s\alpha + 1} \right)\left( {s\beta + 1} \right)}}{{s\left( {\alpha + \beta } \right)}}, $

(7)

结合被控对象的近似模型可得

$ {u^L}\left( s \right){G_p}\left( s \right) = \frac{{{k_t}{e^{ - Ls}}{K_f}\left( {s\alpha + 1} \right)\left( {s\beta + 1} \right)}}{{s\left( {\alpha + \beta } \right)\left( {s{T_1} + 1} \right)\left( {s{T_2} + 1} \right)}}, $

(8)

令s=jω，可以设置系统的增益裕度满足如下的关系

$ \left\{ \begin{array}{l} \arg \left[{{G_c}\left( {j{\omega _g}} \right){G_p}\left( {j{\omega _g}} \right)} \right] = - {\rm{ \mathit{ π}, }}\\ {A_m}\left| {{G_c}\left( {j{\omega _g}} \right){G_p}\left( {j{\omega _g}} \right)} \right| = 1, \end{array} \right. $

(9)

其中：G_c(jω)和G_p(jω)分别为控制器和被控对象；A_m为系统的增益裕度；ω_g为A_m所对应的穿越频率。

通过求解式(9)，可以得到PID控制器的参数K₀、α和β。通常推荐的增益裕度的范围是2~5。

如果把式(8)代入式(9)求解，由于未知量过多，无法直接求解。然而，考虑到实际的工业过程之中，被控对象通常都是稳定的系统，因此，设计控制器与被控对象的零极点相互抵消，即

$ \alpha = {T_1};\beta = {T_2}\;或\;\alpha = {T_2};\beta = {T_1}, $

(10)

则

$ {u^L}\left( s \right){G_p}\left( s \right) = \frac{{{k_t}{e^{ - Ls}}{K_f}}}{{s\left( {\alpha + \beta } \right)}}, $

(11)

令s=jω，将式(11)代入式(9)可得到

$ {K_0} = {\rm{ \mathit{ π} }}/\left( {2{k_t}L{A_m}} \right), $

(12)

由式(11)可以看出，α和β是耦合的，很难消除二者的耦合关系，这里，提供一种定性的解耦方法：因K_e通常为1，因而K_d=K_eα=α，所以，从图 1中可以看出，α相当于微分部分的系数，在满足给定的增益裕度的前提下，小的α有利于系统的快速响应，而β与输出U^pd成正比，大的β也有利于系统的快速响应，因而，取α＜β时，系统的响应速度会比较快。如果取α>β，系统的响应会比较慢，但系统的鲁棒性会更好。

2 基于PSO的模糊隶属度参数整定

在确定了模糊PID控制器的比例因子之后，需要对模糊隶属函数进行进一步的参数调整，从而提高模糊PID控制器的控制性能，使之进一步适应被控对象。研究采用三角型隶属函数，如图 3所示。

调整参数a₁~a₉以及b₁~b₉会影响到整个模糊PID控制器的非线性特征。通常情况下，这些参数基于经验来进行调节，很多情况下会直接选取平均的分布来建立控制器。这些做法都会使模糊控制器不能充分发挥其控制性能，特别是在非线性系统的控制问题上。研究采用PSO(粒子群优化算法)^[20-21]算法来整定模糊隶属函数的参数，获得优化的控制效果。定义待优化的参数为

$ X\left( k \right) = \left\{ {{a_1}\left( k \right), \ldots, {a_9}\left( k \right), {b_1}\left( k \right), \ldots {b_9}\left( k \right)} \right\}, $

(13)

粒子的飞行速度为

$ V\left( k \right) = \left\{ {{V_1}\left( k \right), \ldots, {V_9}\left( k \right), {V_{10}}\left( k \right), \ldots {V_{18}}\left( k \right)} \right\}。$

(14)

衡量控制效果的好坏常常会用到偏差积分性能指标IAE与ITAE的指标，其定义如式(15)所示。

$ \left\{ \begin{array}{l} {\rm{IAE}} = \int {\left| e \right|{\rm{d}}t} \\ {\rm{ITAE}} = \int {t\left| e \right|{\rm{d}}t} \end{array} \right., $

(15)

选择ITAE指标作为PSO参数优化的目标函数。即

$ J = \int {t\left| e \right|{\rm{d}}t} 。$

(16)

J越小，则跟踪性能越好。在优化的过程中，每个粒子基于2个优化值来更新自己的位置与速度。一个是粒子本身所找到的最优值P_best，另一个是整个种群当前的最优值G_best。粒子更新的规则如式(17)与式(18)所示。

$ \begin{array}{*{20}{c}} {V\left( {k + 1} \right) = wV\left( k \right) + {c_1}{r_1}\left( {{P_{{\rm{best}}}}\left( k \right) - X\left( k \right)} \right) + }\\ {{c_2}{r_2}\left( {{G_{{\rm{best}}}}\left( k \right) - X\left( k \right)} \right), } \end{array} $

(17)

$ X\left( {k + 1} \right) = X\left( k \right) + V\left( {k + 1} \right), $

(18)

其中：w为惯性权重；r₁与r₂是介于[0, 1]之间2个独立的随机参数；c₁与c₂为学习因子，是非负常数；n=1, 2, …, N，X∈[X_min, X_max]；V∈[V_min, V_max]，粒子取值范围与飞行速度的范围需要根据实际情况来选取。

基于式(17)与式(18)进行搜索，最后使得目标函数式(16)达到最优。

在调整了模糊PID控制器的比例因子之后，控制器的控制效果已经初步达到了比较好的状态。进一步基于PSO算法调整隶属函数是为了使控制器更好的适应被控对象的动态特性。因此用常用的均匀分布的隶属函数加上随机量作为PSO中粒子的初值会获得更好的学习速度和结果。

3 仿真分析

在对比分析中，传统PID采用增益裕度和相位裕度的整定方法。为了提升PSO训练过程的收敛性，仿真中对误差E与误差变化率R采用相同的隶属函数设置。控制性能采用偏差积分性能指标IAE和ITAE来衡量，IAE和ITAE的值越小，控制性能越好。

3.1 二阶时滞过程的控制仿真分析

设定被控对象为

$ G\left( s \right) = \frac{{{e^{ - 0.25s}}}}{{\left( {3s + 1} \right)\left( {0.7s + 1} \right)}}, $

(19)

这里取A_m=2.3，得到控制器的参数如表 2，取PSO算法的惯性权重w=0.8，选择学习因子c₁=1.3与c₂=0.82，可以获得优化的结果

$ {X_{{\rm{best}}}} = \left\{ { - 1, - 0.67, - 0.41, 0.01, 0.45, 0.69, 1} \right\}。$

(20)

结合PSO优化后的模糊隶属度函数，获得了传统PID和模糊PID性能比较如图 4与表 3。

从表 3可以看出，虽然模糊PID的IAE和ITAE高于传统的PID，但传统的PID存在较大的超调，且控制量在开始时存在非常大的冲击，如图 4所示。这种冲击是由于参考信号的突变造成的。在实际的工业过程中，冲击严重时会导致系统的损坏，这是不允许的。模糊PID控制其中，模糊逻辑推理的过程具有饱和特性，因此可以有效地抑制这种冲击。

在真实的系统中，常常很难产生冲击这样大的控制信号。为了能够更加接近真实的控制对象，对控制器的控制量进行限幅，使之更接近真实的过程，得到二者的性能比较如图 5和表 4。可以看出，在对控制量限幅之后，传统的PID控制由于积分饱和的原因，产生了很长的稳定时间。而模糊PID基本没有受到影响。在这种条件下，采用的整定方法的模糊PID控器的控制效果明显优于传统的PID控制器。

3.2 高阶过程的控制仿真分析

在实际工业过程中，高阶系统代表了一类复杂程度较高的线性系统。由于PID控制的阶次较低，对于高阶系统的控制往往效果也不够理想。该仿真中，假设一工业过程为

$ G\left( s \right) = \frac{1}{{{{\left( {s + 1} \right)}^8}}}。$

(21)

通过继电器反馈方法得到该系统的近似模型为

$ G\left( s \right) = \frac{{{e^{ - 4.25s}}}}{{\left( {3.3680s + 1} \right)\left( {0.9943s + 1} \right)}}。$

(22)

取A_m=3，得到控制器参数如表 5。

该仿真中，取PSO算法的惯性权重w=0.9，选择学习因子c₁=1.3与c₂=0.82，可以获得优化的结果

$ {X_{{\rm{best}}}} = \left\{ { - 1, - 0.72, - 0.53, - 0.02, 0.51, 0.74, 1} \right\}。$

(23)

结合PSO优化后的模糊隶属度建立模糊PID控制器，获得2种控制器的控制性能仿真如图 6。从表 6和图 6可以看出，在对高阶系统的控制上，模糊PID的IAE和ITAE低于传统的PID，且具有超调小、响应快的优点。

4 基于Dspace的芯片固化炉温度控制应用实例

芯片固化炉是微电子封装生产过程中的一个重要的设备。芯片上带有的环氧树脂、硅胶等材料需要在芯片固化炉中进行固化成为最终的产品。因此，固化炉的温度场对于胶液的固化有至关重要的影响作用。固化炉温度场是一个大惯性，大时滞系统，同时存在较大的非线性，获得其准确的模型常常是比较困难的。这也造成了控制系统设计上的困难。常规的线性控制方法常常会产生超调等不良的响应。模糊PID控制器对于非线性系统控制的优势使其能够适应该系统的动态特性。芯片固化炉的实验系统如图 7所示。

固化炉试验系统的硬件控制框架如图 8所示。以Dspace为核心的控制系统，基于温度变送器通过AD转换板卡采集固化炉中的温度信号，并通过数字接口控制继电器的开关，形成PWM调制信号控制加热器的功率，形成了标准的反馈控制系统。

基于最小二乘法，建立了固化炉控制信号与温度之间的关系模型。其中，控制信号是脉宽调制的占空比。实际上，温度控制系统是一个非线性过程，在每个工作点有不同的线性模型。在120°附近，笔者建立了系统的脉宽调制占空比和温度之间的动态模型

$ G\left( s \right) = \frac{{3345{e^{ - 23s}}}}{{\left( {9123s + 1} \right)\left( {1.56s + 1} \right)}}。$

(24)

依据该模型，基于参数整定方法可得控制器的相应参数。传统PID控制器的参数也由增益与相位裕度整定方法获得。

在固化炉温控实验中，取PSO的惯性权重w=0.8，选择学习因子c₁=1.2与c₂=0.85，可以获得优化的结果

$ {X_{{\rm{best}}}} = \left\{ { - 1, - 0.72, - 0.39, 0.01, 0.42, 0.69, 1} \right\}。$

(25)

2种控制方法的实验结果如图 9所示与表 8所示。

脉宽调制的占空比是0~1之间的值，相当于对控制量进行了限制。从图 9的实验结果可以看出，传统PID控制所产生的超调较大，达到了137°，固化炉的散热过程比较慢，因而超调对系统的影响时间很长，达到了近3 000 s。而基于研究整定方法的模糊PID控制所产生的超调大约在125°左右，优于PID控制。从积分性能指标也可以看出基于研究整定方法的模糊PID控制具有更好的控制效果。

5 结论

笔者提出一种模糊PID控制器的双层参数整定方法。由模糊PID的解析模型，结合增益裕度原理得到了模糊PID的比例因子，又基于PSO算法优化了模糊隶属度函数。最终使得模糊PID控制更好地适应被控对象的动态特性。由仿真与实验的分析可以看出参数整定方法的有效性。