二阶效应是结构受力分析中通常存在的力学现象，在进行结构受力研究时，对内力和变形的影响通常不能被忽略。二阶效应根据产生的原因分为P-Δ效应和P-δ效应两类^[1]。

《混凝土结构设计规范》^[2]在附录B中给出了规则框架结构考虑P-Δ效应的“层增大系数法”，对于实际工程中存在的错层框架结构，该方法不适用。基于分离杆件及等效计算长度的η-l₀法是一种源于结构稳定理论的近似等效简化方法，它既可用于P-Δ效应，也可用于P-δ效应的研究计算。慕遂峰^[3]曾基于此方法对钢筋混凝土错层框架结构的二阶效应进行了研究，但采用的η-l₀法存在以下不足：1)等效计算长度l₀的取值采用基于弹性稳定理论的诺模图^[4]查值法确定，未能反映杆件的真实受力与变形状态，与实际情况不符；2)未考虑P-Δ效应只会增大引起结构侧移的弯矩M_s，不会增大不引起结构侧移的弯矩M_ns这一基本受力规律^[1]。依据已有的研究成果，以经典的η-l₀方法作为理论基础，通过大量的算例分析对错层框架结构展开研究，文中提出了错层柱“计算楼层”的定义及错层柱基于实际约束状态下的等效计算长度系数，并为工程设计提供了一套可靠的考虑二阶效应的计算方法。

1 错层框架结构及其二阶效应问题

错层框架结构是指在建筑中同层楼板相互错开的结构，如图 1所示。当相邻楼面高差C超过一定高度限值时，会引起梁柱构件内力分配沿层高分布的复杂化，属于复杂建筑结构形式^[5]。

以图 1(b)所示的模型为分析对象，建立五层三跨错层框架结构模型，梁截面300 mm×600 mm，柱截面600 mm×600 mm，错层高度c=1 800 mm，材料强度等级均为C30；竖向均布荷载设计值为q=100 kN/m；水平荷载按作用方向分为2种工况，其大小为对应结构最大弹性层间位移角达到或接近1/550时相应的设计值。具体如图 2所示。

文中采用大型通用有限元软件(sap2000)在上述2种荷载工况下，对模型分别进行了考虑构件刚度折减的弹性二阶分析，构件刚度折减系数的取值按照规范^[2]对柱取0.6，对梁取0.4，分析得到结构考虑二阶效应后的弯矩分布示意，如图 3所示。

分析发现错层框架结构受力复杂，但弯矩分布也呈现一定的规律性。当水平荷载从左向右作用时，错层柱(B轴线所示)柱端弯矩出现在柱与其左侧梁相交的节点处；当水平荷载从右向左作用时，错层柱(B轴线所示)柱端弯矩如图 3所示，将会出现在柱与右侧梁相交的节点处。综上所述，对于错层框架结构的“计算楼层”可定义为与水平荷载作用一侧的楼层一致，并按此计算楼层对错层柱进行内力计算和配筋设计。

图 4(a)为普通规则框架柱所受弯矩及挠曲变形示意图，图 4(b)、图 4(c)所示2种荷载工况作用下，错层框架结构模型中某层错层柱的弯矩及柱挠曲变形示意图。由图 4可以看出，按照此方法定义错层框架中错层柱的“计算楼层”后，错层柱均发生双曲率挠曲变形，反弯点位置为中部。错层柱中部位置由于梁端集中弯矩M_C的作用，进一步增大了该错层柱的挠曲变形，故而错层柱的二阶效应比规则框架柱更加显著。

为进一步研究二阶效应对错层框架柱受力的影响程度，按照文献[11]的方法计算了模型中各柱柱端的弯矩增大系数η_s。计算结果见表 1，M₁为弹性一阶弯矩值，M₂为考虑二阶效应后的弯矩值。从计算结果可以看出，二阶效应对错层结构各柱柱端弯矩存在较大的影响，对大多数楼层的柱，其柱端弯矩增大系数在1.1~1.3之间，因此，二阶效应对错层结构各柱内力的影响不容忽视。

2 错层框架柱基于实际约束状态下的等效计算长度系数μ的取值

1959年，Julian^[6]根据“分离杆件法”^[7]将等效计算长度系数的取值直接绘制成图表(即诺模图)供查值，之后被各国设计规范采用并一直沿用至今，例如美国规范ACI318—14^[8]。然而近期的研究表明，按此假定确定的柱子等效计算长度与实际结构中柱的受力和变形并不吻合，表现在等效计算长度系数μ的取值较大且差异极大。我国《高层建筑混凝土结构技术规程》^[9]和《建筑抗震设计规范》^[10]规定，对于框架结构，其弹性层间位移角应满足不大于1/550的控制条件，按此控制的结构在承载能力极限状态下，柱子尚未进入整体或局部失稳的状态，若按诺模图确定等效计算长度显然与工程状态不符。因此，求出反映柱子实际受力和约束状态下的等效计算长度是解决错层框架结构二阶效应问题的关键。

对于实际工程中的框架柱，其端部所受的约束状态和位移状态可用2个转角约束弹簧和1个侧移约束弹簧加以模拟代替，并将其独立出来，如图 5所示。若取转角刚度为R_kA、R_kB，侧移刚度为T_k，则对该框架柱可列出如下平衡方程^[12]：

$ {{M}_{\text{A}}}+{{R}_{\text{kA}}}{{\theta }_{\text{A}}}=0, $

(1)

$ {{M}_{\text{B}}}+{{R}_{\text{kB}}}{{\theta }_{\text{B}}}=0, $

(2)

$ {{M}_{\text{A}}}+{{M}_{\text{B}}}+P\Delta -{{T}_{\text{k}}}\Delta L=0, $

(3)

式中：M为柱端实际弯矩；P为柱端轴力；θ为柱端转角；Δ为框架柱的实际柱端位移；l为柱子的结构高度，即层高。

将考虑轴力及相对位移影响的转角位移方程^[12-13]带入上式得

$ \left[ \begin{array}{*{35}{l}} \ {{s}_{ii}}+{{{\bar{R}}}_{\text{kA}}} & \ \ \ {{s}_{ij}} & \ \ \ \ \ \ \ -({{s}_{ii}}+{{s}_{ij}}) \\ \ \ \ \ {{s}_{ij}} & \ {{s}_{ii}}+{{{\bar{R}}}_{\text{kB}}} & \ \ \ \ \ \ \ -({{s}_{ii}}+{{s}_{ij}}) \\ -({{s}_{ii}}+{{s}_{ij}}) & -({{s}_{ii}}+{{s}_{ij}}) & 2({{s}_{ii}}+{{s}_{ij}})-{{\left( kL \right)}^{2}}+\bar{T}{{~}_{k}}~ \\ \end{array}\ \right]\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{\theta }_{A}} \\ {{\theta }_{B}}~ \\ \mathit{\Delta } \\ {\bar{L}} \\ \end{array} \right\}=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right\}, $

(4)

其中，R_kA=R_kAL/EI，R_kB=R_kBL/EI，T_K=T_kL³/EI，$K=\sqrt{P/EI}$, 上式可简写为

$ \left[ {\mathit{\pmb{K }}}\right]\left\{ {\mathit{\pmb{D}}} \right\}=\left\{ 0 \right\}, $

(5)

其中，[K]、{ D }分别为刚度矩阵和位移矩阵。当框架柱处于受力临界状态时有

$ \det \left| K \right|=0。$

(6)

求解得到最小的刚度矩阵k值，由此得到框架柱的临界荷载P_cr=k²EI。根据欧拉临界力表达式^[14](P_cr=π²EI/l₀²)有

$ {{l}_{0}}=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\sqrt{\frac{EI}{{{P}_{cr}}}}=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\sqrt{\frac{EI}{{{k}^{2}}EI}}=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{k}。$

(7)

进而可得到等效计算长度系数μ= l₀/l。

杨光磊^[15]基于上述方法，首次计算出实际约束状态下的框架柱等效计算长度，并与结构屈曲分析^[16]求得的柱子等效计算长度进行了对比，证明了该方法的正确性和合理性。

喻德建^[12]在杨光磊研究工作的基础上，对规则框架柱、越层柱及错层柱结构进行了基于实际工程为模型的大量计算分析。在分析时，首先对结构进行一次考虑刚度折减的弹性二阶分析，得到真实反映每根柱考虑二阶效应后的内力(M、P)和变形(θ、Δ)；再根据式(1)~式(3)得到3个约束弹簧的刚度值R_kA、R_kB和T_k；最后代入式(4)~式(7)求得该框架柱的临界荷载P_cr，进而求出反映构件实际约束状态下的等效计算长度系数μ。

研究发现，对于框架结构，首层柱下端由于基础的嵌固作用，其等效计算长度系数μ值的变化范围在0.8~1.2之间；中间层柱等效计算长度系数μ值的变化范围在0.9~1.3之间；顶层柱由于柱上端仅有节点连接梁的约束，μ值在0.9~1.9之间变化。考虑到实际工程应用，根据框架柱所处楼层位置及典型约束状态的不同，结合μ值的变化范围，文中提出了针对错层框架结构柱的计算长度系数取值方案，如表 2所示。

3 错层框架结构考虑二阶效应的设计方法

根据文献[11]建立如图 1所示的不同跨数及错层高度c的框架结构分析模型，按照表 2给出的计算长度系数取值，采用η-l₀法计算柱端弯矩M′₂，并将M′₂与采用sap2000计算的柱端二阶弯矩M₂进行对比。可验证文中方法的准确性。文献[11]各算例的计算结果如表 3~表 5所示。

从表 3~表 5可以看出，对于各柱的控制截面，采用η-l₀法计算出的二阶弯矩M′₂，与考虑构件开裂对刚度影响的有限元分析方法得到的精确内力M₂相比，其误差较小且一般不超过10%。这一方面说明了计算长度系数μ的取值较合理，同时也验证了采用η-l₀法计算错层框架结构柱二阶效应的可行性和准确性，为解决此类工程设计问题提供了简便可靠的方法。研究表明，从算例1到算例3，随着跨数的不断增加，当错层部分占整个框架结构的比重越来越小时，其二阶效应的变化规律会越来越接近规则框架结构。

综上所述，错层框架结构中各柱弯矩值计算，在考虑P-Δ效应的控制截面弯矩可按以下η-l₀方法进行计算：

$ {{M}_{2}}={{M}_{ns}}+{{\eta }_{s}}{{M}_{s}}\ge {{M}_{1}}。$

(8)

$ {{\eta }_{s}}=1+\frac{1}{1\text{ }400({{M}_{1}}/N+{{e}_{a}})/{{h}_{0}}}{{\left( \frac{~\mu l}{h} \right)}^{2}}{{\text{ }\!\!\zeta\!\!\text{ }}_{1}}{{\text{ }\!\!\zeta\!\!\text{ }}_{2}}。$

(9)

$ {{\text{ }\!\!\zeta\!\!\text{ }}_{1}}=\frac{0.5{{f}_{c}}A}{N}。$

(10)

$ \text{ }{{\text{ }\!\!\zeta\!\!\text{ }}_{2}}=1.15-0.01\frac{\mu l}{h}。$

(11)

若错层框架中各柱按现行混凝土规范^[2]第6.2.3条验算后，需要考虑P-δ效应对其受力状态的影响时，应按照现行规范6.2.4条的规定方法考虑P-δ效应后的截面弯矩设计值^[17]。

4 结论

1) 提出了错层框架结构计算楼层的定义；对于错层结构中的错层柱，其柱长取与水平荷载作用一侧的楼层层高一致，即按计算楼层层高进行取值，并按此对错层柱进行通长配筋设计；

2) 提出了错层框架结构柱在实际受力及约束状态下等效计算长度系数μ的取值方法，并验证了该方法的合理性；

3) 验证了错层框架结构柱采用η-l₀法考虑其二阶效应的影响，具有较高的可行性和准确性，弥补了混凝土现行规范无法简便计算错层结构二阶效应的问题，为后续研究工作提供了重要的参考依据。