脉宽调制(PWM)是利用脉冲实现连续模拟输出的技术，广泛应用在电力电子、开关电源、DC-DC变换、电机伺服等工程应用中。此外也可以利用PWM技术实现D/A转换^[1]。

PWM技术可以利用简单的开关实现对输出的连续控制。目前这种技术已经非常成熟，可以通过硬件电路实现，也可以通过微处理器实现。前者一般通过三角波与连续变化的控制电平相比较，产生占空比连续变化的控制波形^[2-3]；后者则通过数字量实现相似的功能。由于数字PWM技术控制更加灵活智能，其应用前景也将更加广泛。

PWM控制技术有2种不同的类型：一种是非隔离型PWM，通过调整脉宽连续地控制输出，典型应用是Buck电路和Boost电路^[4]，其占空比的变化范围从0~1；另一种是隔离型PWM，这种PWM信号除了利用脉宽调制输出之外，还肩负着斩波的功能，从某种意义上讲，其占空比的变化范围只能从0~0.5。

PWM控制技术的不足之处是会产生高频纹波，对其他电路产生干扰。这对于很多精度要求比较高的应用场合是非常不利的。传统上，解决纹波问题的方法主要有2种。第一是提高调制频率，因为调制频率越高，高频纹波频率也随之提高，这种高频噪声比较容易被抑制。第二是后面加低通滤波器来抑制高频纹波的幅值。但是当希望实现更高的分辨率时，将会与提高调制频率发生冲突，特别是对于采用数字控制实现PWM功能时。例如在时钟周期一定的前提下，提高分辨率时，会使PWM周期增大，频率减小。研究内容就是为了解决提高分辨率和提高频率互相冲突问题。

1 传统PWM

传统PWM技术如图 1所示，其占空比为τ/T，变化范围为0~1，能够实现从0~1的连续控制量输出^[5]。

PWM信号除了能够产生所需的连续变化的占空比之外，还会产生各种不利的谐波成分，这也是产生纹波的根源^[6]。实际上，最后输出纹波的幅值与各次谐波的幅值谱具有很强的正相关关系。因此，评价纹波主要从幅值谱入手。除此之外，还要考虑频率的影响，一般来说，频率越高越容易被衰减。由于PWM信号是周期的，研究采用傅里叶级数进行频域分析。对于图 1所示的PWM信号，其频谱为(对幅值做了归一化处理)

$ {X_n} = \frac{\tau }{N}\frac{{\sin \frac{{n\tau }}{T}{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{\frac{{n\tau }}{T}{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{\rm{e}}^{ - j\frac{{n\tau }}{T}{\rm{ \mathsf{ π} }}}}, $

(1)

式(1)中：T为PWM周期；τ为一个PWM周期中的导通时间；n为谐波次数。

由于纹波强弱主要受幅值谱|X _n|影响，相位因子可以忽略不计，故后面分析只考虑幅值谱。对于p bit的数字PWM信号，可以用一个p bit的数字量表达，其形式为D_p-1……D₃D₂D₁D₀。实际输出时要映射成脉冲序列，其长度为N=2^p-1。按照图 1所示波形，映射关系为将数字量连续堆积成一个脉冲，设时钟周期为T₀，则T=NT₀，τ=kT₀，其幅值谱为

$ \left| {X\left( {n,k} \right)} \right| = \frac{k}{N}\frac{{\sin \frac{{n{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{N}k}}{{\frac{{n{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{N}k}}, $

(2)

在此表达式中，当n=0时为0次谐波，|X_{(0, k)}|=k/N，即占空比，为所需要输出的PWM信号，通过改变k的值，可以连续的调节输出的模拟信号。当n＞0时为各次谐波，均为脉冲成分。从应用角度来看，各个级次的谐波均有纹波输出。首先，当n=1时为基波，该分量最强，频率也最低；其次，当n=2时为二次谐波，其频率加倍，幅值也比更高次(n＞2)谐波大。对于这些更高次谐波，一方面，其幅值随着n的增加趋于0；另一方面，频率越高，经过后级低通滤波器后，其幅值衰减幅度越大，最终输出时产生的纹波影响远低于基波和二次谐波，因此，对纹波的评估重点放在基波与二次谐波上^[7]。它们的幅值谱分别为

$ \left| {X\left( {l,k} \right)} \right| = \frac{k}{N}\frac{{\sin \frac{{l{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{N}k}}{{\frac{{l{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{N}k}}, $

(3)

式中l=1对应基波，l=2对应二次谐波。

式(3)表明，PWM信号占空比的变化对纹波的幅值也有影响。当占空比为0或1时，也就是k=0或k=N，完全不会产生纹波。当k=1或k=N-1开始产生纹波，此时基波与二次谐波所产生的纹波，定义为最弱纹波

$ {X_{l\min }} = \left| {{X_{\left( {l,1} \right)}}} \right| = \frac{{\sin \frac{{l{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{N}}}{{\rm{ \mathsf{ π} }}}, $

(4)

当占空比k/N达到约1/2时，基波纹波会达到最大，约1/4或3/4时，二次谐波纹波会达到最大，定义为最强纹波

$ {X_{l\max }} = \frac{{\sin \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}}}{{\rm{ \mathsf{ π} }}} = 0.318,{X_{2\max }} = \frac{{\sin \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}} = 0.159, $

(5)

因此，PWM信号当占空比在1/4~3/4之间时会有较强的纹波。

对于不同的比特数目p或序列长度N，其纹波最强与最弱的比值差距会很大，关系如表 1所示，

由此可以看出，当分辨率提高时，也就是比特数p增加时，纹波幅值的变化范围急剧增大。为了抑制纹波，只有提高PWM的调制频率。但是当调制频率提高时，要求时钟周期T₀也更低，这对微处理器的时钟周期也提出更高的要求^[8]。

2 编码PWM

相对传统PWM信号与脉冲序列的映射关系：将数字量连续堆积成一个脉冲，提出的编码方式是将它们更均匀地分布于整个PWM周期之中。将图 1中传统PWM进行初步改进，效果如图 2所示。

显然图 1和图 2的占空比是一样的，但后者基波的幅值相对更低，高次谐波成分的幅值相对更高，显然纹波成分的能量向更高频率分布，等效调制频率有所提高。基于这种理念，编码的基本方法可表述为：将PWM脉冲均匀的分布到整个PWM周期中，会得到更好的效果，最理想的分布方式是达到单个脉冲的程度。

与传统数字PWM信号一样，也是将p bit的数字量映射成长度为N=2^p-1的脉冲序列，此长度就是PWM脉冲序列的周期。为了便于分析，将此周期映射为2π相位。数字量中每一位D_i在PWM脉冲序列中占据特定的位置或相位，通过编码的方式使其均匀分布于整个周期中。如果D_i比特为0，脉冲序列中相应位置或相位输出为0；反之则输出为1。

从理论上讲，D₀可以放到任意位置，为了便于编码，把D₀放在(N+1)/2位置或π相位。位置的不同只是附加不同的相位因子，对幅值并无影响。

按照数字量与脉冲序列的映射关系，对于D_i位，其权值为2ⁱ，所以会有对应数目的脉冲映射到脉冲序列中。再按照前面均匀分布的编码理念，这些脉冲以一定的间隔对称于D₀所在的π相位位置向两侧均匀分布^[9]。除此之外，这些脉冲还具有一定的起始位置或初始相位，虽然这些初始相位对频谱幅值并无影响，但是后面频谱合成时还要涉及到。编码脉冲映射关系可以表达如表 2所示。

限于篇幅，这里以p=4bit的PWM信号为例说明编码方法的实现原理。此时，各位数字量可依次表示为D₃D₂D₁D₀，其中D₀位于脉冲序列中间位置，其他D_i(i= 1, 2, 3)以D₀所在位置为中心向两侧均匀分布。其编码分布如图 3所示。

实际的输出是各个D_i的组合。在p=4 bit的数字量的前提下，当占空比为6/15时，D₃D₂D₁D₀=0110；为7/15时，D₃D₂D₁D₀=0111；为8/15时，D₃D₂D₁D₀=1000；为9/15时，D₃D₂D₁D₀=1001。相应的输出脉冲序列分别如图 4中(a)(b)(c)(d)所示。

该方法可以实现不同占空比PWM的编码，在实际应用中可以扩展到更多的比特数，以满足更高的分辨率要求^[10]。

3 性能分析

笔者的研究目标是降低PWM的输出纹波的幅值，而其大小又和频谱强度基本成正比关系，因此，通过对编码的频谱做深入分析，来证明该方法可以实现非常低的纹波输出^[11-12]。由于纹波强弱主要由受幅值谱影响，相位因子可以忽略不计。后面分析只考虑幅值谱。

前文所述的编码方法都是以单个脉冲形式体现的，这些按照编码规律均匀分布脉冲的频谱可以利用单个脉冲的频谱与傅里叶级数的时移定理进行合成。该定理表述如下：当一个周期信号在时间上移位时，它的傅里叶级数的模保持不变，但是要附加一个相位移^[13]。若

$ x\left( t \right)\overset {Fs} \longleftrightarrow {X_k}, $

(6)

则

$ x\left( {t - {t_0}} \right)\overset {Fs} \longleftrightarrow {{\text{e}}^{j\frac{{2{\mathtt{π}}}}{T}kt0}}{X_k}。$

(7)

对于任意D_i=1时，有2ⁱ个均匀分布的单脉冲，每个单脉冲都会附加一个不同的相位移：φ=φ₀+mΔφ，m=0~2ⁱ-1。其中Δφ与φ₀参见表 2。

3.1 基波分析

对于基波，根据前述傅里叶级数的时移定理，可以求出每一单脉冲的频谱

$ {X_{C\left( {1,D{_{i,m}}} \right)}} = X\left( {1,1} \right){{\rm{e}}^{ - j\left( {{\varphi _0} + m\mathit{\Delta} \varphi } \right)}}, $

(8)

式(8)中X_C表示编码后的频谱，m取值范围为0~2ⁱ-1。

这些单脉冲频谱之和对应D_i=1的频谱

$ {X_{C\left( {1,D{_{i}}} \right)}} = \sum\limits_{m = 0}^{2i - 1} {{X_C}\left( {1,{D_i},m} \right)} = {X_{1,1}}{{\rm{e}}^{ - j{\varphi _0}}}\sum\limits_{m = 0}^{2i - 1} {{{\rm{e}}^{ - jm\mathit{\Delta} \varphi }}} 。$

(9)

如果只考虑幅值谱，可以得到

$ \left| {{X_{X\left( {1,D{_{i}}} \right)}}} \right| = \left| {\sum\limits_{m = 0}^{2i - 1} {{X_{C\left( {1,{D_{i,m}}} \right)}}} } \right| = {X_{l\min }}\left| {\sum\limits_{m = 0}^{{2^i} - 1} {{{\rm{e}}^{ - jm\mathit{\Delta} \varphi }}} } \right., $

(10)

注意到常数的相位因子幅值为1，X_{(1, 1)}=X_lmin对于相应的最弱纹波。只有后面求和号中的内容会对幅值有影响，对于基波，这2项求和号中内容分别记作|S_{1(p, i)}|，其表达式为

$ \left| {{S_{1\left( {p,i} \right)}}} \right| = \left. {\sum\limits_{m = 0}^{{2^i} - 1} {{{\rm{e}}^{ - jm\mathit{\Delta} \varphi }}} } \right| = \left| {\frac{{\sin \left[ {\left( {1 + \frac{1}{N}} \right){\rm{ \mathsf{ π} }}} \right]}}{{\sin \frac{{{2^{p - i}}}}{N}{\rm{ \mathsf{ π} }}}}} \right|, $

(11)

式(11)中，当i=0时，|S_{1(p, 0)}|=1。可以证明，当i＞0时，|S_{1(p, i)}|幅值因子随着i值单调递增。并且有如下表达式

$ \left| {{S_{1\left( {p,i} \right)}}} \right| = \left| {\frac{{\sin \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{N}}}{{\cos \frac{{{\rm{2 \mathsf{ π} }}}}{N}}}} \right|, $

(12)

当N的值足够大时，式(12)中第一项分子趋于0，分母趋于1，则|S_{1(p, 1)}|=0；第二项取极限，得|S_{1(p, p-1)}|=1/2。

在式(12)中，对于基波|S_{1(p, i)}|(i＞1)的值而言，随着N增加，其值增加，极限为1/2。即每一位D_i，所产生的纹波均不会超过其相应最弱纹波X_lmin的1/2。

对于一个实际输出的数字量，是由不同的D_i组合而成的，详细的分析比较复杂，这里不做深入的定量分析，仅给出一个比较粗略的估计结果。当占空比为1/N时，编码方法与传统方法的纹波幅值大小一样，即前述的最弱纹波X_1min；当占空比大于1/N时，其中各位D_i的上限是X_1min的1/2，故其组合形式可以通过如下表达式估计

$ \left| {\sum\limits_{i = 0}^{p - 1} {{X_{C\left( {1,D{_{i}}} \right)}}} } \right| < \sum\limits_{i = 0}^{p - 1} {\left| {{X_{C\left( {1,D{_{i}}} \right)}}} \right|} = \frac{1}{2}\left( {p + 1} \right)。$

(13)

3.2 二次谐波分析

对于二次谐波，根据前述傅里叶级数的时移定理，可以求出每一单脉冲的频谱

$ {X_{C\left( {2,{D_{i,m}}} \right)}} = {X_{2,1}}{{\rm{e}}^{ - j2\left( {{\varphi _0} + m\mathit{\Delta} \varphi } \right)}}, $

(14)

式(14)中，X_C表示编码后的频谱，m取值范围为0~2ⁱ-1。

这些单脉冲频谱之和对应D_i=1的频谱

$ {X_{C\left( {2,{D_i}} \right)}} = \sum\limits_{m = 0}^{2i - 1} {{X_{C\left( {2,{D_{i,m}}} \right)}}} = {X_{2,1}}{{\rm{e}}^{ - j2{\varphi _0}}}\sum\limits_{m = 0}^{2i - 1} {{{\rm{e}}^{ - j2m\mathit{\Delta} \varphi }}} , $

(15)

如果只考虑幅值谱，可以得到

$ \left| {{X_{C\left( {2,{D_i}} \right)}}} \right| = \left| {\sum\limits_{m = 0}^{2i - 1} {{X_{C\left( {2,{D_i},m} \right)}}} } \right| = {X_{2\min }}\sum\limits_{m = 0}^{2i - 1} {{{\rm{e}}^{ - j2m\mathit{\Delta} \varphi }}} 。$

(16)

注意到常数的相位因子幅值为1，X_{(2, 1)}=X_2min对于相应的最弱纹波。只有后面求和号中的内容会对幅值有影响，对于二次谐波，这2项求和号中内容分别记作|S_{2(p, i)}|，其表达式为

$ \left| {{S_{2\left( {p,i} \right)}}} \right| = \left| {\sum\limits_{m = 0}^{2i - 1} {{{\rm{e}}^{ - j2m\mathit{\Delta} \varphi }}} } \right| = \left| {\frac{{\sin \left[ {\left( {1 + \frac{1}{N}} \right)2{\rm{ \mathsf{ π} }}} \right]}}{{\sin \frac{{{2^{p - i}}}}{N}2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}} \right|, $

(17)

对于二次谐波，当i=0时，|S_{2(p, 0)}|=1/2。当i=1时，|S_{2(p, 1)}|=2。可以证明，当i＞1时，|S_{2(p, i)}|幅值因子随着i值单调递增。并且有如下表达式

$ \left| {{S_{2\left( {p,2} \right)}}} \right| = \left| {\frac{{\sin \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{N}}}{{\cos \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{{2N}}}}} \right|,\left| {{S_{2\left( {p,p - 1} \right)}}} \right| = \left| {\frac{{\sin \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{2}}}{{\cos \frac{{{\rm{4 \mathsf{ π} }}}}{N}}}} \right|, $

(18)

当N的值足够大时，式(18)中第一项分子趋于0，分母趋于1，则|S_{2(p, 2)}|=0；第二项取极限，|S_{2(p, p-1)}|=1/2。

在式(18)中，对于二次谐波|S_{2(p, i)}|(i＞2)的值而言，随着N增加，其值增加，极限为1/2。即每一位D_i，所产生的纹波均不会超过其相应最弱纹波X_1min的1/2。

当占空比为1/N时，编码方法与传统方法的纹波幅值大小一样，即前述的最弱纹波X_2min；当占空比大于1/N时，其中各位D_i的上限是X_2min的1/2，故其组合形式可以通过如下表达式估计

$ \left| {\sum\limits_{i = 0}^{p - 1} {{X_{C\left( {2,D{_{i}}} \right)}}} } \right| < \left| {\sum\limits_{i = 0}^{p - 1} {{X_{C\left( {2,D{_{i}}} \right)}}} } \right| = \frac{1}{2}\left( {p + 3} \right)。$

(19)

实际上这种估计结果远远高于实际的结果，即使这种估计是一种最为不利状况，相对于传统PWM方法而言，纹波的幅值已经了低很多。

4 总结

通过上述分析可知，与传统方法相比较，经编码方法处理之后，其纹波幅值有显著的改善。PWM编码的方法能够通过程序软件或硬件来实现^[14-15]。该方法适用于对纹波要求较高的场合，因此上述研究有很高的实用价值。

理论上最佳的编码方式是离散成单个脉冲的形式，但实际应用中考虑到开关的频率特性，也可以采用分组方式实现，例如4个或8个脉冲为一组，这样可以适当增加脉冲的宽度，使开关对其响应更为理想。尽管分组后谐波频率有所提高，但相对于传统编码方法而言，其纹波的幅值已经有很大的改善。经过初步的实验验证，此技术效果良好。