可调电力电抗器是一种最普遍的电气设备，它能根据使用场合的需求实时调节自身线圈电感值，在电力系统中得到广泛应用。例如，电抗器在电力系统中可以补偿无功功率，使各个重要节点的电位维持在一定水平，提高供电可靠性及电能质量；在中性点不直接接地系统中，当输电线路发生单相接地故障时，可以在变压器性点与大地之间安装铁芯电抗器，利用流过电抗器的感性电流补偿故障点的容性电流，使电弧易于在电流过零时自行熄灭，因此这种电抗器被称为消弧线圈；在长输电线路空载或轻载时，由于分布参数电路对地杂散电容的影响使线路末端电压高于首端电压，这时就需要在合适的位置安装一定容量的并联电抗器以提高系统沿线电压分布质量^[1-3]。每种应用场合对电抗器的要求各不相同，一些应用场合不要求电抗器的电感值可调，而一些场合要求电抗器的电感值必须在大范围内可调，甚至有时要求电感值的调节速度足够快，如限制短路电流、动态滤波等场合；还有一些敏感场合却需求电感值能精确定位或者能够在所需值附近做细微调节，如无线通信调谐、选频和无线收发等场合。基于以上情况，对可调电力电抗器的研制是有价值和实用意义的。

目前，按照可调电抗器的调节方法可以分为^[4-8]：传统机械式可调电抗器(包括调匝式和调气隙式)、晶闸管可控电抗器(TCR, thyristor controlled reactor)、直流磁控型可调电抗器(包括磁阀式、直流磁饱和式、裂心式和正交铁心式)、交流磁控可调电抗器(包括变压器式、电容式和磁通可控式)、基于脉宽调制技术的可控电抗器(PWMR, pulse width modulation reactor)和超导可控电抗器(包括失超式和非失超式)。这几种电抗器都可以实现大范围调节电感值。但它们都有不足之处：传统机械调匝式电抗器因其电感值不能连续调节而受到应用限制；晶闸管可控电抗器在调节过程中会产生大量谐波，对电网造成污染，并且由于晶闸管直接串联在电路中对其耐压和散热的要求很高，难以在超高压电网中应用；直流磁控型可调电抗器在工作过程中由于部分铁芯材料处于饱和状态使损耗增大，同时因其含有电力电子器件而具有较大的谐波污染；交流磁控型可调电抗器采用变压器的结构实现电抗器的功能，但因其分级控制而不能连续平滑调节电感值而受到一些限制；PWM型可控电抗器因其控制复杂、耐压水平低而只应用于低压场合；超导可控电抗器存在失超后恢复的问题，在实际应用中控制比较困难。关于电感线圈的微调方法大致分为3种：单层线圈微调、多层线圈微调和带铁芯线圈微调。单层线圈的微调方法即在线圈端部留出半匝做为微调匝，转折或移开这半匝线圈即可微调电感值；多层线圈的微调方法是把整个线圈分段绕制，通过调节每段线圈的距离(也就是调节线圈之间的互感)达到微调的目的；带铁芯线圈的微调方法是靠调节铁芯在线圈中的位置(改变磁场分布情况)来微调电感值。在以上这些电抗器原理中，一些电抗器只具备电感值快速调节的功能，而另一些电抗器则只具备电感值细微调节的功能，也就是说它们不能同时实现粗条/微调复合调感的目的。

研究从磁路的欧姆定律出发，提出一种靠改变可动磁柱与固定磁柱之间的平行间距来调节电感值的方法，该方法不仅能实现电感值的粗调和快速调节，还能实现电感值的细微调节。若配合一套传动系统来控制可动磁柱，这种电抗器既能适用于快速调感的场合，还能用于电感值细微调节的场合。利用有限元法计算磁场分布和电感值，分析电感调节特性曲线，仿真验证了这种电抗器调感方法的正确性。

1 工作原理

对于电路参数而言，电抗器主要体现为电感值。正常工作时，通入线圈的交流电流建立交流磁动势，磁动势产生的交流磁通沿铁芯及其中的气隙形成闭合磁路(为防止铁芯材料饱和而在铁芯结构中设置空气隙)，结合磁路欧姆定律、磁链计算公式和安培环路定律进行分析^[9-11]：

$ \left\{ \begin{array}{l} F = NI = {R_t}\varphi = \left( {{R_a} + {R_i}} \right)\varphi \approx {R_a}\varphi , \\ \psi = N\varphi = LI, \\ \oint_l {H \cdot dl = \left( {{H_i}{l_i} + {H_a}{l_a}} \right) \approx {H_a}{l_a} = NI, } \end{array} \right. $

(1)

式中：F为交流磁动势；N为线圈匝数；I为交流电流有效值；R_t为磁路中的总磁阻；R_i为铁芯磁阻；R_a为气隙磁阻；φ为交流磁通；ψ为磁链；L为电感值；H_i为铁芯中磁场强度；H_a为气隙中磁场强度；l_i为铁芯磁路长度；l_a为气隙沿磁通流向的长度。

式(1)中出现约等号是因为：铁芯材料的相对磁导率远远大于气隙的相对磁导率(即认为R_a＞＞R_i)，可忽略掉铁芯磁阻；同时，通常情况下l_a＜l_i，但由于H_a＞＞H_i，使得H_al_a＞＞H_il_i。

结合B=μ₀μ_rH，磁阻的理论计算公式^[12-14]为

$ R = \frac{l}{{{\mu _0}{\mu _r}S}}, $

(2)

式中：l为磁阻长度(沿磁通方向)；μ₀为真空磁导率，其值为μ₀=4π×10^-7 H/m；μ_r为材料的相对磁导率(空气材料的相对磁导率为1，铁磁材料的相对磁导率为几千)；S为磁阻的等效导磁面积；B为磁感应强度。

推导出电抗器的电感值理论计算公式

$ L \approx \frac{{{\mu _0}{S_a}{N^2}}}{{{l_a}}}, $

(3)

式中，S_a为气隙等效导磁面积。l_a较小时，可不计气隙边缘效应，S_a按铁芯截面积计算；l_a较大时，受气隙边缘效应的影响，磁力线向四周发散，造成气隙等效导磁面积扩大化(S_a大于铁芯截面积)，具体扩大程度与气隙长度和铁芯截面积等参数有关^[15]，需引进一个气隙等效导磁面积扩大系数k(k＞1)，这时S_a等于铁芯截面积与k的乘积。

可以看出：电感值大小与μ₀、S_a和N²呈正比，与l_a呈反比。线圈匝数N对电感值影响较大，但匝数为整数值，不能连续调节电感值，通常不采用这种方法；对于已经制造成型的铁芯电抗器，铁芯截面积通常无法改变。据此，文中依托特殊的铁芯结构，以调节l_a和改变工作磁路为技术手段，实现电感值连续调节。电抗器铁芯结构如图 1(a)所示；类比电路如图 1(b)所示。

图 1(a)主磁路结构由铁芯柱AF、上铁轭AB、带气隙磁柱BE和下铁轭EF组成；可动磁柱GH与带气隙磁柱BE平行且横截面均为等面积矩形，这有利于可动磁柱GH与带气隙磁柱BE紧密接触；可动磁柱GH与上、下铁轭之间加装非铁磁性绝缘材料(相对磁导率为1)，有利于夹固可动磁柱GH以减小振动，同时还具有一定润滑功能；气隙尺寸l₁与非铁磁性绝缘材料尺寸l₂之间关系：l₁=2l₂。

计铁芯材料磁阻的前提下，图 1(b)类比电路中包含7个磁阻。图中R_i代表铁芯材料磁阻(除可动磁柱GH以外的其他铁芯材料磁阻)；R_c代表可动磁柱GH磁阻；R_l1代表气隙l₁的磁阻；R_l2代表非铁磁性材料磁阻；R_x代表C点与G点之间的气隙磁阻(也代表D点与H点之间的气隙磁阻)，随着可动磁柱GH位置的改变，R_x为一个变化量。

假设磁阻R_x、R_l1、R_l2和R_i对应的铁芯截面积都相等。定义：可动磁柱GH与带气隙磁柱BE之间的距离为x，称为调节距离。受铁芯材料相对磁导率的影响，R_c远远小于R_l2和R_x，为方便计算，在不影响计算准度的前提下，可忽略掉可动磁柱GH的磁阻R_c，此时磁路中总磁阻：

$ {R_t} = {R_i} + \frac{{2{R_{l1}}{R_{l2}}{R_x}}}{{{R_{l1}}{R_{l2}} + {R_{l1}}{R_x} + 2{R_{l2}}{R_x}}}。$

(4)

联合式(2)~式(4)可得在任意调节距离情况下电感值计算公式

$ L\left( x \right) = \frac{{{\mu _0}{S_i}{N^2}}}{{\frac{{2{l_1}{l_2}}}{{\left( {2{l_2}{k_1} + {l_1}{k_2}} \right) + \frac{{{l_1}{l_2}{k_x}}}{x}}} + \frac{{{l_i}}}{{{\mu _{ri}}}}}}, $

(5)

式中：S_i为铁芯截面积；k₁、k₂、k_x分别为气隙l₁、非铁磁性材料l₂、气隙R_x的等效导磁面积扩大系数，由参考文献知，气隙等效导磁面积扩大系数是关于气隙长度和铁芯截面积的函数；μ_ri为铁芯相对磁导率，其值取决于材料属性，通常情况下μ_ri≈2 000~3 000，l_i＜＜μ_ri，即式(5)中分母最后一项l_i/μ_ri可忽略不计。可以看出：式(5)中除了调节距离x之外，其他参数均为定值，电感值L(x)是关于x的单调递减函数，调节距离增大，电感值减小，具体变化趋势将在下文中分析。

分析2种极端情况：调节距离x=0时，可以认为R_x=0，这时几乎全部磁通沿着A—B—C—G—H—D—E—F—A形成闭合磁路，由于R_x短路，此时不能忽略铁芯材料磁阻，工作磁路中的磁阻为R_i+R_c，电感值最大，工作磁路及类比电路如图 2(a)和图 2(b)所示；当调节距离x＞＞l₁时，可以认为R_x=∞(等价为R_x开路)，磁通分别沿着A—G—H—F—A和A—B—E—F—A形成闭合磁路，此时可忽略铁芯材料磁阻，工作磁路中的总磁阻由R_l1和R_l2构成(2个R_l2与R_l1并联)，电感值最小，工作磁路及类比电路如图 2(c)和图 2(d)所示。最大、最小电感值分别为

$ \left. \begin{array}{l} {L_{\max }} = {N^2}/\left( {{R_i} + {R_{\rm{c}}}} \right)\\ {L_{\min }} = \left( {2{R_{l2}} + {R_{l1}}} \right){N^2}/\left( {2{R_{l2}} + {R_{l1}}} \right) \end{array} \right\}。$

(6)

综上，可动磁柱的位置可使工作磁路发生改变，由原来的1条工作磁路被“拉”成2条工作磁路。

2 仿真验证 2.1 仿真原理

有限元法进行磁场仿真的原理是：以麦克斯韦方程组作为分析问题的出发点，建立向量磁位A的微分方程，并结合给定的边界条件把边值问题转化为等价的变分方程，把求解域剖分成有限个单元，利用以节点向量磁位A为未知数的插值函数对变分方程进行离散化，将求解微分方程的难题转化为一组代数方程组进行求解；再利用ANSYS软件强大的后处理功能得到所关心的物理量，例如，磁感应强度B可由向量磁位A的旋度得出(B=▽×A)、电感值L可由LMATRIX宏命令得出^[16-18]。

考虑到电抗器的实际工作情况时，做以下假设条件：

1) 求解模型内电磁场属于似稳场且当做恒定磁场；

2) 铁心材料为均匀、线性、各向同性媒质；

向量磁位A满足的边值问题为

$ \left. \begin{array}{l} \Omega :\frac{{{\partial ^2}\mathit{\boldsymbol{A}}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\mathit{\boldsymbol{A}}}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\mathit{\boldsymbol{A}}}}{{\partial {z^2}}} = - \mu \mathit{\boldsymbol{J}}\\ {S_1}:\mathit{\boldsymbol{A}} = \mathit{\boldsymbol{0}} \end{array} \right\}, $

(7)

式中：向量磁位A=[A_x, A_y, A_z]^T；传导电流密度J=[J_x, J_y, J_z]^T；Ω代表整个求解域；S₁代表无穷远边界，设置为磁力线平行边界条件。

2.2 仿真模型

按照图 1中设计的铁芯结构建立三维磁场仿真模型，单元类型选为solid117单元；铁芯模型相对磁导率设定为2 000，采用六面体自由剖分(free)；线圈模型的相对磁导率设定为1，采用扫掠剖分(sweep)；空气模型相对磁导率也设定为1，采用智能剖分(smart)；在线圈模型的中轴线上建立局部圆柱坐标系，并把该坐标系与线圈模型耦合，以便在线圈模型上施加环形电流密度作为激励；为模拟实际工作情况，在电抗器模型外部建立空气模型，并在空气模型的最外层节点上施加磁力线平行边界条件模拟无穷远边界；应用棱边单元法，采用稀疏矩阵求解器，运用solve命令进行求解。表 1列出了仿真模型的几何参数。图 3给出了电抗器1/2模型的单元剖分图。

2.3 仿真结果及分析

仿真结果记录了调节距离分别为0 mm、10 mm、20 mm、40 mm和100 mm时求解域中磁力线路径和磁感应强度分布，如图 4所示。调节距离为0 mm和100 mm时空气中磁感应强度分布(漏磁场)，如图 5所示。记录了调节距离在0~100 mm时的线圈电感值，如表 2所示。

从图 4和图 5可以看出：调节距离从0~10 l₂ mm变化时，工作磁路先由1条变成3条，再由3条工作磁路过渡成2条工作磁路；随着调节距离增大，铁芯中磁感应强度逐渐减小，空气中磁感应强度逐渐增大，这是因为：调节距离增大，总磁阻增大，磁通密度减小，可以理解为铁芯中磁感应强度向周围空气中流失的比例变大。当x=0 mm时磁力线不经过气隙l₁和l₂，全部沿着A—B—C—G—H—D—E—F—A闭合，只形成1个工作磁路，空气中磁感应强度最大值为0.002 878 T，铁芯中磁感应强度最大值为0.605 738 T，铁芯中磁感应强度是空气中磁感应强度的210倍；当x=l₂ mm时，原工作磁路中约为2/3的磁力线被“拉”出，分别沿A—G—H—F—A和A—B—C—D—E—F—A闭合，剩余1/3磁力线仍留在原工作磁路中，此时共形成3条工作磁路，且每条工作磁路中的磁通密度基本相等，这是因为x=l₂ mm时，这3条工作磁路中的磁阻都为R_i+2R_l2，另外由于不存在“磁”的绝缘体，原则上求解域中每个节点都有磁感应强度，即使铁芯窗高很大，也会有极少量磁力线从上铁轭穿过空气直接流回下铁轭形成闭合磁路(这部分称为漏磁通)；当x=2l₂ mm和x=4l₂ mm时，仍然保持3条工作磁路，但是受调节距离的影响原工作磁路A—B—C—G—H—D—E—F—A中磁力线明显少于其他2条工作磁路，x=4l₂ mm是3条工作磁路与2条工作磁路的分界点；当x=10l₂ mm时，R_x＞＞R_l2，可以明显看出只存在2条工作磁路，且这2条工作磁路中磁通基本相等，空气中磁感应强度最大值为0.012 168 T，铁芯中磁感应强度最大值为0.097 466 T，铁芯中磁感应强度是空气中磁感应强度的8倍，还可看出：受气隙边缘效应的影响，在气隙l₁和l₂处均发生明显的衍射现象(磁力线有发散的趋势)。

3 电感调节特性

结合表 2中仿真所得数据，绘制x=0~100 mm时粗调/微调电感特性曲线和x=20~100 mm时微调电感特性曲线，又利用Matlab软件的cftool工具对仿真数据进行拟合。拟合结果得出电感调节特性曲线呈双指数规律变化，如图 6所示。拟合公式为

$ L = 91.9{{\rm{e}}^{ - 1.542x}} + 29.65{{\rm{e}}^{ - 0.001827x}}。$

(8)

从图 6可知：随着调节距离x从0~100 mm不断增大，电感值不断减小；双指数规律变化的特点是先急后缓，最后无限趋近于一理论值，根据曲线变化趋势进一步细分为3个区域：快速调感区(对应图中Ⅰ区)、过渡区(对应图中Ⅱ区)和微调电感区(对应图中Ⅲ区)。快速调感区x＜0.5l₂ mm时，曲线斜率很陡，电感值迅速减小，调节距离变化0.5倍l₂，电感值变化4倍；x=0.5l₂~2l₂ mm时，曲线变化趋势较缓，电感值变化量约为12%；当x＞2l₂ mm以后，进入微调电感区，曲线变化非常缓慢，调节距离变化量达8倍l₂，电感值仅变化了2.8%，这是因为：x＞＞l₂时，可动磁柱的位置对气隙l₁处的磁力线分布有影响，改变了气隙等效导磁面积，使电感值发生微小变化，且这种影响随着调节距离的变大越来越不明显，因此图 6(b)中微调电感特性曲线的斜率逐渐减小。电感值的变化范围主要取决于气隙l₁和l₂的大小。在x=0 mm时，仿真计算电感值为121.82 mH，理论计算电感值为116.633 mH，相对偏差为4.2%；x＞＞l₂时，仿真计算电感值为26.334 mH，理论计算电感值为23.169 mH，相对偏差为12%，偏差变大是因为：1)x很大时，空气中漏磁通比例增大，无法明确界定主磁通与漏磁通分布关系；2)气隙等效导磁面积扩大系数的不确定性。鉴于理论计算公式中气隙等效导磁面积扩大系数的取值为一近似值，使得计算结果难免偏颇，只能认定理论计算值处在允许范围之内(实际上铁芯电抗器在生产过程中需要反复调节气隙大小才能得到满意的电感值)。鉴于计算机技术的发展，有限元数值计算的方法完全可以模拟真实情况下电抗器的工作状态。因此，笔者认为文中利用ANSYS软件仿真计算所得结果具有较好的实际性。

综上，这种电抗器的电感值可以大范围快速可调及局部微调，即实现了粗调/微调复合调感。为使其经济性最佳，可动磁柱位于Ⅰ区以满足快速调节的场合；可动磁柱位于Ⅲ区以满足电感值局部微调的场合。

4 结论

提出一种可动磁柱式粗调/微调复合调感电抗器原理，利用有限元法验证该原理的正确性，得到以下结论：

1) 电感值与调节距离呈双指数规律变化，电感调节特性曲线分为3个区域：快速调感区、过渡区和微调电感区。x＜0.5l₂ mm时，曲线急剧变化，x＞2l₂ mm时，曲线变化非常缓慢，实现了电感值大范围快速可调及局部微调。

2) 可动磁柱的位置使工作磁路发生改变。调节距离增大，工作磁路由1条变成3条，再由3条工作磁路过渡为2条工作磁路。

3) x=0 mm时，只有1条工作磁路，该磁路中无气隙，不可忽略铁芯材料磁阻；x＞＞l₂ mm时，有2条工作磁路，且这2条工作磁路中都存在气隙，可忽略铁芯材料磁阻。