随着现代航空航天工业的快速发展，近低空有氧环境、长时间机动飞行以及可重复使用等要求对高速飞行器的结构、散热、耐抗氧化等性能都提出了非常高的要求。热防护系统(thermal protection system, TPS)作为高超声速飞行器最重要的子结构之一，其稳定性和可靠性是保障飞行器安全运行的前提。因此热防护系统的设计制造是高速飞行器研究的重要任务之一^[1-4]。

由于轨道偏差、气动热环境和结构材料属性的分散性、加工误差等各类因素，热防护系统的设计和使用中通常存在着不同程度的不确定性。在传统的确定性设计方法中，需要以较大的裕度来保证结构的可靠性，往往会导致热防护系统超重。随着设计水平的不断提高，能够更为准确地考虑变量不确定性的概率设计方法逐渐受到重视，并得到了广泛的研究和应用。

通常，确定性设计方法以较大的裕度来保证结构的可靠性，但容易导致结构臃肿。尤其对于飞行器来说，过重的热防护系统是不可接受的。因此，考虑变量不确定性的概率设计方法逐渐受到重视，并得到了广泛的研究和应用，也越来越受到设计人员的欢迎。

概率设计法以概率和数理统计理论为基础来研究结构的安全问题^[5]。Freudenthal最早在文献[6]中提出了较为完整的理论体系，考虑设计变量的不确定性对结构的影响，并论述了基于不确定量相互作用的观点，讨论了载荷的不确定性。在此理论基础上，众多的随机失效概率计算方法被开发出来，大体上分为解析法和数值方法两类。

解析法包括一次二阶矩法(first order second moment, FOSM)、PNET法(probabilistic network evaluation technique)等等^[7-8]。这些方法分别针对单模式和多模式失效，着眼于在设计点附近精确地逼近功能函数, 其准确度和精确度根据不同的问题，有不同的适应性和局限性。并且因为某一种特定算法通常具有较高的针对性，所以只在一些简单或特殊的场合使用，不具备通用性。

数值方法包括数值积分和数值模拟两大类。数值积分通过在失效域中对概率密度函数进行积分来得到失效概率。常用的数值积分法包括转换积分法、降阶积分^[9-10]等。数值模拟通过蒙特卡洛法，基于概率密度函数进行随机抽样，用落入失效域的样本点的数量与总样本点的数量之比作为失效概率的无偏估计^[11]。相比于数值积分要求准确的功能函数，蒙特卡洛法不要求显式的功能函数，可以借助有限元等数值工具进行可靠性分析，显然具有更高的适用性，因此成为结构可靠性分析最通用的方法^[12]。

在飞行器热防护系统的设计制造领域，由于热流和材料属性的不确定性，使用确定性设计方法来合理地估计参数区间变得非常困难，但概率设计方法在考虑不确定性的基础上，能很好地对其进行分析，加上蒙特卡洛技术的实用性，因此得到了广泛的应用。例如，Nakamura等^[13]采用蒙特卡洛法对一重入飞行器的热防护系统进行了概率设计和分析；Dec等^[14]在火星探测器上应用了蒙特卡洛法；Chen等和Wright等^{[15, 16]}针对同一火星探测器整体热防护系统，应用蒙特卡洛法进行了热可靠性分析。

蒙特卡洛法本身虽然具有一定会收敛到正确值的优良性质，但对于复杂的结构和小概率事件，如文献[17]中的分块式热防护系统，其收敛速度很慢，计算规模庞大，且收敛过程的方差大，导致其抽样效率很低。因此学者提出了一些所谓“方差缩减技术”，能够有效降低蒙特卡洛法计算过程中的方差，从而提高抽样效率和抽样精度。主要包括重要抽样法、描述性抽样法、分层抽样法等等。其中重要抽样法^[18-21]使样本点落入失效域的概率大大增加，从而显著提高了抽样效率，获得了非常完善的发展和较多的应用。

高超飞行器热防护系统对可靠性要求高，因此失效概率非常低，采用传统的蒙特卡洛抽样方法得到的失效样本数量很少，需大量抽样才能获得较为准确的统计结果，分析效率低。因此，笔者在之前研究^[22-23]的基础上，将重要抽样法的引入至热防护系统的概率设计和分析中，给出了高超飞行器热防护系统热可靠性分析流程，并进行了相应的验证。

1 基本抽样和评价理论 1.1 重要抽样法基本原理

设X是结构的基本随机向量，概率密度函数为f(x), g(x)是结构的功能函数。则失效概率为

$ {p_{\rm{f}}} = \int\limits_{ - \infty }^\infty {I\left[ {g\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right)} \right]f\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right){\rm{d}}\mathit{\boldsymbol{x}} = \int\limits_{{D_{\rm{f}}}} {f\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right){\rm{d}}\mathit{\boldsymbol{x}}, } } $

(1)

式中：D_f是使得g(x)＜0的x的取值范围，称为失效域，

$ I({g_i}) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1, }&{{g_i} < 0{\rm{ }}}\\ {0, }&{{g_i} \ge 0} \end{array}, } \right. $

(2)

称为指示函数，它表示结构失效与否。则p_f可看成是I[g(x)]的数学期望。如果对随机向量X进行N次蒙特卡洛随机抽样(Monte Carlo sampling)，则p_f的无偏估计值为

$ {\widehat p_{\rm{f}}} = E\left[ {I\left( \cdot \right)} \right] = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {I({g_i}), } $

(3)

并且，其方差D[I(·)]可以用于评估抽样过程的平稳性。

若把式(1)改为

$ {p_{\rm{f}}} = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{I\left[ {g\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right)} \right]f\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right)}}{{h\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right)}}h\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right){\rm{d}}\mathit{\boldsymbol{x}}, } $

(4)

即抽样规律由f(x)变为h(x)，称为重要抽样函数，使得抽取的样本点有更大的几率落入失效域，从而提高抽样效率，这就是重要抽样法的概念。记A(x)=f(x)/h(x)则失效概率的估计值变为

$ {\widehat p_{\rm{f}}} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {A({\mathit{\boldsymbol{x}}_i})I({g_i}), } $

(5)

方差变为D[A(·)I(·)]。

一般情况下，重要抽样函数都设为正态分布，其密度中心与原密度中心不重合，称为重要抽样中心，方差与原密度函数保持一致。因此重要抽样法的关键就在于选择合理的重要抽样中心，以最大化提高抽样效率。

应用重要抽样法计算失效概率一般按如下步骤进行：

1) 选择合适的重要抽样中心，构造重要抽样函数h(x)；

2) 按h(x)产生容量为N的样本总体x={x₁, x₂, …, x_n}，代入功能函数g(x)，根据式(2)得到指示向量I(x)；

3) 根据式(5)计算失效概率$ {\widehat p_{\rm{f}}} $。

1.2 评价抽样结果：置信度

从式(3)和式(5)可以看到，失效概率$ {\widehat p_{\rm{f}}} $本质上是某个抽样样本的样本均值。根据统计学中的大数定律和中心极限定理，当样本容量N足够大时，样本均值总是逐渐趋近于正态分布，与样本的分布无关，只要其均值和标准差存在即可。因此，若给定置信区间长度W，那么$ {\widehat p_{\rm{f}}} $的置信度为

$ 1 - \alpha = 2\mathit{\Phi} \left( {\frac{{W\sqrt N }}{{2S}}} \right) - 1。$

(6)

置信度代表了该置信区间包含样本均值正确值的概率，其中是Φ(·)标准正态分布函数，S²代表了样本的方差，对于蒙特卡洛和重要抽样过程，分别有S_MC²=D[I(·)]和S_IS²=D[A(·)I(·)]。

从式(6)可以看出，在置信区间长度W不变的情况下，提高置信度的方法有两种：增加样本容量N和降低抽样方差S²。

2 基于重要抽样法的热可靠性评估方法

高超飞行器热防护系统的概率设计和可靠性评估流程如图 1所示^[22]，一般可分为确定性设计、概率设计以及可靠性评估等3个部分。

确定性设计主要是根据飞行器的工作环境确定热防护系统的初始设计，如飞行器表面各部位的热防护系统的材料和结构选择、系统几何尺寸、系统重量估计等。

为充分考虑各类不确定的影响，在保障系统可靠性的前提下尽量减轻热防护系统的重量，需在确定性设计的基础上进行概率设计。在该过程中，首先明确不确定性的来源和分布，并引入分析模型中，然后通过有限元分析或者代理模型(如响应面法)进行瞬态热传导分析，得到热防护系统温度场的概率特性。通常，我们重点关注热防护系统在加热过程中的最高背温或飞行器冷结构的最高温度的概率分布特性。

热防护系统的热可靠性一般可定义为：在加载热流Q(t)的过程中，飞行器热防护系统背温或冷结构的最高温度为T_max，其可承受最高温度为T_d，若T_d-T_max＜0，则该热防护系统在该次热流加载过程中失效。在使用数值模拟方法时，失效概率可表示为

$ {\widehat p_{\rm{f}}} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {I({T_{\rm{d}}} - T_{{\rm{max}}}^{(i)}), } $

(7)

式中：N是样本总数，T_max⁽ⁱ⁾表示在第i次热流加载过程中，飞行器结构的最高温度，指示函数I(·)的含义与式(3)相同。

由于热防护系统要求的可靠性高，在设计状态的均值附近抽样时得到的失效样本较少，严重影响热可靠性的评估精度。为提高热可靠性的评估精度和效率，这里采用文中介绍的重要抽样方法，将抽样重心向危险方向移动，以增加样本中失效样本的个数，并最终获取高置信度的失效概率或可靠性。

3 算例

笔者主要研究重要抽样法对计算效率和精度的影响，下面通过2个算例对蒙特卡洛法和重要抽样法的结果进行分析比较。第1个为解析算例，用以验证方法的正确性；第2个为热防护系统工程算例，用以验证方法的有效性。

3.1 解析算例

若有功能函数g₁(R, S)=R-S, 其中R表示承载力，服从N(4, 1)的正态分布；S表示静载荷，服从N(0, 1)的正态分布。那么功能函数g₁服从N(4, 2)的正态分布，因此失效概率应为

$ {p_{\rm{f}}} = P({g_1} < 0) = \mathit{\Phi} \left( { - \frac{4}{{\sqrt 2 }}} \right) \approx 2.4 \times {10^{ - 3}}. $

(8)

表 1给出的是5次样本量为10 000的蒙特卡洛模拟结果。若设置信区间宽度为1×10^-3，对应的置信度也列在表 1中。可以看到，在样本容量为10 000时，得到的结果与真实值有较大差距，且置信度只有70%左右。

图 2是第1次模拟的失效概率收敛曲线。横轴是计算用到的样本量，纵轴是累积失效概率。可以看到，该曲线比较陡峭，置信度较低。

然后，通过改变S的均值来构造重要抽样函数。若把μ_s向危险方向分别移动0.5，1.0，1.5个σ_s，即μ_s=0.5，μ_s=1.0和μ_s=1.5，然后基于此进行重要抽样。表 2分别给出了其计算结果(样本量均为10 000)。图 3分别给出了不同μ_s的$ {\widehat p_{\rm{f}}} $收敛曲线。

从图 3可以看到，在相同样本量下，将μ_s向危险方向移动到μ_s=0.5，收敛曲线相比原本μ_s=0而言平稳了许多，置信度也提高到了90%左右。继续移动到μ_s=1和μ_s=1.5，可以看到收敛曲线已经非常平滑，且置信度达到了95%以上。但是，在样本量不变的情况下，如果把μ_s一直向危险方向移动，样本方差并不会一直减小，而是呈现出先减小后增大的趋势，如图 4所示。

图 4中，横轴为重要抽样中心，纵轴为10 000个样本的标准差。可以看到，当重要抽样中心位于μ_s=1.5附近时，方差最小，置信度最高，而当重要抽样中心位于μ_s＞1.5时，方差逐渐增大且不稳定，根据方差得到的置信区间和置信度也没有参考价值。说明重要抽样法可以得比蒙特卡洛法精度更高的结果，前提是选择合适的重要抽样函数。

3.2 热防护系统工程算例

在文献[22]的基础上，建立一个简化的热防护系统二维模型，应用重要抽样法对其进行热可靠性评估。热防护系统的有限元模型如图 5所示，分为表面辐射涂层、隔热面板和隔热材料等三层，隔热材料连接飞行器冷结构，各层的材料属性和几何参数列于表 3，材料属性设定参考文献[23]和[24]。辐射涂层为高表面发射率的反应固化玻璃(RCG)涂层，面板为耐高温的C/C复合材料，隔热层则采用刚性陶瓷瓦。

为了简化分析模型，首先作以下几点假设：

1) 不考虑热流数据的不确定性；

2) 假设材料参数均服从正态分布，且不随温度变化。

向热防护系统顶部加载如图 6所示的热流Q(t)进行有限元分析，该热载荷为飞行器再入过程中较为典型的热流^[13]，在计算中设置时间步长为10 s，总步数为180，得到的结果见图 7。

从图 7看到，t=1 000 s左右时，热防护系统底部的温度达到最大值，约为110 ℃。若设飞行器冷结构可承受最高温度为T_d=120 ℃。然后，只控制隔热材料的厚度h来进行重要抽样。假设h服从正态分布N(15, 0.25)，假设重要抽样中心分别为μ_h=14.5，μ_h=14.0，和μ_h=13.5，进行样本量为1 000的重要抽样，结果列于表 4中(置信区间宽度仍为1×10^-3)。

可以看到，当μ_h=14.5时即可得到置信度较高的结果，而μ_h=13.5时，置信度开始下降。实际上，如何选择重要抽样函数依赖于具体分析的模型。如果结果对于选取的变量非常敏感，则抽样中心位移偏量不宜过大，反之则应该选择较大的位移偏量。

如果采用蒙特卡洛法进行1 000次抽样，得到5组抽样的结果在表 5中列出。可以看到，通过蒙特卡洛抽样得到的结果置信度比较低，不建议采纳。事实上，针对这个问题，根据式(6)，要达到90%及以上的置信度，蒙特卡洛法所需的最小样本量约为n=11 620。

3 结论和展望

热防护系统是现代飞行器最重要的子结构之一，合理地设计热防护系统不仅可以最大限度地保护飞行器结构，还可以尽量减低飞行器整体重量。但是由于材料参数和环境参数不确定性的存在，以往的名义设计往往会设置过大的容差，使得飞行器结构的重量过大，造成不必要的负担。因此，概率设计法成为了飞行器设计的主流方法之一。

笔者将重要抽样法应用于热防护系统的数值模拟，结果显示，要得到相同置信度的模型结果，采用重要抽样法的计算规模只有蒙特卡洛法的10%左右；并且，把样本均值向危险方向移动1个以内的标准差即可得到较为合适的重要抽样函数。

需要说明的是，文中的模型没有考虑材料参数的非线性和热流的不确定性等诸多不确定性，只是通过较为简单的算例理论上证明了重要抽样法在高超飞行器热防护系统热可靠性评估中的可行性和高效性。此外，重要抽样方法的有效性很大程度上取决于重要抽样函数的选择，这里只对比了通过调整抽样中心提高计算效率的方法，在今后的研究中可考虑采用自适应重要抽样、多重置信度重要抽样方法等，进一步提高该方法的有效性和适用范围。